精品解析：重庆市渝北中学校2026届高三上学期8月月考数学试题

渝北中学高2026届8月月考数学试题 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂． 4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列函数中，存在极小值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于AC，由指数函数、对数函数单调性判断即可；对于BD，求导判断函数单调性，进一步得极小值情况即可. 【详解】对于AC，因为对数函数、是增函数，故它们都不存在极小值，故AC错误； 对于B，，求导得， 或，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，故B正确； 对于D，对求导得，且不恒成立， 所以是增函数，即不存在极小值. 故选：B. 2. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下面命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过举出反例可判断选项A，B，D；根据线面垂直的性质可判断选项C. 【详解】对于A，当时，若，则由面面平行的判定定理可得， 当时，则平行或相交，故A错误； 对于B，当时，若，则由线面垂直的判定定理可得， 当时，则与不一定垂直，故B错误； 对于C，因为，所以， 又因为，所以，故C正确； 对于D，当时，若，则由面面垂直的性质可得， 当时，则或与相交，故D错误. 故选：C. 3. 某班从包括甲乙在内的名学生中，选择人参加植树活动，则甲乙两人至多一人参加的方法数有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】甲乙两人至多一人参加的对立事件为甲乙都参加，利用事件的对立面求方法数即可. 【详解】根据题意，名学生中，选择人参加植树活动共有种方法， 而甲乙都参加的情况有种方法， 则甲乙两人至多一人参加的方法数有种. 故选：C. 4. 已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围. 【详解】由及，得， 令函数，有，， 则函数在上为增函数，，， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 故选：A 5. 空间四边形中，，，分别是与的中点，则异面直线，所成角的余弦值大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设为的中点，连接、，分析可知为异面直线和所成的角（或补角），求出的三边边长，结合余弦定理求解即可. 【详解】如图：连接，设为的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 所以为异面直线和所成的角（或补角）， 因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以， 所以，同理可得， 所以，， ， 在中由余弦定理可得：， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C 6. 某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 7. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解判断B；用极限的思想求出的范围，再利用，求得的范围判断C；利用图形展开及两点之间线段最短判断D. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积，A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，B错误； 对于C，在中，，又，则， 当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值， 又与不重合，则，又，得，C错误； 对于D，由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图知， 由， 得， 所以，D正确. 故选：D 8. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第n次球在甲手中的概率表达式，由于乙、丙地位对称，求出第n次球在甲手中的概率由对立事件即可得到经过次传球后，球恰在乙手中的概率. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第n次球在乙手中”，“第n次球在丙手中”， 那么由题意可知可知：，又， 所以，可构造等比数列， ， 因为第一次由甲传球，可认为第0次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故，所以， 因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人， 所以乙、丙地位对称，即，所以经过n次传球后， 球恰在乙手中的概率为. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，且，则 B. 随机变量服从两点分布，且，则 C. 对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强 D. 残差平方和越小，模型的拟合效果越差 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正态分布的概率分布曲线的对称性即可计算判断A；运用两点分布的数学期望、方差的定义与性质即可判断B；利用两变量相关系数的意义即可判断C；残差和以及模型的拟合效果的关系即可判断D． 【详解】对于A，由题意得，，， 则，故A正确； 对于B，因为两点分布的， 所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，且， 所以a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故C错误； 对于D，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：AB． 10. 已知函数，则（ ）． A. 的图象关于点对称 B. 的极大值点为 C. 在区间上的值域为 D. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为 【答案】AC 【解析】 【分析】函数为奇函数，平移可得，进而得到对称中心，判断A正确；利用导数，得出单调区间和极值可得，B错误，C正确；数形结合得出D错误. 【详解】因为函数为奇函数，其图象关于原点对称，把函数的图象向上平移4个单位长度得到的图象，所以A正确． 因为，所以， 令，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的极大值点为，B错误． 又的极大值为，极小值为，，， 所以在区间上的值域为，C正确． 画出函数的图象，如图所示， 由得， 若关于x的方程有两个不相等的实数根， 则函数的图象与直线有两个交点， 由图象知或，所以t的值为或，D错误． 故选：AC. 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点，使得平面 B. 当为中点时，过，，三点的平面截正方体所得截面图形的面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 当在棱上时，若为，三棱锥外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，易知当点在线段（不含点）时，使得平面；对于B，作出截面，截面是边长为的正六边形，再求面积即可；对于C，由三棱锥体积公式可判断；对于D，设的外心为，半径为，过分别作平面，平面的垂线，交点即为球心，设中点为，连接，易得四边形为矩形，结合勾股定理求出外接球半径，然后利用正弦定理结合球的表面积公式求解即可. 【详解】对于A，易知当点在线段（不含点）时，使得平面， 此时，平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，根据题意作出截面，截面是边长为的正六边形， 所以截面面积，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设的外心为，半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为球心， 设中点为，连接， 因为是外心，所以， 则就是平面与平面所成角的平面角， 又易知平面平面，所以四边形为矩形， 所以外接球半径 ， ，， ，即， 故三棱锥外接球表面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的性质得出是异面直线和的公垂线；再根据异面直线间距离的定义即可求解. 【详解】 由长方体性质可得：，平面. 因为平面, 所以， 则是异面直线和的公垂线， 所以异面直线和的距离为 故答案为： 13. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，则正三棱台的体积为______；若此正三棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出正三棱台的上下底面的面积，代入棱台体积公式求解第一空，利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的距离，可求出外接球的半径，结合球体表面积公式可得第二空. 【详解】因为正三棱台的上下底面的边长分别为和， 所以上下底面的面积分别为，， 又正三棱台的高为1，故正三棱台的体积为； 如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为， 正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则，， 设外接球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 故球心在射线上，则， 同理 由，即，解得. 所以，故该正三棱台的外接球表面积为. 故答案为：，. 14. 设函数，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】变形给定不等式，再构造函数与，求出它们的最值即可得解. 【详解】函数定义域为， 不等式， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，； 设，则，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，因此， 于是，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 2025年4月，中国新能源汽车零售渗透率突破，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为关注焦点．经调查，某市今年月份的充电桩日均使用时长（时）与新能源汽车保有量（万辆）及充电桩日均使用率（，为常数）的数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 新能源汽车保有量（万辆） 8 13 15 18 23 25 充电桩日均使用时长（时） 5 7 10 12 15 17 充电桩日均使用率 0.15 0.21 0.3 0.36 0.45 0.51 （1）若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在3月份的某3天中被使用的天数为，求的分布列； （2）求关于的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；（精确到0.01） （3）若关于的经验回归方程为，求的值（精确到0.1），并预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为多少． 参考数据：，． 参考公式：相关系数． 【答案】（1） 的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 （2）0.99，与的线性相关程度较强． （3），0.72． 【解析】 【分析】（1）由题可知充电桩在3月份使用的概率为0.3，故，根据二项分布写出分布列即可； （2）根据题意先求，利用相关系数公式，代入数据求值与1比较即可； （3）由过回归方程可求，根据回归方程进行预测即可. 【小问1详解】 由题可知的所有可能取值为，且， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 【小问2详解】由题可知，， 则， 因为接近于1，所以与的线性相关程度较强． 【小问3详解】 由题可知， 解得， 所以关于的经验回归方程为． 将代入经验回归方程，得， 又因为，所以当时，， 故预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为0.72． 16. 在直三棱柱中，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）存在点， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，的中点，连接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，进而由面面平行的性质定理得平面，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率和椭圆过点解得的值，写出椭圆方程； （2）写出直线方程，联立方程组消元得到二次方程，用韦达定理表示出线段的长，再求出点到直线的距离，由三角形面积公式求得四边形面积代数式，然后求最大值. 【小问1详解】 由题意可得：，解得， 由椭圆过点，得，联立解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可设， 因点在第一象限，则， 设，，点，到直线的距离分别为，， 由，消可得， ，当时，， 所以，， 所以， ，，直线的一般式方程：， 所以，， 所以， 所以， 当时，有最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，. （1）求证：平面平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围. 【答案】（1） 由，，，可知， 故； 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故， 又，平面， 故平面，平面， 故平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，继而根据面面垂直的性质推出平面，可得，再结合线面以及面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）利用等体积法求出D到平面的距离，再根据线面角的定义即可额求得答案； （3）根据二面角定义作出二面角的平面角，解三角形求出相关线段长，即可推出二面角平面角的正切值的表达式，结合不等式知识，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面， 故，而，底面是平行四边形， ，，故， ； 设点D到平面的距离为d， 由， 得, 解得， 设直线与平面所成角为，则，而， 故； 【小问3详解】 作于M，作于N，连接， 由于平面平面，平面平面， 平面，故平面，平面， 故，而，平面， 故平面，则即为二面角的平面角； 设，，则， ， 由于，可得， 又，则， 故在中，， 设，则 ， 由于，故，则， 即二面角的正切值的取值范围为. 19. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若，，设曲线在点处的切线交轴于点. （i）求出点的横坐标（用表示）； （ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）（i） （ii），， 已知点在轴上，且轴， 所以，若为等腰直角三角形，则， 即， 则，因为，所以， 画出，图象如图： 结合图象可知，，在有一个交点， 所以存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论研究单调性； （2）求导，求出切线方程，令横坐标等于0，求出的横坐标；为等腰直角三角形时，，则，即，构造函数，，画出图象，在有一个交点，即可得证. 【小问1详解】 ，其中，定义域为， 令，则或， 当时，即，此时，所以在上单调递减； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 （i）当时，，， 当时，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则，所以点 所以点的横坐标. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学高2026届8月月考数学试题 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂． 4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列函数中，存在极小值的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下面命题正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某班从包括甲乙在内的名学生中，选择人参加植树活动，则甲乙两人至多一人参加的方法数有（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 空间四边形中，，，分别是与的中点，则异面直线，所成角的余弦值大小为（ ） A. B. C. D. 6. 某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 8. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，且，则 B. 随机变量服从两点分布，且，则 C. 对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强 D. 残差平方和越小，模型的拟合效果越差 10. 已知函数，则（ ）． A. 的图象关于点对称 B. 的极大值点为 C. 在区间上的值域为 D. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点，使得平面 B. 当为中点时，过，，三点的平面截正方体所得截面图形的面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 当在棱上时，若为，三棱锥外接球表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 13. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，则正三棱台的体积为______；若此正三棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______． 14. 设函数，若，则的取值范围为______． 四、解答题（本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 2025年4月，中国新能源汽车零售渗透率突破，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为关注焦点．经调查，某市今年月份的充电桩日均使用时长（时）与新能源汽车保有量（万辆）及充电桩日均使用率（，为常数）的数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 新能源汽车保有量（万辆） 8 13 15 18 23 25 充电桩日均使用时长（时） 5 7 10 12 15 17 充电桩日均使用率 0.15 0.21 0.3 0.36 0.45 0.51 （1）若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在3月份的某3天中被使用的天数为，求的分布列； （2）求关于的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；（精确到0.01） （3）若关于的经验回归方程为，求的值（精确到0.1），并预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为多少． 参考数据：，． 参考公式：相关系数． 16. 在直三棱柱中，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，. （1）求证：平面平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围. 19. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若，，设曲线在点处的切线交轴于点. （i）求出点的横坐标（用表示）； （ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $