专题05 函数的性质（竞赛培优专项训练）高一数学人教A版2019全国通用

专题05函数的性质 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 利用定义证明函数的单调性 7 考点二 函数单调性的判断 8 考点三 由函数的单调性求参 9 考点四 函数单调性的应用 9 考点五 函数奇偶性的判断与证明 11 考点六 利用函数的奇偶性求参 12 考点七 函数奇偶性的应用 12 考点八 函数奇偶性与单调性的综合 13 考点九 函数的周期性（拓展） 14 考点十 函数性质的综合应用 14 考点十一 函数的新定义题 17 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题20道） 【归纳重点知识】 知识点01 函数的单调性与最值 1．函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意，都有；存在，使得 对于任意，都有；存在，使得 结论 为最大值 为最小值 知识点02 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 2.函数奇偶性的两个重要结论 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 【易错警示】 由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 3.两个函数间奇偶性的关系 ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点03 函数的对称性(拓展) 1．函数图象本身的对称性(自身对称) 若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”. ⑴图象关于直线对称. 推论1: 的图象关于直线对称. 推论2、的图象关于直线对称. 推论3、)的图象关于直线对称. ⑵的图象关于点对称. 推论1、的图象关于点对称. 推论2、的图象关于点对称. 推论3、的图象关于点对称. 2．两个函数的图象对称性(相互对称) ⑴与图象关于y轴对称. ⑵与图象关于原点对称函数. ⑶函数与图象关于轴对称. ⑷函数与其反函数图象关于直线对称. ⑸函数与图象关于直线对称. 推论1:函数与图象关于直线对称. 推论2:函数与图象关于直线对称. 推论3:函数与图象关于直线对称. 知识点04 函数的周期性（拓展） 1．周期性的定义 （1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 【熟记重要结论（二级结论）】 1．函数单调性的结论 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数；＜0⇔f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 2．函数最值存在的2个结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 3．函数奇偶性的常用结论 （1）如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 4.函数周期性的常用结论（拓展） 对定义域内任一自变量的值： （1）的一个周期T=. （2）的一个周期T=. （3）的一个周期. （4）（为常数）的一个周期T=. 提示：，两式相减可得： （5）（为常数）的一个周期T=. （6）的一个周期T=. 提示：，相加，得，则T=. 5.函数的对称性常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 6.抽象函数的模型 （1）正比例函数模型： ，对应：； (2)反比例函数模型： . (3)一次函数模型: 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； (4)二次函数模型： ，对应：； (5)三次函数模型： ，对应： (6)幂函数模型： 模型1：,对应：； 模型2：，对应：. (7)指数函数模型（供提前了解，详见必修第一册第三章）: 模型1：,对应：（其中）； 模型2：，对应：（其中）； 模型3：，对应：； 模型4：，对应：. (8)对数函数模型（供提前了解，详见必修第一册第四章）： 模型1：，对应：； 模型2：，对应：; 模型3：，对应：； 模型4：,对应：，则 模型5：，对应：. (9)正弦函数模型供提前了解，详见必修第一册第四章）：： ，对应：，来源于； （10）余弦函数模型（供提前了解，详见必修第二册第一章）： 模型1：,对应：，则 模型2：，对应：； 模型3：，对应：. （11）正切函数模型（供提前了解，详见必修第二册第一章）： ,对应：. 考点一 利用定义证明函数的单调性 1.判断函数的单调性并证明． 2．已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 3．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 考点二 函数单调性的判断 4．已知定义在R上的函数，集合，那么“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 6．函数的单调递减区间是 ． 7.函数的单调递减区间为 . 8.函数的单调递减区间为 ． 9.求函数的单调区间，并指出其值域 考点三 由函数的单调性求参 10.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．若函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 14．已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 考点四 函数单调性的应用 15．已知，点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 16.，其中，若，则得取值范围是（ ） A． B． C． D． 17．设函数，若，则实数的取值范围是 ． 18．已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 19．已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 20．已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 21.已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 22.已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； (3)当时，比较与的次小. 考点五 函数奇偶性的判断与证明 23．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性. 24．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 25.已知函数， (1)判断函数的奇偶性； (2)若且，求函数在区间上的最大值． 考点六 利用函数的奇偶性求参 26.已知函数是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27.若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 28.设函数，且为奇函数，则 . 29.已知函数是奇函数，则实数 ． 考点七 函数奇偶性的应用 30.已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31.(多选)已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 32．已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为 . 33．已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 考点八 函数奇偶性与单调性的综合 34．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 35．已知偶函数的定义域为，对于任意均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（多选）已知函数的图象过点，则（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．当时，函数的最大值为 37.已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 38.已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 考点九 函数的周期性（拓展） 39．定义在上的函数的周期为4，且满足，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 40．设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则 ． 41．若对常数和实数，等式恒成立，函数的一个周期为 . 42．对任意都有，的图像关于对称，则 ． 考点十 函数性质的综合应用 43．已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 44．(多选)已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（    ）. A．的图象关于直线对称 B．是以4为周期的周期函数 C．的图象关于点对称 D． 45．(多选)已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．关于中心对称 D． 46．（多选）已知对任意，且，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 47.已知，若对任意的xR，恒成立，则实数的取值范围是 48.已知函数是定义在上的正值函数，且．，当时，恒有．求证： (1)函数在上单调递增； (2)，恒有成立． 49．定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 50．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 51．已知函数． (1)若，求函数在上的最小值. (2)若函数在上既有最大值又有最小值，试探究、分别满足的条件（结果用表示）． (3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 考点十一 函数的新定义题 52．德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中假命题是 （ ） A．函数是奇函数 B．，， C．函数是偶函数 D．，， 53．（多选）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （      ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 54．俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． (1)函数，求的“偏差”； (2)函数，若的“偏差”为2，求的值； (3)函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 55．定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）． (1)判断是否为“型函数”？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围． 1．（2023·山东济南高一下竞赛）已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（ ） A．1 B． C．2 D．0 2．（2024·厦门大学强基计划），若对任意，恒成立，则ab可能的最值为（    ） A． B．4 C． D．1 3．（第十一届“枫叶新希望杯”高一竞赛）已知函数的定义域为，对任意的，都有成立，则函数的奇偶性是（     ）. A．既奇又偶 B．非奇非偶 C．奇非偶 D．偶非奇 4．（2025·山东青岛高二下竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 5．（第十一届“枫叶新希望杯”高一竞赛）已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ）. A． B． C． D． 6．（202·全国“英才杯”竞赛）已知与轴有四个不同的非零交点，且每相邻两个交点之间的距离都相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·海南“衍林杯”高一竞赛）若函数，则对于满足的任意实数，有（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 9．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（2024·河南灵宝市精英对抗赛）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在定义域内单调递增 C．有2个零点 D．的最小值为 11．（2023·浙江温州高一竞赛）已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.若 恒成立，则实数的取值可能是（    ） A．-1 B． C． D．1 12．（2023·安徽高一上竞赛）若函数对于都有，则 . 13．（2023·安徽高一上竞赛）设点，，点是函数图象上一点，则面积的最小值为 . 14．（2025·中国科技大学强基计划）已知，的值域为，则所有可能值为 ． 15．（2024·南京大学强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 16．（第十一届全国“枫叶新希望杯”高一竞赛）已知函数 ，若互不相等的实数满足 ，则的取值范围为 ． 17．（2025·东南大学强基计划）设是定义在上的单调函数，满足，求的值． 18.（2024·安徽阜阳高一竞赛）已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 19.（第十届全国“枫叶新希望杯”高一竞赛）函数向右平移1个单位，向上平移16个单位后得到函数，已知的函数图象与轴的一个交点坐标为，且整除. (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 20．（第十四届全国“枫叶新希望杯”高一竞赛）已知函数且． (1)就的取值情况，讨论关于的方程在上的解的个数； (2)若可变动的实数满足，求的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05函数的性质 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 利用定义证明函数的单调性 7 考点二 函数单调性的判断 9 考点三 由函数的单调性求参 11 考点四 函数单调性的应用 13 考点五 函数奇偶性的判断与证明 18 考点六 利用函数的奇偶性求参 20 考点七 函数奇偶性的应用 21 考点八 函数奇偶性与单调性的综合 23 考点九 函数的周期性（拓展） 26 考点十 函数性质的综合应用 27 考点十一 函数的新定义题 36 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题20道） 【归纳重点知识】 知识点01 函数的单调性与最值 1．函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意，都有；存在，使得 对于任意，都有；存在，使得 结论 为最大值 为最小值 知识点02 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 2.函数奇偶性的两个重要结论 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 【易错警示】 由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 3.两个函数间奇偶性的关系 ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点03 函数的对称性(拓展) 1．函数图象本身的对称性(自身对称) 若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”. ⑴图象关于直线对称. 推论1: 的图象关于直线对称. 推论2、的图象关于直线对称. 推论3、)的图象关于直线对称. ⑵的图象关于点对称. 推论1、的图象关于点对称. 推论2、的图象关于点对称. 推论3、的图象关于点对称. 2．两个函数的图象对称性(相互对称) ⑴与图象关于y轴对称. ⑵与图象关于原点对称函数. ⑶函数与图象关于轴对称. ⑷函数与其反函数图象关于直线对称. ⑸函数与图象关于直线对称. 推论1:函数与图象关于直线对称. 推论2:函数与图象关于直线对称. 推论3:函数与图象关于直线对称. 知识点04 函数的周期性（拓展） 1．周期性的定义 （1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 【熟记重要结论（二级结论）】 1．函数单调性的结论 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数；＜0⇔f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 2．函数最值存在的2个结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 3．函数奇偶性的常用结论 （1）如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 4.函数周期性的常用结论（拓展） 对定义域内任一自变量的值： （1）的一个周期T=. （2）的一个周期T=. （3）的一个周期. （4）（为常数）的一个周期T=. 提示：，两式相减可得： （5）（为常数）的一个周期T=. （6）的一个周期T=. 提示：，相加，得，则T=. 5.函数的对称性常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 6.抽象函数的模型 （1）正比例函数模型： ，对应：； (2)反比例函数模型： . (3)一次函数模型: 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； (4)二次函数模型： ，对应：； (5)三次函数模型： ，对应： (6)幂函数模型： 模型1：,对应：； 模型2：，对应：. (7)指数函数模型（供提前了解，详见必修第一册第三章）: 模型1：,对应：（其中）； 模型2：，对应：（其中）； 模型3：，对应：； 模型4：，对应：. (8)对数函数模型（供提前了解，详见必修第一册第四章）： 模型1：，对应：； 模型2：，对应：; 模型3：，对应：； 模型4：,对应：，则 模型5：，对应：. (9)正弦函数模型供提前了解，详见必修第一册第四章）：： ，对应：，来源于； （10）余弦函数模型（供提前了解，详见必修第二册第一章）： 模型1：,对应：，则 模型2：，对应：； 模型3：，对应：. （11）正切函数模型（供提前了解，详见必修第二册第一章）： ,对应：. 考点一 利用定义证明函数的单调性 1.判断函数的单调性并证明． 【分析】根据函数单调性的定义，分别在和上证明即可求解. 【详解】对任意，． 因为，所以，． 对任意，有， 从而，即； 对任意，有， 从而，即． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 2．已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【详解】（1）任取，且， 则， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 3．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 考点二 函数单调性的判断 4．已知定义在R上的函数，集合，那么“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题设，结合函数单调性的定义、充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】若，则，由， 任取，且， 由于，则， 而，则，所以在上单调递减，充分性成立； 若在上单调递减，取，满足在上单调递减， 也满足，而此时，必要性不成立. 则“”是“在上单调递减”的充分而不必要条件. 故选：A. 5．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 6．函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质作出函数图象，即可得函数单调区间. 【详解】函数的图象即为的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变， 据此可得函数的图象，如图所示： 由图可知函数的单调递减区间是. 7.函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 8.函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性以及单调性的性质分析判断函数单调性. 【详解】因为， 令，解得或， 可知的定义域为， 又因为在定义域内单调递增，在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递增，在内单调递减， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递增，在内单调递增， 则在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为． 9.求函数的单调区间，并指出其值域 【答案】单调递增区间为和，递减区间为和，值域为. 【分析】去绝对值，对函数进行分段，然后作出图像，根据函数图像确定单调区间及值域. 【详解】 即 图象如图所示 由图象知，函数在和上是增函数， 在和上是减函数,, 所以函数的单调递增区间为和， 递减区间为和， 值域为. 考点三 由函数的单调性求参 10.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 11．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 12．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ，解得. 故选：A. 13．若函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由复合函数的区间单调性及定义域列不等式求参数范围. 【详解】因为在上单调递减， 所以，故． 故答案为： 14．已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将函数进行变形，然后根据函数的单调增区间来确定实数a的取值范围. 【详解】因为， 结合复合函数的增减性，再根据在区间上为增函数， 可得在区间上为增函数， 那么，即. 考点四 函数单调性的应用 15.已知，点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】二次函数，其图象的对称轴方程为， 而，所以，即， 当时，是单调增函数， 因为，所以，所以，即， 综上，． 故选：D． 16.，其中，若，则得取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    画出函数的图像， 当时，， , 即， 同理：当时，也可得， 所以的图像的图像关于对称； 所以等价于， 即， 解得：或， 又，所以得取值范围是， 故选：B 17．设函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析函数的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为，， 作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是增函数． 又因为，所以，即，解得， 所以实数的取值范围是． 18．已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次函数性质得，即，即，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴直线方程为， 则原函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 由， 得，即， 两边平方后，再通过移项和平方差公式 化简得， 而， 所以， 得． 19.已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】按函数图象对称轴与区间关系分类求出函数最小值，进而建立不等式求解. 【详解】函数图象的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，解得，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 20.已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 21.已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【详解】（1）要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. （2）是减函数. 证明如下： 设，且， 则. 因为，所以.所以. 所以，即. 所以是减函数. （3）函数的定义域为， 要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得， 即，解得或. 综上得或. 所以不等式的解集为或. 22.已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； (3)当时，比较与的次小. 【详解】（1）当时，，对称轴为直线， 在上为减函数，在上为增函数， ， 故函数的值域为. （2）函数，对称轴为直线， 当函数在上是单调增函数时，，， 当函数在上是单调减函数时，，， 综上得，实数的取值范围为. （3）当时，，对称轴为直线， 在上为减函数，在上为增函数，且， ∵， ∴，故. 考点五 函数奇偶性的判断与证明 23．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性. 【详解】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为， 因为，所以为偶函数. （3）的定义域为， 因为，且， 所以为非奇非偶函数. 24．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【分析】根据奇偶性的定义逐一判断即可 【详解】（1）因为 所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵，∴是偶函数． （3）当时，，则， 当时，，则． 综上，对，都有． ∴为奇函数. 25.已知函数， (1)判断函数的奇偶性； (2)若且，求函数在区间上的最大值． 【详解】（1）①当时，． 由知为奇函数． ②当时，,而，故为非奇非偶函数； （2）， ①当时，有在上单调递增， ． ②当时，有在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以． ． 当时，,所以； 当时，,所以． ③当时，有，在上单调递增， 在上单调递减，此时． ④当时，有，在上单调递增， 此时． 综上所述，当时， 考点六 利用函数的奇偶性求参 26.已知函数是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 27.若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 28.设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，带入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 29.已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，不妨设，列出方程，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以. 考点七 函数奇偶性的应用 30.已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则，且函数是上的奇函数， 可得， 即，作出函数的图象， 由图象可知在定义域上单调递增， 若，则，解得， 所以实数x的取值范围是. 故选：C. 31.(多选)已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 32．已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为 . 【答案】 【分析】由奇函数的性质求解即可； 【详解】当时，则， 由奇函数性质知， 所以. 33．已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ， ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 考点八 函数奇偶性与单调性的综合 34．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 35．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知偶函数的定义域为，对于任意均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在单调递减，又函数为偶函数，且 所以不等式等价于,即，解之即可. 【详解】因为的定义域为，且对于任意均有， 所以在单调递减， 又函数为偶函数，且 由，得，等价于， 所以， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是：， 故选：B. 36．（多选）已知函数的图象过点，则（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．当时，函数的最大值为 【答案】BD 【分析】对于选项A：将点代入函数中解出即可；对于选项B：利用函数的奇偶性验证即可; 对于选项C：结合对勾函数的单调性即可判断；对于选项D：借助基本不等式求解即可. 【详解】对于选项A：将点代入，可得，解得，故选项A错误； 对于选项B：由选项A得，其定义域为， 则关于原点对称，且，故是奇函数，故选项B正确； 对于选项C：由对勾函数的性质得在上单调递增，在上单调递减，故选项C错误； 对于选项D：当时，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最大值为，故选项D正确． 故选：BD. 37.已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 【详解】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 38.已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 【详解】（1）因为函数是上的偶函数， 所以有， 因为，所以； （2）由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，即， ， 因为，所以， 所以函数在区间上单调递增； （3）由（2）可知：函数在区间上单调递增， 而函数是偶函数，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以在上的值域为， 由恒成立，即， 也就是， 则，得， 所以的取值范围为. 考点九 函数的周期性（拓展） 39．定义在上的函数的周期为4，且满足，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用周期函数的性质求出函数值. 【详解】对于，令，得， 又定义在上的函数的周期为4，所以，所以， 所以. 故选：C 40．设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】利用函数的周期性与奇偶性，可得，结合已知即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的周期为2的偶函数， 所以， 又当时，，所以， 所以. 41．若对常数和实数，等式恒成立，函数的一个周期为 . 【答案】 【分析】由可得，继而可得得到周期. 【详解】因为， 所以, 所以， 所以函数的一个周期为. 42．对任意都有，的图像关于对称，则 ． 【答案】0 【分析】由所给条件可得函数的周期及奇偶性，据此可求函数值. 【详解】因为， 所以， 所以可得，即， 所以函数周期为, 又的图像关于对称， 所以的图象关于对称，即为奇函数， 令，则由可得， 又，可得， 所以，即， 所以. 考点十 函数性质的综合应用 43．已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用为偶函数和的图象关于直线对称得依次得到和，进而求出函数是周期为6的周期函数，根据周期性即可分析求解. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得 ， 即对任意恒成立，则， 所以图象关于点对称， 又，所以，即， 所以，所以是周期为6的周期函数， 又当时，的图象关于直线对称， 所以当时，， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C 44．(多选)已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（    ）. A．的图象关于直线对称 B．是以4为周期的周期函数 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BC 【分析】由已知可判断是偶函数，是奇函数.由及是奇函数，可得，判断C对；由C及是偶函数可判断的周期为4，进而求和判断D错；由，可判断关于对称，A错；由，及是奇函数，可得，B对. 【详解】对于C，由①，得， 因为，所以，故②， ①＋②，得，所以的图象关于点对称， 且，故C正确； 对于D，因为关于对称，所以关于对称，所以偶函数， 所以， 所以， 故，所以的周期为4， 在中，令，得， 所以， 结合的周期性得，，， 所以，故D错误； 对于A，①－②，得， 所以， 所以的图象关于对称，而不是关于直线对称，故A错误； 对于B，由得， 因为是奇函数，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故B正确. 故选：BC. 45．(多选)已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．关于中心对称 D． 【答案】ACD 【分析】对A，令得或，令得，结合求得；对B，令，结合利用偶函数定义判断；对C，令得，即可判断；对D，由B、C的解析可得函数的周期为4，从而可判断D. 【详解】对于A，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故A正确； 对于B，令，得，即， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故B错误； 对于C，由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数关于中心对称，故C正确； 对于D，因为为偶函数，所以， 又由C选项得，即，得， 所以，故函数的周期为4， 因为， 所以一个周期的和为， 所以，故D正确. 故选：ACD 46．（多选）已知对任意，且，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ACD 【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值，函数的奇偶性、对称性和周期性，逐步推导函数的各项性质，以及利用这些性质进行求和，进而判断选项的正确性. 【详解】由题意得任意，，且， 令，则，则， 令，则，故A正确； 令，则， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 令，则， 由题意不恒为0，则， 即，故为奇函数， 又，则， 所以， 则是以2为周期的函数，所以，故B错误； 而，则， 所以，故D正确． 故选：ACD． 47.已知，若对任意的xR，恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】先分析函数的奇偶性与单调性，将转化为，利用单调性解不等式转化为恒成立，求解参数的取值范围即可. 【详解】由于，所以是上的奇函数， 当时，单调递增，由奇函数可知，在上单调递增， ， 由，所以， 所以恒成立，即， 当时，显然不满足题意； 所以，解得. 故实数的取值范围是. 48.已知函数是定义在上的正值函数，且．，当时，恒有．求证： (1)函数在上单调递增； (2)，恒有成立． 【分析】（1）利用题中已知条件，结合函数单调性的定义，设，只要证明出，则可得出函数为增函数. （2）利用反证法，假设存在使得成立，从而推导出矛盾结果，即可反向证明题干不等式恒成立. 【详解】（1）由题意得，设，则． 所以，所以，即函数在上单调递增． （2）①若存在，使得成立，则，故， 与是上的增函数矛盾． 所以对任意，恒有成立． ②若存在，使得成立，则， 又在上单调递增，所以， 所以． 所以，与矛盾． 故对任意，恒有成立． 综合①②知，对任意，恒有成立． 49．定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 【分析】（1）令代入关系式，结合已知求值，即可证； （2）令得到，再由已知得，则，结合（1）结论，即可证； （3）法一：应用作商法，法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. 【详解】（1）令，则，又，故； （2）令，则，即， 由题意，当时，则，有， 所以，又， 所以； （3）法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，， 所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又， 所以，即， 所以是增函数. 以，即在上为减函数. 50．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）函数在上的单调递减，理由如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 51．已知函数． (1)若，求函数在上的最小值. (2)若函数在上既有最大值又有最小值，试探究、分别满足的条件（结果用表示）． (3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据二次函数的图象和性质求解即可； （2）按的不同取值，结合二次函数的图象和性质讨论的单调性，进而即可求解； （3）由题意可得在上函数的图象应在的下方，当或时，结合函数图象检验不满足条件，当时，有，由此求得的范围即可. 【详解】（1）由题意可得， 若，则由二次函数的图象和性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，令解得， 所以当时，最小值为；当时，最小值为. （2）由（1）得当时，在上单调递增，在上既无最大值也无最小值. 当时， 在、上单调递减，在上单调递增， ，， 令，解得， 令，解得， 故在上既有最大值又有最小值，、需满足：，. （3）由（1）得， 不等式的解集为，若， 则在上函数的图象应在的下方， 当时，显然不符； 当时，的图象是把的图象向左平移个单位，结合图象可知其图象不可能在的图象下方； 当时，结合图象，要使在上，函数的图象应在的下方，只要即可， 即，化简得， 解得，故此时的范围为， 综上可得，的取值范围为. 考点十一 函数的新定义题 52．德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中假命题是 （ ） A．函数是奇函数 B．，， C．函数是偶函数 D．，， 【答案】A 【分析】取为有理数计算判断A；取计算判断B；求出，再利用奇偶性定义判断C；按是有理数、无理数计算判断D. 【详解】对于选项，若是有理数，则也是有理数，则，因此不是奇函数，故错误； 对于选项B，当时，， ，此时，故B正确； 对于选项C，若是有理数，则；若是无理数，，， ，又，则，因此，函数是偶函数，故正确； 对于选项D，若是有理数，，则均是有理数，则； 若是无理数，，则均是无理数，则， 因此，故D正确. 故选：A. 53．（多选）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （      ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【分析】根据题意作出的函数图像，利用图像即可判断ABD，先求，再利用图像即可解，进而判断C. 【详解】作出函数的图象， 如图： 对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确; 对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确; 对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误. 故选：BC. 54．俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． (1)函数，求的“偏差”； (2)函数，若的“偏差”为2，求的值； (3)函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为3； （2），利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值得到的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得. 【详解】（1）（1）， 因为，所以， 则， 所以函数与的“偏差”为. （2）令， ∵，∴是单调减函数，∴ 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍） 所以 （3）， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 55．定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）． (1)判断是否为“型函数”？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围． 【分析】（1）分别求函数在和时函数值的范围，再结合定义，即可判断； （2）根据的定义域求的取值范围，结合“型函数”的定义以及函数的单调性求得的取值范围； （3）对进行分类讨论，根据函数的单调性分别求两段函数的范围，再结合“型函数”的定义，即可求解. 【详解】（1）函数，当时，，当时，， 当时，，不存在，使， 所以不是“型函数”； （2）首先函数的定义域为，则，得， 由复合函数单调性可知，函数在单调递减，在区间单调递增， 所以只需对任意恒成立即可， 所以； （3）函数是“型函数”， 当时，在上单调递增，， 而，要使存在且唯一，则有，解得：， 所以， 当时，在单调递减，在单调递增，所以， 而，要使存在且唯一，则有， 设，即，解得， 解得： 所以. 1．（2023·山东济南高一下竞赛）已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（ ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】对恒成立问题，可以任取自变量的值，式子均成立．围绕已知条件，通过，得到方程组求解即可． 【详解】由条件对任意实数，都有，知成立 当时，有成立，成立， ，① ,② 由①②可得，,. 故选：B． 2．（2024·厦门大学强基计划），若对任意，恒成立，则ab可能的最值为（    ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【分析】转化为，根据二次函数配方求最值，再分析等号成立条件即可得解. 【详解】因为， 所以， 故， 当，，即或时， 也即或时等号成立. 故选：D 3．（第十一届“枫叶新希望杯”高一竞赛）已知函数的定义域为，对任意的，都有成立，则函数的奇偶性是（     ）. A．既奇又偶 B．非奇非偶 C．奇非偶 D．偶非奇 【答案】D 【分析】由奇偶函数的定义求解即可. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 令，则有，即. 再令，有， 进而是偶函数. 故选：D. 4．（2025·山东青岛高二下竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据为奇函数，得，然后根据为偶函数，得，然后通过对进行赋值进行求解即可. 【详解】由于为奇函数，可得：， 令，得：，解得：； 又为偶函数，则， 令，得：. 故选：A 5．（第十一届“枫叶新希望杯”高一竞赛）已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件“对任意，都有”，说明函数在上单调递减.然后，利用函数是偶函数的性质，，再结合单调性比较函数值的大小. 【详解】对任意，都有. 不妨设，则，因为， 所以，即.函数在单调递减. 因为是偶函数，所以. 又因为函数在上单调递减，所以，即. 故选：A. 6．（202·全国“英才杯”竞赛）已知与轴有四个不同的非零交点，且每相邻两个交点之间的距离都相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性得到，然后列方程得到，最后求即可. 【详解】设四个非零交点的横坐标自左到右为， 由题意得函数为偶函数， 所以，所以， 所以， 则，即， 所以. 故选：C. 7．（2023·海南“衍林杯”高一竞赛）若函数，则对于满足的任意实数，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】（解法1）根据函数解析式，结合定义域判断函数的单调性，进而判断函数在上是函数值为正的增函数，从而可得，即可得出； （解法2）根据函数解析式得出函数在上的图象是圆的四分之一（右上方），画出函数图像，判断斜率有，即可得出； （解法3）排除法判断即可. 【详解】（解法1）易知函数在上是函数值为正的减函数， 所以函数在上是函数值为正的增函数，得在上是函数值为正的增函数， 所以，即， （解法2）令，即， 两边平方有，由此可得， 函数在上的图象是圆的四分之一（右上方）， 画出图形后，运用斜率可得，即， （解法3）选项D显然不对，否则是常函数. 让，，得， 由此排除B，C，故只能A正确， 故选：A 8．（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，结合函数的周期性，即可求得答案. 【详解】由题意知函数的定义域为，且，， 令，则，即，故为偶函数； 又，令，则， 又由，得， 即的图象关于点成中心对称，则； ，即，又结合为偶函数， 则，故，即4为的周期， 故， 故 ， 故选：D 【点睛】方法点睛：（1）涉及到抽象函数的求值问题，一般利用赋值法，即令x取特殊值，求得函数值；（2）涉及抽象函数的奇偶性、单调性、对称性以及周期性问题，往往利用变量代换结合相关定义进行推导. 9．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性的定义和性质以及利用反证法证明不等式，结合选项先证明，再根据，可得，构造函数，根据函数单调性即可得出结论. 【详解】得到， 因为单调递增，所以不恒等于，故， 因为在上单调递增，故， 若存在使得，则， 则恒等于1，与单调递增矛盾，故， ，若存在，使得 因为连续，，故存在，使得， 与上述矛盾，故, 对于本题，，当且仅当时取等， 因为单调递增，故不取等号，即 当时，有，即， 当时，令，, 因为单调递减，所以单调递增， 因为，所以，单调递增， 因为，， 所以，所以. 综上所述. 故选：D. 10．（多选）（2024·河南灵宝市精英对抗赛）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在定义域内单调递增 C．有2个零点 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，导数与函数的单调性的关系，以及零点的求法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得定义域为关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数，所以A正确； 对于B中，由，所以为单调递增函数， 所以函数在，单调递增，所以B错误； 对于C中，令，即，解得，所以C正确； 对于D中，例如：当时，，所以D不正确. 故选：AC. 11．（2023·浙江温州高一竞赛）已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.若 恒成立，则实数的取值可能是（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】等价于恒成立，当时，函数的解析式进行去绝对值，所以讨论和的情况，再根据函数是奇函数，得到时的解析式或图像，结合图像得到的取值范围. 【详解】因为等价于恒成立. 当时，. 若，则当时，. 因为是奇函数，所以当时，，则，则. 综上，，此时为增函数，则恒成立. 若，当时，； 当时，； 当时，. 即当时，函数的最小值为，由于函数是定义在上的奇函数， 当时，函数的最大值为，作出函数的图像如图： 故函数的图像不能在函数的图像的上方，结合图像可得，即，求得.综上，. 故选：AC. 12．（2023·安徽高一上竞赛）若函数对于都有，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数图象的对称中心，再求出函数的所有零点，求出解析式即可得解. 【详解】由对于都有，得函数图象的对称中心为， 显然，则，于是， 因此，所以. 13．（2023·安徽高一上竞赛）设点，，点是函数图象上一点，则面积的最小值为 . 【答案】 【分析】设，表达出，利用基本不等式求出最小值. 【详解】如图所示，设， ， 因为，所以，当且仅当时取等号， 此时面积的最小值为. 14．（2025·中国科技大学强基计划）已知，的值域为，则所有可能值为 ． 【答案】 【分析】首先得，分和两种情况讨论，在时，可对进一步分类讨论得函数单调性、值域情况，从而可列方程组求解，同理可得时的情况. 【详解】的对称轴为，开口向下， 在上单调递增，在上单调递减， 由题意，所以， 情形一：若， （i）当，可得值域为， 所以，可得,不合题意； 若，可得值域为， 所以，方程组无解， 若，时，可得在处取得最大值， 最小值在或处取得， 所以，解得， 若，可得（舍去，因为与矛盾）， 若，即，解得，（舍去，因为与矛盾）， 所以， 情形二：若，则，可得,不合题意. 15．（2024·南京大学强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值. 【详解】恒成立， ， ，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 16．（第十一届全国“枫叶新希望杯”高一竞赛）已知函数 ，若互不相等的实数满足 ，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式作出函数的图象，利用函数的对称性及不等式的性质即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图所示 不妨设，则关于直线对称，故， 且满足， 则的取值范围为； 即． 17．（2025·东南大学强基计划）设是定义在上的单调函数，满足，求的值． 【答案】 【分析】设，构造函数赋值法计算得出或，结合函数值排除求解即可. 【详解】设，所以，所以， 所以，所以或， 当时，，在定义域内单调递增，所以，符合题意； 当时，，，不符合题意； 所以. 18．（2024·安徽阜阳高一竞赛）已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，从而得到关于、的方程组，解得即可； （2）按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可； （3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得. 【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，且， 所以， 所以，解得，即． 经检验，是奇函数，满足题意，所以. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递减． 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递增． （3）由题意知， 令，则， 由（2）可知函数在上单调递减， ∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的，都有恒成立， ∴， 即，解得， 又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为． 19．（第十届全国“枫叶新希望杯”高一竞赛）函数向右平移1个单位，向上平移16个单位后得到函数，已知的函数图象与轴的一个交点坐标为，且整除. (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）先设，然后根据整除求出，根据求出，然后将其平移还原可得函数的解析式； （2）将恒成立问题转化为最值问题，利用判别式求解即可.. 【详解】（1）的函数图象与轴的一个交点坐标为， ，其中是与轴的另一个交点的横坐标. 又整除， 所以是方程的一个解，， 则，即5，进一步有. 已知，那么可得，函数. 而的函数图象是由函数向右平移1个单位，向上平移16个单位后得到， 则； （2）对任意的，都有恒成立， 当时，，成立，满足条件； 当时，恒成立，则，解得； 当时，恒成立，则，解得， 综上所述实数的取值范围为. 20．（第十四届全国“枫叶新希望杯”高一竞赛）已知函数且． (1)就的取值情况，讨论关于的方程在上的解的个数； (2)若可变动的实数满足，求的最小值． 【分析】（1）先求得在上的单调性，进而求得关于的方程在上的解的个数； （2）先利用题给条件求得的取值范围，再利用的单调性，即可求得的最小值． 【详解】（1）由可得， ， 设，， 所以. 因为曲线在上递减，在上递增， 即在上递增，在上递减， 也即在上递增，在上递减. 因为，所以 ①当或时，关于的方程在上无解； ②当时，关于的方程在上有一个解； ③当时，关于的方程在上有两个解. （2）因为， 所以，所以 因为，所以， 解得（当且仅当时取“=”）. 因为在上是增函数， 所以的最小值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$