专题07 指数运算（竞赛培优专项训练）高一数学人教A版2019全国通用

专题07指数运算 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 由根式的意义求范围 3 考点二 根式的化简与求值 3 考点三 分数指数幂与根式的互化 3 考点四 指数幂的运算 4 考点五 条件求值问题 5 考点六 等式的证明 6 考点七 幂的综合应用问题 7 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题12道） 【归纳重点知识】 知识点01 根式 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 知识点02 分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是；正数的负分数指数幂的意义是，且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义． 知识点03 有理数指数幂的运算 1.有理数指数幂的运算性质 ，则有： （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 2．指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先进行指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质． 在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 知识点04 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【注意事项】 无理数指数幂的两注意 (1)它是一个确定的实数；(2)它是有理数指数幂无限逼近的结果． 【熟记重要结论（二级结论）】 1.有关根式的两个重要等式 （1）当且时，； （2）. 2．化简指数幂常用的技巧 (1)－p＝p(ab≠0)； (2)a＝m，a＝n(式子有意义)； (3)1的代换，如1＝a－1a,1＝aa等； (4)乘法公式的常见变形，如(a＋b)(a－b)＝a－b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)(a∓ab＋b)＝a±b. 考点一 由根式的意义求范围 1．若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 2．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 4．使得等式成立的实数a的值为 ． 5．满足方程的实数解的个数为 . 考点二 根式的化简与求值 6．的分数指数幂表示为（　　） A． B． C． D．都不对 7．已知，则（   ） A． B．1 C． D． 8．计算的结果是 A． B． C． D． 9．（   ） A． B． C． D． 10．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．设，，则化简为 . 考点三 分数指数幂与根式的互化 12．下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 13．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 14．已知函数，则 ． 15．经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 16．将写成分数指数幂的形式为 ． 考点四 指数幂的运算 17．（多选）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 18．化简 (a，b＞0)的结果是(　　) A． B．ab C． D．a2b 19．已知，则关于的表达式 ． 20．已知，则 ． 21．计算下列各式： (1)； (2)． 22．计算： (1) (2) 考点五 条件求值问题 23．设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 24．若，则 25．已知，则 ． 26．若，则 ． 27.（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 28．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 考点六 等式的证明 29．证明下列恒等式. (1)(·(·(=1(a>0); (2)··=1(m>0). 30.已知ax3＝by3＝cz3，及＋＋＝1，求证(ax2＋by2＋cz2)＝a＋b＋c. 31．已知求证：. 考点七 幂的综合应用问题 32．从解决一元二次方程到解决一元三次方程，人类历经数千年，直到公元16世纪，意大利数学家费罗（1465－1526）、塔尔塔利亚（1500－1557）等人出现，人们才彻底掌握实系数的一元三次方程的求根公式．其过程是先发现了形如的三次方程的求解方法，再将一般形式的一元三次方程转化为形如的三次方程．求解形如的三次方程的具体方法是利用恒等式，作变换：，转化为关于，的二次方程就可以得到，的值，进而求出未知数的值．利用此方法求解方程的解为（    ） A． B． C． D． 33．已知f(x)=,g(x)=. (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(已知y=在R上是增函数) (2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明. 34.已知f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x(a>1). (1)求[f(x)]2-[g(x)]2的值; (2)设f(x)·f(y)=4,g(x)·g(y)=8,求的值. 35．对于正整数和非零实数，有，求的值． 1．（2023北京大学U-Test试题）方程组的实数解的组数是（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 2．（第四届全国“枫叶新希望杯”数学竞赛）正数与正整数满足：，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·安徽芜湖竞赛） ． 4．（2025·河南驻马店一中竞赛），求 ． 5．（2023·安徽芜湖一中竞赛）已知，则的取值可能是 ． 6．（2024·湖南邵阳竞赛）（1）计算： （2）已知，，求的值． 7．（2024·山东潍坊高一上竞赛）（1）计算：. 8．(2024·湖南邵阳竞赛)． 9．（2024·安徽阜阳一中数学竞赛节选）（1）计算：； （2）解不等式： ；        10．（2023·山东滨州竞赛）若，求的值. 11．（2024·第四届全国英才杯竞赛）若、都是实数，且，求的值. 12．（第六届全国“枫叶新希望杯“竞赛）已知函数，当时，. (1)求的值； (2)已知，求的详解式. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07指数运算 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 由根式的意义求范围 3 考点二 根式的化简与求值 4 考点三 分数指数幂与根式的互化 6 考点四 指数幂的运算 7 考点五 条件求值问题 9 考点六 等式的证明 11 考点七 幂的综合应用问题 13 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题12道） 【归纳重点知识】 知识点01 根式 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 知识点02 分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是；正数的负分数指数幂的意义是，且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义． 知识点03 有理数指数幂的运算 1.有理数指数幂的运算性质 ，则有： （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 2．指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先进行指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质． 在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 知识点04 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【注意事项】 无理数指数幂的两注意 (1)它是一个确定的实数；(2)它是有理数指数幂无限逼近的结果． 【熟记重要结论（二级结论）】 1.有关根式的两个重要等式 （1）当且时，； （2）. 2．化简指数幂常用的技巧 (1)－p＝p(ab≠0)； (2)a＝m，a＝n(式子有意义)； (3)1的代换，如1＝a－1a,1＝aa等； (4)乘法公式的常见变形，如(a＋b)(a－b)＝a－b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)(a∓ab＋b)＝a±b. 考点一 由根式的意义求范围 1．若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由题意利用根式的性质得到关于x,y的不等式组，然后确定x,y的符号即可. 【详解】，，．由 ，得 . 故选C. 2．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 可得，即．实数的取值范围是． 故选：． 3．求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 4．使得等式成立的实数a的值为 ． 【答案】8 【详解】由题意可得，，所以，故. 设，则. 解得，或（舍），或（舍） 所以 所以 5．满足方程的实数解的个数为 . 【答案】无数个 【详解】设，则 方程化为 即，即 当时，则，解得 当时，则恒成立，即满足方程. 当时，则，解得 所以满足方程，即，解得 故满足方程的实数解的个数为无数个 考点二 根式的化简与求值 6．的分数指数幂表示为（　　） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【分析】把根式化为分数指数幂运算即可． 【详解】原式，故选A. 7．已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 8．计算的结果是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 9．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式和指数的运算法则计算即可. 【详解】. 故选：C. 10．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， ，， ， . . 又，， 11．设，，则化简为 . 【答案】 【详解】由于，，所以 考点三 分数指数幂与根式的互化 12．下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项. 【详解】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 13．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可. 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B错误； C中，（），故C正确； D中，（），故D错误． 故选：C． 14．已知函数，则 ． 【答案】/-0.5 【详解】因为，所以将代入中，可得 因为，所以将代入中，可得. 15．经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 【答案】 【详解】依题意，，而， 则，而，解得， 所以. 16．将写成分数指数幂的形式为 ． 【答案】 【详解】解：原式 . 考点四 指数幂的运算 17．（多选）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，方法一（由内向外化）． 方法二（由外向内化）．故D正确. 故选:AD. 18．化简 (a，b＞0)的结果是(　　) A． B．ab C． D．a2b 【答案】C 【详解】由分数指数幂的运算法则可得： 原式. 19．已知，则关于的表达式 ． 【答案】4 【分析】将根式转化为分数指数幂，结合指数幂运算性质计算即可. 【详解】原式， 20．已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 21．计算下列各式： (1)； (2)． 【详解】（1）原式． （2）原式． 22．计算： (1) (2) 【详解】（1） ． （2）原式． 考点五 条件求值问题 23．设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】由题可知，，然后可得即可求解. 【详解】，，， 即，又均为不等于1的正数， 所以. 故选：C. 24．若，则 【答案】 【详解】由于，故. 这就意味着，从而. 故答案为： 25．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合平方关系可得，，代入即可得结果. 【详解】因为，两边同时平方得，即， 对两边同时平方得，即， 所以． 26．若，则 ． 【答案】 【分析】先由立方差公式化简，再代入已知计算. 【详解】已知，则， 将所求式进行化简，， 则． 27.（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 【详解】（1） ； （2），∴， （3）由，得，， 所以. 28．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【分析】（1）由根式与指数关系及有理数指数幂的运算性质化简求值； （2）将目标式化为，再代入求值； （3）由已知及指数幂运算得、，代入目标式求值. 【详解】（1）原式； （2）由，， 则； （3）由于，则， 所以，， 所以. 考点六 等式的证明 29．证明下列恒等式. (1)(·(·(=1(a>0); (2)··=1(m>0). 【分析】本题主要考查分数指数幂与根式的化简,同一道题中幂的底数均相同,这样就为应用运算性质提供了必备的条件,可用到的性质有(xm)n=xmn,xm·xn=xm+n及=(x>0,m,n∈R). 【证明】(1)左边=·· = ==a0=1=右边, ∴等式成立. (2)左边=·· = ==m0=1=右边, ∴等式成立. 30.已知ax3＝by3＝cz3，及＋＋＝1，求证(ax2＋by2＋cz2)＝a＋b＋c. 【分析】本题考查分数指数幂的内容和证明的有关知识，以及利用“参数法”解决问题的能力，根据已知条件ax3＝by3＝cz3，设一个参数t，用含有t的式子表示ax2＋by2＋cz2与a＋b＋c，从而找到(ax2＋by2＋cz2)与a＋b＋c的关系，这也是解决本题的关键． 【详解】令ax3＝by3＝cz3＝t， 则ax2＝，by2＝，cz2＝，ax＝by＝cz＝t， ∴(ax2＋by2＋cz2)＝＝t. 又＋＋＝1，∴(ax2＋by2＋cz2)＝t.(5分) 由ax＝by＝cz＝t，得a＝，b＝，c＝， ∴a＋b＋c＝＋＋＝t＝t. ∴(ax2＋by2＋cz2)＝a＋b＋c. 31．已知求证：. 【证明】（1） （2） 又 由（1）（2）知 . 考点七 幂的综合应用问题 32．从解决一元二次方程到解决一元三次方程，人类历经数千年，直到公元16世纪，意大利数学家费罗（1465－1526）、塔尔塔利亚（1500－1557）等人出现，人们才彻底掌握实系数的一元三次方程的求根公式．其过程是先发现了形如的三次方程的求解方法，再将一般形式的一元三次方程转化为形如的三次方程．求解形如的三次方程的具体方法是利用恒等式，作变换：，转化为关于，的二次方程就可以得到，的值，进而求出未知数的值．利用此方法求解方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则根据题意的，解方程得到的值，然后还原成即可. 【详解】因为， 令，则， 即 依题意 即， 所以， 整理得,即 解得或 当时，，即； 当时，，即 所以. 故选：B. 33．已知f(x)=,g(x)=. (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(已知y=在R上是增函数) (2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明. 【分析】利用函数单调性的定义证明;(2)由特殊到一般,得到猜想,再利用幂的运算性质进行证明. 【详解】(1)证明:任取x1>x2>0,∵y=在R上是增函数,∴>. 又∵(x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)=(--+) =(-)[1+(x1x2]>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)经计算知f(4)-5f(2)g(2)=0, f(9)-5f(3)g(3)=0, 由此猜想:f(x2)-5f(x)g(x)=0. 证明: f(x2)-5f(x)g(x)=(-)-(+)(-)=(-)-(-)=0. 【点拨】本题第(2)问所用方法为归纳法，归纳法解题的一般步骤为：(1)对特殊现象进行观察、分析、归纳、整理；（2）提出带有规律性的一般结论，即猜想；（3）检验或证明猜想. 34.已知f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x(a>1). (1)求[f(x)]2-[g(x)]2的值; (2)设f(x)·f(y)=4,g(x)·g(y)=8,求的值. 【详解】(1)[f(x)]2-[g(x)]2 =(ax-a-x)2-(ax+a-x)2 =2ax·(-2a-x) =-4. (2)∵f(x)·f(y)=4, ∴(ax-a-x)(ay-a-y)=4, ∴ax+y+a-(x+y)-ax-y-ay-x=4, 即g(x+y)-g(x-y)=4①. ∵g(x)·g(y)=8, ∴(ax+a-x)·(ay+a-y)=8, ∴ax+y+a-(x+y)+ax-y+ay-x=8, 即g(x+y)+g(x-y)=8②. 由①②得g(x+y)=6,g(x-y)=2, ∴=3. 35．对于正整数和非零实数，有，求的值． 【分析】由得，从而，可求的值. 【详解】，且为非零实数，． 同理可得，即． 又为正整数，且由题意可知， ． ． 1．（2023北京大学U-Test试题）方程组的实数解的组数是（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【分析】根据底数分类讨论后可求方程组的解的个数. 【详解】当时，此时，即，又，； 当时，原方程组可化为，； 当且时，由可得， 即，所以， 因为，所以对应， 因为没有意义，所以或， 因此所有的实数解为，共有4组． 故选：B. 2．（第四届全国“枫叶新希望杯”数学竞赛）正数与正整数满足：，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于正数与正整数，已知条件结合指数式的性质可得均大于1，由，有，可得. 【详解】由，，，，均大于1， 一方面，， 另一方面，， ，， 即，，， 综上，． 故选：A 3．（2023·安徽芜湖竞赛） ． 【答案】 【分析】根据立方差公式与根式的性质可求出结果. 【详解】 . 4．（2025·河南驻马店一中竞赛），求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 5．（2023·安徽芜湖一中竞赛）已知，则的取值可能是 ． 【答案】2或或0 【分析】讨论指数式的底数，结合指数运算性质求的取值. 【详解】因为， 当，即时，，满足要求， 当，即时，，满足要求， 当且时，由可得， 所以， 所以的取值可能是2或或0， 6．（2024·湖南邵阳竞赛）（1）计算： （2）已知，，求的值． 【详解】（1）原式 ； （2）由、， 则， 故 . 7．（2024·山东潍坊高一上竞赛）（1）计算：. 【详解】（1） . 8．(2024·湖南邵阳竞赛)． 【详解】 . 9．（2024·安徽阜阳一中数学竞赛节选）（1）计算：； （2）解不等式： ；        【详解】（1） . （2）由可得；， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 10．（2023·山东滨州竞赛）若，求的值. 【分析】平方可得，再次平方可得.然后根据立方和公式展开，代入即可得出答案. 【详解】因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以，. 又， 所以，， 所以，. 11．（2024·第四届全国英才杯竞赛）若、都是实数，且，求的值. 【详解】因为，所以， 则， 设, 则，，， 将代入，得， 整理得，所以，代入得， 则，解得或， 当时， ， 当时， . 12．（第六届全国“枫叶新希望杯“竞赛）已知函数，当时，. (1)求的值； (2)已知，求的详解式. 【分析】（1）根据，且代入求解即可 （2）利用，且，利用倒序相加法求解即可 【详解】（1）， 即 ， ， ，当且仅当，即取等号， 又，. （2）由， 得 ， 又当时， 所以两式相加可得 ， 所以 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $