专题03 函数与性质-2022-2023学年高一数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

第3讲 高一学科素养能力竞赛函数与性质专题训练 【题型目录】 模块一：易错试题精选 模块二：培优试题精选 模块三：全国高中数学联赛试题精选 【典例例题】 模块一：易错试题精选 【例1】若函数的定义域为，且函数的定义域为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数的定义域是，所以，所以，所以函数的定义域为，函数的定义域为，相当于当时，的值域为，由的图象可得的取值范围是为 【例2】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先由对数函数的定义域得到在R上恒成立，再由判别式求出实数a的取值范围即可. 【详解】根据条件可知在R上恒成立，则，且，解得，故a的取值范围是. 故答案为：. 【例3】函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】分析可知为函数的值域的子集，分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】解：由题可知，函数的值域为， 令，由题意可知为函数的值域的子集. ①当时，，此时， 函数的值域为，合乎题意； ②当时，若为函数的值域的子集， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：． 【例4】函数不恒为零，且满足，若，则 A．0 B．-2 C．2 D．4 【答案】A 【详解】令 ，则原式变为， 所以或者，当时，令得到，所以，不满足题意舍去，所以 令 ，可得，所以 令 ，可得，所以 所以 【例5】已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在原等式中把与互换后用解方程组的方法求得． 【详解】∵，①， ∴，② ①②联立方程组可解得（）． 故选：B． 【例6】已知函数是偶函数，且则 【答案】 【详解】设，因为为偶函数，所以，即，所以 【例7】已知是定义在上的奇函数，当时，，则___________，在上的解析式为___________. 【答案】， 【详解】 设，则，所以 又因是定义域上的奇函数，所以，所以， 所以 当时，，所以 【例8】已知函数，则=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【详解】，设，则为奇函数，所以，所以，，因，所以 【例9】设函数，则使得成立的的取值范围是 （A） （B）（C）（D） 【答案】A 【解析】因为函数，所以是定义在上的偶函数，在上是单调递增的，，又因在上递增，所以，解得 【例10】已知函数，当，，且时，，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为当，，且时，， 所以在定义域内为单调减函数，因此，解得：， 所以实数的取值范围是.故选：C. 【例11】若是定义域为上的单调递减函数，且对任意实数都有无理数，则（ ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】因是定义域为上的单调递减函数，所以为定值，设，由题意知，又因，令，得，所以，所以，所以 【例12】设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（　　） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递增 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在 单调递增 【答案】B 【分析】先求出的定义域结合奇偶函数的定义判断的奇偶性，设t＝||，则y＝lnt，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出答案. 【详解】解：由，得x≠±． 又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x）， ∴f（x）为奇函数， 由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||， ∵11． 可得内层函数t＝||的图象如图， 在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增， 又对数式y＝是定义域内的增函数， 由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增， 在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减． 故选：B． 【例13】函数在上是减函数,则实数的取值范围为________. 【答案】 【详解】令，则，因为的对称轴为，由题意知在内递减，所以在上为增函数，所以，解得，又在上恒大于0，所以，即． 综上，实数a的取值范围是：．故答案为：. 【例14】已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为_________ 【答案】 【详解】对任意，若都有成立，所以设，则在上为奇函数，且为增函数， 因，所以 ，所以，即，解得 【例15】设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______. 【答案】1 【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果 【详解】由题意知，（）， 设，则， 因为， 所以为奇函数，