专题12 奇偶性11种常见考法归类讲义（55题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题12 奇偶性11种常见考法归类（55题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数奇偶性的判断 考点二 分段函数奇偶性的判断 考点三 抽象函数的奇偶性 考点四 奇、偶函数的图象及应用 考点五 利用函数的奇偶性求值 考点六 利用函数的奇偶性求解析式 考点七 利用函数的奇偶性求参数值 考点八 利用函数的奇偶性求最值 考点九 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 考点十 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 考点十一 奇偶函数对称性的应用 知识点1：函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 注：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称． （2）理解函数的奇偶性应关注三点 ①函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数． ②若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0. ③若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集． 知识点2：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点3：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 策略方法 1、用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 2、函数的奇偶性与单调性 （1）若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． （2）若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 注：若奇函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么它在区间[－b，－a]∪[a，b]上不一定单调递增，如f(x)＝x在[0,2]上单调递增，则在[－2,0]∪[0,2]＝[－2,2]上也单调递增；而函数f(x)＝－在[1,3]上单调递增，但在[－3，－1]∪[1,3]上不单调递增． 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 4、判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 注：，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 5、巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． 4、利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 5、利用函数的奇偶性求解析式 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． (2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解． 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 6、比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 9、利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 考点一 函数奇偶性的判断 1．（25-26高三·北京·开学考试）下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 3．（2025·全国·模拟预测）已知定义在上的函数，则“”是“函数是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025高一·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 5．（2025高一·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 考点二 分段函数奇偶性的判断 6．（2025高一·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为 ① ② ③      ④ 7．（2025高一·上海·随堂练习）函数的奇偶性为 ． 考点三 抽象函数的奇偶性 8．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在上的不恒为零的函数，且， ①若对任意，总有，则是奇函数； ②若对任意，总有，则是偶函数； ③若对任意，总有，则； ④若对任意，总有，则； 则上述说法正确的是 .（填写序号） 9．（2025高一·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域关于原点对称，，且．求证：是奇函数． 11．（2025高一·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 12．（2025高一·河南·阶段练习）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 13．（2025高一·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 14．（2025高一·山西·期中）已知定义在上的函数满足：. (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，，判断并证明的单调性. 15．（2025高一·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 考点四 奇、偶函数的图象及应用 16．（2025高一·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 17．（25-26高一·全国·单元测试）函数在上的图象大致是（    ） A．B． C．D． 18．（2025高一·陕西西安·期末）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   19．（2025高一·海南省直辖县级单位·期中）函数的图象大致是（   ） A．B． C．D． 20．（2025高一·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 考点五 利用函数的奇偶性求值 21．（2025高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 22．（2025高一·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，则 ． 23．（2025高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的偶函数，则 . 24．（2025高一·湖南益阳·期末）已知函数 且， 则 ． 25．（2025高二·湖南邵阳·期中） 且，则等于 ． 考点六 利用函数的奇偶性求解析式 26．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 27．（2025高一·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 28．（2025高二·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 29．（2025高一·江苏无锡·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 考点七 利用函数的奇偶性求参数值 31．（25-26高一·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2025高二·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 33．（2025高一·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 34．（2025·江西景德镇·模拟预测）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 35．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 考点八 利用函数的奇偶性求最值 36．（2025高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 37．（2025高一·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 38．（2025高一·福建福州·期中）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 ． 39．（2025高一·上海·课后作业）设函数，则它的最大值与最小值的和为 . 40．（2025高二·湖南衡阳·期末）若为定义在R上的奇函数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为2 考点九 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 41．（2025高一·湖南永州·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（2025高一·安徽亳州·开学考试）定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 43．（2025高一·广东江门·期中）设偶函数 在区间 上单调递增， 则、的大小关系为： （用大于号连接）； 44．【多选】（2025高一·浙江杭州·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 45．（2025高一·海南海口·阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 考点十 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 46．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 47．（2025高一·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 48．（25-26高三·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 49．（25-26高三·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在上的函数满足：，且当时，．则关于的不等式的解集为 ． 50．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 考点十一 奇偶函数对称性的应用 51．（2025高三·全国·专题练习）研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （3）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （5）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （6）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （7）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （8）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （9）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （10）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （11）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （12）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （13）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是 ； （14）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是 ； （15）的图象关于直线 对称； （16）的图象关于点 对称． 52．（2025高一·江西上饶·阶段练习）已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为 . 53．【多选】（2025高一·内蒙古赤峰·阶段练习）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上为增函数 C． D． 54．（2025高一·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 55．（2025高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. $$【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题12 奇偶性11种常见考法归类（55题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数奇偶性的判断 考点二 分段函数奇偶性的判断 考点三 抽象函数的奇偶性 考点四 奇、偶函数的图象及应用 考点五 利用函数的奇偶性求值 考点六 利用函数的奇偶性求解析式 考点七 利用函数的奇偶性求参数值 考点八 利用函数的奇偶性求最值 考点九 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 考点十 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 考点十一 奇偶函数对称性的应用 知识点1：函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 注：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称． （2）理解函数的奇偶性应关注三点 ①函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数． ②若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0. ③若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集． 知识点2：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点3：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 策略方法 1、用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 2、函数的奇偶性与单调性 （1）若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． （2）若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 注：若奇函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么它在区间[－b，－a]∪[a，b]上不一定单调递增，如f(x)＝x在[0,2]上单调递增，则在[－2,0]∪[0,2]＝[－2,2]上也单调递增；而函数f(x)＝－在[1,3]上单调递增，但在[－3，－1]∪[1,3]上不单调递增． 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 4、判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 注：，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 5、巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． 4、利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 5、利用函数的奇偶性求解析式 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． (2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解． 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 6、比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 9、利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 考点一 函数奇偶性的判断 1．（25-26高三·北京·开学考试）下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性定义以及函数的单调性性质一一判断各选项，即可得答案. 【解析】对于A，的定义域为，且， 即为奇函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，且，函数为偶函数， 当时，，则函数在上为增函数，符合题意； 对于C，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于D，的定义域为R，， 即函数不是偶函数，不符合题意， 故选：B 2．（25-26高一·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【解析】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 3．（2025·全国·模拟预测）已知定义在上的函数，则“”是“函数是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由偶函数定义可判断“”与“函数是偶函数”的关系. 【解析】由“”，不能得到“函数是偶函数”， 由“函数是偶函数”可得“”， 则“”是“函数是偶函数”的必要不充分条件. 故选：B 4．（2025高一·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 【分析】（1）（2）（3）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 5．（2025高一·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 【答案】(1)既是奇函数又是偶函数； (2)偶函数. 【分析】（1）（2）根据奇偶性定义判断函数的奇偶性即可. 【解析】（1）由，得，即． 函数的定义域是，关于原点对称，且， 既是奇函数又是偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称． ， 是偶函数． 考点二 分段函数奇偶性的判断 6．（2025高一·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为 ① ② ③      ④ 【答案】①②④ 【分析】利用偶函数的定义逐一判断即得. 【解析】对于①，函数的定义域为， ，①是； 对于②，函数中，，解得， ，，②是； 对于③，中，，而，，③不是； 对于④，中，，当时，， ；当时，，， 因此，④是. 故答案为：①②④ 7．（2025高一·上海·随堂练习）函数的奇偶性为 ． 【答案】奇函数 【分析】作出函数图象，根据定义域和图象对称性判断即可. 【解析】作出函数图像如下图所示：    由函数图像可知，函数的图象关于原点中心对称， 又定义域为R，所以为奇函数. 故答案为：奇函数． 考点三 抽象函数的奇偶性 8．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在上的不恒为零的函数，且， ①若对任意，总有，则是奇函数； ②若对任意，总有，则是偶函数； ③若对任意，总有，则； ④若对任意，总有，则； 则上述说法正确的是 .（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】采用赋值法，对进行合适的赋值可推导函数值或之间的关系，进而确定各选项正误. 【解析】对于①，令得：；令得：，； 令得：，； 令得：，是奇函数，①正确； 对于②，令得：； 令得：， 是奇函数，②错误； 对于③，由①知：， 令，得：，又， ，③正确； 对于④，由②知：；令得：； 令，得：，； 令得：； 令，得：，； 令，得：，，④正确. 故答案为：①③④. 9．（2025高一·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 【答案】奇 【分析】根据奇偶函数的定义即可判断 【解析】因为是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以， 所以为奇函数， 故答案为：奇. 10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域关于原点对称，，且．求证：是奇函数． 【答案】证明见解析 【分析】结合题干抽象函数法则，利用赋值法得，根据奇函数的定义证明即可. 【解析】若函数的定义域包含0，不妨令，则， 即对定义域内任意恒成立， 记，则为常数，则函数为常数函数， 有，即，显然无解， 故函数的定义域关于原点对称且不包含0， 令得， 同理，令得， 故得到，所以是奇函数． 11．（2025高一·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【分析】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【解析】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 12．（2025高一·河南·阶段练习）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)是奇函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明. 【解析】（1）设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． （2）是奇函数． 证明如下：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以 ， 故是奇函数． 13．（2025高一·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）取计算出，再取即可； （2）取，再取计算出即可； （3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性. 【解析】（1）取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 14．（2025高一·山西·期中）已知定义在上的函数满足：. (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，，判断并证明的单调性. 【答案】(1)是奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）令求得，再令，则奇偶性定义得结论； （2）令求得，然后由奇偶性求得； （3）记，在上任取，作差，其中化为，再利用已知条件变形后即可根据定义证单调性． 【解析】（1）是奇函数，证明如下： 因为， 令，得到， 令，得到，即， 所以是奇函数； （2）令，得到， 由（1）知是奇函数，所以； （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则 ， 又因为，，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 15．（2025高一·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可； （2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明. 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 不妨令，得， 解得或， 又不存在，使得，故， 令，得， 故，即， 因此为奇函数； （2）时，， 则， 当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，则， 于是时，， 又为奇函数，则时，， 于是对， 任取，则， 而， 又，则， 于是，故， 因此在上单调递增； 【点睛】思路点睛：先赋值及结合奇函数定义可证明奇偶性；通过判定，再根据单调性的定义作差证明即可. 考点四 奇、偶函数的图象及应用 16．（2025高一·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用奇偶性定义判断函数奇偶性，结合的函数符号，应用排除法即可得. 【解析】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D； 当时，恒成立，排除B. 故选：A 17．（25-26高一·全国·单元测试）函数在上的图象大致是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点坐标判断即可. 【解析】令，的定义域为， ， 则是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项； 又，则排除选项A. 故选：B. 18．（2025高一·陕西西安·期末）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【解析】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，，所以，故排除D. 故选：C 19．（2025高一·海南省直辖县级单位·期中）函数的图象大致是（   ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】借助函数奇偶性与单调性，排除法即可得. 【解析】由可得定义域为， 又，故为偶函数，故可排除B， 当时，，则在上单调递增， 故可排除C、D. 故选：A. 20．（2025高一·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 【答案】(1)作图见解析； (2)递减区间为； (3). 【分析】（1）根据奇函数求解析式，结合图象关于原点对称，画出y轴右侧图象即可. （2）（3）根据（1）所得函数图象确定减区间及不等式的解集即可. 【解析】（1）由题图及是R上的奇函数， 若，则，故， 由，故，函数图象如下： （2）由（1）所得函数图象知：单调递减区间是； （3）由（1）所得函数图象知：使的取值集合为； 考点五 利用函数的奇偶性求值 21．（2025高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式结合奇函数的性质计算求解. 【解析】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为时，，所以， 则. 故答案为：. 22．（2025高一·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数性质及已知解析式求函数值即可. 【解析】由题设. 故答案为： 23．（2025高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的偶函数，则 . 【答案】4 【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解. 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以. 故答案为：4. 24．（2025高一·湖南益阳·期末）已知函数 且， 则 ． 【答案】 【分析】证明为奇函数，进而求得答案. 【解析】由，， 又，所以为奇函数， . 故答案为：. 25．（2025高二·湖南邵阳·期中） 且，则等于 ． 【答案】－16 【分析】构造函数，可得为奇函数，由得，从而可得结果. 【解析】令， 则， 由得， 由得，所以，则 所以， 故答案为：－16． 考点六 利用函数的奇偶性求解析式 26．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【解析】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 27．（2025高一·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【解析】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 28．（2025高二·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【解析】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C 29．（2025高一·江苏无锡·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质求得时函数的解析式，再利用基本不等式可求得答案。 【解析】∵函数为定义在上的奇函数， ∴，又当时，， ∴当时，，则， 又，∴当时，， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的取值范围为. 故答案为：B 30．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【解析】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 考点七 利用函数的奇偶性求参数值 31．（25-26高一·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 32．（2025高二·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解. 【解析】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 33．（2025高一·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【解析】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 34．（2025·江西景德镇·模拟预测）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解. 【解析】若为偶函数，则对任意的恒成立， 即， 所以对任意的恒成立，故； 若，则， 所以，故为偶函数， 所以为偶函数的充要条件为. 故选：B． 35．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据奇函数在原点处有意义则求出的值，再将的值代回原函数检验即可得解. 【解析】因为为奇函数，所以， 解得或. 当时，，，故不合题意，舍去； 当时，，，故符合题意. 故选：C. 考点八 利用函数的奇偶性求最值 36．（2025高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【解析】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 37．（2025高一·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】4 【分析】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，即可求得答案. 【解析】解：因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以． 故答案为：4． 38．（2025高一·福建福州·期中）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】化简得，令，则可得为奇函数，从而得，代入求解即可． 【解析】， 令，， 因为， 所以为奇函数，所以， 所以，， 又因为，所以， 所以． 故答案为：． 39．（2025高一·上海·课后作业）设函数，则它的最大值与最小值的和为 . 【答案】0 【分析】先证明是奇函数，再结合奇函数的性质即可得解. 【解析】因为的定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，不妨设， 则， 所以的最大值与最小值的和为0. 故答案为：0. 40．（2025高二·湖南衡阳·期末）若为定义在R上的奇函数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为2 【答案】B 【分析】利用奇偶性化简即可得解. 【解析】由为定义在R上的奇函数，得， 则，解得， 则的最小值为． 故选：B 考点九 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 41．（2025高一·湖南永州·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，即可求解. 【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数，可得， 又由当时，函数为单调递减函数，所以， 所以， 故选：A. 42．（2025高一·安徽亳州·开学考试）定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对任意的都有可得，再结合偶函数的性质即可求解. 【解析】因为对任意的都有， 所以，即，，即， 所以， 又因为是定义在上的偶函数，， 所以， 故选：A 43．（2025高一·广东江门·期中）设偶函数 在区间 上单调递增， 则、的大小关系为： （用大于号连接）； 【答案】； 【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性比较大小即可. 【解析】由偶函数性质可知， 又函数 在区间 上单调递增， 所以， 故答案为： 44．【多选】（2025高一·浙江杭州·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的奇偶性判断、的区间单调性及函数值的大小，结合单调性比较函数值的大小关系. 【解析】由是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 则在上单调递增，，故在R上单调递增， 所以，则，A对； 由是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 则在上单调递减，则， 综上，、，B错，C对； 若时，大小不定，D错. 故选：AC 45．（2025高一·海南海口·阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【解析】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减， 因为， 所以，即， 故选：C. 考点十 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 46．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【解析】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 47．（2025高一·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式. 【解析】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 48．（25-26高三·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得， 所以原不等式解集为. 故选：B 49．（25-26高三·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在上的函数满足：，且当时，．则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由条件结合奇函数的定义证明为奇函数，再结合单调性定义证明为减函数，利用函数性质化简不等式可得，结合一元二次不等式解法求结论. 【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为函数满足条件， 所以①，②， 由①可得， 所以，故， 所以函数为奇函数， 任取，且，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，故， 所以， 所以函数为减函数， 因为， 所以，又函数为奇函数， 所以，又函数为减函数， 所以，故 所以， 所以关于的不等式的解集为， 故答案为：. 50．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可 【解析】， 不等式可变形为，即， 函数是定义在上的偶函数，， 所以为偶函数，若函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 故答案为：． 考点十一 奇偶函数对称性的应用 51．（2025高三·全国·专题练习）研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （3）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （5）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （6）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （7）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （8）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （9）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （10）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （11）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （12）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （13）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是 ； （14）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是 ； （15）的图象关于直线 对称； （16）的图象关于点 对称． 【答案】 【分析】特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令，逐一验证即可求解； 严格推理的方法，利用对称性的定义验证，若，对称轴为，若，则对称中心为，逐一验证即可求解. 【解析】破招方法1：用特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令， （1）令，再令，则，所以图象的对称中心为． （2）若是奇函数，则，令，则，所以图象的对称中心为； （3）若是奇函数，则，令，则，所以，则图象的对称中心为； （4）若是偶函数，则，令，则，则图象的对称轴是； （5）若是偶函数，则，令，则，图象的对称轴是； （6）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； （7）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （8）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （9）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （10）若是偶函数，则，令，则，则，则图象的对称轴是； （11）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； （12）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； 破招方法2：用严格推理的方法， （13）若的图象关于点对称，令，所以， 即， 所以的图象关于点中心对称； （14）若的图象关于直线对称，则，则，即，则图象的对称轴是； （15），则，则，则的图象关于直线对称； （16），则，则，则的图象关于点对称 故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，. 52．（2025高一·江西上饶·阶段练习）已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为 . 【答案】 【分析】根据是偶函数，可得关于直线对称，将转化为和，根据在上的单调性，即可得结果. 【解析】因为是偶函数， 所以函数关于直线对称，即. 所以，， 又在上是增函数，且，故. 故答案为：. 53．【多选】（2025高一·内蒙古赤峰·阶段练习）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上为增函数 C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意结合偶函数的性质可得图象关于直线对称，且在上为减函数，然后逐个分析判断即可 【解析】对于A，因为函数为偶函数，其图象关于对称， 所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B，函数在上为增函数且函数的图象关于对称， 所以函数在上为减函数，故B错误； 对于C，由于函数的图象关于对称，且函数在上为增函数， 所以，故C错误； 对于D，由于， 因为函数在上为减函数，且， 所以，即，故D正确. 故选：AD 54．（2025高一·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得； 【解析】设，则为奇函数， 可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得 即，, 由可得， 即， 所以， 故选：A. 55．（2025高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，或. 【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可； （2）记，进而证明为奇函数即可得证； （3）令，进而由可求实数、的值. 【解析】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. $$