专题11 单调性与最大（小）值8种常见考法归类讲义（85题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题11 单调性与最大（小）值8种常见考法归类（85题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数单调性的判断与证明 （一）判断或证明具体函数的单调性 （二）判断或证明含参函数的单调性 （三）判断或证明抽象函数的单调性 考点二 求函数的单调区间 （一）求简单函数的单调区间 （二）利用图象求函数的单调区间 （三）求复合函数的单调区间 考点三 函数单调性的应用 （一）比较大小 （二）解不等式 （三）根据函数的单调性求参数 考点四 图象法求函数的最值(值域) 考点五 利用函数的单调性求函数的最值 考点六 根据函数的最值求参数 考点七 分类讨论求二次函数的最值 （一）轴动区间定 （二）轴定区间动 考点八 恒成立与能成立问题 （一）函数不等式恒成立问题 （二）函数不等式有解问题 知识点1：函数的单调性 1、增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 注:（1）不是所有的函数在定义域上都具有单调性，如函数y＝x2，y＝等． （2）在增函数和减函数定义中，不能把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”，如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数． （3）单调性定义的等价形式: ①函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. ②函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 2、函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点2：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点3：函数的最大（小）值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 注：（1）若函数f(x)≤M，则M不一定是函数的最大值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值． （2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上最大值为f(b)，最小值为f(a)． 知识点4：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 策略方法 1、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 2、利用定义判断或证明函数单调性的步骤 3、求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，图象从左向右上升，则函数单调递增；图象从左向右下降，则函数单调递减．对于能作出图象的函数，都可应用图象法判断其单调性．图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断．　 提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开． 4、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　 5、由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 注：已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　 6、求函数最值的常用方法 （1）图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． （2）运用已学函数的值域． （3）运用函数的单调性： ①若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． ②若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． （4）分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 7、利用函数的单调性求最值的关注点 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． (4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． 8、解决函数最值应用题的方法 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围． (2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决． 9、分类讨论二次函数的最值 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素． (2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养． 考点一 函数单调性的判断与证明 （一）判断或证明具体函数的单调性 1．（2025高一·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据分式的意义计算即可求解； （2）利用定义法即可证明. 【解析】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 2．（2025高一·北京·阶段练习）已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)设，若，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可； （2）由函数单调性求出函数值域，把条件转化为值域的包含关系，建立不等式求解即可. 【解析】（1）在区间上单调递增，证明如下： 设，且， 则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增. （2）由（1）得，，，即时，的值域， ∵在上为减函数，∴时，值域， ∵，使得，∴， ∴，解得，故实数a的取值范围为. 3．（25-26高一·全国·课后作业）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用定义证明减函数； （2）由单调性求值域. 【解析】（1）任取，且， 则， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且． (1)求的解析式，并写出其定义域； (2)用函数单调性的定义证明：在上单调递减． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）待定系数法求出解析式，并得到定义域； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论. 【解析】（1）由已知可得，解得，， ∴． （2）证明：任取，，且，则， ∵，，且， ∴，，， ∴，即， ∴在上单调递减． 5．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【解析】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 6．（2025高一·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由点代入解析式，列出方程求解即可； （2）由单调性的定义作差即可求证； （3）利用单调性求得最值，即可求解； 【解析】（1），， ，解得，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知函数在上单调递增， 由对勾函数性质得在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以的最小值为. （二）判断或证明含参函数的单调性 7．（2025高一·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解. 【解析】当在上单调递减， 设任意，且， 则， 又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C 8．（2025高一·湖北黄冈·期中）求证：函数在区间上是减函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用函数单调性的定义即可求证. 【解析】设，且， 则, ，且， 又， , ,即 ， 故函数在区间是减函数. 9．（2025高一·全国·课后作业）试根据函数单调性的定义，讨论函数在区间上的单调性，其中实数. 【答案】答案见解析. 【分析】设，且，再作差，判断差的符号即得解. 【解析】解：设，且， , ∵，∴ 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增. 所以，当时函数在区间上单调递减； 当时函数在区间上单调递增. 【点睛】本题主要考查函数单调性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．（2025高三·全国·专题练习）讨论函数在区间上的单调性. 【答案】在上单调递减，在上单调递增 【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可. 【解析】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ，即， 在内是减函数. ②设 由①知 ， 即， 在内是增函数. （三）判断或证明抽象函数的单调性 11．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）对于给定的函数关系式赋值代入计算即得； （2）根据函数的单调性的定义，作差比较与的大小，此时需构造，利用题设性质证得即可． 【解析】（1）由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 12．（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）令代入关系式，结合已知求值，即可证； （2）令得到，再由已知得，则，结合（1）结论，即可证； （3）法一：应用作商法，法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. 【解析】（1）令，则，又，故； （2）令，则，即， 由题意，当时，则，有， 所以，又， 所以； （3）法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，， 所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又， 所以，即， 所以是增函数. 13．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数. 【解析】（1）由， 故此令，则， 则. （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以， 故，即， 故此函数为R上增函数. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上，且，当时，． (1)求证：当时，； (2)求证：在上单调递减． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数满足的表达式及其函数值，由并结合不等式性质可证明； （2）利用函数单调性定义证明即可. 【解析】（1）由题可知， 由，得， 而，当时，， 从而，即． 另解：，． （2）对于任意的，， 由于，所以有， 故， 即在上单调递减． 15．【多选】（2025高一·广东广州·期中）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，对于A，取可得；对于C，取，再由条件当时，推理可得；对于B，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导即可. 【解析】对于A，由， 取，得，故A正确； 对于C，由， 取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故C正确； 对于B，由， 取，可得，，整理得，， 因为，，当且仅当时取等号， 由选项C可知的符号可正可负，故不一定有， 即不一定成立，故B错误； 对于D，任取，则， 依题意，，而， 则，即， 即在上是增函数， 于是对于， 任取，因为，则，即， 即函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D的解决关键在于，熟练掌握单调函数的定义，利用构造函数法分析抽象函数的单调性，从而得解. 考点二 求函数的单调区间 （一）求简单函数的单调区间 16．（2025高一·上海宝山·期末）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用反比例函数单调性直接求得答案. 【解析】函数是反比例函数，其单调递减区间是. 故答案为： 17．（2025高一·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到答案. 【解析】画出函数的图象，如下：    故单调递减区间为. 故答案为： 18．（2025高三·江西九江·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质求解即可. 【解析】的对称轴为， 因为，所以的图象开口向上， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 19．（2025高一·四川广安·期中）函数的增区间为 . 【答案】 【分析】配方后结合开口方向和对称轴，求出单调递增区间. 【解析】，开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 故答案为： 20．（2025高一·北京·期中）函数，的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性直接计算即可. 【解析】由二次函数的性质可知的对称轴为，开口向上， 所以其单调区间为. 故答案为：. （二）利用图象求函数的单调区间 21．（25-26高一·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【解析】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 22．（2025高一·全国·课后作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【解析】由图象知：该函数的单调增区间为和. 故选：B 23．（2025高一·湖南邵阳·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】将绝对值函数转化为分段函数形式，作出函数图像，结合图像可知单调递减区间. 【解析】 画出函数图象，如图可知， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增， 综上所述函数的单调递减区间为. 故答案为： 24．（2025高一·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】和 【分析】作出的图象，根据图象直接判断出单调递增区间. 【解析】作出的图象如下图所示， 由图象可知，的单调递增区间是和， 故答案为：和. 25．（2025高一·上海·阶段练习）函数的严格减区间是 . 【答案】和 【分析】画出函数图象，数形结合得到严格减区间. 【解析】函数， 可作出函数的图像，如图， 由图可知，函数的严格减区间为：和. 故答案为：和 （3） 求复合函数的单调区间 26．（2025高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，再根据的单调性即可得出. 【解析】令，解得或，所以函数的定义域为， 而函数的对称轴是， 故函数的单调递增区间是. 故答案为：. 27．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据复合函数单调性同增异减以及函数的定义域来求得额单调递增区间. 【解析】， 解得. 函数的对称轴为，开口向下， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间为. 故答案为： 28．（2025高一·湖北·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【解析】首先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【解析】，解得， 令， 对称轴为，所以函数在为单调递增；在上单调递减. 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 29．（2025高一·江苏·课后作业）函数的单调增区间为 . 【答案】 【解析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解即可. 【解析】由得，函数的定义域是 R， 设，则在上是减函数，在 上是增函数， ∵在定义域上减函数，∴函数的单调增区间是 故答案为： 30．（2025高一·河南南阳·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【解析】先求出，再求出的单调区间即得解. 【解析】由题得. 设，函数的对称轴为，在单调递增，在单调递减. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查复合函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 考点三 函数单调性的应用 （一）比较大小 31．（25-26高一·全国·课前预习）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性，结合和的符号的可能性即可得解. 【解析】由题意得，即， 由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立． 故选：D 32．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【答案】 【解析】因为，函数在区间上单调递减，所以． 33．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【解析】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 34．（2025高一·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【解析】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 35．（2025高一·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性和不等式的性质求解. 【解析】因为，所以，， 又因为在R上严格增，所以，， 所以. 故选：A． （二）解不等式 36．（2025高二·江西南昌·期末）已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性解不等式即可. 【解析】因为函数是定义在R上的增函数，且， 所以， 故选：A 37．（25-26高一·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解得． 38．（2025高一·全国·专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析函数的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解析】函数的定义域为，， 作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是增函数． 又因为，所以，即，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 39．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【解析】作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 40．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意实数满足：，若时，恒成立，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】观察抽象函数的特征式，易知其满足指数函数的函数性质，故采用特殊函数求解即可，本题也可以先运用单调性定义求出函数的单调性，再求解． 【解析】令，又，故， 对于任意的，又， ，故函数单调递减， 又不等式等价于，解得或． 故答案为：． （三）根据函数的单调性求参数 41．（2025高二·湖北武汉·期末）“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一次函数的单调性及充分必要条件的定义判断即可. 【解析】函数在上为增函数， 等价于，即， 所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 42．（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用单调性的定义来进行判断，结合分离参数，即可求出参数范围. 【解析】 对任意，都有， 即成立，所以，即实数的取值范围为． 故答案为： 43．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，根据为定义域的子集列不等式求得，再分离常数可知在区间上为增函数，利用反比例函数的单调性可得，即可得解. 【解析】，定义域为， 故，所以，所以， 又函数在区间上为增函数， 所以在区间上为增函数， 而函数的图象是由的图象平移得到的， 故函数在区间上为增函数， 由反比例函数性质可知，所以， 综上，，即实数a的取值范围是. 故答案为： 44．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【解析】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 45．（2025高一·广东湛江·阶段练习）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性分类讨论求解即可. 【解析】当时，在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 46．（2025高一·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【解析】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 47．（25-26高一·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【解析】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 48．（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论两种情况，其中，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【解析】时，，，在上单调递减，具有单调性，不符合题意； 时，的图象为抛物线，对称轴为， 根据题意，在上不具有单调性， 所以，解得. 故答案为： 49．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围. 【解析】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 50．（2025高一·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 【答案】. 【分析】由题意，结合二次函数性质得单调区间，进一步结合已知即可列不等式求解. 【解析】由题意， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 若在单调递增， 则或，解得或. 故答案为：. 考点四 图象法求函数的最值(值域) 51．（2025高一·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是 ． 【答案】，. 【分析】根据函数图象即可求解最大值和最小值. 【解析】由图可知：当时，取最大值，当时，取最小值， 故答案为：， 52．（2025高一·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【解析】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 53．（2025高一·浙江·课后作业）已知在上的图像如图所示.    （1）指出的单调区间. （2）分别指出在区间及上的最大、最小值. 【答案】（1）和为单调递增区间；、和为单调递减区间， （2）区间上，最大值为，最小值为；区间上，最大值为，最小值为. 【分析】（1）本题首先可以观察函数图像，然后从图像中即可判断出函数的单调区间； （2）本题首先可以先从图像中确定函数在区间上的最大、最小值，然后确定函数在区间上的最大、最小值. 【解析】（1）如图，由图像可以得出： 和为单调递增区间； 、和为单调递减区间， （2）如图，由图像可以得出： 当时，，； 当时，，. 【点睛】本题考查根据函数图像判断函数的单调区间以及最值，考查学生从图像中提取信息的能力，考查数形结合思想，是简单题. 54．【多选】（2025高一·广西南宁·期中）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．的单调递减区间为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的单调递增区间为和 【答案】ACD 【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可. 【解析】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，D正确． 故选：ACD 55．（2025高一·广东韶关·期中）已知函数，则下列说法正确的是 . （1） 函数在上是单调递增 （2） 函数在上是单调递增 （3） 当时，函数有最大值 （4） 当或时，函数有最小值 【答案】（2）（4） 【分析】作出函数图象，结合图象分析即可得出答案. 【解析】，作出函数的图象如下： 由图象可知函数在上是单调递减，在上是单调递增， 故（1）错误，（2）正确； 由图象可知在或时，函数有最小值，没有最大值， 故（3）错误，（4）正确； 故答案为：（2）（4）. 考点五 利用函数的单调性求函数的最值 56．（25-26高一·全国·单元测试）函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由对勾函数的单调性求解. 【解析】由对勾函数的单调性知, 函数在上单调递增， 所以． 故选：B 57．（2025高二·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【解析】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 58．（2025高一·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【解析】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 59．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）法一：根据求出的值，利用换元法求的解析式即可； 法二：根据配凑法得到，根据求出的值，即得到解析式. （2）利用函数单调性的定义求函数在上的单调性，进而求得最值. 【解析】（1）方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. （2）由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理，任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的最小值为，最大值为. 60．（2025高一·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)在上是增函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明； （2）根据函数的单调性求函数的最值. 【解析】（1）在上是增函数，证明如下： 任取且， . ， ，， ，即， 在上为增函数. （2）由（1）知，在上为增函数， 则，. 考点六 根据函数的最值求参数 61．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，且的最大值是3，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出二次函数在上的最大值与最小值，进而列式求解即得. 【解析】函数，由的最大值是3，得， 由，，得， 因此或，解，得；解，得， 所以实数的取值范围为. 62．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【答案】B 【分析】先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值. 【解析】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得． 故选：B. 63．（2025高一·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 【答案】或3 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【解析】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 64．（2025高三·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【解析】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，， 当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是. 故答案为： 65．（2025高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出函数在上的最小值为，再利用二次函数的基本性质以及分段函数的最值可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【解析】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数的最小值为，则，可得， 且有，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 考点七 分类讨论求二次函数的最值 （1） 轴动区间定 66．（2025高一·江西南昌·阶段练习）已知函数（a为实常数）． （1）若，设在区间的最小值为，求的表达式： （2）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于不确定，要根据对称轴分类讨论． （2）首先用单调性定义证明单调性，可将“函数在区间上是增函数”转化为恒成立问题求即可． 【解析】（1）由于，当时， ①若，即，则在为增函数 ，； ②若，即时，； ③若，即时，在上是减函数，； 综上可得； （2）在区间上任取， 　　　　　　（*） 在上是增函数 ∴（*）可转化为对任意且都成立，即 ①当时，上式显然成立 ②，由得，解得； ③，由得，，得， 所以实数的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数在区间上的最值问题，注意要对对称轴和区间的位置进行讨论，考查单调性的应用，这类问题要转化为恒成立问题，实质还是研究最值，这里就会涉及到构造新函数的问题，本题是一道难度较大的题目． 67．（2025高一·广东深圳·期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若，求时的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列不等式，从而求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，从而求得. 【解析】（1）的开口向上，对称轴为， 由于函数在上是增函数， 所以， 所以的取值范围是. （2）当时，，开口向上，对称轴为， 所以，当时，在时取得最小值，即； 当，时，在时取得最小值， 即； 当时，在时取得最小值，即. 所以. 68．（2025高一·河北廊坊·阶段练习）已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为，分类讨论，求得函数的最大值，进而求得的表达式； （2）当时，求得，转化为当，恒有，令，得到，分类讨论，求得的取值范围，即可求解. 【解析】（1）解：函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 所以的表达式为. （2）解：当时，可得，可得， 因为当，恒有成立， 所以当，恒有， 令，则， 当时，即时，，解得，所以； 当时，即时，，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 69．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)设函数，求函数在区间上的最小值. 【答案】(1)； (2)详见解析. 【分析】(1)设函数的解析式为，利用待定系数法求解函数的解析式可得； (2)结合(1)的结论可知，对称轴为，分类讨论求解即可. 【解析】（1）设，因为，所以， ，即，得， 所以； （2）由题意知，对称轴为， 当即时，在上单调递增 ，； 当即时，； 当即时，在上单调递减，. 综上，. （2） 轴定区间动 70．（2025高一·全国·课后作业）已知函数的表达式，若，求函数的最值． 【答案】答案见解析 【分析】分,,,四种情况讨论求解即可. 【解析】解：函数的图像的对称轴为直线． ①当，即时，，； ②当，即时，，； ③当，即时，，； ④当，即时，，． ∴，. 71．（2025高三·全国·对口高考）设的定义域为，对于任意实数t，则的最小值 ． 【答案】 【分析】讨论，结合二次函数的性质求的最小值. 【解析】可化为， 当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 当，即时，函数在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 所以， 故答案为：. 72．（2025高一·全国·课前预习）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的对称轴为，由二次函数的单调性，即可求解. （2）分类讨论定区间与对称轴的关系，结合二次函数的图象与性质，可得答案. 【解析】（1）∵函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增，且． ∴，． （2）由（1）知对称轴为直线， ①当，即时， ，． ②当，即时， ，． ③当，即时， ，． ④当，即时， ，． 设函数的最大值为，最小值为， 则有， . 73．（2025高一·全国·专题练习）已知，若的最小值为，写出的表达式． 【答案】 【分析】讨论函数的对称轴和区间的位置关系，即可得最值． 【解析】由题意可知，函数的图象的对称轴为直线． ①当，即时，如图1所示，函数在区间上单调递减， 所以最小值，即． ②当，即时，如图2所示，最小值． ③当时，如图3所示，函数在区间上单调递增，所以最小值． 综上，． 74．（2025高一·全国·课后作业）（1）求二次函数在上的最小值； （2）求函数在闭区间上的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）易知函数图象的对称轴是，再分， 和 讨论求解； （2）由，分设， ，讨论求解. 【解析】解：（1）∵函数图象的对称轴是， ∴当时，在上是增函数， ∴. 当时，在上是减函数， ∴. 当时，. 设在的最小值为. ∴ （2）. 设在上的最小值为. 当时，在上是增函数， ∴； 当，即时，； 当即时，在上是减函数， ∴. 综上，. 75．（2025高一·天津东丽·期中）已知是二次函数，且满足，. (1)求的解析式； (2)直接写出的单调区间； (3)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)答案见详解 【分析】（1）设，利用待定系数法即可求出解析式； （2）由，二次函数图象开口向上，且对称轴为，可得单调区间； （3）通过讨论，，时，即可求得二次函数在区间上的最值. 【解析】（1）因为是二次函数， 设， ∴， 所以， ∵，即， ∴，即， 又∵，∴， 所以. （2）由（1）知，， 因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，在区间上单调递减， 所以， ； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 综上，当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为，最小值为. 考点八 恒成立与能成立问题 （一）函数不等式恒成立问题 76．（2025高二·广东深圳·期末）已知函数，对任意，，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数在给定区间上恒成立，可求参数的取值范围，再进行判断. 【解析】由得： . 设，则在上恒成立， 则. 所以. 故的最小值为：. 故选：C 77．（2025高二·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【解析】 如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，； 故选：B. 78．（2025·河北邢台·模拟预测）若不等式恒成立，则正实数整数解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】令，利用分段函数的性质，得到的最小值为，求得，结合为正实数，得到的整数解的个数，得到答案. 【解析】令， 当时，函数单调递减，所以； 当时，函数； 当时，函数单调递增，所以， 综上可得，函数的最小值为， 要使得不等式恒成立，则满足， 因为为正实数，所以，所以的整数解取值为，共有3个. 故选：B. 79．（2025·北京·模拟预测）已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先考虑，，求出，再考虑，此时，根据对称轴分三种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出的取值范围. 【解析】若，即， 此时，满足要求； 若，则， 此时， 故恒成立， 其中，故； 若且，即， 此时 ，对称轴为， 若，此时在上单调递增， 故只需，即，解得，故； 若，此时在上单调递减， 在上单调递增， 故，令，解得， 与取交集得， 若，此时在上单调递减， 故只需，即，解得， 与取交集得； 综上，实数的取值范围为. 故选：B 80．（2025高一·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围. 【解析】因为，则该函数在上为增函数， 当时，， 因为对均有， 所以，，则，解得. 故选：D. （二）函数不等式有解问题 81．（2025高二·福建泉州·期末）已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得. 【解析】因为，对，有. 同理，对，有. 由，，使得，得 ，得. 故选：B. 82．（2025高一·湖南·期中）已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得在上单调递增，利用单调性解不等式可得存在使不等式成立即可，解可得结果. 【解析】根据题意由任意，总有可得在上单调递增， 若不等式成立可得，可得， 即存在时使不等式成立，因此即可； 解得或； 即实数的取值范围是. 故选：C 83．（2025高一·吉林四平·期中）已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若“，，使得成立”则，.即在上恒成立，分离参数利用基本不等式求解最小值即可. 【解析】当，有. ，，使得成立，等价于，. 即在上恒成立，参变分离可得. 当，，当且仅当时取等号，所以， 故选:C. 84．（2025高一·广东惠州·阶段练习）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，，可得出对恒成立，令，由题意可得出，即可求得实数的取值范围. 【解析】因为函数，则函数在上为增函数， 因为对均有成立， 则，即对恒成立， 令，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 85．（2025高一·福建厦门·阶段练习）已知存在使成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，将问题转化为存在，使得，求出的最值得解. 【解析】由，得， 又， 故存在，使得， 令，，则， ， . 故选：B. $$【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题11 单调性与最大（小）值8种常见考法归类（85题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数单调性的判断与证明 （一）判断或证明具体函数的单调性 （二）判断或证明含参函数的单调性 （三）判断或证明抽象函数的单调性 考点二 求函数的单调区间 （一）求简单函数的单调区间 （二）利用图象求函数的单调区间 （三）求复合函数的单调区间 考点三 函数单调性的应用 （一）比较大小 （二）解不等式 （三）根据函数的单调性求参数 考点四 图象法求函数的最值(值域) 考点五 利用函数的单调性求函数的最值 考点六 根据函数的最值求参数 考点七 分类讨论求二次函数的最值 （一）轴动区间定 （二）轴定区间动 考点八 恒成立与能成立问题 （一）函数不等式恒成立问题 （二）函数不等式有解问题 知识点1：函数的单调性 1、增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 注:（1）不是所有的函数在定义域上都具有单调性，如函数y＝x2，y＝等． （2）在增函数和减函数定义中，不能把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”，如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数． （3）单调性定义的等价形式: ①函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. ②函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 2、函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点2：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点3：函数的最大（小）值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 注：（1）若函数f(x)≤M，则M不一定是函数的最大值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值． （2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上最大值为f(b)，最小值为f(a)． 知识点4：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 策略方法 1、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 2、利用定义判断或证明函数单调性的步骤 3、求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，图象从左向右上升，则函数单调递增；图象从左向右下降，则函数单调递减．对于能作出图象的函数，都可应用图象法判断其单调性．图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断．　 提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开． 4、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　 5、由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 注：已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　 6、求函数最值的常用方法 （1）图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． （2）运用已学函数的值域． （3）运用函数的单调性： ①若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． ②若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． （4）分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 7、利用函数的单调性求最值的关注点 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． (4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． 8、解决函数最值应用题的方法 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围． (2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决． 9、分类讨论二次函数的最值 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素． (2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养． 考点一 函数单调性的判断与证明 （一）判断或证明具体函数的单调性 1．（2025高一·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 2．（2025高一·北京·阶段练习）已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)设，若，使得，求实数a的取值范围． 3．（25-26高一·全国·课后作业）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且． (1)求的解析式，并写出其定义域； (2)用函数单调性的定义证明：在上单调递减． 5．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 6．（2025高一·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. （二）判断或证明含参函数的单调性 7．（2025高一·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025高一·湖北黄冈·期中）求证：函数在区间上是减函数． 9．（2025高一·全国·课后作业）试根据函数单调性的定义，讨论函数在区间上的单调性，其中实数. 10．（2025高三·全国·专题练习）讨论函数在区间上的单调性. （三）判断或证明抽象函数的单调性 11．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 12．（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 13．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 14．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上，且，当时，． (1)求证：当时，； (2)求证：在上单调递减． 15．【多选】（2025高一·广东广州·期中）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 考点二 求函数的单调区间 （一）求简单函数的单调区间 16．（2025高一·上海宝山·期末）函数的单调递减区间为 . 17．（2025高一·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ． 18．（2025高三·江西九江·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 19．（2025高一·四川广安·期中）函数的增区间为 . 20．（2025高一·北京·期中）函数，的单调递减区间为 ． （二）利用图象求函数的单调区间 21．（25-26高一·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 22．（2025高一·全国·课后作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 23．（2025高一·湖南邵阳·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 24．（2025高一·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 25．（2025高一·上海·阶段练习）函数的严格减区间是 . （3） 求复合函数的单调区间 26．（2025高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 . 27．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的单调递增区间为 . 28．（2025高一·湖北·期中）函数的单调递增区间是 ． 29．（2025高一·江苏·课后作业）函数的单调增区间为 . 30．（2025高一·河南南阳·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 考点三 函数单调性的应用 （一）比较大小 31．（25-26高一·全国·课前预习）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 33．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 34．（2025高一·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 35．（2025高一·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． （二）解不等式 36．（2025高二·江西南昌·期末）已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高一·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（2025高一·全国·专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是 ． 39．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 40．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意实数满足：，若时，恒成立，则满足不等式的实数的取值范围是 ． （三）根据函数的单调性求参数 41．（2025高二·湖北武汉·期末）“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 43．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 44．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 45．（2025高一·广东湛江·阶段练习）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 46．（2025高一·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高一·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 48．（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 . 49．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知在上是减函数，则的取值范围是 . 50．（2025高一·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 考点四 图象法求函数的最值(值域) 51．（2025高一·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是 ． 52．（2025高一·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 53．（2025高一·浙江·课后作业）已知在上的图像如图所示.    （1）指出的单调区间. （2）分别指出在区间及上的最大、最小值. 54．【多选】（2025高一·广西南宁·期中）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．的单调递减区间为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的单调递增区间为和 55．（2025高一·广东韶关·期中）已知函数，则下列说法正确的是 . （1） 函数在上是单调递增 （2） 函数在上是单调递增 （3） 当时，函数有最大值 （4） 当或时，函数有最小值 考点五 利用函数的单调性求函数的最值 56．（25-26高一·全国·单元测试）函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 57．（2025高二·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 58．（2025高一·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 59．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 60．（2025高一·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 考点六 根据函数的最值求参数 61．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，且的最大值是3，求实数的取值范围． 62．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 63．（2025高一·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 64．（2025高三·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 65．（2025高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值范围 . 考点七 分类讨论求二次函数的最值 （1） 轴动区间定 66．（2025高一·江西南昌·阶段练习）已知函数（a为实常数）． （1）若，设在区间的最小值为，求的表达式： （2）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围． 67．（2025高一·广东深圳·期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若，求时的最小值． 68．（2025高一·河北廊坊·阶段练习）已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 69．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)设函数，求函数在区间上的最小值. （2） 轴定区间动 70．（2025高一·全国·课后作业）已知函数的表达式，若，求函数的最值． 71．（2025高三·全国·对口高考）设的定义域为，对于任意实数t，则的最小值 ． 72．（2025高一·全国·课前预习）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 73．（2025高一·全国·专题练习）已知，若的最小值为，写出的表达式． 74．（2025高一·全国·课后作业）（1）求二次函数在上的最小值； （2）求函数在闭区间上的最小值． 75．（2025高一·天津东丽·期中）已知是二次函数，且满足，. (1)求的解析式； (2)直接写出的单调区间； (3)求在区间上的最大值和最小值. 考点八 恒成立与能成立问题 （一）函数不等式恒成立问题 76．（2025高二·广东深圳·期末）已知函数，对任意，，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 77．（2025高二·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 78．（2025·河北邢台·模拟预测）若不等式恒成立，则正实数整数解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 79．（2025·北京·模拟预测）已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 80．（2025高一·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （二）函数不等式有解问题 81．（2025高二·福建泉州·期末）已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 82．（2025高一·湖南·期中）已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 83．（2025高一·吉林四平·期中）已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 84．（2025高一·广东惠州·阶段练习）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 85．（2025高一·福建厦门·阶段练习）已知存在使成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． $$