第一单元 小数除法（知识梳理+24个考点讲练+真题演练+难度分层练 共63题）-2025-2026学年北师大版数学五年级上册单元复习举一反三培优精讲练

第一单元 小数除法 （知识梳理+24个考点讲练+真题演练+难度分层练 共63题） 【原卷版】 资料简介 内容梳理 2 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：小数除法 2 知识点梳理02：循环小数及其分类 3 知识点梳理03：小数除以整数 3 知识点梳理04：小数除法的近似数 3 知识点梳理05：除数是小数的除法 4 知识点梳理06：小数四则混合运算 4 重点难点 考点讲练 5 高频考点讲练1：除数是整数的小数除法 5 高频考点讲练2：与小数点移动相关的和差倍问题 5 高频考点讲练3：除数是整数，需要补0的小数除法 6 高频考点讲练4：除数是整数，商小于1的小数除法 7 高频考点讲练5：除数是整数的小数除法的应用 7 高频考点讲练6：除数是小数的小数除法 7 高频考点讲练7：除数是小数的小数除法的应用 8 高频考点讲练8：错中求解问题（小数除法) 8 高频考点讲练9：用“四舍五入”法求积的近似数 9 高频考点讲练10：用“四舍五入”法求商的近似数 9 高频考点讲练11：判定被除数的最大值和最小值 10 高频考点讲练12：被除数和商的大小关系（小数除法） 11 高频考点讲练13：用“进一法”解决问题 11 高频考点讲练14：用“去尾法”解决问题 11 高频考点讲练15：循环小数的认识与简写 12 高频考点讲练16：有限小数和无限小数的认识 12 高频考点讲练17：循环小数比大小 13 高频考点讲练18：循环小数和周期性规律综合问题 13 高频考点讲练19：小数的连除运算 13 高频考点讲练20：小数的乘、除法混合运算 14 高频考点讲练21：小数的四则运算及法则 14 高频考点讲练22：小数除法相关的简便计算 15 高频考点讲练23：利用小数四则混合运算解决问题 16 高频考点讲练24：分段计费问题（小数除法) 16 升学真题 实战演练 17 优选题型 培优强化 18 基础夯实 能力提升 18 创新拓展 拔尖冲刺 19 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：小数除法 1、意义：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．小数除法的法则与整数除法的法则基本相同 2、注意事项： （1）当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位不够1时，要写上0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商一位，再按照四舍五入法取近似商． （2）当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律，先把除数的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相同的位数．如果位数不够，要添0补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算． 知识点梳理02：循环小数及其分类 1．循环小数的概念：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数．循环小数是无限小数． 2．循环小数可分为：纯循环小数和混循环小数． （1）纯循环小数指从小数第一位开始循环的小数如3.666… （2）混循环小数指不是从小数第一位循环的小数． 知识点梳理03：小数除以整数 1、整数除法和小数除法的方法是一样的，只是商中间多了一个小数点。而商的小数点与被除数的小数点对齐。这个和整数除法中数位对齐是一个道理。 2、方法总结： 除数是整数的小数除法，与整数除法一样。 （1）都是按照整数除法的法则去除，除到哪一位商就写在那一位的上面。简单地说，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 （2）遇到整数部分不够商“1”就商“0”。 （3）如果除到被除数的末尾仍有余数，添0继续除。 知识点梳理04：小数除法的近似数 1、取商的近似值的一般方法：求商的近似数，要比需要保留的小数位数多除出一位，然后再“四舍五入”。 2、解决实际应用的问题时会出现四不舍、五不入的情况，应根据题目的特点去求出近似数。 3、方法总结： （1）相同点都是按“四舍五入法”取近似值。 （2）不同点是取商的近似值只要计算时比要保留的小数位数多除出一位就可以了；而取积的近似值时则要计算出整个积的值以后再取近似值。 知识点梳理05：除数是小数的除法 1、小数除以小数 （1）除数是几位小数，被除数和除数的小数点就同时向右移动几位，使除数变成整数。 （2）如果被除数的位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足。 （3）按除数是整数的小数除法的方法进行计算。 （4）验算用乘法计算原来的算式。 2、方法总结： （1）、先移动除数的小数点，使它变成整数。 （2）、按除数是整数的小数除法进行计算。 （3）、除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点就向右移动几位。被除数位数不够的时候，在末尾用“0”补足。 3、注意事项：小数除法只要把除数转化为整数，被除数是不是整数无所谓，但是被除数和除数向右移动小数点的位数一定要相等。 知识点梳理06：小数四则混合运算 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。 5、方法总结： a、小数乘法的计算方法： b、算：先按整数乘法的法则计算； c、看：看两个乘数中一共有几位小数； d、数：从积的右边起数出几位（小数位数不够时，要在前面用 0 补足）； e、点：点上小数点； f、去：去掉小数末尾的“0”。 （2）、小数除法的计算方法：先看除数是整数还是小数。 小数除以整数计算方法： a、按整数除法的法则计算； b、商的小数点要和被除数的小数点对齐 c、如果有余数，要在余数后面添“0”继续除。 （3）除数是小数的计算方法： a、看：看清除数有几位小数 b、移（商不变规律）：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的小数位数不足时，用“0”补足 c、算：按照除数是整数的除法计算。 高频考点讲练1：除数是整数的小数除法 【典例精讲】（2025六年级下·全国·专题练习）计算和，都可以先想，这里的6表示（    ）。 A．计数单位。 B．计数单位的个数。 C．计数单位相除的商。 D．6个一。 【变式训练】（23-24六年级下·甘肃酒泉·期中）下面是四位同学在计算时的不同思考过程，其中正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 高频考点讲练2：与小数点移动相关的和差倍问题 【典例精讲】（22-23四年级下·河南驻马店·期中）把甲数的小数点右移一位得到乙数，且乙数比甲数多19.8，则甲数为( )，乙数为( )。 【变式训练】（22-23五年级上·山西吕梁·期末）甲、乙两个数的和是3.85，甲数小数点向右移动一位就等于乙数，那么甲数是（    ）。 A．0.35 B．3.5 C．3 D．0.85 高频考点讲练3：除数是整数，需要补0的小数除法 【典例精讲】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）如下图所示，大正方形的边长为2厘米，下面是三位同学计算阴影部分面积的方法，你能看懂吗？ 淘气：“可以通过图形运动，把3个阴影小三角形拼成一个梯形，然后计算出梯形的面积。” 奇思：“可以计算出大正方形的面积，然后把大正方形平均分成8份，阴影部分占了其中的3份。” 妙想：“可以计算出一个阴影小三角形的面积，阴影部分就是它的3倍。” 你喜欢谁的方法？然后在下面写出计算过程。 我喜欢（    ）的方法。 【变式训练】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）用竖式计算。 24.9÷6＝               10÷4＝ 38.5÷35＝             78.6÷12＝ 高频考点讲练4：除数是整数，商小于1的小数除法 【典例精讲】（23-24五年级上·广东惠州·期中）一个小数的小数点向右移动一位后比原来增加4.59，则原来的这个小数是0.459。( )（判断对错） 【变式训练】（23-24四年级下·辽宁·假期作业）用竖式计算。 14.49÷7      2.16÷12      2.1÷14      49.92÷24 高频考点讲练5：除数是整数的小数除法的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）周日，爸爸带小恒去爬山。从山脚到山顶全程有6.4km，他们上山用了3小时，下山用了2小时。求出他们本次爬山的平均速度。 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）妈妈拿了一个容量为15L的桶去楼下接水。接水前显示卡内余额为46.8元，接了9L水后，显示卡内余额为44.1元。 (1)接1L水需要多少元？ (2)你还能提出其他数学问题并解答吗？ 高频考点讲练6：除数是小数的小数除法 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·随堂练习）在计算时，方框里的想法正确的有（    ）个。 2.4里面有6个0.4 2.4元＝24角 0.4元＝4角 所以 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（22-23五年级上·安徽淮南·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.28×5.6( )3.28        0.27×3.12( )3.12 2.15÷0.1( )2.15×10        4.36÷0.04( )4.36 高频考点讲练7：除数是小数的小数除法的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·北京怀柔·期末）李叔叔到北京游览老北京胡同，“老北京胡同游”线路全长10.32千米，如果乘坐三轮车，2.4小时可以游览完；如果步行，需要4小时可以游览完。 （1）李叔叔乘坐三轮车游览胡同全长，平均每小时行多少千米？ （2）李叔叔步行游览胡同全长，平均每小时行多少千米？ 【变式训练】（24-25五年级上·广东深圳·期中）小丽去超市买鲜奶，一袋鲜奶1.2元，小丽有10元钱可以买几袋？还剩多少元？ 高频考点讲练8：错中求解问题（小数除法) 【典例精讲】（22-23五年级上·陕西延安·期中）小数11.118除以一个数时，商的小数点往左边多移动了一位，结果为0.545，这个除数是多少？ 【变式训练】（22-23五年级上·陕西铜川·期中）小马虎在计算3.69除以一个数时，由于商的小数点向右多点了一位，结果得24.6，这道题的除数是（    ）。 A．2.46 B．1.5 C．3.28 D．2.26 高频考点讲练9：用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北宜昌·期末）列竖式计算。 （1）5.2×3.05＝        （2）4.05×0.38≈（得数保留两位小数） （3）5.88÷5.6＝        （4）1.465÷2.5≈（商精确到百分位） 【变式训练】（23-24五年级上·浙江·期末）如图，哪个国家的5G套餐更便宜，每月便宜了多少元？正确的选项是（    ）。 A．中国，便宜了约55元 B．芬兰，便宜了约55元 C．中国，便宜了约17欧元 D．芬兰，便宜了约7欧元 高频考点讲练10：用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】（25-26五年级上·辽宁·课前预习）根据当时人民币汇率填一填。（结果保留两位小数） 中国人民银行 2023年1月×日 1美元兑换人民币6.34元 1欧元兑换人民币7.19元 100日元兑换人民币5.58元 1英镑兑换人民币8.59元 (1)1000元人民币可以兑换( )美元。12.5欧元可以兑换人民币( )元。2500元人民币可以兑换( )英镑。 (2)在美国留学的表妹送给娜娜一套《疯狂动物城》（如下图），折合人民币约是( )元；娜娜给表妹回赠了一套牙膏（如下图），折合美元约是( )美元。 【变式训练】（24-25五年级上·山西晋城·期末）竖式计算。 56÷35＝            6.29÷1.7＝ 3.09÷1.5＝            1.69÷1.8≈（保留两位小数） 高频考点讲练11：判定被除数的最大值和最小值 【典例精讲】（20-21五年级上·广东深圳·期中）一个数除以3.8，商是两位小数，保留一位小数约是2.6，这个数最小是多少？ 【变式训练】（22-23五年级上·陕西铜川·期中）5.832除以一个不为0的数，所得的商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2，除数最小是多少？ 高频考点讲练12：被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西延安·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2.6×0.8( )2.6           5.85÷0.9( )5.85 2.5×1.3×4( )2.5×4×1.3          3.9÷1.5( )3.9×1.5 【变式训练】（24-25五年级上·四川成都·期末）在括号填上“＞”“＜”“＝”。 7.6÷0.6( )7.6×0.6   2.5×1.5( )2.4×1.6   3.5×3.7( )3.6×3.6 高频考点讲练13：用“进一法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·福建泉州·期中）在解决下面的问题时，计算结果要用“进一法”的是（    ）。 A．每千克面粉3.5元，买0.84千克需要多少钱？ B．一个面包用面粉0.3千克，0.84千克面粉可以做几个这样的面包？ C．一个面包18元，2个面包共多少钱？ D．一个袋子最多装6个面包，20个面包至少要准备几个这样的袋子才能装完？ 【变式训练】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）一根64米长的彩带，每1.4米剪一段做中国结，这根彩带可以做多少个这样的中国结？如果将这些中国结装入盒子，每6个装一盒，至少需要多少个盒子？ 高频考点讲练14：用“去尾法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江金华·期末）下列问题适合用“”的是（    ）。 A．将2.5kg油分装在玻璃瓶里，每瓶可装0.4kg，需要几个瓶子？ B．红绳长2.5米，蓝绳长0.4米，红绳的长度是蓝绳的多少倍？ C．用2.5米的红绳捆礼盒，每个需要0.4米长，这根红绳能捆多少个礼盒？ D．把2.5米的红绳平均截成4段，每段长多少米？ 【变式训练】（23-24五年级上·四川成都·期末）星光养殖场计划给职工订制一批工作服，这种工作服每件需要红色面料布2.2米，灰色里料布1.8米。制衣店现有这种红色面料布100米，灰色里料布99米，最多能做多少件这样的工作服？ 高频考点讲练15：循环小数的认识与简写 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）28÷6.5（保留三位小数）      0.568÷0.14（保留两位小数）     38.6÷11（商用循环小数表示） 【变式训练】（24-25五年级上·河南商丘·期末）列竖式计算，带※的要验算。 2.08÷1.6＝    ※6.3÷0.45＝    34÷2.7＝（结果用循环小数表示） 高频考点讲练16：有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】（23-24五年级上·陕西宝鸡·期中）这五个数中，是循环小数的有( )；有限小数有( )个。 【变式训练】（23-24五年级上·广东深圳·期末）下列数中不是循环小数的是（    ）。 A．1.48383… B．0.1875875… C．4.252525 D． 高频考点讲练17：循环小数比大小 【典例精讲】（24-25五年级上·北京怀柔·期末）估一估，分别在下图中标出下列算式结果的大概位置。 【变式训练】（24-25五年级上·安徽阜阳·期中）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.58( )7.58×0.99        1.24÷1.26( )1.24        ( ) 高频考点讲练18：循环小数和周期性规律综合问题 【典例精讲】（24-25五年级上·河南商丘·期末）循环小数3.8959595…，将它四舍五入保留两位小数约是( )，它的小数部分第25位上的数字是( )。 【变式训练】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）78.6÷2.2的商用循环小数表示是( )，保留三位小数是( )，小数点后面第15位的数字是( )。 高频考点讲练19：小数的连除运算 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江金华·期末）递等式计算。                   【变式训练】（24-25五年级上·四川成都·期末）脱式计算，能简便计算的要简便计算。 20.4－8.6÷2.5          5.6×1.3＋4.4×1.3          123.5÷1.25÷0.8 高频考点讲练20：小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】（24-25五年级上·河南商丘·期末）爸爸和明明准备自驾到蓬莱旅行，每次出游之前明明都有查看地图的习惯，他惊讶地说道：“哇，这么远！有740千米。”爸爸这辆车的油箱加满需要50升的汽油，油耗是8个油。他们加满一箱油，中途若不再加，到蓬莱够用吗？ 油耗“8个油”指的是“平均每行驶100千米需要消耗掉8升的汽油”。 【变式训练】（24-25五年级上·河南商丘·期末）中国网球运动员郑钦文在2024年巴黎奥运会成功斩获女子单打冠军，她的打法以强大的力量和进攻性著称。经测量，郑钦文所发的某个球3秒可以飞0.15千米，照这个速度，5.4秒可以飞多少千米？下面列式正确的有（    ）。 ①    ②    ③    ④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 高频考点讲练21：小数的四则运算及法则 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西渭南·期末）计算下列各题。 （4.8＋0.12）÷0.8    17.5÷5＋19.7    28÷0.25÷0.4 【变式训练】（23-24五年级下·安徽淮北·期中）脱式计算，能简算的要简算。 0.25×16.2×4        （1.25－0.125）×8      7.28－0.28÷0.4 高频考点讲练22：小数除法相关的简便计算 【典例精讲】（23-24五年级上·山西晋城·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）8.4÷0.6＋8.4÷0.4            （2）2.5×5.49×4 （3）7.36×9.9＋0.736              （4）65.5÷12.5÷0.08 【变式训练】（23-24五年级上·山西运城·期中）计算下面各题。                   高频考点讲练23：利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】（24-25四年级下·河北邯郸·期中）下面是某文具店美工用品销售价格。 （1）梦梦买了一盒彩笔和一把美工刀，付给收银员50元，应找回多少元？ （2）荣老师买了三包彩纸和一把剪刀，一共需要多少元？ （3）华华有20元，想买上面三样商品（每样商品买的数量是1件），她可以买哪三样商品？ （4）同同买了一卷长2.5米的细铁丝，准备用细铁丝做骨架，做一个等腰三角形风筝。她设计的风筝有一条边是0.7米，要想用这卷细铁丝做一个风筝，另外两条边分别长多少？（细铁丝刚好用完） 【变式训练】（24-25五年级上·浙江金华·期末）水果糖15.2元/千克，酥糖24.8元/千克，巧克力32元/千克，现三种糖各取1千克混合，以下单价中，混合后的糖定价为（    ）元/千克合适。 A．20 B．24 C．28 D．32 高频考点讲练24：分段计费问题（小数除法) 【典例精讲】（24-25五年级上·河南商丘·期末）今年十一期间，河南许昌胖东来接待游客超过300万人次，客流量比河南接待量最大的前五名5A景区加一块还要多。来自永城的乐乐一家开车到胖东来天使城店购物，由于胖东来停车场已满，所以他们将车停在附近的停车场（收费标准如下）。他们驾车离开停车场时共支付15.5元停车费，他们最多停了多长时间？ 停车标准 1小时内：5元 超过1小时：超过的部分每半小时加收1.5元，不足半小时按半小时算。 【变式训练】（24-25五年级上·安徽阜阳·期中）自来水公司为鼓励居民节约用水，采用“分段计费”的方法按月收取水费：用水量在12吨及以内的，按每吨2元收费；超过12吨的部分，则提高收费标准，按每吨3元收费。 （1）王叔叔家7月份的用水量为15.1吨，他家这个月的水费是多少元？ ①分析与解答：借助线段图分析。 ②列式解答。 （2）王叔叔家8月份缴纳水费36.12元，这个月他家用水多少吨？ 【演练1】（2024·广东清远·小升初真题）“纸鸢”就是风筝，发明距今已有2000多年的历史。希望小学准备举行风筝节，手工兴趣小组用了20平方米的纸来做蝴蝶风筝，最多可以做几个？ 【演练2】（2024·福建泉州·小升初真题）根据算式“0.08×7.7×65＝40.04”填空。 65×0.77×0.8＝ 　        　    0.08×1.1× ×65＝40.04 40.04÷0.08÷ ＝6.5    400.4÷65÷0.08＝ 【演练3】（2024·吉林长春·小升初真题）小新买了3支钢笔用了10.8元，买3支圆珠笔用了3.6元，钢笔的单价是圆珠笔的几倍？ 【演练4】（2023·四川成都·小升初真题）某市出租车起步价为10元4千米（不足4千米按4千米计算），以后每增加1千米车费增加元（不足1千米按1千米计算）。校长从家到单位，全程乘出租车需付22元，如果前一半路程先乘公交车，剩下的一半路程乘出租车，需付出租车费( )元。 【演练5】（2022·四川成都·小升初真题）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车，乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 基础夯实 能力提升 1．（2025六年级下·全国·专题练习）王鹏的爷爷计划16天慢跑28千米，平均每天慢跑多少千米？他列出了如图的竖式，请你观察如图竖式，想一想：添0继续除，表示120个（    ）。 A．一 B．十分之一 C．百分之一 D．千分之一 2．（22-23五年级上·辽宁铁岭·期末）计算2.8÷1.25时，如果把除数的小数点去掉，要使商不变，被除数的小数点应向右移动( )位。 3．（24-25五年级上·安徽淮北·期末）计算下面各题。（能简算的可以简算） （2－0.32×4）÷1.8        0.25×23.6×4        6.38×101－6.38 4．（25-26五年级上·全国·课后作业）为了让“倡导低碳生活”的环保理念更加深入人心，五（2）班开展了“节能减排，低碳生活”的主题班会。开展班会后两位同学的对话如下。谁家平均每天的用电量更少？ 5．（22-23五年级上·安徽淮南·期末）已知A、B两地之间的路长48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路。刘叔叔骑摩托车从A地到B地办事，办完事后再沿原路返回，去时用了3小时，返回时用了2.6小时。已知走下坡路每小时行20千米，走上坡路每小时行多少千米？ 创新拓展 拔尖冲刺 6．（24-25五年级上·安徽淮北·期末）下边竖式中圈出的数表示24个（    ）。 A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 7．（22-23五年级上·辽宁沈阳·期末）10千克油菜籽可以榨菜油3.2千克，36千克油菜籽可以榨菜油多少千克？列式错误的是（    ）。 A．36÷（10÷3.2） B．36÷10×3.2 C．3.2÷10×36 D．10÷3.2×36 8．（22-23五年级上·安徽淮南·期末）列竖式计算。 0.85×7.04＝        26.18÷1.7＝ 5.06×3.7＝     16.65÷3.3≈  （得数保留两位小数） 9．（23-24五年级上·河南郑州·期末）为鼓励节约用水，郑州市实行居民用水“阶梯水价”，收费标准如下表所示。 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 年用水量 180立方米及以下 181－300立方米 301立方米及以上 每立方米水费（元） 3.9 5.45 10.1 （1）2023年，乐乐家前11个月累计用水104立方米，12月付水费42.9元，乐乐家12月用水多少立方米？ （2）丽丽家2023年共付水费865.5元。估一估，丽丽家的年用水量达到第（    ）阶梯，丽丽家2023年共用水多少立方米？ （3）乐乐家的用水量是丽丽家的几分之几？针对两家的用水量，你有什么建议？ 10．（22-23五年级上·陕西宝鸡·期中）有一个数，如果把它的小数部分扩大到原来的3倍再加上整数部分，这个数就变成了8.8；如果把它的小数部分扩大到原来的7倍再加上整数部分，这个数就变成了11.2。这个数是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 小数除法 （知识梳理+24个考点讲练+真题演练+难度分层练 共63题） 【解析版】 资料简介 内容梳理 2 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：小数除法 2 知识点梳理02：循环小数及其分类 3 知识点梳理03：小数除以整数 3 知识点梳理04：小数除法的近似数 3 知识点梳理05：除数是小数的除法 4 知识点梳理06：小数四则混合运算 4 重点难点 考点讲练 5 高频考点讲练1：除数是整数的小数除法 5 高频考点讲练2：与小数点移动相关的和差倍问题 6 高频考点讲练3：除数是整数，需要补0的小数除法 7 高频考点讲练4：除数是整数，商小于1的小数除法 8 高频考点讲练5：除数是整数的小数除法的应用 9 高频考点讲练6：除数是小数的小数除法 10 高频考点讲练7：除数是小数的小数除法的应用 12 高频考点讲练8：错中求解问题（小数除法) 12 高频考点讲练9：用“四舍五入”法求积的近似数 13 高频考点讲练10：用“四舍五入”法求商的近似数 15 高频考点讲练11：判定被除数的最大值和最小值 16 高频考点讲练12：被除数和商的大小关系（小数除法） 17 高频考点讲练13：用“进一法”解决问题 18 高频考点讲练14：用“去尾法”解决问题 19 高频考点讲练15：循环小数的认识与简写 20 高频考点讲练16：有限小数和无限小数的认识 22 高频考点讲练17：循环小数比大小 23 高频考点讲练18：循环小数和周期性规律综合问题 24 高频考点讲练19：小数的连除运算 25 高频考点讲练20：小数的乘、除法混合运算 27 高频考点讲练21：小数的四则运算及法则 28 高频考点讲练22：小数除法相关的简便计算 29 高频考点讲练23：利用小数四则混合运算解决问题 31 高频考点讲练24：分段计费问题（小数除法) 33 升学真题 实战演练 34 优选题型 培优强化 37 基础夯实 能力提升 37 创新拓展 拔尖冲刺 39 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：小数除法 1、意义：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．小数除法的法则与整数除法的法则基本相同 2、注意事项： （1）当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位不够1时，要写上0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商一位，再按照四舍五入法取近似商． （2）当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律，先把除数的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相同的位数．如果位数不够，要添0补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算． 知识点梳理02：循环小数及其分类 1．循环小数的概念：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数．循环小数是无限小数． 2．循环小数可分为：纯循环小数和混循环小数． （1）纯循环小数指从小数第一位开始循环的小数如3.666… （2）混循环小数指不是从小数第一位循环的小数． 知识点梳理03：小数除以整数 1、整数除法和小数除法的方法是一样的，只是商中间多了一个小数点。而商的小数点与被除数的小数点对齐。这个和整数除法中数位对齐是一个道理。 2、方法总结： 除数是整数的小数除法，与整数除法一样。 （1）都是按照整数除法的法则去除，除到哪一位商就写在那一位的上面。简单地说，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 （2）遇到整数部分不够商“1”就商“0”。 （3）如果除到被除数的末尾仍有余数，添0继续除。 知识点梳理04：小数除法的近似数 1、取商的近似值的一般方法：求商的近似数，要比需要保留的小数位数多除出一位，然后再“四舍五入”。 2、解决实际应用的问题时会出现四不舍、五不入的情况，应根据题目的特点去求出近似数。 3、方法总结： （1）相同点都是按“四舍五入法”取近似值。 （2）不同点是取商的近似值只要计算时比要保留的小数位数多除出一位就可以了；而取积的近似值时则要计算出整个积的值以后再取近似值。 知识点梳理05：除数是小数的除法 1、小数除以小数 （1）除数是几位小数，被除数和除数的小数点就同时向右移动几位，使除数变成整数。 （2）如果被除数的位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足。 （3）按除数是整数的小数除法的方法进行计算。 （4）验算用乘法计算原来的算式。 2、方法总结： （1）、先移动除数的小数点，使它变成整数。 （2）、按除数是整数的小数除法进行计算。 （3）、除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点就向右移动几位。被除数位数不够的时候，在末尾用“0”补足。 3、注意事项：小数除法只要把除数转化为整数，被除数是不是整数无所谓，但是被除数和除数向右移动小数点的位数一定要相等。 知识点梳理06：小数四则混合运算 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。 5、方法总结： a、小数乘法的计算方法： b、算：先按整数乘法的法则计算； c、看：看两个乘数中一共有几位小数； d、数：从积的右边起数出几位（小数位数不够时，要在前面用 0 补足）； e、点：点上小数点； f、去：去掉小数末尾的“0”。 （2）、小数除法的计算方法：先看除数是整数还是小数。 小数除以整数计算方法： a、按整数除法的法则计算； b、商的小数点要和被除数的小数点对齐 c、如果有余数，要在余数后面添“0”继续除。 （3）除数是小数的计算方法： a、看：看清除数有几位小数 b、移（商不变规律）：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的小数位数不足时，用“0”补足 c、算：按照除数是整数的除法计算。 高频考点讲练1：除数是整数的小数除法 【典例精讲】（2025六年级下·全国·专题练习）计算和，都可以先想，这里的6表示（    ）。 A．计数单位。 B．计数单位的个数。 C．计数单位相除的商。 D．6个一。 【答案】B 【思路引导】根据题意，60中的6表示6个十，0.06中的6表示6个百分之一，再结合小数的意义解答即可。 【规范解答】据分析可知，计算和，都可以先想，这里的6表示计数单位的个数。 故答案为：B 【变式训练】（23-24六年级下·甘肃酒泉·期中）下面是四位同学在计算时的不同思考过程，其中正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】小林：根据“被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变”，把被除数、 除数同时乘5，所得的商与原式的商相等，计算正确。 小丽：根据“除数不变，被除数扩大到原来的几倍，商也扩大到原来的几倍。”，被除数乘10，商扩大为原来的10倍，用所得商除以10即可得到原来的商，计算正确。 小刚：把25.2看成是252个0.1，252除以9的商是28，就是28个0.1，再求出28个0.1是多少即可，计算正确。 小强：把25.2看成是25.2元，即是252角，252角里面有9个28角，是2.8元，计算过程正确。 【规范解答】根据分析可得：四位同学的思考过程和计算过程都是正确的。 故答案为：D 高频考点讲练2：与小数点移动相关的和差倍问题 【典例精讲】（22-23四年级下·河南驻马店·期中）把甲数的小数点右移一位得到乙数，且乙数比甲数多19.8，则甲数为( )，乙数为( )。 【答案】 2.2 22 【思路引导】把甲数的小数点右移一位得到乙数，则乙数是甲数的10倍，乙数比甲数多甲数的9倍，甲数的9倍就是19.8。甲数是19.8÷9，用甲数乘10，即可求出乙数。 【规范解答】19.8÷（10－1） ＝19.8÷9 ＝2.2 2.2×10＝22 甲数为2.2，乙数为22。 【变式训练】（22-23五年级上·山西吕梁·期末）甲、乙两个数的和是3.85，甲数小数点向右移动一位就等于乙数，那么甲数是（    ）。 A．0.35 B．3.5 C．3 D．0.85 【答案】A 【思路引导】把甲数的小数点向右移动1位，就扩大了10倍，原数是1份数，现在的数就是10份数等于乙数，再根据甲乙两数的和是3.85，进一步求出原数，即可求出另一个数。 【规范解答】甲数是： 3.85÷（10＋1） ＝3.85÷11 ＝0.35 甲数是0.35。 故答案为：A 【考点剖析】根据小数点移动的规律得出甲乙两数的倍数关系是解决本题的关键。 高频考点讲练3：除数是整数，需要补0的小数除法 【典例精讲】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）如下图所示，大正方形的边长为2厘米，下面是三位同学计算阴影部分面积的方法，你能看懂吗？ 淘气：“可以通过图形运动，把3个阴影小三角形拼成一个梯形，然后计算出梯形的面积。” 奇思：“可以计算出大正方形的面积，然后把大正方形平均分成8份，阴影部分占了其中的3份。” 妙想：“可以计算出一个阴影小三角形的面积，阴影部分就是它的3倍。” 你喜欢谁的方法？然后在下面写出计算过程。 我喜欢（    ）的方法。 【答案】妙想； 计算过程见详解 【思路引导】我喜欢妙想的方法，把大正方形的面积平均分成8份，用大正方形的面积除以8，求出其中的1份是多少平方厘米，再乘3即可解答。 【规范解答】2×2÷8×3 ＝4÷8×3 ＝0.5×3 ＝1.5（平方厘米） 所以阴影部分的面积是1.5平方厘米。 【变式训练】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）用竖式计算。 24.9÷6＝               10÷4＝ 38.5÷35＝             78.6÷12＝ 【答案】4.15；2.5 1.1；6.55 【思路引导】整数除法：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位，如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面，除到被除数的哪一位不够商1，就对着这一位商0，除的过程中每一步的余数必须小于除数；除数是整数的小数除法：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数的后面添0再继续除。 【规范解答】                                             高频考点讲练4：除数是整数，商小于1的小数除法 【典例精讲】（23-24五年级上·广东惠州·期中）一个小数的小数点向右移动一位后比原来增加4.59，则原来的这个小数是0.459。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】一个小数的小数点向右移动一位，就扩大到原来的10倍，比原来增加了10－1＝9倍，比原来增加了4.59。根据差倍问题：数量差÷倍数的差＝1倍数＝较小数，据此解答。 【规范解答】4.59÷（10－1） ＝4.59÷9 ＝0.51 一个小数的小数点向右移动一位后比原来增加4.59，则原来的这个小数是0.51。原题说法错误。 故答案为：×。 【变式训练】（23-24四年级下·辽宁·假期作业）用竖式计算。 14.49÷7      2.16÷12      2.1÷14      49.92÷24 【答案】2.07；0.18；0.15；2.08； 【思路引导】除数是整数的除法：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 【规范解答】 14.49÷7＝2.07     2.16÷12＝0.18    2.1÷14＝0.15     49.92÷24＝2.08             高频考点讲练5：除数是整数的小数除法的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）周日，爸爸带小恒去爬山。从山脚到山顶全程有6.4km，他们上山用了3小时，下山用了2小时。求出他们本次爬山的平均速度。 【答案】2.56千米/时 【思路引导】总路程是6.4km的2倍，即6.4×2＝12.8（km）。上山的时间是3小时，下山的时间是2小时，总时间是3＋2＝5（小时）。求平均速度就是用总路程除以总时间，即12.8÷5＝2.56（千米/时）。 【规范解答】总路程：6.4×2＝12.8（km） 总时间：3＋2＝5（小时） 平均速度：12.8÷5＝2.56（千米/时） 答：他们本次爬山的平均速度为2.56千米/时。 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）妈妈拿了一个容量为15L的桶去楼下接水。接水前显示卡内余额为46.8元，接了9L水后，显示卡内余额为44.1元。 (1)接1L水需要多少元？ (2)你还能提出其他数学问题并解答吗？ 【答案】(1)（46.8－44.1）÷9＝0.3（元） (2)示例：接满这桶水，卡内还剩多少元？ 46.8－15×0.3＝42.3（元） 【思路引导】（1）由题意知，接水前余额为46.8元，接水后余额为44.1元，两次余额相减即可求出9L对应花的总钱，然后求1L水的单价=总价÷数量； （2）开放性提问，只要符合题意即可。 【规范解答】（1）（46.8-44.1）÷9           =2.7÷9           =0.3（元 ） 答：接1L水需要0.3元。 （2）接满这桶水，卡内还剩多少元？       46.8-15×0.3     =46.8-4.5    =42.3（元） 答：接满这桶水，卡内还剩42.3元。 高频考点讲练6：除数是小数的小数除法 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·随堂练习）在计算时，方框里的想法正确的有（    ）个。 2.4里面有6个0.4 2.4元＝24角 0.4元＝4角 所以 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】主要涉及小数除法的计算方法以及对不同计算思路的理解。我们需要逐一分析每个思路是否正确，从而确定正确的个数。 【规范解答】第一个：把2.4用24个小方块表示（因为2.4里有24个0.1），0.4用4个小方块表示（因为0.4里有4个0.1），就是看24个小方块里面有几个4个小方块组成的部分，从图中可以看出2.4里面有6个0.4，这种想法是基于小数的意义，用直观的图形帮助理解除法运算，这种思路是正确的。 第二个：根据单位换算，将小数转化为整数进行除法运算，这是一种常见的小数除法计算思路。因为1元＝10角，所以2.4元＝2.4×10＝24角，0.4元＝0.4×10＝4角，24÷4＝6，这种思路是正确的。 第三个：列竖式计算，将除数0.4的小数点向右移动1位变成4，同时被除数2.4的小数点也向右移动1位变成24（依据商不变的性质），24÷4＝6，这种思路是正确的。 第四个：这是利用了商不变的性质，被除数和除数同时乘一个相同的数（5），商不变。2.4×5＝12，0.4×5＝2，12÷2＝6，这种思路是正确的。 因此方框里的想法正确的有4个。 故答案为：D 【变式训练】（22-23五年级上·安徽淮南·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.28×5.6( )3.28        0.27×3.12( )3.12 2.15÷0.1( )2.15×10        4.36÷0.04( )4.36 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＞ 【思路引导】一个非0数乘小于1的数，积小于原数；一个非0数乘大于1的数，积大于原数。 一个非0数除以小于1的数，商大于被除数；一个非0数除以大于1的数，商小于被除数。 计算除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 一个数乘10、100、1000…，只要把小数点向右移动一位、两位、三位……即可。据此解答。 【规范解答】5.6＞1，则3.28×5.6＞3.28；         0.27＜1，则0.27×3.12＜3.12； 2.15÷0.1＝21.5，2.15×10＝21.5，则2.15÷0.1＝2.15×10；         0.04＜1，则4.36÷0.04＞4.36 高频考点讲练7：除数是小数的小数除法的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·北京怀柔·期末）李叔叔到北京游览老北京胡同，“老北京胡同游”线路全长10.32千米，如果乘坐三轮车，2.4小时可以游览完；如果步行，需要4小时可以游览完。 （1）李叔叔乘坐三轮车游览胡同全长，平均每小时行多少千米？ （2）李叔叔步行游览胡同全长，平均每小时行多少千米？ 【答案】（1）4.3千米 （2）2.58千米 【思路引导】（1）速度＝路程÷时间，据此用10.32除以2.4，即可求出乘坐三轮车平均每小时行多少千米。 （2）用10.32除以4，即可求出步行平均每小时行多少千米。 【规范解答】（1）10.32÷2.4＝4.3（千米） 答：平均每小时行4.3千米。 （2）10.32÷4＝2.58（千米） 答：平均每小时行2.58千米。 【变式训练】（24-25五年级上·广东深圳·期中）小丽去超市买鲜奶，一袋鲜奶1.2元，小丽有10元钱可以买几袋？还剩多少元？ 【答案】8袋；0.4元 【思路引导】先根据数量＝总价÷单价列出算式；再根据除数是小数的小数除法计算方法计算出结果，商就是可以买的袋数，余数就是剩的钱数。 【规范解答】10÷1.2＝8（袋）……0.4（元） 答：小丽有10元钱可以买8袋，还剩0.4元。 高频考点讲练8：错中求解问题（小数除法) 【典例精讲】（22-23五年级上·陕西延安·期中）小数11.118除以一个数时，商的小数点往左边多移动了一位，结果为0.545，这个除数是多少？ 【答案】2.04 【思路引导】商的小数点往左边多移动了一位，即缩小到正确结果的，可以用0.545乘10，求出正确的结果；根据被除数÷除数＝商，可得除数＝被除数÷商，即用11.118除以正确的商即可求出除数。 【规范解答】由分析可得： 0.545×10＝5.45 11.118÷5.45＝2.04 答：这个数是2.04。 【考点剖析】本题是小数除法的应用，解题的关键是明确小数点向左移动一位，即为缩小到原来的。 【变式训练】（22-23五年级上·陕西铜川·期中）小马虎在计算3.69除以一个数时，由于商的小数点向右多点了一位，结果得24.6，这道题的除数是（    ）。 A．2.46 B．1.5 C．3.28 D．2.26 【答案】B 【思路引导】首先据题意得出正确的商是多少，即把24.6的小数点向左移动一位，然后根据：被除数÷商＝除数，进行解答。 【规范解答】正确的商是2.46。 3.69÷2.46＝1.5 小马虎在计算3.69除以一个数时，由于商的小数点向右多点了一位，结果得24.6，这道题的除数是1.5。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查除数是小数的除法运算，求出原来的商是解答本题的关键。 高频考点讲练9：用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北宜昌·期末）列竖式计算。 （1）5.2×3.05＝        （2）4.05×0.38≈（得数保留两位小数） （3）5.88÷5.6＝        （4）1.465÷2.5≈（商精确到百分位） 【答案】（1）15.86；（2）1.54 （3）1.05；（4）0.59 【思路引导】小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足； 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算； 保留两位小数，看千分位上的数，再根据“四舍五入”法进行解答；精确到百分位，就是保留两位小数，看千位上的数，再根据“四舍五入”法进行解答。 【规范解答】（1）5.2×3.05＝15.86        （2）4.05×0.38≈1.54                     （3）5.88÷5.6＝1.05            （4）1.465÷2.5≈0.59                 【变式训练】（23-24五年级上·浙江·期末）如图，哪个国家的5G套餐更便宜，每月便宜了多少元？正确的选项是（    ）。 A．中国，便宜了约55元 B．芬兰，便宜了约55元 C．中国，便宜了约17欧元 D．芬兰，便宜了约7欧元 【答案】A 【思路引导】已知1欧元约等于7.82元人民币，则35欧元就有35个7.82元人民币，可用乘法计算出35欧元相当于多少人民币，比较大小后，再用减法计算，结果采用“四舍五入”法保留整数即可得解。 【规范解答】（元） （元）（元） 中国的5G套餐更便宜，每月便宜了约55元。 故答案为：A 高频考点讲练10：用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】（25-26五年级上·辽宁·课前预习）根据当时人民币汇率填一填。（结果保留两位小数） 中国人民银行 2023年1月×日 1美元兑换人民币6.34元 1欧元兑换人民币7.19元 100日元兑换人民币5.58元 1英镑兑换人民币8.59元 (1)1000元人民币可以兑换( )美元。12.5欧元可以兑换人民币( )元。2500元人民币可以兑换( )英镑。 (2)在美国留学的表妹送给娜娜一套《疯狂动物城》（如下图），折合人民币约是( )元；娜娜给表妹回赠了一套牙膏（如下图），折合美元约是( )美元。 【答案】(1) 157.73 89.88 291.04 (2) 193.37 31.23 【思路引导】（1）人民币面值÷1美元兑换的人民币＝相应人民币兑换的美元；欧元面值×1欧元兑换的人民币＝相应欧元兑换的人民币；人民币面值÷1英镑兑换的人民币＝相应人民币兑换的英镑。保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 （2）美元面值×1美元兑换的人民币＝人民币面值；人民币面值÷1美元兑换的人民币＝相应人民币兑换的美元，据此列式计算。 【规范解答】（1）1000÷6.34≈157.73（美元） 12.5×7.19≈89.88（元） 2500÷8.59≈291.04（英镑） 1000元人民币可以兑换157.73美元。 12.5欧元可以兑换人民币89.88元。 2500元人民币可以兑换291.04英镑。 （2）30.5×6.34＝193.37（元） 198÷6.34≈31.23（美元） 在美国留学的表妹送给娜娜一套《疯狂动物城》，折合人民币约是193.37元；娜娜给表妹回赠了一套牙膏，折合美元约是31.23美元。 【变式训练】（24-25五年级上·山西晋城·期末）竖式计算。 56÷35＝            6.29÷1.7＝ 3.09÷1.5＝            1.69÷1.8≈（保留两位小数） 【答案】1.6；3.7； 2.06；0.94 【思路引导】除数是整数的小数除法：按照整数的法则去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐；如果被除数比除数小，商的个位上写“0”；如果被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除； 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算； 保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答。 【规范解答】56÷35＝1.6        6.29÷1.7＝3.7                        3.09÷1.5＝2.06                 1.69÷1.8≈0.94             高频考点讲练11：判定被除数的最大值和最小值 【典例精讲】（20-21五年级上·广东深圳·期中）一个数除以3.8，商是两位小数，保留一位小数约是2.6，这个数最小是多少？ 【答案】9.69 【思路引导】由于商保留一位小数后约是2.6，五入法求出的商是最小的，即2.55，所以被除数也是最小的，根据公式：被除数＝除数×商。把数代入公式即可求出这个数最小是多少。 【规范解答】“五入”得到的2.6最小是2.55。 2.55×3.8＝9.69 答：这个数最小是9.69。 【变式训练】（22-23五年级上·陕西铜川·期中）5.832除以一个不为0的数，所得的商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2，除数最小是多少？ 【答案】1.8 【思路引导】取一个小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大；要考虑3.2是一个两位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的3.2最大是3.24，“五入”得到的3.2最小是3.15，根据除数＝被除数÷商，用5.832除以“四舍”得到的数，即可求出除数最小。 【规范解答】商3.2保留一位小数得到的商最大是3.24； 5.832÷3.24＝1.8 答：除数最小是1.8。 【考点剖析】解答本题的关键是根据商是一个两位数，商保留一位小数时3.2，确定商最大值是多少，利用被除数、除数和商之间的关系进行解答。 高频考点讲练12：被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西延安·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2.6×0.8( )2.6           5.85÷0.9( )5.85 2.5×1.3×4( )2.5×4×1.3          3.9÷1.5( )3.9×1.5 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＜ 【思路引导】（1）一个大于0的数乘小于1的数，积比原来的数小； （2）被除数大于0时，被除数除以小于1的数，所得结果一定大于原来这个数； （3）把2.5×1.3×4转化为2.5×（1.3×4），2.5×4×1.3转化为2.5×（4×1.3），由乘法交换律a×b＝b×a可知，1.3×4＝4×1.3，那么括号两边算式的结果相等； （4）被除数大于0时，被除数除以大于1的数，所得结果一定小于原来这个数；一个大于0的数乘大于1的数，积比原来的数大；先比较括号两边算式和3.9的大小关系，再比较3.9÷1.5和3.9×1.5的大小关系，据此解答。 【规范解答】（1）因为0.8＜1，所以2.6×0.8＜2.6； （2）因为0.9＜1，所以5.85÷0.9＞5.85； （3）2.5×1.3×4＝2.5×（1.3×4），2.5×4×1.3＝2.5×（4×1.3），因为1.3×4＝4×1.3，所以2.5×1.3×4＝2.5×4×1.3； （4）因为1.5＞1，则3.9÷1.5＜3.9，3.9×1.5＞3.9，所以3.9÷1.5＜3.9×1.5。 综上所述，2.6×0.8＜2.6，5.85÷0.9＞5.85，2.5×1.3×4＝2.5×4×1.3，3.9÷1.5＜3.9×1.5。 【变式训练】（24-25五年级上·四川成都·期末）在括号填上“＞”“＜”“＝”。 7.6÷0.6( )7.6×0.6   2.5×1.5( )2.4×1.6   3.5×3.7( )3.6×3.6 【答案】 ＞ ＜ ＜ 【思路引导】一个数（0除外）除以一个小于1的数，商大于原数；一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于原数；据此解答第一题； 分别计算出括号两边算式的结果，再按照小数比较大小的方法比较大小；据此解答第二空、第三空。 【规范解答】因为0.6＜1，所以7.6÷0.6＞7.6，7.6×0.6＜7.6，所以7.6÷0.6＞7.6×0.6 2.5×1.5＝3.75，2.4×1.6＝3.84，3.75＜3.84，所以2.5×1.5＜2.4×1.6 3.5×3.7＝12.95，3.6×3.6＝12.96，12.95＜12.96，所以3.5×3.7＜3.6×3.6 高频考点讲练13：用“进一法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·福建泉州·期中）在解决下面的问题时，计算结果要用“进一法”的是（    ）。 A．每千克面粉3.5元，买0.84千克需要多少钱？ B．一个面包用面粉0.3千克，0.84千克面粉可以做几个这样的面包？ C．一个面包18元，2个面包共多少钱？ D．一个袋子最多装6个面包，20个面包至少要准备几个这样的袋子才能装完？ 【答案】D 【思路引导】A．已知每千克面粉3.5元，根据“总价＝单价×数量”求出要买0.84千克面粉所需的钱数。 B．已知一个面包用面粉0.3千克，求0.84千克面粉可以做几个这样的面包，就是求0.84里面有几个0.3，用除法计算，得数采用“去尾法”取整数。 C．已知一个面包18元，根据“总价＝单价×数量”求出2个面包的总钱数； D．已知一个袋子最多装6个面包，求20个面包至少要准备几个这样的袋子才能装完，就是求20里面有几个6，用除法计算，得数采用“进一法”取整数。 【规范解答】A．3.5×0.84＝2.94（元） 计算结果不用“进一法”保留整数。 B．0.84÷0.3≈2（个） 计算结果要用“去尾法”保留整数。 C．18×2＝36（元） 计算结果不用“进一法”保留整数。 D．20÷6≈4（个） 计算结果要用“进一法”保留整数。 故答案为：D 【变式训练】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）一根64米长的彩带，每1.4米剪一段做中国结，这根彩带可以做多少个这样的中国结？如果将这些中国结装入盒子，每6个装一盒，至少需要多少个盒子？ 【答案】45个；8个 【思路引导】这根彩带可以做多少个这样的中国结，就是求64米里面有几个1.4米，根据除法的意义，用64除以1.4即可解答，结果需要用“去尾法”取整数值；用求得的中国结的数量除以6，即可求出至少需要多少个盒子，结果要用“进一法”取整数值。 【规范解答】64÷1.4≈45（个） 45÷6≈8（个） 答：这根彩带可以做45个这样的中国结。至少需要8个盒子。 高频考点讲练14：用“去尾法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江金华·期末）下列问题适合用“”的是（    ）。 A．将2.5kg油分装在玻璃瓶里，每瓶可装0.4kg，需要几个瓶子？ B．红绳长2.5米，蓝绳长0.4米，红绳的长度是蓝绳的多少倍？ C．用2.5米的红绳捆礼盒，每个需要0.4米长，这根红绳能捆多少个礼盒？ D．把2.5米的红绳平均截成4段，每段长多少米？ 【答案】A 【思路引导】表示算式的商是6.25，进一法保留近似数后是7，据此逐个选项分析，各个问题需要“去尾法”还是“进一法”取得近似数，或者不需要取近似数，据此解答。 【规范解答】A．分装液体问题，用油的重量除以瓶子的容量，结果不为整数时需要用“进一法”取近似数，题目的算式适合该选项； B．求一个数是另一个数的几倍，用红绳长度除以蓝绳长度，结果不需要取近似数，题目的算式不适合该选项； C．用绳子捆扎礼盒的问题，用绳长度除以捆扎每个礼盒所需的绳长度，结果不为整数时需要用“去尾法”取近似数，题目的算式不适合该选项； D．平均分问题，用红绳长度除以份数，列式为2.5÷4，与题干算式不符；且结果不需要取近似数，题目的算式不适合该选项。 故答案为：A 【变式训练】（23-24五年级上·四川成都·期末）星光养殖场计划给职工订制一批工作服，这种工作服每件需要红色面料布2.2米，灰色里料布1.8米。制衣店现有这种红色面料布100米，灰色里料布99米，最多能做多少件这样的工作服？ 【答案】45件 【思路引导】根据除法的意义，分别用100除以2.2、99除以1.8，求出红色面料布、灰色里料布各能做几件工作服的面料和里料，结果需要用“去尾法”取整数值。比较两个结果，其中的较小值就是能做工作服的件数。 【规范解答】100÷2.2≈45（件） 99÷1.8＝55（件） 45＜55 答：最多能做45件这样的工作服。 高频考点讲练15：循环小数的认识与简写 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）28÷6.5（保留三位小数）      0.568÷0.14（保留两位小数）     38.6÷11（商用循环小数表示） 【答案】4.308；4.06； 【思路引导】除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）﹔然后按除数是整数的小数除法进行计算。 除数是整数的小数除法，可以按整数除法算，商的小数点和被除数的小数点对齐。 循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。会在循环的数字上面点上小圆点来表示。 根据四舍五入法求商的近似数，找到要求保留的数位看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 【规范解答】 28÷6.5≈4.308            0.568÷0.14≈4.06            38.6÷11＝      【变式训练】（24-25五年级上·河南商丘·期末）列竖式计算，带※的要验算。 2.08÷1.6＝    ※6.3÷0.45＝    34÷2.7＝（结果用循环小数表示） 【答案】1.3；14； 【思路引导】除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算； 除法的验算用乘法；被除数÷除数＝商，被除数＝商×除数； 循环小数的简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 【规范解答】2.08÷1.6＝1.3      6.3÷0.45＝14            验算： 34÷2.7＝ 高频考点讲练16：有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】（23-24五年级上·陕西宝鸡·期中）这五个数中，是循环小数的有( )；有限小数有( )个。 【答案】 2 【思路引导】有限小数：小数部分的位数是有限的小数。无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出，这样的小数叫做循环小数。循环小数是无限小数。 据此判断解答。 【规范解答】这五个数中， 循环小数有 有限小数有7.83333和4.253425共2个。 【变式训练】（23-24五年级上·广东深圳·期末）下列数中不是循环小数的是（    ）。 A．1.48383… B．0.1875875… C．4.252525 D． 【答案】C 【思路引导】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环小数一定是无限小数。 【规范解答】A．1.48383…的小数部分从百分位开始，8和3依次不断重复出现，所以1.48383…是循环小数。 B．0.1875875…的小数部分从百分位开始，8、7和5依次不断重复出现，所以0.1875875…是循环小数。 C．4.252525的小数部分虽然是由2和5两个数字重复组成的，但是这两个数字在小数部分只重复出现了3次，这是一个有限小数，所以4.252525不是循环小数。 D．的小数部分从十分位开始，8和6依次不断重复出现，所以是循环小数。 故答案为：C 高频考点讲练17：循环小数比大小 【典例精讲】（24-25五年级上·北京怀柔·期末）估一估，分别在下图中标出下列算式结果的大概位置。 【答案】图见详解 【思路引导】小数大小的比较方法与整数基本相同，即从高位起，依次把相同数位上的数加以比较，因此，比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大。 小数乘法法则：先把乘数和另一个乘数都看作整数，按照整数的乘法法则进行计算，求出整数乘法的积，然后，再看乘数和另一个乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点，如果小数的末尾出现0时，根据小数的基本性质，要把它去掉。 小数除法法则：当除数是整数时，按照整数除法的方法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。当除数是小数时，利用商不变的性质，将除数转化为整数，再进行计算。计算过程中，如果除到被除数的末尾还有余数，就在余数后面添0继续除。 分别计算出4.2÷4的商，2.5×1.4的乘积，5÷0.99的商，再分别与图中的数进行比较来确定算式结果的大概位置。 【规范解答】5÷0.99＝5.050505… 4.2÷4＝1.05 2.5×1.4＝3.5 1＜1.05＜3＜3.5＜5＜5.050505... 所以4.2÷4的结果靠近1，2.5×1.4的结果位于3与4的中间，5÷0.99的商靠近5。 如图： 【变式训练】（24-25五年级上·安徽阜阳·期中）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.58( )7.58×0.99        1.24÷1.26( )1.24        ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＜ 【思路引导】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数，乘大于1的数，积大于这个数；除以大于1的数，商小于这个数，除以小于1的数，商大于这个数。 多位小数的大小比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；若整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。循环小数比较大小，先将简便写法改写成一般写法，再比较大小即可。 【规范解答】0.99＜1，所以7.58＞7.58×0.99。 1.26＞1，所以1.24÷1.26＜1.24 ＝0.8777…     ＝ 0.878787… 0.8777…＜0.878787…，所以＜。 高频考点讲练18：循环小数和周期性规律综合问题 【典例精讲】（24-25五年级上·河南商丘·期末）循环小数3.8959595…，将它四舍五入保留两位小数约是( )，它的小数部分第25位上的数字是( )。 【答案】 3.90 5 【思路引导】根据保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一；通过对循环小数3.8959595…的分析，可以发现该小数点后面从第2位数字开始循环，循环节是95，求第25位上的数字是什么，即用25－1，再用减出的差除以2，得出的商如果余数是1，就代表循环节中的第1个数字，没有余数，就代表是循环节中最后一个数字；据此解答。 【规范解答】（25－1）÷2 ＝24÷2 ＝12 循环小数3.8959595…，将它四舍五入保留两位小数约是3.90，它的小数部分第25位上的数字是5。 【变式训练】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）78.6÷2.2的商用循环小数表示是( )，保留三位小数是( )，小数点后面第15位的数字是( )。 【答案】 35.727 7 【思路引导】先根据除数是小数的小数除法算出78.6÷2.2的商，商的小数部分以7272…依次不断重复出现，所以商是循环小数，先用循环小数表示商，再保留三位小数，看小数点后面第4位的数字，根据“四舍五入”法取近似数。 商是循环小数，循环节是72，每2个数字一循环，求小数点后面第15位的数字就是求15里面有几个2，用除法计算；然后根据余数的情况，判断出小数点后面第15位的数字。 【规范解答】78.6÷2.2＝35.7272…＝ 78.6÷2.2≈35.727 15÷2＝7……1 余数是1表示是一个循环里的第一个数，即7。 78.6÷2.2的商用循环小数表示是，保留三位小数是35.727，小数点后面第15位的数字是7。 高频考点讲练19：小数的连除运算 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江金华·期末）递等式计算。                   【答案】40；3 15；0.78 【思路引导】37.5＋12.5÷5，先计算除法，再计算加法。 3.6÷0.4－1.2×5，先计算除法和乘法，再计算减法。 （2.68＋1.52）÷0.28，先计算括号里的加法，再计算括号外的除法。 7.8÷2.5÷4，根据除法性质，原式化为：7.8÷（2.5×4），再进行计算。 【规范解答】37.5＋12.5÷5 ＝37.5＋2.5 ＝40 3.6÷0.4－1.2×5 ＝9－6 ＝3 （2.68＋1.52）÷0.28 ＝4.2÷0.28 ＝15 7.8÷2.5÷4 ＝7.8÷（2.5×4） ＝7.8÷10 ＝0.78 【变式训练】（24-25五年级上·四川成都·期末）脱式计算，能简便计算的要简便计算。 20.4－8.6÷2.5          5.6×1.3＋4.4×1.3          123.5÷1.25÷0.8 【答案】16.96；13；123.5 【思路引导】先算除法，再算减法； 根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c的逆运算：a×b＋a×c＝a×（b＋c），把原式化为（5.6＋4.4）×1.3进行简算； 根据减法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），把原式化为：123.5÷（1.25×0.8）进行简算。 【规范解答】20.4－8.6÷2.5 ＝20.4－3.44 ＝16.96 5.6×1.3＋4.4×1.3 ＝（5.6＋4.4）×1.3 ＝10×1.3 ＝13 123.5÷1.25÷0.8 ＝123.5÷（1.25×0.8） ＝123.5÷1 ＝123.5 高频考点讲练20：小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】（24-25五年级上·河南商丘·期末）爸爸和明明准备自驾到蓬莱旅行，每次出游之前明明都有查看地图的习惯，他惊讶地说道：“哇，这么远！有740千米。”爸爸这辆车的油箱加满需要50升的汽油，油耗是8个油。他们加满一箱油，中途若不再加，到蓬莱够用吗？ 油耗“8个油”指的是“平均每行驶100千米需要消耗掉8升的汽油”。 【答案】不够 【思路引导】到蓬莱的路程包含几个100千米，就需要几个8升汽油，据此用740千米先除以100千米再乘8升就能求出全路程中需要用汽油多少升，若大于油箱装满时的50升则说明汽油不够用，反之则说明一箱油够用，据此解答。 【规范解答】 （升） 因为，所以到蓬莱不够用。 答：他们加满一箱油，中途若不再加，到蓬莱不够用。 【变式训练】（24-25五年级上·河南商丘·期末）中国网球运动员郑钦文在2024年巴黎奥运会成功斩获女子单打冠军，她的打法以强大的力量和进攻性著称。经测量，郑钦文所发的某个球3秒可以飞0.15千米，照这个速度，5.4秒可以飞多少千米？下面列式正确的有（    ）。 ①    ②    ③    ④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【思路引导】根据把一个数平均分成几份，求每份是多少，用除法计算，由题意可知，方法一：可先计算每秒飞的距离，用0.15除以3，再计算5.4个这样的距离是多少，用乘法计算；方法二：可先计算5.4里面有几个3，用5.4除以3，有几个3就有几个0.15的距离，再用几乘0.15，据此解答。 【规范解答】据分析可知，中国网球运动员郑钦文在2024年巴黎奥运会成功斩获女子单打冠军，她的打法以强大的力量和进攻性著称。经测量，郑钦文所发的某个球3秒可以飞0.15千米，照这个速度，5.4秒可以飞多少千米？正确的列式有两种方法：方法一：方法二：5.4÷3×0.15。 故答案为：C 高频考点讲练21：小数的四则运算及法则 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西渭南·期末）计算下列各题。 （4.8＋0.12）÷0.8    17.5÷5＋19.7    28÷0.25÷0.4 【答案】6.15；23.2；280 【思路引导】（1）先算括号里面的加法，再算括号外面的除法； （2）先算除法，再算加法； （3）根据除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c）把28÷0.25÷0.4变成28÷（0.25×0.4），再按顺序计算。 【规范解答】（1）（4.8＋0.12）÷0.8 ＝4.92÷0.8 ＝6.15 （2）17.5÷5＋19.7 ＝3.5＋19.7 ＝23.2 （3）28÷0.25÷0.4 ＝28÷（0.25×0.4） ＝28÷0.1 ＝280 【变式训练】（23-24五年级下·安徽淮北·期中）脱式计算，能简算的要简算。 0.25×16.2×4        （1.25－0.125）×8      7.28－0.28÷0.4 【答案】16.2；9；6.58 【思路引导】（1）根据乘法交换律a×b×c＝a×c×b把算式写成0.25×4×16.2，再进一步计算即可； （2）根据乘法分配律（a－b）×c＝a×c－b×c把算式写成1.25×8－0.125×8，再进一步计算； （3）按照先算除法，再算减法的顺序计算即可。 【规范解答】0.25×16.2×4 ＝0.25×4×16.2 ＝1×16.2 ＝16.2        （1.25－0.125）×8    ＝1.25×8－0.125×8 ＝10－1 ＝9   7.28－0.28÷0.4 ＝7.28－0.7 ＝6.58 高频考点讲练22：小数除法相关的简便计算 【典例精讲】（23-24五年级上·山西晋城·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）8.4÷0.6＋8.4÷0.4                    （2）2.5×5.49×4 （3）7.36×9.9＋0.736                      （4）65.5÷12.5÷0.08 【答案】（1）35；（2）54.9 （3）73.6；（4）65.5 【思路引导】（1）根据运算顺序，先计算两个除法，再计算加法； （2）根据乘法交换律，把式子转为2.5×4×5.49进行简算； （3）把0.736看作（7.36×0.1），再根据乘法分配律，把式子转化为7.36×（9.9＋0.1）进行简算； （4）根据除法的性质，把式子转化为65.5÷（12.5×0.08）进行简算。 【规范解答】（1）8.4÷0.6＋8.4÷0.4 ＝14＋21 ＝35 （2）2.5×5.49×4 ＝2.5×4×5.49 ＝10×5.49 ＝54.9 （3）7.36×9.9＋0.736 ＝7.36×9.9＋7.36×0.1 ＝7.36×（9.9＋0.1） ＝7.36×10 ＝73.6 （4）65.5÷12.5÷0.08 ＝65.5÷（12.5×0.08） ＝65.5÷1 ＝65.5 【变式训练】（23-24五年级上·山西运城·期中）计算下面各题。                   【答案】1.44；8 2.3；1.8 【思路引导】，根据除法的性质，将后两个数先乘起来再计算； ，将除法加上小括号，先算除法，再算乘法； ，根据乘法分配律的简便计算方法，小括号里的数分别与4相除，再相加； ，同时算出两边的除法和乘法，最后算减法。 【规范解答】 ＝7.2÷（2.5×2） ＝7.2÷5 ＝1.44 ＝1.6×（1.5÷0.3） ＝1.6×5 ＝8 ＝2.4÷4＋6.8÷4 ＝0.6＋1.7 ＝2.3 ＝2－0.2 ＝1.8 高频考点讲练23：利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】（24-25四年级下·河北邯郸·期中）下面是某文具店美工用品销售价格。 （1）梦梦买了一盒彩笔和一把美工刀，付给收银员50元，应找回多少元？ （2）荣老师买了三包彩纸和一把剪刀，一共需要多少元？ （3）华华有20元，想买上面三样商品（每样商品买的数量是1件），她可以买哪三样商品？ （4）同同买了一卷长2.5米的细铁丝，准备用细铁丝做骨架，做一个等腰三角形风筝。她设计的风筝有一条边是0.7米，要想用这卷细铁丝做一个风筝，另外两条边分别长多少？（细铁丝刚好用完） 【答案】（1）27.7元； （2）51.94元； （3）买一把剪刀，一卷细铁丝和一把美工刀； （4）0.7米；1.1米或0.9米；0.9米 【思路引导】（1）根据题意，用购买一盒彩笔的钱数加上一把美工刀的钱数，求出购买一盒彩笔和一把美工刀的钱数，再用50元减去购买一盒彩笔和一把美工刀的钱数，即可求出应找回多少元； （2）根据总价＝单价×数量，用14.8×3，求出购买三包彩纸的钱数，再用购买三包彩纸的钱数加上一把剪刀的钱数，即可求出一共需要多少元； （3）根据每件商品的单价，选出20元可以买的三样商品即可；一把剪刀7.54元，一卷细铁丝6.4元，一把美工刀4.5元，即7.54＋6.4＋4.5＝18.44元，据此解答即可； （4）等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。一种情况是：假如风筝相等的两条边都是0.7米，即0.7×2＝1.4米，那么另外一条边是2.5－1.4＝1.1米，另一种情况是：用细铁丝的总长度减去已知风筝一条边的长度，2.5－0.7＝1.8米，求出剩下铁丝的长度，再用剩下铁丝的长度除以2，用1.8÷2＝0.9米，求出剩下两条边的长度，据此解答即可。 【规范解答】（1）50－（17.8＋4.5） ＝50－22.3 ＝27.7（元） 答：应找回27.7元。 （2）14.8×3＋7.54 ＝44.4＋7.54 ＝51.94（元） 答：一共需要51.94元。 （3）7.54＋6.4＋4.5 ＝13.94＋4.5 ＝18.44（元） 18.44元＜20元 答：她可以买一把剪刀，一卷细铁丝和一把美工刀三样商品。 （4）等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，若风筝相等的两条边都是0.7米 2.5－0.7×2 ＝2.5－1.4 ＝1.1（米） 若风筝相等的底边都是0.7米 （2.5－0.7）÷2 ＝1.8÷2 ＝0.9（米） 答：一种是另外两条边分别长0.7米和1.1米，另一种是另外两条边分别长0.9米和0.9米。 【变式训练】（24-25五年级上·浙江金华·期末）水果糖15.2元/千克，酥糖24.8元/千克，巧克力32元/千克，现三种糖各取1千克混合，以下单价中，混合后的糖定价为（    ）元/千克合适。 A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】B 【思路引导】总价÷数量＝单价，据此把三种糖的单价相加，求出3千克混合糖的总价，再除以3，即可求出混合后的糖每千克多少元。 【规范解答】（15.2＋24.8＋32）÷（1＋1＋1） ＝72÷3 ＝24（元） 则混合后的糖定价为24元/千克合适。 故答案为：B 高频考点讲练24：分段计费问题（小数除法) 【典例精讲】（24-25五年级上·河南商丘·期末）今年十一期间，河南许昌胖东来接待游客超过300万人次，客流量比河南接待量最大的前五名5A景区加一块还要多。来自永城的乐乐一家开车到胖东来天使城店购物，由于胖东来停车场已满，所以他们将车停在附近的停车场（收费标准如下）。他们驾车离开停车场时共支付15.5元停车费，他们最多停了多长时间？ 停车标准 1小时内：5元 超过1小时：超过的部分每半小时加收1.5元，不足半小时按半小时算。 【答案】4.5小时 【思路引导】用支付的停车费减去5元，求出超过1小时的停车费；再用超过1小时的停车费除以1.5，再除以2，求出超过1小时的停车时间；最后用超过1小时的停车时间加上1小时，求出他们最多停了多长时间。 【规范解答】（15.5－5）÷1.5÷2＋1 ＝10.5÷1.5÷2＋1 ＝7÷2＋1 ＝3.5＋1 ＝4.5（小时） 答：他们最多停了4.5小时。 【变式训练】（24-25五年级上·安徽阜阳·期中）自来水公司为鼓励居民节约用水，采用“分段计费”的方法按月收取水费：用水量在12吨及以内的，按每吨2元收费；超过12吨的部分，则提高收费标准，按每吨3元收费。 （1）王叔叔家7月份的用水量为15.1吨，他家这个月的水费是多少元？ ①分析与解答：借助线段图分析。 ②列式解答。 （2）王叔叔家8月份缴纳水费36.12元，这个月他家用水多少吨？ 【答案】（1）①画图见详解 ②33.3元 （2）16.04吨 【思路引导】（1）12吨位标准，12吨及以内，每吨2元收费，用2×12，求出标准内缴纳的水费的钱数；再用王叔叔家用水量－标准12吨，求出超出部分用水量，再用超出部分的用水量×超出部分用水量的收费标准，即（15.1－12）×3，求出超出部分缴纳水费的钱数，再用标准部分用水量的缴纳水费＋超出标准部分用水量的缴纳的水费，求出王叔叔家7月份缴纳的水费，据此填图解答。 （2）先用2×12，求出标准内应缴水费，再用王叔叔家8月份缴纳的水费减去标准内缴纳的水费，求出超出部分缴纳的水费，再用超出部分缴纳水费除以超出标准部分每吨的钱数，即可求出超出标准的用水量，再加上标准用水量，即可解答。 【规范解答】（1）①如图： ②2×12＋（15.1－12）×3 ＝24＋3.1×3 ＝24＋9.3 ＝33.3（元） 答：他家这个月的水费是33.3元。 （2）（36.12－12×2）÷3＋12 ＝（36.12－24）÷3＋12 ＝12.12÷3＋12 ＝4.04＋12 ＝16.04（吨） 答：这个月他家用水16.04吨。 【演练1】（2024·广东清远·小升初真题）“纸鸢”就是风筝，发明距今已有2000多年的历史。希望小学准备举行风筝节，手工兴趣小组用了20平方米的纸来做蝴蝶风筝，最多可以做几个？ 【答案】80个 【思路引导】用纸的总面积除以做一个风筝需要的面积，即可求出最多可以做几个。 【规范解答】20÷0.25＝80（个） 答：最多可以做80个。 【演练2】（2024·福建泉州·小升初真题）根据算式“0.08×7.7×65＝40.04”填空。 65×0.77×0.8＝ 　        　    0.08×1.1× ×65＝40.04 40.04÷0.08÷ ＝6.5    400.4÷65÷0.08＝ 【答案】 40.04 7 77 77 【思路引导】如果一个因数乘或除以一个数（0除外），另一个因数相应的除以或乘同一个数，那么，它们的积不变。 根据积÷一个因数＝另一个因数，把0.08×7.7×65＝40.04化成40.04÷0.08÷7.7＝65、40.04÷65÷0.08＝7.7，然后再根据商的变化规律，被除数不变，除数乘或除以一个数（0除外），则商相应的除以或乘这个数；除数不变，被除数乘或除以一个数（0除外），则商相应的乘或除以这个数。 【规范解答】65×0.77×0.8＝40.04    0.08×1.1×7×65＝40.04 40.04÷0.08÷77＝6.5    400.4÷65÷0.08＝77 【演练3】（2024·吉林长春·小升初真题）小新买了3支钢笔用了10.8元，买3支圆珠笔用了3.6元，钢笔的单价是圆珠笔的几倍？ 【答案】3倍 【思路引导】已知买了3支钢笔用了10.8元，买3支圆珠笔用了3.6元，根据“单价＝总价÷数量”，分别求出钢笔、圆珠笔的单价；再用钢笔的单价除以圆珠笔的单价，即是钢笔的单价是圆珠笔的几倍。 【规范解答】钢笔的单价：10.8÷3＝3.6（元） 圆珠笔的单价：3.6÷3＝1.2（元） 3.6÷1.2＝3 答：钢笔的单价是圆珠笔的3倍。 【演练4】（2023·四川成都·小升初真题）某市出租车起步价为10元4千米（不足4千米按4千米计算），以后每增加1千米车费增加元（不足1千米按1千米计算）。校长从家到单位，全程乘出租车需付22元，如果前一半路程先乘公交车，剩下的一半路程乘出租车，需付出租车费( )元。 【答案】13 【思路引导】先求出从家到单位的路程是多远，再按计费标准，求出半程的出租车费，据此解答。 【规范解答】4＋（22－10）÷1.5 ＝4＋12÷1.5 ＝4＋8 ＝12（千米） 10＋（12÷2－4）×1.5 ＝10＋2×1.5 ＝10＋3 ＝13（元） 因此剩下的一半路程乘出租车，需付出租车费13元。 【考点剖析】本题考查分段计费问题，“总费用＝起步价10元＋增加的千米数（不足1千米按1千米计算）×1.5元”的灵活应用是解题关键。 【演练5】（2022·四川成都·小升初真题）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车，乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 【答案】11分钟 【思路引导】假设甲、乙在同一起点遇到一辆电车时开始步行，10分钟后甲、乙之间的距离为他们的速度差乘步行的时间，此时甲遇到迎面开来的电车，这辆电车还要经过15秒再与乙相遇，据此用路程除以相遇时间可以求出乙与电车的速度和，进而求出电车的速度；甲在遇到第一辆电车后，经过10分钟遇到第二辆电车，由此可知，两辆电车相距甲、电车共行10分钟的路程，用这个路程除以电车的速度，即是两辆电车发车相隔的时间。 【规范解答】10分15秒＝10.25分 （82－60）×10÷（10.25－10）－60 ＝22×10÷0.25－60 ＝220÷0.25－60 ＝880－60 ＝820（米） （82＋820）×10÷820 ＝9020÷820 ＝11（分） 答：电车总站每隔11分钟开出一辆电车。 【考点剖析】此题主要考查解决追及问题、相遇问题的能力，解答时读懂题意，理解各数量之间的关系是解题的关键。 基础夯实 能力提升 1．（2025六年级下·全国·专题练习）王鹏的爷爷计划16天慢跑28千米，平均每天慢跑多少千米？他列出了如图的竖式，请你观察如图竖式，想一想：添0继续除，表示120个（    ）。 A．一 B．十分之一 C．百分之一 D．千分之一 【答案】B 【思路引导】根据小数除法的竖式可知，被除数添加的第一个“0”在十分位上，所以方框中的120表示120个十分之一。 【规范解答】方框中的“120”中“0”在十分位上，所以表示120个（十分之一）。 故答案为：B 2．（22-23五年级上·辽宁铁岭·期末）计算2.8÷1.25时，如果把除数的小数点去掉，要使商不变，被除数的小数点应向右移动( )位。 【答案】两 【思路引导】商不变的性质为被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。除数是1.25，把除数的小数点去掉后，1.25就变成了125，从1.25到125，小数点向右移动了两位，相当于除数1.25乘100；根据商不变的性质，要使商不变，被除数也要乘100， 被除数是2.8，2.8乘100，就是把2.8的小数点向右移动两位，得到280。 【规范解答】除数1.25去掉小数点变为125，相当于1.25乘100，小数点右移两位，要使商不变，被除数2.8也需乘100，即小数点向右移动两位。所以，要使商不变，被除数的小数点应向右移动两位。 3．（24-25五年级上·安徽淮北·期末）计算下面各题。（能简算的可以简算） （2－0.32×4）÷1.8        0.25×23.6×4        6.38×101－6.38 【答案】0.4；23.6；638 【思路引导】根据四则运算顺序，有括号先算括号里面的，括号里先算乘法，再算减法，最后算括号外面的除法； 观察到0.25和4相乘可凑整，根据乘法交换律和结合律，交换23.6和4的位置，先计算0.25×4，再乘23.6； 把算式看作6.38×101－6.38×1，两个乘法算式中都有6.38，符合乘法分配律的逆运算a×c－b×c＝（a－b）×c的形式，先计算101－1，再乘6.38。 【规范解答】（2－0.32×4）÷1.8 ＝（2－1.28）÷1.8 ＝0.72÷1.8 ＝0.4 0.25×23.6×4 ＝（0.25×4）×23.6 ＝1×23.6 ＝23.6 6.38×101－6.38 ＝6.38×101－6.38×1 ＝6.38×（101－1） ＝6.38×100 ＝638 4．（25-26五年级上·全国·课后作业）为了让“倡导低碳生活”的环保理念更加深入人心，五（2）班开展了“节能减排，低碳生活”的主题班会。开展班会后两位同学的对话如下。谁家平均每天的用电量更少？ 【答案】海海家 【思路引导】根据“用电总量÷用电天数＝平均每天的用电量”分别算出两家平均每天的用电量，再进行比较。 【规范解答】海海家：   乐乐家：    答：海海家平均每天的用电量更少。 5．（22-23五年级上·安徽淮南·期末）已知A、B两地之间的路长48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路。刘叔叔骑摩托车从A地到B地办事，办完事后再沿原路返回，去时用了3小时，返回时用了2.6小时。已知走下坡路每小时行20千米，走上坡路每小时行多少千米？ 【答案】15千米 【思路引导】由题意可知，从A地到B地的上坡路程就是从B地到A地的下坡路程，从A地到B地的下坡路程就是从B地到A地的上坡路程，在整个往返的过程中，上坡的总路程和下坡的总路程都是48千米，下坡的时间＝下坡的路程÷下坡的速度，上坡的时间＝往返的总时间－下坡的时间，上坡的速度＝上坡的路程÷上坡的时间，据此解答。 【规范解答】下坡的时间：48÷20＝2.4（小时） 上坡的时间：3＋2.6－2.4 ＝5.6－2.4 ＝3.2（小时） 上坡的速度：48÷3.2＝15（千米） 答：走上坡路每小时行15千米。 创新拓展 拔尖冲刺 6．（24-25五年级上·安徽淮北·期末）下边竖式中圈出的数表示24个（    ）。 A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 【答案】B 【思路引导】一个数在哪个数位上，就表示这个数位上有几个这样的计数单位；竖式中24的“4”在被除数的十分位上，所以竖式中的24表示24个0.1。据此解答即可。 【规范解答】根据分析可知，竖式中圈出的数表示24个0.1。 故答案为：B 7．（22-23五年级上·辽宁沈阳·期末）10千克油菜籽可以榨菜油3.2千克，36千克油菜籽可以榨菜油多少千克？列式错误的是（    ）。 A．36÷（10÷3.2） B．36÷10×3.2 C．3.2÷10×36 D．10÷3.2×36 【答案】D 【思路引导】根据题意：求得36千克菜籽是10千克菜籽的倍数，有几倍也就是有几个3.2；可列式：36÷10×3.2；也可以求得每千克菜籽可以榨多少千克油，再乘36，就是36千克菜籽可以榨油的重量，列式为：3.2÷10×36；也可先求得每千克油需要用多少千克菜籽，再用36除之，可得36千克里含有多少这样重量的菜籽，也就是多少千克的油，列式为：36÷（10÷3.2）。据此选择。 【规范解答】由分析可知： A．36÷（10÷3.2）；每千克油需要用多少千克菜籽，再用36除之，可得36千克里含有多少这样重量的菜籽，也就是多少千克的油。列式正确。 B．36÷10×3.2；求得36千克菜籽是10千克菜籽的倍数，有几倍也就是有几个3.2。列式正确。 C．3.2÷10×36；求得每千克菜籽可以榨多少千克油，再乘36，就是36千克菜籽可以榨油的重量，列式正确。 D．10÷3.2×36，数量关系式不能正确求得36千克油菜籽可以榨菜油多少千克。列式错误。 故答案为：D 【考点剖析】本题考查了小数乘除法的应用。根据题意，正确理解乘除法所表达的意义是否符合题意，是解答本题的关键。 8．（22-23五年级上·安徽淮南·期末）列竖式计算。 0.85×7.04＝        26.18÷1.7＝ 5.06×3.7＝    16.65÷3.3≈  （得数保留两位小数） 【答案】5.984；15.4 18.722；5.05 【思路引导】小数乘法法则：按整数乘法的法则先求出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 计算除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。商保留几位小数，就算到它的下一位，再用四舍五入法取值。 【规范解答】0.85×7.04＝5.984                    26.18÷1.7＝15.4                            5.06×3.7＝18.722                              16.65÷3.3≈5.05                           9．（23-24五年级上·河南郑州·期末）为鼓励节约用水，郑州市实行居民用水“阶梯水价”，收费标准如下表所示。 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 年用水量 180立方米及以下 181－300立方米 301立方米及以上 每立方米水费（元） 3.9 5.45 10.1 （1）2023年，乐乐家前11个月累计用水104立方米，12月付水费42.9元，乐乐家12月用水多少立方米？ （2）丽丽家2023年共付水费865.5元。估一估，丽丽家的年用水量达到第（    ）阶梯，丽丽家2023年共用水多少立方米？ （3）乐乐家的用水量是丽丽家的几分之几？针对两家的用水量，你有什么建议？ 【答案】（1）11立方米 （2）二；210立方米 （3）；见详解 【思路引导】（1）根据“单价×数量＝总价”，求出第一阶梯需付的水费以及乐乐家2023年共需付的水费，相比较，由此确定乐乐家2023年的用水量处于第一阶梯； 已知乐乐家12月付水费42.9元，单价3.9元，根据“数量＝总价÷单价”求出乐乐家12月的用水量。 （2）先确定丽丽家2023年共付水费865.5元是在哪部分收费的。根据“总价＝单价×数量”，求出第一阶梯、第二阶梯一共需付的水费，经比较可知，丽丽家2023年共付的水费超过第一阶梯的水费，没有超过第二阶梯的水费，由此确定丽丽家的年用水量达到第二阶梯。 第一阶梯：用水量180立方米，单价3.9元；根据“总价＝单价×数量”，求出这一阶梯的水费； 第二阶梯：单价5.45元，这部分的水费＝865.5元－第一阶梯的水费，根据“总价÷单价＝数量”，求出这一阶梯的用水量； 最后把这两部分的用水量相加，即是丽丽家2023年的总用水量。 （3）用乐乐家的用水量除以丽丽家的用水量，即是乐乐家的用水量是丽丽家的几分之几，结果用最简分数表示。 针对两家的用水量，提出建议，合理即可。 【规范解答】（1）第一阶梯：3.9×180＝702（元） 乐乐家12个月共付水费： 3.9×104＋42.9 ＝405.6＋42.9 ＝448.5（元） 448.5＜702，所以乐乐家用水量处于第一阶梯。 42.9÷3.9＝11（立方米） 答：乐乐家12月用水11立方米。 （2）第一阶梯：3.9×180＝702（元） 第二阶梯： 5.45×（300－180） ＝5.45×120 ＝654（元） 一共：702＋654＝1356（元） 702＜865.5＜1356 所以，丽丽家的年用水量达到第二阶梯。 180＋（865.5－702）÷5.45 ＝180＋163.5÷5.45 ＝180＋30 ＝210（立方米） 答：丽丽家2023年共用水210立方米。 （3）104＋11＝115（立方米） 115÷210＝ 答：乐乐家的用水量是丽丽家的。 针对两家的用水量，我建议：乐乐家用水量较少，建议继续保持；丽丽家用水量较多，建议节约用水。（答案不唯一） 【考点剖析】本题考查分段计费问题，弄清楚每段的临界点和每段的收费标准，然后根据单价、数量、总价之间的关系列式计算。 10．（22-23五年级上·陕西宝鸡·期中）有一个数，如果把它的小数部分扩大到原来的3倍再加上整数部分，这个数就变成了8.8；如果把它的小数部分扩大到原来的7倍再加上整数部分，这个数就变成了11.2。这个数是多少？ 【答案】7.6 【思路引导】根据题意，一个数的小数部分分别扩大到原来的7倍、3倍后，再分别加上整数部分，得到11.2和8.8，因为整数部分不变，所以（11.2－8.8）的差值是小数部分（7－3）倍的差值，用除法计算，即可求出这个数的小数部分； 已知小数部分扩大到原来的3倍后加上整数部分是8.8，用8.8减去这个数的小数部分的3倍，即是这个数的整数部分； 最后合并整数部分和小数部分，得到原来的小数。 【规范解答】小数部分： （11.2－8.8）÷（7－3） ＝2.4÷4 ＝0.6 整数部分： 8.8－3×0.6 ＝8.8－1.8 ＝7 这个数：7＋0.6＝7.6 答：这个数是7.6。 【考点剖析】本题考查差倍问题，理解整数部分不变，两数的差值除以倍数差，求出这个数的小数部分是解题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$