精品解析：河南省南阳市 桐柏县方树泉中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025年秋期暑期验收九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49 4. 依据下列各图所标识的数据和符号，不能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 5. 在函数（k>0）的图像上有三点A1（x1，y1）.A2（x2.y2）.A3（x3.y3），若x1<x2<0<x3，则下列各式中，正确的有 A. y1<y2<y3 B. y3<y2<y1 C. y2<y1<y3 D. y3<y1<y2 6. 如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若AB=3，AC=6，则∠AOD等于（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 关于的不等式的解集是 C. 关于的方程的解是 D. 关于，的方程组的解为 8. 如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB＝17，BD＝16，AE＝25，则DE的长度为( ) A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 9. “无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（　　） A. 甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B. 丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C. 甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D. 丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 10. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第 次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为___________． 12. 平面直角坐标系中有点和点，若线段与轴平行，则点的坐标可以为_______．（写出一个即可） 13. 已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是_______ 14. 如图，若点在反比例函数上，的面积为3，点坐标为，则________． 15. 如图，在菱形中，，，动点E、F分别在线段上，且，则____________，的最小值为____________． 三、解答题 16. 计算或化简： （1）； （2）． 17. 我们知道形如的式子叫二次根式．二次根式有性质，已知数在数轴上的位置如图所示，请化简： 18. 某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75， 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56， 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表， 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 80 n 乙班 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，______填“>”“<”或“=”） （2）请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． （3）该校共有800人参加了此次竞赛活动，估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？ 19. 如图，在中，点，在对角线上，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，四边形的面积为2，则的面积为 ． 20. 阅读下列材料．完成相应问题： 我们知道，解一元一次方程的核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将方程化为“”（a为常数）的形式，从而求出解．而解一元二次方程时，常运用“转化思想”，把未知的一元二次方程转化为已知的一元一次方程来求解．例如“直接开平方法”就是典型例子： 对于方程，根据平方根的定义，若，则或．因此可将原方程转化为两个一元一次方程：或，分别求解得． 问题： （1）请用“直接开平方法”解一元二次方程，写出转化过程及最终解． （2）已知方程，小明发现左边可以写成完全平方形式，他先将方程变形，再用直接开平方法求解．请你按照这个思路，完成该方程的求解过程． 21. 某学校为了全面落实劳动教育，开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳 动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少元，且用元购买甲种工具的数量与用元购买乙种工具的数量相等． （1）求甲、乙两种工具的单价各是多少元？ （2）若该校计划购买甲、乙这两种工具共件，且乙种工具的数量不少于甲种工具数量的一半．求购买这批劳动工具所需的费用最少要多少元？ 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时x的取值范围； （3）动点P在x轴上，当的面积等于8时，请直接写出点P的坐标． 23. 定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是____________（填序号）； （2）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接，求证：四边形是等角线四边形； （3）如图2，中，，为线段的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期暑期验收九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断． 【详解】解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意； B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意； C、分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意； D、当x=-1时，，故不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据运算法则计算判断即可． 【详解】A、，错误，不符合题意； B、无法计算，错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、错误，不符合题意； 故选C． 3. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一组数据的众数和中位数，熟记众数和中位数的定义是解题的关键．根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的数是48，因此众数是48； 将这组数据从小到大排序为：47，47，48，48，48，49，49，50， 第4，5位是48，48，因此中位数是， 故答案为：C． 4. 依据下列各图所标识的数据和符号，不能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定、等角对等边及三角形内角和定理，灵活运用菱形的判定方法是解题的关键．根据菱形的判定逐一判定即可解答． 【详解】解：A．∵， ∴为菱形，故该选项不符合题意， B．不能判定为菱形，故该选项符合题意， C．∵，， ∴， ∴， ∴为菱形，故该选项不合题意， D．∵， ∴为菱形，故该选项不合题意， 故选：B． 5. 在函数（k>0）的图像上有三点A1（x1，y1）.A2（x2.y2）.A3（x3.y3），若x1<x2<0<x3，则下列各式中，正确的有 A. y1<y2<y3 B. y3<y2<y1 C. y2<y1<y3 D. y3<y1<y2 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象的单调性进行解答． 【详解】∵k＞0，函数图象如图， ∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2＜0＜x3， ∴y2＜y1＜y3． 故选C． 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征．解题关键在于掌握反比例函数的增减性只指在同一象限内． 6. 如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若AB=3，AC=6，则∠AOD等于（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的对角线相等且互相平分得出OA=OB=AC=3=AB，那么△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOB=60°，进而由邻补角定义求得∠AOD=120°． 【详解】解：∵在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，AC=6， ∴OA=OB=AC=3， ∵AB=3， ∴OA=OB=AB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠AOD=180°-∠AOB=120°． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角定义，难度适中．得出△OAB是等边三角形是解题的关键． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 关于的不等式的解集是 C. 关于的方程的解是 D. 关于，的方程组的解为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，根据一次函数与方程、不等式的关系求解．掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：A：由图象得，，， ∴， ∴，故A不符合题意； B：由图象得：时， ∴关于的不等式的解集是，故B符合题意； C：由图象得：当时，， ∴关于的方程的解是，故C是不符合题意； D：由图象得：关于，的方程组的解为，故D不符合题意； 故选：B． 8. 如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB＝17，BD＝16，AE＝25，则DE的长度为( ) A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】首先连接AC，设AC交BD于O点，由四边形ABCD为菱形，利用菱形对角线互相垂直且平分的性质及勾股定理，即可求得DE的长度． 【详解】连接AC，设AC交BD于O点， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，且BO=DO==8， 在△AOD中， ∵∠AOD=90°， ∴AO=， 在△AOE中， ∵∠AOE=90°， ∴OE=， ∴DE=OE-OD=20-8=12． 故选D． 【点睛】此题考查了勾股定理与菱形的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 9. “无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（　　） A. 甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B. 丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C. 甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D. 丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，先理解含糖浓度与饮料质量的乘积就是值，再结合的实际意义为甜味剂质量，得出甲、乙饮料含甜味剂质量是相同的，丙、丁饮料含甜味剂质量是相同的；再观察函数图象，得出，即可作答． 【详解】解：∵含糖浓度（含糖浓度=）与饮料质量之间的关系：甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足， ∴甲、乙饮料含甜味剂质量是相同的，丙、丁饮料含甜味剂质量是相同的； 由函数图象得出， 即丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多， 故选：D 10. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第 次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，图形的旋转和菱形的性质，根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点的坐标重复出现，再根据四边形是菱形，根据点可解决问题，通过旋转角度找到旋转规律是解题的关键． 【详解】∵， ∴每旋转八次，点的坐标重复出现， ∴， ∴秒旋转结束时点的位置，与第秒旋转结束时点的位置相同， ∵四边形是菱形，关于对称， 又， ∴第秒旋转结束时的点与点关于坐标原点对称即点， ∴此时点的坐标为， 即第秒旋转结束时，点的坐标为， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a× ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】数据0.0000046用科学记数法表示为：， 故答案为： 【点睛】此题考查科学记数法，解题关键在于确定a和n的值． 12. 平面直角坐标系中有点和点，若线段与轴平行，则点的坐标可以为_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，由线段与轴平行，可得点的横坐标相等，据此解答即可求解，掌握平行于轴的直线上的点的横坐标相等是解题的关键． 【详解】解：∵线段与轴平行， ∴点的横坐标相等， ∵点， ∴， ∴点A的坐标可能是， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是_______ 【答案】且 【解析】 【分析】先求解分式方程，用含k的代数式表示x，根据方程的解为正数，得不等式，求解即可． 【详解】解：去分母，得x-4(x-2)=-k， 解得x=． ∵分式方程的解为正数， ∴且． 解得，且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式．掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．本题易错，只关注不等式的解，而忽略了分式方程的分母不为0条件． 14. 如图，若点在反比例函数上，的面积为3，点坐标为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质．如图，过作轴于，由平行四边形的性质可得，，，可得，，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵的面积为3，点坐标为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 15. 如图，在菱形中，，，动点E、F分别在线段上，且，则____________，的最小值为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，过点作于，先证明、都是等边三角形，得到，进而证明得到，进一步证明是等边三角形，得到，则当与重合时，此时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴、都是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当与重合时，此时最小，即最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题 16. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、立方根、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算负整数指数幂与零指数幂、立方根，再计算加减法即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 我们知道形如的式子叫二次根式．二次根式有性质，已知数在数轴上的位置如图所示，请化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值和二次根式，整式的加减法，根据题意得出相应式子的符号是解题关键． 先根据数轴判断实数的符号，式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ，，， ∴ ． 18. 某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75， 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56， 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表， 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 80 n 乙班 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，______填“>”“<”或“=”） （2）请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． （3）该校共有800人参加了此次竞赛活动，估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】（1）84，80，； （2） 甲班成绩较好，理由如下： ①从平均数和优秀率的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但甲班优秀率高于乙班，所以甲班成绩比乙班好； ②从平均数和方差的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但乙班的方差大于甲班的方差，所以甲班的成绩比较好答案不唯一； （3）550人 【解析】 【分析】本题考查了统计的知识，熟练掌握中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键． （1）根据中位数的定义可求出m，根据众数的定义可求出n，根据折线的波动幅度可判断方差的大小； （2）选择两个特征数分析即可； （3）用800乘以80分及以上的学生人数占的比例即可． 【小问1详解】 解：乙班成绩从小到大排列：56，75，79，83，85，90，90，100， ， 甲班成绩出现次数最多的数据为，故， 由“抽取学生的竞赛成绩折线统计图”可知：甲班学生的成绩更集中， ， 故答案为：84，80，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 人， 答：估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有550人． 19. 如图，在中，点，在对角线上，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，四边形的面积为2，则的面积为 ． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）连接交于O，由平行四边形的性质得到，再证明，进而证明，据此可证明结论； （2）求出，则，据此可证明，同理可得，由此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 20. 阅读下列材料．完成相应问题： 我们知道，解一元一次方程的核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将方程化为“”（a为常数）的形式，从而求出解．而解一元二次方程时，常运用“转化思想”，把未知的一元二次方程转化为已知的一元一次方程来求解．例如“直接开平方法”就是典型例子： 对于方程，根据平方根的定义，若，则或．因此可将原方程转化为两个一元一次方程：或，分别求解得． 问题： （1）请用“直接开平方法”解一元二次方程，写出转化过程及最终解． （2）已知方程，小明发现左边可以写成完全平方形式，他先将方程变形，再用直接开平方法求解．请你按照这个思路，完成该方程的求解过程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． （1）直接利用直接开平方法解方程即可； （2）先用完全平方公式将方程左边因式分解，再利用直接开平方法解方程即可． 【小问1详解】 解：开方得：或 解得：或； 【小问2详解】 解： 或 解得：或． 21. 某学校为了全面落实劳动教育，开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳 动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少元，且用元购买甲种工具的数量与用元购买乙种工具的数量相等． （1）求甲、乙两种工具的单价各是多少元？ （2）若该校计划购买甲、乙这两种工具共件，且乙种工具的数量不少于甲种工具数量的一半．求购买这批劳动工具所需的费用最少要多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种劳动工具的单价分别是元和元 （2）购买这批劳动工具所需的费用最少要元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设甲种工具的单价是元，则乙种工具的单价是()元，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可； （2）设该校计划购买甲种工具件，则购买乙种工具()件，所需总费用为元，依题意得，，依题意得：，可求，由，可知随的增大而减小，则当时，有最小值，最小值为元． 【小问1详解】 解：设甲种工具的单价是元，则乙种工具的单价是()元， 依题意得，， 解得 ， 经检验：是原分式方程的解， 当时，， 答：甲、乙两种劳动工具的单价分别是元和元； 【小问2详解】 解：设该校计划购买甲种工具件，则购买乙种工具()件，所需总费用为元， 依题意得，， 依题意得：， 解得，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值为元， ∴购买这批劳动工具所需的费用最少要元． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时x的取值范围； （3）动点P在x轴上，当的面积等于8时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数和反比例函数的应用是解题关键． （1）先将点代入反比例函数即可得反比例函数的解析式，据此求出点的坐标，然后利用待定系数法即可得一次函数的解析式； （2）根据表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方，结合函数图象即可得； （3）设直线与轴的交点为点，先求出点的坐标，再设点的坐标为，则可得的长，然后根据求解即可得． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数得：， 所以反比例函数的解析式为． 将点代入得：， ∴， 将点，代入一次函数得：， 解得， 所以一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方， 则结合函数图象可知，当时，的取值范围为或． 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴的交点为点， 将代入得：，解得， ∴， 设点的坐标为，则， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∵的面积等于8， ∴， ∴， 解得或， 所以点的坐标为或． 23. 定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是____________（填序号）； （2）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接，求证：四边形是等角线四边形； （3）如图2，中，，为线段的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，请直接写出线段的长． 【答案】（1）②④ （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解“等角线四边形”的定义，注意分情况讨论． （1）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，结合“等角线四边形”的定义判断即可； （2）连接，，利用正方形的性质证明，推出，即可证明； （3）分两种情况：是对角线，是对角线，利用勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：矩形、正方形的对角线相等，平行四边形、菱形的对角线不相等， 因此矩形、正方形一定是“等角线四边形”， 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：如图，连接，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是等角线四边形； 【小问3详解】 解：分两种情况，当是对角线时，，如图： 中，，， ， ， 垂直平分线段， ，， ； 当是对角线时，，如图，作于点H， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ； 综上可知，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $