精品解析：四川省巴中市南江县实验中学2025-2026学年九年级上学期入学考试数学试题

南江县实验中学2025年秋学期暑假大专题训练 九年级数学试题 一、选择题（每小题4分，共48分）． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 4. 等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（　　） A. 或 B. C. D. 5. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转30°得到，连接，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° 6. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ）边形 A. 六 B. 五 C. 四 D. 三 7. 关于x的分式方程有正整数解，则整数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2 8. 如图，等边中，与相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与分别交轴于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 10. 岩石会“说话”，山川有“韵律”，大自然中蕴涵着无尽的秘密，吸引着热爱研学的重庆一中的师生们走进其中一探究竟．甲、乙两同学分别从距离活动地点千米和千米的两地同时出发参加活动，甲同学的速度是乙同学速度的1.5倍．乙同学比甲同学提前分钟达到活动地点．若假设乙同学的速度是千米/小时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 12. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，与交于点．则下列说法正确的个数为（ ） ①；②；③若，则；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上） 13. 因式分解：=______． 14. 已知，则的值是_____ 15. 如图，在中，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，过点作直线交于点，连接，若的周长为10，则的面积为___________． 16. 若关于的方程无解，则的值是___________． 17. 若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为________． 三、解答题（本大题共8小题，共87分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 解分式方程：． 19. 解不等式组：． 20. 先化简：，再对取一个你喜欢的数代入求值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________． 22. 如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： （1）； （2）． 23. 如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 24. 如图，四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长． 25. 今年无锡马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进，两种跑鞋共80双进行销售．已知9000元全部购进种跑鞋数量是全部购进种跑鞋数量的1.5倍，种跑鞋的进价比种跑鞋的进价每双多150元，，两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元． （1）求，两种跑鞋的进价分别是多少元？ （2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，销售时对种跑鞋每双降价出售，若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？ 26. 如图，在中，，，，，． （1）求线段的长； （2）如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南江县实验中学2025年秋学期暑假大专题训练 九年级数学试题 一、选择题（每小题4分，共48分）． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握这些知识点是解题的关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据这些概念逐一判断即可． 【详解】A：是轴对称图形，也是中心对称图形，故A正确； B：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B错误； C：是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D：是中心对称图形，不是轴对称图形，故D错误． 故选：A． 2. 已知，下列不等式中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断，判断出不正确的不等式是哪个即可． 【详解】解：， ， 选项A正确，符合题意； ， ， 选项B错误，不符合题意； ， ， 选项C错误，不符合题意． ， 也可能， 选项D错误，不符合题意； 故选：A． 3. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式、二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于，分母不等于列式求解即可，熟练掌握分式、二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴的取值范围是， 解得：， 故选：． 4. 等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（　　） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理，分两种情况讨论：当为腰长，为底边长时；当为底边长，为腰长时，分别根据三角形三边关系定理判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当为腰长，为底边长时， ∴三边为，，， ∵， ∴能构成三角形，则第三边长可以是， 当为底边长，为腰长时， ∴三边为，，， ∵， ∴不能构成三角形， 综上可得：第三边长可以是， 故选：． 5. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转30°得到，连接，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，由，将绕点逆时针旋转得到，得，，得，即可得． 【详解】解：由，将绕点逆时针旋转得到， 得，， 得， 得． 故选：B． 6. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ）边形 A. 六 B. 五 C. 四 D. 三 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形的外角和为以及多边形内角和定理即可解决答案．本题主要考查多边形内角和定理与外角和定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形边数为，内角和为， 多边形外角和为， 解得：， 故选：A． 7. 关于x的分式方程有正整数解，则整数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将分式方程去分母得2-ax=x，解得x=，结合分式方程有正整数解，且x-2≠0，可得整数a=1． 【详解】解：分式方程去分母得2-ax=x， 整理得（a+1）x=2， 解得x=， ∵分式方程有正整数解，且x-2≠0， ∴整数a=1． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 8. 如图，等边中，与相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质及三角形全等的判定与应用．证明即可求解． 【详解】在等边中，， 又∵， ， ， 而， ． 故选：C． 9. 如图，直线与分别交轴于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线交点与不等式的解集，理解图示，掌握直线交点与不等式的性质是解题的关键． 根据直线的交点的特点，不等式的性质，数形结合即可求解． 【详解】解：直线与分别交轴于点， 不等式， ∴与异号， ∴当时，与异号，符合题意； 当，与同号，不符合题意； 当时，与异号，符合题意； ∴解集为或， 故选：D ． 10. 岩石会“说话”，山川有“韵律”，大自然中蕴涵着无尽的秘密，吸引着热爱研学的重庆一中的师生们走进其中一探究竟．甲、乙两同学分别从距离活动地点千米和千米的两地同时出发参加活动，甲同学的速度是乙同学速度的1.5倍．乙同学比甲同学提前分钟达到活动地点．若假设乙同学的速度是千米/小时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意并找准等量关系，正确列出分式方程是解题关键． 设乙同学的速度是千米/小时，则甲同学的速度为千米/小时，根据题意乙同学比甲同学早到分钟列出方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是千米/小时，则甲同学的速度为千米/小时， 甲同学所花时间为小时，乙同学所花时间小时， 乙同学比甲同学提前分钟小时达到活动地点， 得：． 故选：B． 11. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线可知，，，结合四边形是平行四边形，，，从而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线和的平分线交于上一点 ， ，， ， 故选：B． 12. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，与交于点．则下列说法正确的个数为（ ） ①；②；③若，则；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，角平分线的定义可判定①；根据三角形中线平分三角形面积可判定②；根据三角形的三线合一可判定③；作的角平分线，可证，得到，同理可证，得到，由此可判定④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分交于点，平分交于点， ∴， ∴， 在中，，故①正确； 当是的中线时，，设点到的距离（高）为， 此时，，则， ∵题目中缺少条件是的中线， ∴的面积不一定相等，故②错误； 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 根据三线合一得到是中线， ∴，故③正确； 如图所示，作的角平分线交于点， 由①正确可得，，， ∵平分交于点，平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上） 13. 因式分解：=______． 【答案】3（x+3）（x﹣3） 【解析】 【详解】解：原式==3（x+3）（x﹣3）， 故答案为3（x+3）（x﹣3）． 14. 已知，则的值是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将变最后整体代入计算即可形为，再把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为： 15. 如图，在中，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，过点作直线交于点，连接，若的周长为10，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中垂线的性质及的周长可求和长度，作于点，根据等腰三角形“三线合一”及勾股定理可求高，根据三角形面积公式即可求解． 本题主要考查了作图--基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，及勾股定理，三角形面积计算，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 【详解】由作图过程可知：是线段的垂直平分线， ∴的周长， 作于点， 中， 故答案为：． 16. 若关于的方程无解，则的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程无解，即分式方程有增根即可得到关于的方程，解方程即可得到答案．本题主要考查了分式方程无解的问题，分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根，熟练掌握理解这两种情况是解题关键． 【详解】 去分母得， 去括号得， 解得， 关于的方程无解， ， ， 故答案为：2． 17. 若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组中的两个不等式，从而可得的取值范围，再解分式方程可得，从而可得是整数，且，则可得出符合条件的所有整数的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组有解且至多3个整数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴是整数，且，即， ∴符合条件的所有整数的值为， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：22． 三、解答题（本大题共8小题，共87分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【解析】 【分析】将分式方程去分母化为一元一次方程求解并检验根是否为增根即可．本题考查可化为一元一次方程的分式方程的求解，掌握分式方程解法是求解的关键． 【详解】 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 检验： 当时，， 是增根，舍去， 原分式方程无解． 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别解不等式①②，结合“同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解”求解即可．本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟练掌握：同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解． 【详解】解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解为：． 20. 先化简：，再对取一个你喜欢的数代入求值． 【答案】；当时，值为（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值（不能使原式分母为零）代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】 当时，原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________． 【答案】（1） 如图1所示，△即为所求． 由图可得，点， （2） 如图2所示，即为所求． 由图可得，点， 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质找到对应的，，，连线即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到； （2）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等可得到，再根据三角形全等得到；根据三角形内角与外角的关系可得到结论． 本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，中垂线的性质，证明时如只利用线段垂直平分线或角平分线的性质定理证不出结论时，常结合全等三角形证明等量关系． 【小问1详解】 ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 是的角平分线， ∴ ， ； 【小问2详解】 ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ， ， ． 23. 如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意的即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 24. 如图，四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长． 【答案】 （1）证明：如图所示，连接BD， 由题意可知，AE是BD的垂直平分线， ∴AB=AD，BE=DE，BO=OD， ∵AD∥BC， ∴∠OAD=∠OEB，∠ODA=∠OBE， 在△OAD和△OEB中， ， ∴△OAD≌△OEB（AAS）， ∴AD=BE， ∴AD=AB=BE=ED， ∴四边形ABCD是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接BD，根据，AE是BD的垂直平分线，得到AB=AD，BE=DE，BO=OD，只需要证明△OAD≌△OEB，即可得到答案； （2）根据（1）可以证明三角形DEC是等边三角形，从而可以证明∠BDC=90°，再利用三角函数求解即可得到答案. 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得AD=AB=BE=ED， ∴∠DBE=∠EDB， ∵， ∴， ∴， ∴三角形DEC是等边三角形， ∴∠C=∠DEC=∠CDE=60°， ∵∠BDE+∠EBD=∠DEC， ∴∠BDE=30°， ∴∠BDC=90° ∴ 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 25. 今年无锡马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进，两种跑鞋共80双进行销售．已知9000元全部购进种跑鞋数量是全部购进种跑鞋数量的1.5倍，种跑鞋的进价比种跑鞋的进价每双多150元，，两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元． （1）求，两种跑鞋的进价分别是多少元？ （2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，销售时对种跑鞋每双降价出售，若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）种跑鞋的进价是元，种跑鞋的进价是元； （2）购进种跑鞋双，种跑鞋双时，才能获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设种跑鞋的进价是元，则种跑鞋的进价是元，根据题意列出分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进种跑鞋双，则购进种跑鞋双，根据购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设这批跑鞋全部售完的利润为元，根据总利润单双利润销售数量（购进数量），即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设种跑鞋的进价是元，则种跑鞋的进价是元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：种跑鞋的进价是元，种跑鞋的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进种跑鞋双，则购进种跑鞋双， 依题意，得：， 解得：， 设这批跑鞋全部售完的利润为元，则 ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值， 此时， 答：购进种跑鞋双，种跑鞋双时，才能获利最大，最大利润是元． 26. 如图，在中，，，，，． （1）求线段的长； （2）如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 连接，如图： ∵把线段绕点E逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由，可得，根据，可得，，又是等腰直角三角形，即得； （2）连接，证明，得，从而，根据G为的中点，有，证明，得，故； （3）在上取一点H，使，连接，证明，可得，当最小时，最小，此时，故的最小值为． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴线段的长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上取一点H，使，连接，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵把线段绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，此时，如图： ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $