专题15 指数8种常见考法归类讲义 ( 56题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题15 指数8种常见考法归类（56题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 根式的概念辨析及简单运算 考点二 由根式的意义求范围 考点三 利用根式的性质化简或求值 考点四 多重根式的化简 考点五 有限制条件的根式的化简 考点六 根式与分数指数幂的互化 考点七 利用分数指数幂的运算性质化简求值 考点八 整体代换法求分数指数幂 知识点1：整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 知识点2：根式 1、n次方根，根式 （1）a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. （2）a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) （3）根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 注：（1）根据n次方根的定义，当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±. （2）正数a的n次方根不一定有两个，当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数． （3）若实数a的任何次方根都等于它自身，则a＝0或1. 2、根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 注：根式化简开偶次方根时应注意开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论． 3、与()n区别： (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制：当n为大于1的奇数时，＝a；当n为大于1的偶数时，＝|a|. (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，()n＝a，a∈R.当n为大于1的偶数时，()n＝a，a≥0，由此看只要()n有意义，其值恒等于a，即()n＝a. 注：①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点3：分式指数幂 （1）规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． （2）规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 注：分数指数幂不可以理解为个a相乘．事实上，它是根式的一种新写法． 知识点4：有理数指数幂 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． 知识点5：无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． ①（，） ②（，） ③（，） 策略方法 1、对于，当n为偶数时，要注意两点 (1)只有a≥0才有意义． (2)只要有意义，必不为负． 2、有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． 3、根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 4、指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质． 5、利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2. 6、条件求值问题的解题思路 (1)将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； (2)当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； (3)适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。 考点一 根式的概念辨析及简单运算 1．【多选】（25-26高一·全国·开学考试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 2．（2025高一·全国·随堂练习）填空： （1）27的3次方根表示为 ； （2）的3次方根表示为 ； （3）16的4次方根表示为 ． 3．（2025高一·全国·课后作业）有下列四个命题： ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数． 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025高一·上海·课堂例题）（1）求的立方根； （2）求256的4次方根． 考点二 由根式的意义求范围 5．【多选】（2025高一·云南曲靖·阶段练习）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·单元测试）若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025高一·全国·课后作业）若有意义，则的取值范围是 . 8．【多选】（2025高一·全国·课后作业）若，，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·江苏·专题练习）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26高一·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是 ． 考点三 利用根式的性质化简或求值 11．（2025高一·全国·课前预习）计算：（   ） A． B． C． D． 12．（2025高一·全国·课前预习）求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 13．（2025高一·上海·期末）当 时，化简: . 14．（2025高一·江苏徐州·期末）化简： （   ） A．1 B． C． D． 15．（2025高一·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 16．（25-26高一·全国·课前预习）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 17．（2025高一·全国·专题练习）求下列各式的值；； 18．（2025高一·全国·课前预习）求下列各式的值； (1)； (2)． 19．（2025高一·全国·课后作业）已知，化简：． 20．（2025高一·全国·课后作业）已知，，，化简． 考点四 多重根式的化简 21．（2025高三·全国·专题练习） . 22．（2025高一·全国·专题练习）化简 . 23．（2025高一·全国·专题练习）求值 ． 24．（2025高一·全国·专题练习）化简 . 25．（2025高一·江苏南京·竞赛），求 ． 考点五 有限制条件的根式的化简 26．【多选】（2025高一·甘肃兰州·期中）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 27．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）若，则 . 28．（2025高一·江苏无锡·期中）当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 29．（2025高一·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 30．（2025高一·全国·课后作业）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 31．（2025高一·江西赣州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 32．（2025高三·海南海口·阶段练习）若代数式有意义，则 ． 考点六 根式与分数指数幂的互化 33．（2025高一·天津·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 34．（2025高一·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 35．（2025高一·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（2025高一·四川宜宾·期中）将写成根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（2025高一·北京·期中）将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 38．（2025高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（2025高三·广东中山·阶段练习）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 40．（2025高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 41．（2025高一·全国·专题练习）把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 (1)； (2)； (3) 42．（2025高一·全国·专题练习）用根式的形式表示下列各式（）. (1)； (2)； (3) 43．（2025高一·全国·专题练习）用根式的形式表示下列各式（a>0）． (1) (2) (3) (4) 44．（2025高一·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： （1）； （2）； （3）（b > 0） 45．（2025高一·全国·课后作业）用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）；（2）；（3）；（4）. 考点七 利用分数指数幂的运算性质化简求值 46．（2025高一·全国·专题练习）求值：. 47．（25-26高一·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 48．（2025高一·全国·专题练习）已知，求的值. 49．（2025高一·全国·周测）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 50．（2025高一·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 51．（2025高一·全国·课前预习）计算下列各式： (1)； (2)． 考点八 整体代换法求分数指数幂 52．（2025高一·全国·随堂练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 53．（2025高一·福建福州·期中）已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 54．（2024高三·全国·专题练习）若，则= ；= ． 55．（2025高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 56．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． $$【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题15 指数8种常见考法归类（56题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 根式的概念辨析及简单运算 考点二 由根式的意义求范围 考点三 利用根式的性质化简或求值 考点四 多重根式的化简 考点五 有限制条件的根式的化简 考点六 根式与分数指数幂的互化 考点七 利用分数指数幂的运算性质化简求值 考点八 整体代换法求分数指数幂 知识点1：整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 知识点2：根式 1、n次方根，根式 （1）a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. （2）a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) （3）根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 注：（1）根据n次方根的定义，当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±. （2）正数a的n次方根不一定有两个，当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数． （3）若实数a的任何次方根都等于它自身，则a＝0或1. 2、根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 注：根式化简开偶次方根时应注意开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论． 3、与()n区别： (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制：当n为大于1的奇数时，＝a；当n为大于1的偶数时，＝|a|. (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，()n＝a，a∈R.当n为大于1的偶数时，()n＝a，a≥0，由此看只要()n有意义，其值恒等于a，即()n＝a. 注：①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点3：分式指数幂 （1）规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． （2）规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 注：分数指数幂不可以理解为个a相乘．事实上，它是根式的一种新写法． 知识点4：有理数指数幂 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． 知识点5：无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． ①（，） ②（，） ③（，） 策略方法 1、对于，当n为偶数时，要注意两点 (1)只有a≥0才有意义． (2)只要有意义，必不为负． 2、有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． 3、根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 4、指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质． 5、利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2. 6、条件求值问题的解题思路 (1)将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； (2)当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； (3)适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。 考点一 根式的概念辨析及简单运算 1．【多选】（25-26高一·全国·开学考试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 【答案】ABD 【分析】利用根式的性质化简判断即可. 【解析】A选项：因为＝9，所以9的平方根是，即的平方根是，故选项A不正确，符合题意; B选项：由立方根的性质可知负数的立方根是负数，故选项B不正确，符合题意； C选项：由题可得，故选项C正确，不符合题意； D选项：由立方根的性质可知1的立方根是1，故选项D不正确，符合题意． 故选：ABD． 2．（2025高一·全国·随堂练习）填空： （1）27的3次方根表示为 ； （2）的3次方根表示为 ； （3）16的4次方根表示为 ． 【答案】 【分析】根据次方根的定义求解即可. 【解析】（1）27的3次方根表示为； （2）的3次方根表示为； （3）16的4次方根表示为. 故答案为：，， 3．（2025高一·全国·课后作业）有下列四个命题： ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数． 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据实数n次方根的性质判断各项正误即可. 【解析】正数的偶次方根有两个且一正一负，负数的偶次方根不存在； 正数的奇次方根为一个正数，负数的奇次方根为一个负数； ①③错误，②④正确． 故选：C 4．（2025高一·上海·课堂例题）（1）求的立方根； （2）求256的4次方根． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）根据立方根的定义求解； （2）根据4次方根的定义求解. 【解析】的立方根为； 256的4次方根为. 考点二 由根式的意义求范围 5．【多选】（2025高一·云南曲靖·阶段练习）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据根式的意义逐一判断可得. 【解析】因为，所以为偶数，，所以有意义，A正确； 取，则，所以无意义，B错误； 因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确； 若，则，所以无意义，D错误. 故选：AC 6．（2025高一·全国·单元测试）若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据根式的意义逐个分析判断即可 【解析】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数，可知②无意义； 当时，，此时④无意义． 因为，所以恒有意义， 因为任何数都可以开奇次方，所以恒有意义， 所以恒有意义的式子是①③． 故选：B． 7．（2025高一·全国·课后作业）若有意义，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据根式、指数幂的性质列不等式组求参数范围即可. 【解析】因为有意义， 所以， 解得且， 所以的取值范围为. 故答案为：. 8．【多选】（2025高一·全国·课后作业）若，，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】B选项，D选项中，当时，式子无意义，即可得出选项. 【解析】A选项中，为偶数，则恒成立，A中式子有意义； B选项中，，无意义； C选项中，为恒大于或等于0的数，有意义； D选项中，当时，式子无意义． 故选：AC． 9．（2025高一·江苏·专题练习）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得. 【解析】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 10．（25-26高一·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合根式的性质化简求解即可. 【解析】因为， 所以，即，解得， 当时，即， 满足. 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 考点三 利用根式的性质化简或求值 11．（2025高一·全国·课前预习）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题，可得，利用根式性质对原不等式等价变形即可. 【解析】由已知，. 故选：C. 12．（2025高一·全国·课前预习）求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】根据根式的运算法则化简求值即可. 【解析】（1）原式. （2）原式 （3）原式 13．（2025高一·上海·期末）当 时，化简: . 【答案】 【分析】利用根式化简计算即可； 【解析】因为 所以， 故答案为： 14．（2025高一·江苏徐州·期末）化简： （   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的定义求值． 【解析】. 故选：A. 15．（2025高一·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【解析】因为，所以. 故选：B. 16．（25-26高一·全国·课前预习）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)答案见解析 【分析】利用根式的运算性质求解即可. 【解析】（1）； （2） ； （3） ； （4） ， 当时，， 当时，， 所以当时，， 当时，. 17．（2025高一·全国·专题练习）求下列各式的值；； 【答案】 【分析】利用 进行化简，求得答案. 【解析】由题意可得：= ． 18．（2025高一·全国·课前预习）求下列各式的值； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】分析：（1）利用 进行化简，求得答案； （2）先将式子和化成完全平方式，再化简，即得答案. 【解析】（1）= ． （2）原式= 因为，所以， 当，即时， 当，即时，, 所以. 19．（2025高一·全国·课后作业）已知，化简：． 【答案】． 【分析】首先根据判断出，从而结合完全平方公式即可化简原式. 【解析】因为，所以，所以， . 20．（2025高一·全国·课后作业）已知，，，化简． 【答案】 【分析】当n为奇数时，，当n为偶数时，，而不论n是奇数还是偶数，. 【解析】当时，原式；当时，原式．综上，． 考点四 多重根式的化简 21．（2025高三·全国·专题练习） . 【答案】/ 【分析】根据根式的性质即可求解. 【解析】, 故答案为： 22．（2025高一·全国·专题练习）化简 . 【答案】/ 【分析】根据根式与指数幂的运算化简可得. 【解析】. 故答案为：. 23．（2025高一·全国·专题练习）求值 ． 【答案】4 【分析】直接利用根式的运算性质化简 【解析】. 故答案为：4 24．（2025高一·全国·专题练习）化简 . 【答案】6 【分析】根据根式的运算性质可求出结果. 【解析】 . 故答案为：. 25．（2025高一·江苏南京·竞赛），求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【解析】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 考点五 有限制条件的根式的化简 26．【多选】（2025高一·甘肃兰州·期中）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将分式方程化为整式方程，结合解一元二次不等式求得x的范围，根据根式的化简可得答案. 【解析】由题意知，即，即， 故或， 则 ， 故选：AC 27．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）若，则 . 【答案】 【分析】利用化简，并去绝对值求出答案. 【解析】因为，所以. 故答案为： 28．（2025高一·江苏无锡·期中）当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可. 【解析】因为有意义，所以，则， 则 ， 故选：C. 29．（2025高一·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把根式化成分数指数幂，进而计算即可. 【解析】原式． 故选:A. 30．（2025高一·全国·课后作业）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据式子有意义及可得，进而结合指数幂运算性质求解即可. 【解析】由题可得，解得，又，所以， 则． 故选：B. 31．（2025高一·江西赣州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的正负，然后利用根式运算化简原式即可求得结果. 【解析】因为，所以， 所以， 故选：C. 32．（2025高三·海南海口·阶段练习）若代数式有意义，则 ． 【答案】1 【分析】由二次根式有意义得到的取值范围，化简所求代数值，由的取值范围去掉绝对值符号即可得到解. 【解析】由题意可知：，∴ ∴ 故答案为：1 考点六 根式与分数指数幂的互化 33．（2025高一·天津·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式与分数指数幂的互化公式和指数运算性质，化简运算即可． 【解析】因为，所以. 故选：D. 34．（2025高一·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【解析】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 35．（2025高一·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的运算法则，一一判断各选项，即得答案. 【解析】由于，A正确，B，C错误； ，由于无意义，D错误， 故选：A 36．（2025高一·四川宜宾·期中）将写成根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，即可解题. 【解析】. 故选：D 37．（2025高一·北京·期中）将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可. 【解析】. 故选：A 38．（2025高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误； 对于B选项：由，所以B错误； 对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确； 对于D选项：当时，， 当时，， 显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误. 故选：C. 39．（2025高三·广东中山·阶段练习）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合根式与分数指数幂的互化，根据指数运算法则化简即可求解. 【解析】因为，所以. 故选：C 40．（2025高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据根式与指数式的互化即可得解. （2）（3）（4）根据根式与指数式的互化结合指数幂的运算性质即可得解. 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； 41．（2025高一·全国·专题练习）把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据指数幂的概念和根式运算法则进行化简. 【解析】（1） （2） （3）因为， 所以 42．（2025高一·全国·专题练习）用根式的形式表示下列各式（）. (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直接由分数指数幂的定义求解即可. 【解析】（1）； （2）； （3）. 43．（2025高一·全国·专题练习）用根式的形式表示下列各式（a>0）． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据根式与分数指数幂互化公式一一求解即可． 【解析】（1） （2） （3） （4） 44．（2025高一·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： （1）； （2）； （3）（b > 0） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】根式与分指数幂的关系：，运用指数运算、将各根式化为指数幂形式 【解析】（1） （2） （3） 【点睛】本题考查了根式与分指数幂形式的关系；结合指数运算将根式转化为分指数幂形式 45．（2025高一·全国·课后作业）用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】利用分数指数幂的定义可将（1）（2）（3）（4）中的根式化为分数指数幂的形式. 【解析】（1）当时，； （2）当时，，则； （3）当时，； （4）当时，. 【点睛】本题考查将根式化为分数指数幂，熟悉分数指数幂的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 考点七 利用分数指数幂的运算性质化简求值 46．（2025高一·全国·专题练习）求值：. 【答案】38 【分析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算性质即可求解. 【解析】原式 . 47．（25-26高一·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【分析】由指数幂的运算性质，化简计算各式的值即可． 【解析】（1）原式． （2）原式． 48．（2025高一·全国·专题练习）已知，求的值. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【解析】由，得， 所以. 49．（2025高一·全国·周测）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）原式； （2）原式：． 50．（2025高一·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)8 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的意义和乘方的定义计算可得结果． 【解析】（1）原式. （2）原式． 51．（2025高一·全国·课前预习）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数运算性质即可得出； （2）利用指数运算性质即可得出. 【解析】（1）原式． （2）原式 ． 考点八 整体代换法求分数指数幂 52．（2025高一·全国·随堂练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】将所求式取平方，求出其值，再判断其值为正即可求得. 【解析】由， 因，故， 即得，. 故选：A. 53．（2025高一·福建福州·期中）已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【分析】两边平方，得到答案. 【解析】两边平方得， 故. 故选：B 54．（2024高三·全国·专题练习）若，则= ；= ． 【答案】 7 【分析】利用完全平方公式及立方和公式结合分数指数幂的运算法则计算即可. 【解析】由题意，所以. 由题意， 所以. 故答案为：7；. 55．（2025高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)-7 【分析】（1），两边平方得到，进而得到求解； （2）分子利用指数幂的运算变形，分母利用根式的性质化简求解. 【解析】（1）解：， ， ； （2）， . 56．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【解析】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. $$