第15章 轴对称 复习课-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

复习课 》典例精析 【例1】如图15-1，△ABC与△DEF关于 直线MN对称，其中，∠C=90°，AC=8cm,DE =10cm,BC=6cm. (1)连接AD,则线段AD 与直线MN的关系是什么？ (2)求∠F的度数. (3)求△ABC的周长和 图15-2 △DEF的面积. 图15-1 思路分析：(1)两点关于x轴对称，横坐标 思路分析：关于直线对称的对应线段相等， 相同，纵坐标互为相反数：关于y轴对称，横坐 对应图形全等. 标互为相反数，纵坐标相同 解：(1)：△ABC与△DEF关于直线MN 解：(1)如图15-2，△A1B1C即为所求. 对称 (2)A(1,-1),B1(4,-2),C(3,-4). .直线MN垂直平分线段AD (3)如图15-2，连接AB交x轴于点P,点 (2)'△ABC与△DEF关于直线MN对 P的坐标为(2,0). 称，∴.△ABC≌△DEF, 【例3】如图15-3，在△ABC中，∠BAC= ·∠F=∠C=90. 108°，AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D. 求证BC=AB+CD. (3),'DE=10cm,△ABC≌△DEF, 思路分析：如果题干中出现了几条线段之 ∴.AB=DE=10cm. 间的和差关系，一般考虑用截长补短作辅助线 又，AC=8cm,BC=6cm. 解题. ∴.△ABC的周长=6+8+10=24(cm). 与角平分线有关的截长补短模型展示 易知△DEF的面积=△ABC的面积= 角平分线十截长 角平分线十补短 2×6×8=24(cm). 模型 【例2】如图15-2，在平面直角坐标系中， A(1,1),B(4,2),C(3,4). (1)画出△ABC关于x轴对称的△AB,C. ∠1=∠2， ∠1=∠2， (2)分别写出对应点A1,B,,C1的坐标. 条件 ∠B=2∠C ∠ABC=2∠C (3)请在图中的x轴上找一点P,使得PA十 PB的值最小，并直接写出点P的坐标. 结论 AC=AB+BD AC=AB+BD 证明：方法一：（截长 ∴.∠C=∠ABC=36°，∠FAD=72 法)在BC上取点E,使 ∠F=36.∴∠FDA=72° BE=BA,连接DE. .∠FDA=∠FAD. ,BD平分∠ABC, .FA=FD...CD=DF=AF. ∴.∠ABD=∠EBD. 图15-3 .BC=BF=AB+AF=AB+CD. 在△ABD和△EBD中， 【例4】如图15-4，在R1△ABC中， AB=EB, ∠C=90. ∠ABD=∠EBD, (1)作AC的垂直平分线MN,分别交AB, BD=BD. AC于点M,V,连接CM(要求：尺规作图，保留 ∴.△ABD≌△EBD(SAS). 作图痕迹，不必写作法和证明)， ∴.∠BAC=∠BED=108. (2)若∠A=30°，MN=2,求CM的长度. ∴.∠DEC=72. (3)在(2)的条件下，判断△CMB的形状， ,AB=AC,∠BAC=108°. 并说明理由. .∠C=∠ABC=36. 思路分析：在Rt△ANM中，∠A=30°，利 ∴∠CDE=72. 用含30°角的直角三角形的性质可得AM ∴.∠CDE=∠CED.∴.CD=CE. =2MN. ∴，BC=BE+EC=AB+CD. 解：(1)如图15-4，MN即为所求。 方法二：（补短法）延长BA至点F,使BF= (2)由题意，可知AM= BC,连接DF, CM,∠ANM=90° ,BD平分∠ABC, :∠A=30°，MN=2, ∴.∠CBD=∠FBD. ∴.AM=2MN=4. 在△FBD和△CBD中， ..CM=AM=4. 图15-4 FB=CB, (3)△CMB是等边三角形. ∠FBD=∠CBD, 理由：由题意，可知∠B=60° BD=BD. ,AM=CM,∠A=30°， ∴.△FBD≌△CBD(SAS). ∴.∠A=∠ACM=30. .DF=DC,∠F=∠C .∠BCM=60°. .AB=AC,∠BAC=108°， ∴.△CMB是等边三角形 综合复习 1.端午节是中国传统节日，下列与端午节有关 2.点(3，一2)关于x轴的对称点是( 的文创图案中，成轴对称的是( A.(-3,-2) B.(3,2) C.(-3,2) D.(3,-2) 3.在△ABC中，AB=AC,∠B=40°，D是BC 边上的动点（不与B,C重合），连接AD,若 △ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为： 9.如图15-9，在△ABC中，AD为边BC上的中 () 线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC A.80° B.110° 于点F,若∠FAE=∠FEA,BE=5,AF= C.80或120 D.80°或110 1.8,则CF= 4.如图15-5，AD是等边三角形ABC的中线， 点E在AC上，AE=AD,则∠EDC=() A.15° B.20 C.25 D.309 图15-9 图15-10 10.如图15-10，在△ACD中，∠ACD=90°， 图15-5 图15-6 ∠A=30°，AC=b,CD=a,以点C为圆心， 5.如图15-6所示，在△ABC中，点O是边AB CD的长为半径画弧，交斜边AD于点B, 和AC的垂直平分线FD,GE的交点，若 AB=c,则下列说法正确的是 .(填 ∠BOC=130°，则∠GOF的度数为() 序号) Λ.115° B.130 C.140° D.1509 ①△BCD是等边三角形；②a十c<b: 6.如图15-7所示，在△ABC中，∠C=40°，将 ③a=c;④b=2a. △ABC沿着直线1折叠，点C落在点D的位 11.如图15-11所示，在平面直角坐标系中， 置，则∠1一∠2的度数是( △ABC的顶点坐标分别为A(1,2),B(4,3), A.40 B.80° C.90° D.140° C(3,0). 7.命题“等边三角形的三个内角都是60°”的逆 命题是 这两个命题 (填“是”或“不是”)互逆 定理 图15-11 (1)请在平面直角坐标系中画出△ABC关 于y轴对称的△ABC. (2)求△A1B,C的面积. 图15-7 图15-8 8.如图15-8，P是∠AOB外的一点，M,N分别 是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称 点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的 对称点R落在MV的延长线上.若PM= 3.5cm,PN=4cm,MN=5cm,则线段QR的 长为 12.如图15-12所示，在△ABC中，AD平分 14.如图15-14，在△ABC中，已知∠ABC= ∠BAC,过线段CD上一点E作EG∥AD, 3∠C,AD平分∠BAC,BE⊥AD于点E.求 交AC于点F,交BA的延长线于点G. (1)求证：△AFG是等腰三角形 证BE=(AC-AB. (2)若CE=EF,∠BAC=80°，求∠B的 度数 图15-14 图15-12 15.如图15-15，已知E是∠AOB的平分线上一 点，EC⊥OB,ED⊥OA,垂足分别为C,D,连 接CD,交OE于点F. 13.如图15-13，在△ABC中，AB的垂直平分线 (1)求证：OE是CD的垂直平分线。 EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段 (2)若∠AOB=60°，请探究OE,EF之间有 CE的中点，且BE=AC. 什么数量关系，并证明你的结论 (1)求证AD⊥BC: (2)若∠C=70°，求∠BAC的度数 图15-13 图15-15 16.如图15-16，已知等腰三角形ACB和等腰 17.如图15-17①所示，△ABC为等腰直角三角 三角形DCE,AC=BC,DC=EC,∠ACB 形，∠BAC=90°，△ABD为等边三角形，连 ∠DCE,连接BD,AE交于点F,连接CF. 接CD. 求证： (1)求∠ACD的度数 (1)AE=BD. (2)如图15-17②所示，作∠BAC的平分线交 (2)∠AFB=∠ACB. CD于点E,M为线段BC右侧一点，满足 (3)FC平分∠BFE. ∠CMB=60°，连接ME,求证：ME平 分∠CMB. 图15-16 图15-17 聚焦中考 1.(河北省)如图15-18所示，AD与BC交于点 3.(云南省)已知AF是等腰△ABC底边BC上 O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点 的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F A,B的对称点分别是点C,D.下列不一定正 到直线AC的距离为() 确的是() A号 B.2 C.3 n号 A.AD⊥BC B.AC⊥PQ 4.(襄阳市)如图15-20，Rt△ABC中，∠ABC= C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD 90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误 的是() A.DB=DE B.AB=AE C.∠EDC=∠BAC D.∠DAC=∠C 图15-18 图15-19 2.(兰州市)如图15-19所示，在△ABC中，AB= AC,∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB () A.100 B.115 C.130° D.145 图15-20 5.(营口市)如图15-21，点P是∠AOB内任意 (2)请画出与△ABC关于y轴对称的 一点，OP=5cm,点M和点N分别是射线 △AzB2C2; OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最 (3)请写出点A1,A:的坐标. 小值是5cm,则∠AOB的度数是() A.25° B.309 C.35 D.40° + …t…2 4-3-2-10 0 图15-21 6,(湖南省)若等腰三角形的一个底角的度数为 40°，则它的顶角的度数为 图15-25 7.(重庆市)如图15-22所示，在△ABC中，AB= AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点 D.若BC=2,则AD的长度为 图15-22 图15-23 8.(镇江市)如图15-23所示，△ABC的边AB 11.(益阳市)如图15-26所示，AB∥CD,直线 的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC MN与AB,CD分别交于点E,F,CD上有 =8,CD=5,则BD= 一点G且GE=GF,∠1=122°，求∠2的 9.(黄冈市)如图15-24，AC,BD在AB的同侧， 度数 AC=2,BD=8,AB=8,点M为AB的中点. 若∠CMD=120°，则CD的最大值 为 图15-26 120 图15-24 10.(广西壮族自治区)如图15-25，在平面直角 坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分 别是A(2,-1),B(1,-2),C(3,-3). (1)将△ABC向上平移4个单位长度得到 △AB1C,请画出△AB1C:综上所述，当1=或=多时，△DEC为直角 三角形 数学活动 活动1 1.D2.C 3.C 活动2 4.15点拨：由折叠的性质，得a=(26 4)÷2+4=15(cm). 5.④ 活动3 6.A7.D 8.D点拨：根据等腰三角形的性质得出 ∠ABC=∠ACB,利用AAS证明△BCE≌ △CBD,根据全等三角形的性质，可判断① ②，根据三角形内角和定理及HL,可判断 ③，根据全等三角形的性质及等腰三角形 的性质，可判断④. 综合与实践最短路径问题 活动一 1.D2.A3.A 4.解：如图，牧羊人应让羊群在点C处吃草， 在点D处饮水，才能使出行路线最短. 草地不A羊 B 河流广： B 5.解：如图，AE-EF-FB即为所求最短路径 C街 活动二 6.C 7.解：如图所示 将点A向下平移至点F,使AF的长等于 河宽，将点B向右平移至点G,使BG的长 等于河宽：连接GF,与河岸相交于点E, D';过点D作DD'⊥CD于点D,过点E作 EE⊥CE于点E,连接AD,BE,则DD', EE即为两桥的位置， 复习课 【综合复习】 1.B2.B3.D4.A5.A6.B 7.三个内角都是60°的三角形是等边三角形 是 8.5.5cm 9.3.2点拨：过点B作BP∥AC交AD的 延长线于点Q,,∠BEQ=∠FEA,∠BQE =∠FAE,又.∠FAE=∠FEA, .∠BQE=∠BEQ,∴.BQ=BE=5,点 D是BC的中点，∴.BD=DC,∠BDQ= ∠ADC,,BQ∥AC,∴.∠QBD=∠ACD, .△BDQ≌△CDA,.AC=BQ=5,'AF 1.8,.CF=3.2. 10.①③ 11.解：(1)如图所示，△ABC即为所求. (2)5AAB6=3X3-7X3X1X2-号× 2×2=4. 12.(1)证明：AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD ,EG∥AD, ∴.∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG, .∠G=∠AFG,∴.AF=AG. ∴.△AFG是等腰三角形， (2)解：CE=EF,.∠CFE=∠C. ,∠AFG=∠CFE,∠AFG=∠CAD, .∠C=∠CAD ,∠BAC=80°，AD平分∠BAC. .∠C=∠CAD=40°， .∠B=180°-∠BAC-∠C=60. 13.(1)证明：连接AE :EF是AB的垂直平分线，∴.BE=AE ,BE=AC,∴.AE=AC ,D为线段CE的中点，∴AD⊥BC (2)解：AE=BE,∴∠B=∠BAE. ,∠AEC是△ABE的外角， .∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B. :'AE=AC,∴.∠AEC=∠C=2∠B. ∠C=70°，.∠B=35 :∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴.∠BAC=180°-35°-70°=75 14.证明：延长BE交AC于点F. BF⊥AD,.∠AEB=∠AEF. ,'AD平分∠BAC,.∠BAE=∠FAE. 在△ABE和△AFE中， I∠AEB=∠AEF, AE=AE, ∠BAE=∠FAE, ∴.△ABE≌△AFE(ASA). ∴.∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=EF :'∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF, ∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C, ∴.∠C+2∠CBF=3∠C. ∴.∠CBF=∠C BF-CF.BE-TBF-CF. .CF=AC-AF=AC-AB, ∴BE=(AC-AB). 15.(1)证明：，OE是∠AOB的平分线，EC ⊥OB,ED⊥OA,.DE=CE OE=OE, 在Rt△ODE和Rt△OCE中， DE=CE, ,∴.Rt△ODE≌Rt△OCE(HL). ..OD=OC. .△DOC是等腰三角形. ,OE是∠AOB的平分线， ∴.OF⊥CD,CF=DF ∴.OE是CD的垂直平分线 (2)解：OE=4EF 证明：，OE是∠AOB的平分线，∠AOB =60°， .∠AOE=∠BOE=30°. EC⊥OB,EDLOA,OE⊥CD, ∴.OE=2DE,∠ODF=∠OED=60. ∴.∠EDF=30°..DE=2EF. ∴.OE=4EF. 16.证明：(1).∠ACB=∠DCE, '.∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD. 即∠BCD=∠ACE. 又，AC=BC,DC=EC, .△BCD≌△ACE(SAS). ∴.AE=BD. (2)设AC.BD相交于点O. .'△BCD≌△ACE,∴.∠CAE=∠CBD. 又.∠AOF=∠BOC,∴.∠AFB=∠ACB. (3)如图，过点C分别作CM⊥BD于点 M,CN⊥EF于点N,则∠BMC=∠ANC= 90. 在△BCM和△ACN中， ∠BMC=∠ANC, ∠CBM=∠CAV, BC=AC, .∴.△BCM≌△ACN(AAS). .CM=CN..FC平分∠BFE. 17.(1)解：，△ABC为等腰直角三角形， ∠BAC=90°，∴.AB=AC. ,△ABD是等边三角形， .AD=AB,∠BAD=60°， .∠CAD=∠BAD+∠BAC=150°，AD =AC. ∠ACD=∠ADC=180°-∠CAD 2 =15° (2)证明：如图所示，过 点E作EG⊥BM于点 G,EH⊥CM交MC的 延长线于点H,连接BE .AE平分∠BAC, 六∠BAE=∠CAE=2∠BAC=45, ∴.∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=120°. 又.'AB=AC,AE=AE, ∴.△AEB≌△AEC(SAS), ∴.∠AEB=∠AEC=120°，BE=CE, ∴.∠BEC=360°-∠AEC-∠AEB=120°. EG MB,EH⊥MC,∠GMH=60°， .∠GEH=360°-90°-90°-60°=120°， ∴.∠BEG=∠CEH=120°-∠CEG. 又，∠BGE=∠CHE=90°， ∴.△BGE≌△CHE(AAS), ∴.EG=EH,.ME平分∠CMB. 【聚焦中考】 1.A2.B 3.C点拨：，'AF是等腰△ABC底边BC上 的高，∴.AF是∠BAC的平分线.，点F到 直线AB的距离为3，.点F到直线AC的 距离也为3，故选C 4.D 5.B点拨：分别作点P关于OA,OB的对称 点C,D,连接CD,分别交OA,OB于点M, N,连接OC、OD,由 对称的性质，得出 PM=CM,OP=OC. ∠COA=∠POA: PN=DN.OP=OD, ∠DOB=∠POB,得出∠AOB=号∠COD, 证出△OCD是等边三角形，得出∠COD= 60°，即可得出结果 6.100 7.2点拨：.AB=AC,∠A=36°，∴.∠ABC= ∠C-×(180°-36)=72BD平分 ∠ABC,∠ABD=∠DBC=2∠ABC= X72°=36，心∠A=∠ABD=36 =BD.在△BCD中，∠BDC=180°一 ∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°， .∠BDC=∠C=72°，.BD=BC=2, ∴.AD=BD=2,即AD的长度为2. 8.3 9.14点拨：如图，将△CAM沿CM翻折至 △CAM.将△DBM沿DM翻折至△DBM, 连接A'B',∠CMD=120°，.∠CMA+ ∠DMB=180°-120°=60°，∴.∠CMA'+ ∠DMB=60°，∴.∠A'MB'=60°.点M 为AB的中点，·AM=MB=2AB=4, A'M=B'M=4,△A'MB'为等边三角形， .A'B′=A'M=4,,CD≤CA+A'B'+ BD,∴.当C,A',B,D四点共线时，CD有 最大值，.CD的最大值为CA'+ A'B'+BD=2+4+8=14. 10.(1)△AB,C如图所示. (2)△AB2C2如图所示， (3)A1(2,3),A2(-2,-1). 11.解：AB∥CD, ∴.∠MFD=∠1=122°. ,GE=GF,∴.∠GFE=∠GEF=180° ∠MFD=180°-122°=58°， ∴.∠2=180°-58°-58°=64 第十六章 整式的乘法 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 【基础过关】 1.B2.B3.D4.D 5.(1)-(n-m)(2)0 6.解：(1)原式=a"+2++1+"=a+3】 (2)原式=(-x)2+2+3=(-x)7=-x2」 【素养提升】 1.C2.C3.A 4.解：x2w+b·xwb·x=x12, ∴x2如++w-6+u=x2,即x=x2 .6a=12..a=2 ∴.-a100+2101=-200+2101=-210+2× 2100=210 【综合探究】 解：(1)，ab=2×2, .2￥3=22×23=4×8=32. (2).2*(x+1)=16,∴.22×2+1=2. 则2十x十1=4，解得x=1. 16.1.2幂的乘方与积的乘方 【基础过关】 1.C2.B3.A4.B 5.D点拨：a·a3-(2a3)2=a5-4a= 一3a.故选D. 6.A7.B 8.(1)-88(2)-a2m(3)m2(4)a52m 9.(1)1(2)32 10.(1)x3y3 (2)27mn3(3)-8×109 ary 1.解：1)原式=（号）”×(-125)×(-1.25) =(-4×9)）”×(-1.25)=1.25. (2)原式-罗×（装）”"×（爱）”×(-8) -25××0)”=-25. 【素养提升】 1.B2.D3.C 4.A点拨：a=213,b=4=(22)6=212,c= 323=(25)3=215.15>13>12,.323 218>48.∴.c>4>b. 5.C点拨：25=(2)1=321,3=(3)11= 81”,43=(43)11=64山 ,32<64<81,.3211<6411<81Ⅱ..23< 43<3. 6.1点拨：a-21+(b+2)=0a=2 6=-2aB=(abm=[2X(-2)] =1. 7.解：(1)原式=x°·（一x2)十5.x6一x16= -x16十5x16-x16=3x16. (2)原式=a8+a+9a8=11a 3)原式=（号）×()×(》×