15.1.1 轴对称及其性质-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

.△BCA≌△DCA(SAS), .∠BAC=∠DAC 又，'∠DAC+∠CAE=180°， .∠DAC=180°-49°=131. .∠BAC=131°， 即∠BAE+∠EAC=131°， .∠BAE=131°-49°=82°. 6.解：可选取①或②（只选一个即可）. ①证明：在△ABF和△CDE中， (AB=CD, AF=CE, BF=DE, .△ABF≌△CDE(SSS),.∠B=∠D. .'BF=DE, .'BF+EF=DE+EF...BE=DF. 在△ABE和△CDF中， (AB=CD. ∠B=∠D, BE=DF, .△ABE≌△CDF(SAS), ∴.∠AEB=∠CFD,∴.AE∥CF. 或②证明：在△ABF和△CDE中， (AB=CD, ∠BAF=∠DCE, AF=CE, .△ABF≌△CDE(SAS), ∠B=∠D,BF=DE, .BF+EF=DE+EF,..BE=DF. 在△ABE和△CDF中， (AB=CD, ∠B=∠D, BE=DF, .△ABE≌△CDF(SAS), .∠AEB=∠CFD,∴.AE∥CF 7.证明：在△ABC中， ,∠B=50°，∠C=20° ∴.∠CAB=180°-∠B-∠C=110°. ,AE⊥BC,∴.∠AEC=90. ∴.∠DAF=∠AEC+∠C=110 ∴.∠DAF=∠CAB. 又AD=AC,AF=AB, ∴.△DAF≌△CAB(SAS). ∴.DF=CB 第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 【基础过关】 1.A2.D3.C 4.②5.100°6.300 7.(1)E ∠D (2)3 (3)解：.∠BAC=108°，∠BAE=30°， ∴.∠CAE=108°-30°=78° 根据对称性，知∠EAF=∠CAF, ∴∠EAF=Z∠CAE=39 【素养提升】 1.C2.C 3.A(或C) 4.8点拨：将△ABD沿AD折叠，使点B 恰好落在AC边上的点E处，∴.BD=DE, AB=AE.,△DEC的周长为7，.DE十 CE+CD=BD+CE+CD=BC+CE=7. ∴.CE=7-BC=2,∴.AC=AE+CE=AB+ CE=6+2=8. 5.解：(1)D∠ACB (2)由题，易得DF=BF=6,.ED=9, ∴.EF=ED-DF=9-6=3. (3)平行.理由如下： ,△ABC和△ADE关于直线MN对称， ∴.MN⊥EC,MN⊥BD, .EC∥BD. 【综合探究】 (1)①解：，点C和点P关于OA对称，点M 在直线OA上， ∴△COM与△POM关于直线OA对称. ∴.∠AOC=∠AOP 同理，可得∠BOD=∠BOP. .∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+ ∠BOD=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB= 2×60°=120°. ②2n (2)4点拨：由点C和点P关于OA对称，点 P和点D关于OB对称，得PM=MC,PN= ND,∴.PM+MN+PN=CD=4. 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 【基础过关】 1.B2.D3.C4.C5.A6.B 7.面积相等的两个三角形全等假 8.39.6cm 10.证明：如图所示，连接PB,PC ,'PE垂直平分AB,PM垂直平分AC, ∴PA=PB,PA=PC,∴.PB=PC, ∴.点P在线段BC的垂直平分线上 11.解：，△DBC的周长是24， .'BD+DC+BC=24. MN垂直平分AB,.AD=BD, ∴.AD+DC+BC=24,即AC+BC=24. 又.'AC=14,∴.BC=24-14=10. 【素养提升】 1.A2.B3.A 4.3点拨：，DE垂直平分AC,∴.DE⊥AC, AE=CE.∠B=90°，.DB⊥AB.,AD 平分∠BAC,.DB=DE.在Rt△ABD和 AD=AD:R△ABD≌ Rt△AED中，BD=DE, Rt AAED HL),.AB AE CE, ∴Sm=2AC·DE=号×2AB·BD= 2S△ABD=2,.S△ABD=1,.S△C=S△CD+ S△ABD=3. 5.证明：：∠ACB=90°，DE⊥AB, ∴.∠EDB=∠ACB=90. 在Rt△EBC和Rt△EBD中， BE=BE, BC=BD. .Rt△EBC≌Rt△EBD(HL). ∴.EC=ED .点E在线段CD的垂直平分线上 .BD=BC, ∴·点B在线段CD的垂直平分线上 ,两点确定一条直线。 .BE垂直平分CD. 6.解：(1)，：是线段AB的垂直平分线， ..AD=BD. ,l2是线段AC的垂直平分线， ∴.EA=EC. △ADE的周长为6， ..AD+DE+AE=6. .BD+DE+EC=6,即BC=6. (2),l1是线段AB的垂直平分线， .OA=OB,同理OA=OC, 即OA=OB=OC, :△OBC的周长为16，BC=6, .OB+OC=10,∴.OB=5,.O0A=5. 7.解：(1)，BD是线段AE的垂直平分线， ∴.AB=BE,AD=DE. ,'△ABC的周长为19，△DEC的周长为7， ..AB+BE+EC+CD+AD=19.CD+ EC+DE=CD+CE+AD=7, .AB+BE=19-7=12,∴.AB=6.第十五章 轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 基础过关 1.【教村P69习题1变式】下面的图形是轴对称 为 图形的是( 309 B D 2.如图15-1-1所示的是轴对称图形，该图形的 图15-1-4 图15-1-5 对称轴的条数为( 6.如图15-1-5，六边形ABCDEF是轴对称图形， A.1 B.2 C.3 D.5 CF所在的直线是它的对称轴.若∠AFC+ ∠DCF=150°，则∠AFE+∠BCD= 7.如图15-1-6.△ABC和△ADE关于直线MN 对称，BC与DE的交点F在直线MN上. (1)图中点C的对应点是点 ,∠B的 图15-1-1 图15-1-2 对应角是 3.如图15-1-2，直线MN是四边形AMBN的 (2)若DE=5,BF=2,则CF的长为 对称轴，P是直线MN上的点，则下列判断错 (3)若∠BAC=108°，∠BAE=30°，求∠EAF 误的是( 的度数 A.AM=BM B.∠MAP=∠MBP C.AP=BN D.∠ANM=∠BNM 4.在如图15-1-3所示的图形中，对称轴条数最 少的图形是 ,(只填序号) 品☒ 图15-1-6 图15-1-3 5.如图15-1-4，△ABC与△A'B'C关于直线1 对称，∠A=50°，∠C=0°，则∠B的度数 素养提升 1.下列说法：①线段的对称轴有两条：②角是轴 4.如图15-1-9，在△ABC中，AB=6,BC=5, 对称图形，它的平分线就是它的对称轴：③两 将△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在AC 点关于连接它们的线段的垂直平分线对称： 边上的点E处，若△DEC的周长为7，则AC ④到直线！的距离相等的两个点关于直线 的长为 对称.其中正确的有() 5.如图15-1-10，△ABC和△ADE关于直线MN A.4个B.3个 C.2个 D.1个 对称，BC和DE的交点F在直线MN上. 2.如图15-1-7，在四边形ABCD中，对角线BD (1)图中点B的对应点是点 所在的直线是其对称轴，点E是直线BD上的 ∠AED的对应角是 点，已知△ABE的周长为15，AE=5,BE=4, (2)若ED=9,BF=6,求EF的长： 则EC,BC的长分别为( (3)连接BD和EC,判断BD和EC的位置关 A.4,5 B.4,6 C.5,6 D.5,5 系，并说明理由。 "T"T 图15-1-7 图15-1-8 图15-1-9 图15-1-10 3.【传跳文化】围棋起源于中国，古代称为“奔” 如图15-1-8是两位同学的部分对弈图，轮到 白方落子，观察棋盘，白方若落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称 图形.（填写A,B,C,D中的一处即可，A,B, C,D位于棋盘的格点上) 综合探究 如图15-1-11，点P在∠AOB的内部，点C和 点P关于OA对称，点P和点D关于OB对 称，连接CD交OA于点M,交OB于点N,连接 PM,PN (1)①若∠AOB=60°，求∠COD的度数 图15-1-11 ②若∠AOB=n°，则∠COD (用 含n的代数式表示)， (2)若CD=4,则△PMN的周长为