专题01特殊平行四边形相关折叠综合最值问题（9种类型72道）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末复习高频考题专项训练

弈泓共享数学 专题01特殊平行四边形相关折叠综合最值问题（9种类型72道） 目录 【题型1 菱形相关折叠问题】 1 【题型2 矩形相关折叠问题】 3 【题型3 正方形相关折叠问题】 5 【题型4 菱形相关综合性问题】 7 【题型5 矩形相关综合性问题】 10 【题型6 正方形相关综合性问题】 13 【题型7 菱形相关最值问题】 15 【题型8 矩形相关最值问题】 17 【题型9 正方形形相关最值问题】 19 【题型1 菱形相关折叠问题】 1．如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 2．如图，在菱形中，，E是边上一动点，将沿折叠得到，则面积的最大值是（   ） A．8 B． C．16 D． 3．如图，在菱形中，，点，分别在和上，沿将折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为（   ） A． B．15 C． D． 4．如图，菱形纸片的边长为，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，使得，垂足为．若，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 5．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知四边形为菱形，点为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点与点恰好重合在一起．已知菱形的边长为4，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 7．如图，菱形中，，为边上一点，且，折叠菱形使点B与点P重合，展开后得到折痕，分别与交于点．则的长为（   ） A．1 B． C． D． 8．如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，折痕为，且，则中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【题型2 矩形相关折叠问题】 9．如图，在矩形中，，，点为边上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的平分线上时，的长为（    ） A． B． C． D．或 10．如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 11．如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 12．如图，在矩形中，将沿折叠，使点D落在边上的点F处，已知，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 13．如图，将长方形纸片沿折叠，使点D落在点B处，点C落在点处，点P为折痕上的任意一点，过点P作、，垂足分别为G、H，如果，，那么的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 14．如图，在矩形中，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，则点E到点B的距离为（   ） A． B． C． D． 15．如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有（   ） ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 16．如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 【题型3 正方形相关折叠问题】 17．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 18．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（    ） A．1 B． C． D．2 19．如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 20．如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长，交于点，，若点是边的中点，则长（    ） A． B． C． D． 21．如图，，分别是正方形的边、的中点，连接，，将正方形沿折叠，使点落在点处，延长交于点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 22．正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 23．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 24．如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（    ） A． B．2 C． D．随H点位置的变化而变化 【题型4 菱形相关综合性问题】 25．如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，交于点G，连接．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ） ①；②；③四边形是菱形；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 27．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，则下列结论：；；；四边形是菱形．其中正确的有（      ） A． B． C． D． 28．如图，在菱形中，，在射线、上有两点、，连接、、，下列说法：①若、分别是、的中点，且，则菱形的面积为．②若菱形的周长为16，则． ③若，且，则的长度为．④若，则面积的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 29．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接，则下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的有（   ） A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 30．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．如图，在中，，，的平分线交于点G，于点O，交于点F，连接，．则：①；②四边形是菱形；③；④．上述结论中正确的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【题型5 矩形相关综合性问题】 33．如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 35．如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③，重合时，； ④点、、三点共线． 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 37．如图，以三边向外分别作等边、、，下列结论 ① ②若，则四边形为平行四边形 ③若，则四边形是菱形 ④若四边形是正方形，则． ⑤若，，，则四边形的面积是60 其中正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 38．如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．有以下结论：①；②四边形是菱形；③当点，重合时，；④点，，三点共线．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 39．如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： 四边形是菱形；平分；线段的取值范围为；当点与点重合时，． 其中正确的结论个数是（   ） A． B． C． D． 【题型6 正方形相关综合性问题】 41．已知如图，在正方形中，为上一点，在的延长线上，连接，，，点为的中点，连接若，；小宇同学过中点作，交于，构造一条中位线，探究出以下一些结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 42．如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，现在有如下结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 43．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列5个结论：①②③一定是等腰三角形；④⑤．其中正确的有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 44．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 45．如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①；②；③；④的面积是2．其中正确的结论为（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 46．如图，在正方形中，是一条对角线，是的平分线，交于点．在边上有一点，，连接交于点，连接交于点，已知．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 48．如图，在正方形中，是上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、，下列结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，是等腰直角三角形．其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型7 菱形相关最值问题】 49．如图，在菱形中，已知，，若点是线段上一动点，是的中点，则的最小值为 ． 50．如图，在菱形中，，，点，分别在和上，且，则的最小值为 ． 51．如图，在菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，且满足，将绕点逆时针旋转至，连接、，则的最小值为 ． 52．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，点P是对角线上的一个动点，点D是线段上的一个动点，最小值为 ． 53．如图， 菱形中， ，，E、F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ．        54．如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为 ，最大值为 ． 55．如图，菱形的边长为4，，点M为菱形内一动点，连接，，点H为的中点，连接，则的最小值为 ． 56．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ． 【题型8 矩形相关最值问题】 57．如图，矩形中，，，点E在上，且，点F在直线上运动，以为边向右作等边三角形，点P在上运动，连接，则的最小值为 ． 58．如图在矩形中，，．点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 59．如图，在矩形中，，，点M是的中点，点E是边上一点，，F是上一点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形．则的最小值为 ． 60．如图所示，在中，，，，为上一动点（不与、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是 ． 61．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接、则线段的最小值为 ．    62．如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ． 63．如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是 ． 64．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【题型9 正方形形相关最值问题】 65．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是 ； 66．在正方形中，点、是、上的两定点，满足：，（点不与，重合；点不与，重合）．连接，取的中点，连接，且，，为线段上的动点，为线段上的动点，则四边形的周长的最小值为 ． 67．如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为 ． 68．如图，正方形的边长为10，点为的中点，连接，点分别为上的动点，连接，则的最小值为 ． 69．正方形边长为，在边上，在边上，．则的最小值为 ． 70．如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一个动点，连接、、，，过点向右侧作，且，连接，则线段的最小值为 ．    71．如图，正方形的周长为12，E，F分别在，边上，，，P是上的一动点，则的最小值为 ． 72．如图，正方形的边长为8，点E、F分别在边上．将该纸片沿折叠，使点A的对应点G落在边上，折痕与交于点Q，点K为的中点，则随着折痕位置的变化，周长的最小值为 ． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 弈泓共享数学 专题01特殊平行四边形相关折叠综合最值问题（9种类型72道） 目录 【题型1 菱形相关折叠问题】 1 【题型2 矩形相关折叠问题】 9 【题型3 正方形相关折叠问题】 17 【题型4 菱形相关综合性问题】 26 【题型5 矩形相关综合性问题】 42 【题型6 正方形相关综合性问题】 57 【题型7 菱形相关最值问题】 72 【题型8 矩形相关最值问题】 83 【题型9 正方形形相关最值问题】 93 【题型1 菱形相关折叠问题】 1．如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 2．如图，在菱形中，，E是边上一动点，将沿折叠得到，则面积的最大值是（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质．由三角形底边是定长，所以当的高最大时，的面积最大，即当时，三角形有最大面积． 【详解】解：在菱形中，， 又∵将沿折叠得到， ∴， 由此，的底边是定长，所以当的高最大时，的面积最大， 即当时，三角形有最大面积 ∴面积的最大值是， 故选：A． 3．如图，在菱形中，，点，分别在和上，沿将折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形性质、图形折叠的对称性（对应线段相等）及含特殊角（）直角三角形的边角关系．解题关键在于通过辅助线构造可解的直角三角形，将几何条件转化为代数方程，结合勾股定理实现几何向代数的转化，其中设未知数建立等量关系是突破核心．首先利用菱形推得邻角，结合设，则，进而菱形边长；由折叠性质得；作辅助线延长线于F构造含角的，应用角所对直角边性质得；在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点，则， ， ， 在中，， ，， 设，则， ， ， 在菱形中，， ， ， 由翻折可知：， 在中，，， ， 解得，（不符合题意，舍去） ， 故选：． 4．如图，菱形纸片的边长为，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，使得，垂足为．若，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；作于点，则，求出，得到，在中，求出和的关系，再根据，即可求出的长，从而求得的长，进而求得． 【详解】解：如图，作于点，则，由折叠得， ∵， ∴ ∴，， ∵菱形纸片的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ 解得： ∴， 故选：A． 5．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；连接，根据菱形的性质得出，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理求得的长，进而求得，根据折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，则是等边三角形， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴图形的面积是，(此时点重合) 故选：B． 6．如图所示，已知四边形为菱形，点为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点与点恰好重合在一起．已知菱形的边长为4，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，由菱形的性质可得，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， 线段沿折叠后点与点恰好重合在一起， ，， ， 故选：C． 7．如图，菱形中，，为边上一点，且，折叠菱形使点B与点P重合，展开后得到折痕，分别与交于点．则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，过点P作交的延长线于点E，由菱形得到，，求出，，设，则，，由折叠得，，根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点P作交的延长线于点E ∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 设，则， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴的长为． 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的性质，含30度角直角三角形的性质，勾股定理和折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，折痕为，且，则中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及菱形的面积公式的综合运用．关键在于利用折叠性质得出与的关系，进而求出菱形面积，再结合面积公式求出边上的高． 【详解】 解：由折叠性质，可知垂直平分，如图，设交点为，则， 四边形是平行四边形，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，则， ， ， 在中，， 设边上的高为，则， 即：，解得， 即边上的高为： ． 故选：D ． 【题型2 矩形相关折叠问题】 9．如图，在矩形中，，，点为边上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的平分线上时，的长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠问题和勾股定理，解题的关键是找出折叠前后相等的线段． 连接，过作，交于点，于点，作交于点，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点， 点的对应点落在的角平分线上， ， 设，则， ， 又折叠图形可得， ，解得或， 即或． 在中，设， 当时，，，， ， 解得，即， 当时，，，， ， 解得，即． 故选：． 10．如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用等．由折叠的性质得，，可得，再设，，在中利用勾股定理列出方程，解出x，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得． ∴； ∴． 故选：C． 11．如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，，由折叠的性质得到，则，再根据三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 12．如图，在矩形中，将沿折叠，使点D落在边上的点F处，已知，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用．根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 故选A． 13．如图，将长方形纸片沿折叠，使点D落在点B处，点C落在点处，点P为折痕上的任意一点，过点P作、，垂足分别为G、H，如果，，那么的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理和平行线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先证，过点E作，垂足为Q，证四边形是矩形，得，根据角平分线的性质得到求出． 【详解】解：过点E作，垂足为Q，如图， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 由折叠可得：． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 延长交于点R， ∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形, ∴ ∵平分，， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】 14．如图，在矩形中，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，则点E到点B的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质． 在中利用勾股定理求长，由折叠可得，，得出，然后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， 设则， ∵， ∴， 解得 ∴， 故选A． 15．如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有（   ） ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确，连接，令与交于点，再证，可证得则的周长，进而判断②正确，无法证明温恩等边三角形，进而判断③错误；由题意得，，则在中，，整理得，进而判断④正确． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵矩形周长为8， ∴，则， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由折叠可知，， ∵ ∴，则 ∴， 则的周长，故②正确； 无法证明为等边三角形，故③错误； ∵，， 在中，， 整理得：， ∴当变大时，也变大，故④正确， 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 16．如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、全等三角形的判定与性质．先根据矩形与折叠的性质，证明，得出，设，根据勾股定理建立等式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴的长为， 故选：B． 【题型3 正方形相关折叠问题】 17．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，根据折叠的性质可得，再由线段的和差可得，然后在和中由勾股定理得到，，将，和代入计算即可求得的值． 【详解】解：连接，，如图， 在中，， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 四边形是边长为9的正方形，， ，，， ， 解得． 故选：B． 18．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 19．如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，勾股定理，设的长度为．利用正方形的性质推导出，，在中，，代入数据解答即可． 【详解】解：设的长度为． 四边形是正方形， ． 是的中点， ． ， ． 在中，， ． ． ． 故选：D． 20．如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长，交于点，，若点是边的中点，则长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，可证得，则，设，则，，，在中，利用勾股定理求得，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 点是边的中点， ， 由折叠得：，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 21．如图，，分别是正方形的边、的中点，连接，，将正方形沿折叠，使点落在点处，延长交于点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，根据折叠的性质得，，，证明得，进一步推出，设，则，，在中，根据得，求出后再代入即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， 如图，连接， ∵将正方形沿折叠，使点落在点处， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，掌握正方形的性质及折叠的性质是解题的关键． 22．正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ∴， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 23．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折变换，勾股定理，解题关键是要注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，由根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为6， ∴，， 根据折叠的性质得：，， 设， 则，，， ∵在中，， ∴，解得：， ∴， ∴． 故选：A． 24．如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（    ） A． B．2 C． D．随H点位置的变化而变化 【答案】B 【分析】连接、，作于M．判定，可得，即可得出，再判定，即可得到，进而得到的周长等于正方形的周长的一半． 【详解】解：如图，连接、，作于M． ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 的周长， 又∵正方形的周长， 的值为2， 故选：B． 【题型4 菱形相关综合性问题】 25．如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，交于点G，连接．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先证明是等边三角形，利用“”证明，利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断①；过C作于M，交延长线于N，则，根据四边形的内角和可推导出，然后证和可判定②；利用含30度角的直角三角形性质以及全等三角形的性质可判定③；运用勾股定理求得，，利用全等三角形的性质可得，进而得，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， ∴； 故①符合题意； 过C作于M，交延长线于N，则， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， 即平分， 故②符合题意； ∵平分，且， ∴ 则， ∴，， ∵， 则， 即， 故③符合题意； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形的内角和等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． 26．如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ） ①；②；③四边形是菱形；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】由和都是等边三角形，可得，，则，，如图，连接，则，由，，可得垂直平分，即，可判断①的正误；，，由，可得，则四边形不是菱形，可判断②的正误；由是等边三角形，F为中点，可得，即，证明，，可证四边形是平行四边形，则，，即，可判断③的正误；由，，，可证，可判断④的正误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， 如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即，①正确，故符合要求； ∴， ∴， ∵， ∴，四边形不是菱形，③错误，故不符合要求； 是等边三角形，F为中点， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即，②正确，故符合要求； ∵，，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． 27．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，则下列结论：；；；四边形是菱形．其中正确的有（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形是菱形，得，，，然后根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，然后通过平行四边形的性质即可判断；由平行四边形的性质和全等三角形的判定方法即可判断；由四边形是平行四边形，四边形是菱形，则，，然后通过中位线定理即可判断；由四边形是菱形，得，则可证明是等边三角形，故有，通过菱形的判定方法即可判断． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，故正确； ∵四边形是平行四边形，四边形是菱形， ∴，， ∴是中位线， ∴，故正确； ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 28．如图，在菱形中，，在射线、上有两点、，连接、、，下列说法：①若、分别是、的中点，且，则菱形的面积为．②若菱形的周长为16，则． ③若，且，则的长度为．④若，则面积的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，过点作与点H，由菱形的性质和，含30度直角三角形的性质得出，，进而求出，再根据菱形的性质求出面积可判断①，由菱形的性质可判断②，连接．由等边三角形的判定和含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定性质结合勾股定理即可求出进而可判断③，由等边三角形的性质得出，再根据垂线段最短，得出即时，面积的最小值，此时点E为的中点，进而求出面积的最小值，即可判断④． 【详解】解：过点作与点H， ∵， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∵、分别是、的中点，且， ∴ ∴，， ∴， ∴则菱形的面积为，故①正确， 若菱形的周长为16，则， 但无法确定射线、上两点、的位置，故无法推出，故②错误， 如下图，连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，． ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 又∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵是等边三角形， 过点A作交与点K， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当最小，即时，面积的最小值，此时点E为的中点， 在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴，故④正确， 综上：①③④正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据题意画出图形，利用相关知识求解是解题的关键． 29．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接，则下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的有（   ） A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由证明，②正确；得出，证出是的中位线，得出，根据，推出，故③正确；先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，因此，则四边形是菱形，④正确；由菱形的性质得，结合，推出，①正确． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，，， ，， ， ， 在和中， ， ，故②正确 ， 是的中位线， ， ， ，故③正确； ，， 四边形是平行四边形， ， 、是等边三角形， ，， ，四边形是菱形，故④正确； ， ∵， ，故①正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 30．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质，得出，结合，可得、是等边三角形，从而可得，再根据E，F分别是，的中点，可得，平分，从而可得，，再利用三角形外角的性质求得，由此可判断①； 先利用等腰三角形三线合一，可得，，再利用证明，从而可得，再根据含有直角三角形的性质得出，，从而可得，由此可判断②； 根据中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，由此可判断③； 根据等边三角形的面积等于求出，由此可判断④． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ， ， ∴、是等边三角形， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，平分， ，， ，故①正确； ②∵E，F分别是，的中点，是等边三角形， ∴，， ∵四边形是菱形， ，， ∴，， 在与中， ， ， ， ∴，， ，故②正确； 中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，故③错误； ∵是等边三角形，， ∴，故④错误． 综上可得①②正确，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，，三角形外角的性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识点，并 熟练运用求解． 31．如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．先证明四边形是菱形，进而得出，即可判断①结论；利用30度角所对的直角边等于斜边一半，以及勾股定理，可判断②结论；连接，令与的交点为，证明，可判断③结论；证明，可判断④结论． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平分， ， ， ， ， ，①结论正确； 在中，，， ， ，②结论正确；如图， 如图，连接，令与的交点为， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，③结论正确； 在和中， ， ， ， ， ，即，④结论正确； 故选：D． 32．如图，在中，，，的平分线交于点G，于点O，交于点F，连接，．则：①；②四边形是菱形；③；④．上述结论中正确的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质、角平分线的定义及三角形外角的性质可判断①；证明得出，，证明得出，，可得四边形是菱形，即可判断②；证明是等腰直角三角形，可得，设，则，进而求得，即可判断③；连接，根据为的中点，可得，根据得出，进而判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴，故①是不正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故②正确； ③∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴，故③正确； ④连接， ∵在中，，， ∴， ∵和等底同高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型5 矩形相关综合性问题】 33．如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，，故①正确；设，表示出，利用勾股定理求出，得到，再求出，得到，故③错误；求出，证明出，得到，求出，故②正确；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确． 【详解】解：∵，点G是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； ∴是等边三角形， 设，则， 由勾股定理得，， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，设出，然后用a表示出相关的边是解题的关键． 34．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及≌是解题的关键． 由矩形的性质得，，因为，所以，则，则，则，可求得，而，所以，可判断正确；由，得，则，所以，可求得，则，所以，则，所以，再证明，则，可判断正确；再证明≌，得，，可判断正确；由，，推导出，而，则，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 故正确； ，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故正确； ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 故正确； ，， ， ， ， ， 故正确， 故选：D． 35．如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①由菱形的性质得到，再通过平行线的性质得到，再通过邻补角的定义得到，结合判定即可； ②由菱形的性质得到，结合①的结论证明，由直角三角形斜边中线的性质即可得到结论； ③由垂直平分线的判定：“如果一条直线上有两个点，这两个点到一条线段的两个端点的距离分别相等，那么这条直线就是该线段的垂直平分线．”证明，，即可证明垂直平分； ④通过三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质得到，，再由图得到线段间的和差关系即，即可证明． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形 故①符合题意； 连接，令、相交于点，如图所示． 是等边三角形 ，， 是的中点， 在中， 故②符合题意； ，， 和在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故③符合题意； 是的中点， 是的中位线， ， ， 故④符合题意； 其中正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质．准确掌握这些性质，结合图形合理运用这些性质是解题的关键． 36．如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③，重合时，； ④点、、三点共线． 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设，得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；，重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；结合矩形的性质可知，进而可证明，即可判断④． 【详解】解：矩形中， ， 由翻折可知：，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故②正确； ，， ， 在和中， ， 若，则， ，这个不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， 四边形是菱形，故②正确； ， ， ，故③正确； 由折叠可知：， ， 四边形是菱形， ， ， 、、三点一定在同一直线上，故④正确． 综上所述：正确的结论有②③④，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、折叠性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 37．如图，以三边向外分别作等边、、，下列结论 ① ②若，则四边形为平行四边形 ③若，则四边形是菱形 ④若四边形是正方形，则． ⑤若，，，则四边形的面积是60 其中正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质．逐个分析判断，即可解答． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 故①正确． ∵， ∴， ∴， 同理可证，得， 由，，即可得出四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是平行四边形． 故②正确． 由②知，四边形是平行四边形， ∴当时，， ∴平行四边形是菱形， 故结论③正确； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 故④正确． 过点E作，交的延长线于点M，如图 ∴， ∵，，， ∴，， 即， ∴是直角三角形，且． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤错误， 综上所述，①②③④正确， 故选：C． 38．如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．有以下结论：①；②四边形是菱形；③当点，重合时，；④点，，三点共线．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质结合折叠的性质可得，从而即可得出，结合题意可得，即可判断②；由勾股定理和折叠的性质计算即可判断①③；由折叠的性质结合菱形的性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在矩形中，有， ∴． 由翻折可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形，故②正确． ∴，． ∴， 当点与点重合时，如图，设，则． ， 在中，， 即，解得， ∴， ， （此时，故①错误）， ∴， ∴，故③正确． 由折叠可知：，， ∴， ∴． 四边形是菱形， ∴． 由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可得，，三点共线，故④正确． 综上所述，正确的结论有②③④， 故选：C． 39．如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定等，由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点与点重合时，的最大值为4 ，则长度的最大值为2．据此可判断③；根据，据此可判断④． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故①正确；     ②由①可知，四边形是矩形， ∴， ∵O，F分别是，的中点，点在上， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴点E是的中点，故②正确； ③∵是的中位线， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， 当点E与点D重合时，的值最大，此时， ∴线段长度的最大值是2，故③正确；     ④当点E在边上，且时，， ∴不是等边三角形，故④错误． 综上所述，正确的结论有3个， 故选：C． 40．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： 四边形是菱形；平分；线段的取值范围为；当点与点重合时，． 其中正确的结论个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；由菱形的性质可得，由点C落在上的一点H处，不一定等于30°，可判断②；当点H与点A重合时，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若与重合时，有最大值，由正方形的性质可求的最大值，可判断③；如图，过点H作于M，由勾股定理可求的长，可判断④；即可求解． 【详解】解：由矩形的性质可得：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故①正确； 四边形是菱形， ， 若平分， ， ， 点落在上的一点处， 不一定等于 不一定平分，故②错误； 当点与点重合时，有最小值， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 若落在上时，有最大值， 四边形是正方形， ， 最大值为， ，故③正确； 如图，过点作于， 四边形是矩形， ，， 四边形是菱形， ， ， ，故④正确， 故选：D． 【题型6 正方形相关综合性问题】 41．已知如图，在正方形中，为上一点，在的延长线上，连接，，，点为的中点，连接若，；小宇同学过中点作，交于，构造一条中位线，探究出以下一些结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．过点作交于点，由，，则，证明和全等得，则，证明是的中位线得，，进而得，由勾股定理得，进行逐一判断即可解决问题． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： ， ，， 四边形是正方形， ，， 和均为直角三角形，， 在和中， ， ，故正确； ，， ， ， 是等腰直角三角形，故正确； ，， ， 点为的中点，， ， 是的中位线， ∴， ，，故正确，错误； ， ， 是等腰直角三角形， ，故正确， 正确的结论有， 故选：C． 42．如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，现在有如下结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明即可判断①；可以证明，显然 不是等边三角形，判断②；证明， 即可判断③；证明，求出的面积即可判断④解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ， 由翻折可知：， ， ， ， 设， ，故①正确； 在中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴不是等边三角形， ∴，故②错误； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， ，故③正确， ， ， ，故④错误， 综上所述：结论正确的是①③，共个， 故选：B． 43．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列5个结论：①②③一定是等腰三角形；④⑤．其中正确的有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】延长交于点，延长交于点，证出，即可证得①④是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断②正确；根据勾股定理及矩形的判定及性质可判定⑤正确，根据点的任意性可判断③错误． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， 四边形是正方形， ，，， 又，， ，， 四边形是正方形，， ，四边形是矩形， ，， ， 在与中，， ， ，，则①和④正确； 在与中，，， ， ，则②正确； ∵，，, ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，则⑤正确； ∵点是上任意一点， ∴不一定是等腰三角形，则③错误； 综上，正确的结论有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 44．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定，矩形的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．如图所述，过点E作于点M，作于点N，设，交于点H，可证四边形是正方形，可得，即可判断结论①；根据结论①可证矩形是正方形，根据全等三角形的判定方法可判断结论②；根据正方形的性质可得，由结论②可得，由此可判断结论③；根据点E在上，当时，可判断结论④；由此即可求解． 【详解】解：①如图所述，过点E作于点M，作于点N，设，交于点H， ∵四边形是正方形，是对角线，，， ∴，， ∴四边形是矩形，且，， ∴，都是等腰直角三角形，即， ∴矩形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， ∴，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ②由结论①正确可知，DE=EF，且四边形DEFG是矩形， ∴矩形是正方形， ∴，即，且， ∵四边形是正方形， ∴，即，且， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ③∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 由结论②正确可知，， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵四边形是正方形，是对角线，点E是上的点， ∴当时，点F于点C重合， ∴与不一定相等，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②③共3个， 故选：C． 45．如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①；②；③；④的面积是2．其中正确的结论为（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①证明和全等得，根据三角形外角性质得，由此可对结论①进行判断；②先由勾股定理求出，进而得，由此可对结论②进行判断；③连接交于点，过点作于点，证明四边形是矩形得，进而得，由勾股定理得，，由此可对结论③进行判断；④根据和全等得，而，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形和四边形都是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵是的外角， ， ， 故结论①正确； ②∵四边形是正方形，且， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是正方形，， ， ， 故结论②正确； ③连接交于点，过点作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 故结论③不正确； ④， ， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解正方形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 46．如图，在正方形中，是一条对角线，是的平分线，交于点．在边上有一点，，连接交于点，连接交于点，已知．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形和三角形，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，是解题的关键． 证明，得，判断①；证明，判断②；由证明，故②正确；根据，，可得，得 ，判断③；根据是的平分线，，证明，得，由，得判断④． 【详解】解：∵在正方形中，，且， ∴， ∴， 故①正确； ∵在正方形中，， 又， ∴， 故②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确， 故正确的结论有①②③④， 故选：D． 47．如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查的知识点包括正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、垂直的判定以及线段最小值的求解．通过，可证明四边形为矩形，可得，再证明，得，等量代换可得，即①正确；因为，可得，由，等边对等角得，所以，即②正确，由，得，由①可知，四边形是矩形，四边形是正方形．故③正确；由①可知，，当点三点共线时，最小，即最小，此时，④不正确；即可解答． 【详解】解析：如图所示，连接，交于点O， ，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，即①正确； ， ， ， ， ，即②正确， 当时， ， ， 由①可知，四边形是矩形， 四边形是正方形．故③正确； 由①可知，，当点三点共线时，最小，即最小， 此时， 的最小值为，④不正确． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 48．如图，在正方形中，是上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、，下列结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，是等腰直角三角形．其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得，然后利用“角边角”证明和全等；由四边形是矩形，可得，而在直角中，，可判断，运用矩形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，进行线段的等量代换，得，判断出不一定是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，从而确定出与不一定全等；证明，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵在和中， ， ∴．故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵过点P分别作，的垂线， ∴四边形是矩形， ∴． 在直角中，， ∴．故③正确； 过点作， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵正方形， ∴，而， ∴是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形， ∴与不一定全等，故④错误； ⑤∵四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 当P是的中点时，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选B． 【题型7 菱形相关最值问题】 49．如图，在菱形中，已知，，若点是线段上一动点，是的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及最短路线问题．连接，，判定，即可得到，进而得出，当D，M，N在同一直线上时，的最小值等于的长，依据勾股定理即可得到的长． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 当D，M，N在同一直线上时，的最小值等于的长， 又∵中，，， ∴， 故答案为：． 50．如图，在菱形中，，，点，分别在和上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作，且使，连接，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，推导出是等腰直角三角形，即可求的长．本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，通过构造三角形全等将线段进行转化是解题的关键． 【详解】解：过点作，且使，连接， ≌， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 51．如图，在菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，且满足，将绕点逆时针旋转至，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，线段和的最小值问题，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 连接，延长至E，使得，利用菱形的性质和题中条件证明，推出，接着证明，推出，进而说明的最小值为的长，最后利用勾股定理求出的长． 【详解】连接，延长至E，使得，如图所示： 由题知，， 四边形是菱形，，， ，， 又， ，即， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 当A，P，E三点共线时，有最小值，为的长． 连接，过点A作交延长线于F， 则，，， ，， ， 由勾股定理得， 的最小值为． 故答案为：． 52．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，点P是对角线上的一个动点，点D是线段上的一个动点，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，由菱形的对称性可得，则，故当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，求出，，则，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，且为其对角线， ∴点C和点A关于对称， ∴． ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，如图所示， ∵点A坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 53．如图， 菱形中， ，，E、F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ．        【答案】 【分析】过点B作，且，证明，当A，E，T三点共线时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理，菱形的性质解答即可． 【详解】解：∵菱形中， ，， ∴，， 过点B作，且截取， 则， 连接， ∴， ∵， ∴，    ∴， ∵， ∴， 故当A，E，T三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 故最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 54．如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，点到直线的距离，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．在上取一点，使，连接．证明，则．由点为定点，为线段上的一个动点，∴当时，有最小值，利用菱形性质知，则，即可得的最小值为；当点P运动到点B时，最大，即有最大值，先证明Q，C，D三点共线，过点B作．分别求出，，利用勾股定理求出，即可得的最大值． 【详解】解：如图1，在上取一点，使，连接． ∵四边形是菱形，，边长为， ∴，，，， ∴，，， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 由点为定点，为线段上的一个动点， ∴当时，有最小值， 此时， ∵， ∴， ∴最小值为， ∴的最小值为； 如图2，当点P运动到点B时，最大，即有最大值， ∵， ∴， ∴， 此时Q，C，D三点共线，过点B作． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：；． 55．如图，菱形的边长为4，，点M为菱形内一动点，连接，，点H为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取中点K，连接，过D作交的延长线于N，判定，推出，得到，由含30度角的直角三角形的性质得到， ，由勾股定理求出，再由，即可得到的最小值． 【详解】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N， ∵四边形是边长为4的菱形，， ∴， ∴， ∵H是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形性质，全等三角形性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 56．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，过点D作于G，可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，即当E与G重合时，此时最小，即最小，最小值为，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接．过点D作于G， ∵在菱形中，， ∴，， ∴和都为等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小． 由垂线段最短可知当时，最小， ∴当E与G重合时，此时最小，即最小，最小值为， ∵， ∴， ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型8 矩形相关最值问题】 57．如图，矩形中，，，点E在上，且，点F在直线上运动，以为边向右作等边三角形，点P在上运动，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】当点F在点B上方时，作等边，连接，可证明，得到，则点Q在直线上运动；设直线分别交直线于H、K，可得，，则，，则可求出；作点D关于直线的对称点G，连接，则，则当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，求出，得到，同理可得，即的最小值为；当点F在点B下方时，同理可得的最小值为． 【详解】解：如图所示，当点F在点B上方时，作等边，连接， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴点O是定点， ∴点Q在直线上运动； 如图所示，设直线分别交直线于H、K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴； 如图所示，作点D关于直线的对称点G，连接，则， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴的最小值为； 如图所示，当点F在点B下方时，同理可得的最小值为； 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称最短路径问题，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形推出点Q的轨迹是解题的关键． 58．如图在矩形中，，．点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，在上取一点，连接，使，作射线，勾股定理求出，，证明出是等边三角形，连接、，作于点，则，勾股定理求出，证明出，得到，然后利用求解即可． 【详解】取的中点，在上取一点，连接，使，作射线， 四边形是矩形，，， ，， ，， ，， ， ， ， 是等边三角形， 连接、，作于点，则， ， ， ， ， 将线段逆时针旋转到， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在射线上运动， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 59．如图，在矩形中，，，点M是的中点，点E是边上一点，，F是上一点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形三边关系应用，连接、、，根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出，，说明点G在以点E为圆心，为半径的圆上运动，得出当E、M、G三点共线时，最小，且最小值为：． 【详解】解：连接、、，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将四边形沿折叠，得到四边形． ∴， ∴点G在以点E为圆心，为半径的圆上运动， ∴当E、M、G三点共线时，最小，且最小值为：． 故答案为：． 60．如图所示，在中，，，，为上一动点（不与、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用矩形的性质得出．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得＝，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得．即则的最小值是． 故答案为：． 61．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接、则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠问题，三角形中位线定理，三角形三边关系，勾股定理，关键是通过作辅助线构造三角形的中位线，由三角形三边关系定理得到．延长到K使，连接，，由三角形中位线定理得到，由勾股定理求出，由折叠的性质得到，由三角形三边关系定理得，即可求出线段的最小值为． 【详解】解：如图，延长到K使，连接，，   为的中点， 是的中位线， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由折叠的性质得到，由三角形三边关系定理得：， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 62．如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，由题意可推出点在以E为圆心为半径的圆上运动，可得当D、、E共线时，的值最小，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴点在以E为圆心为半径的圆上运动，如图所示： 故：当D、、E共线时，的值最小， ∵， ∴， 故答案为：． 63．如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】连接，，当、、三点共线时，即点M与点重合时，取得最小值，此时， 根据勾股定理，折叠性质解答即可． 【详解】证明：如图，连接， ∴， 当、、三点共线时，即点M与点重合时，取得最小值， 此时， ∵，，，是边的中点， ∴, ∴, 由翻折得， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 64．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的翻折变换，勾股定理，中位线的性质定理，解题的关键是掌握翻折的性质和矩形的性质，构造三角形中位线解决问题． 延长到，使，连接，求出，根据翻折得到可得，故当H，F，C共线时，最小，的最小值为； 由是的中位线，即可得的最小值． 【详解】解∶ 延长到，使，连接，如图∶ 四边形是矩形， ， ， 将沿翻折得到， ， 当，，共线时，最小，最小值为； 点为的中点，， 是的中位线， ， 的最小值为； 故答案为：． 【题型9 正方形形相关最值问题】 65．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是 ； 【答案】 【分析】证明得，进而得到，则由直角三角形斜边中线的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，根据垂直平分线的性质得，可得当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，利用勾股定理得，代入数据计算则可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当、、三点共线时取“”，此时有最小值，最小值为，∵，正方形的边长为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，确定的最小值为是解题的关键． 66．在正方形中，点、是、上的两定点，满足：，（点不与，重合；点不与，重合）．连接，取的中点，连接，且，，为线段上的动点，为线段上的动点，则四边形的周长的最小值为 ． 【答案】22 【分析】延长至H，使，连接，由可证，可得，，由可证得，进而得，作点N关于直线的对称点为，点M关于直线的对称点为，延长至T，使得，连接，，，连接，交于E，交于F，连接，，此时四边形的周长最小，先证得，由线段垂直平分线的性质可，，则四边形的周长，即可求解． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， 在正方形中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作点N关于直线的对称点为，点M关于直线的对称点为，延长至T，使得，连接，，，连接，交于E，交于F，连接，，此时四边形的周长最小， ∴B为的中点，D为的中点， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴为的中垂线，为的中垂线， ∴，， ∵点P是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，且， ∵，， ∴， 同理可得， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵为的中垂线，为的中垂线， ∴，， ∴四边形的周长， ∵，，， ∴， ∴当在同一直线上时，四边形的周长有最小值，最小值为22． 故答案为：22． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，旋转的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 67．如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质．作点E关于的对称点G，连接，则，，可得的最小值为的长，再根据题意可得点B，C，G三点共线，然后根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点G，连接，则，， ∴， 即的最小值为的长， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴点B，C，G三点共线， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 68．如图，正方形的边长为10，点为的中点，连接，点分别为上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段和最小问题，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和勾股定理． 点与点关于对称，过点作于点，交于点，连接，此时，，值最小，即的值最小，利用勾股定理和等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示， 点与点关于对称，过点作于点，交于点，连接， 此时，，值最小，即的值最小， ∵点为的中点， ∴， 由勾股定理得，， 由等面积法得，， 故答案为：． 69．正方形边长为，在边上，在边上，．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．掌握“将军饮马”模型，理解当，，三点共线时，取得最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，，得到，， 再利用“”证明得到，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，最后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，，则，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ，，， ， 的最小值为， 故答案为： ． 70．如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一个动点，连接、、，，过点向右侧作，且，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先证明，可得；由线段中点的定义得到，连接，由勾股定理得，根据，，可得当三点共线时，最小，即此时最小，据此即可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，，    ∴当三点共线时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 71．如图，正方形的周长为12，E，F分别在，边上，，，P是上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】作点关于的对称点，连接、，则，所以，当、、在同一直线上，且时，的最小值为． 【详解】解：正方形的周长为12， ， ，， ，， 作点关于的对称点，连接、， 则， ， ， ， ， ， 当、、在同一直线上，且时，的最小值为． 的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，矩形的判定与性质，勾股定理及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 72．如图，正方形的边长为8，点E、F分别在边上．将该纸片沿折叠，使点A的对应点G落在边上，折痕与交于点Q，点K为的中点，则随着折痕位置的变化，周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题．取的中点M，连接，，证明，，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：取的中点M，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ∵点K为的中点， ， 由折叠得关于对称， ， ，， ， 的周长 又， ， 的周长的最小值为， 故答案为： 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 $$