第三章 一次方程（组）（知识清单）数学湘教版2024七年级上册

第三章 一次方程（组） 【清单01】方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的表示等量关系的等式叫作 ． 2. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，这样的方程叫作 ． 3. 方程的解：使方程左右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个 . 习惯上记作 x = c. 4. 解方程：根据等式的性质求方程的解的过程． 【清单02】等式的性质 1. 等式的性质1：等式两边都加上或减去同一个数 (或整式)，等式两边仍然相等． 2. 等式的性质2：等式两边都乘同一个数， 或除以同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式． 【清单03】一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1) ：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘. (2) ：注意括号前的系数与符号． (3) ：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程右边，移项注意要改变符号． (4) ：把方程化成 ax＝b(a ≠ 0)的形式． (5) ：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m 的形式. 【清单04】二（三）元一次方程组 1. 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作 . 2. 二元一次方程组的概念：只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组. 3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程左右两边的值相等，叫作这个方程组的 . 4. 三元一次方程组的概念：含有 未知数，并且含未知数的项的 的方程组叫作 . 【清单05】方程组的解法 1. 带入消元法 2. 加减消元法 消元法解三元一次方程组：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组 为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为 . 【清单06】一次方程与方程组解实际应用题 1. 列方程 (组) 的应用题的一般步骤： ：审清题意，分清题中的已知量、未知量． ：设未知数. ：根据题意寻找等量关系列方程． ：解方程（组）． ：检验方程的解是否符合题意． ：写出答案 (包括单位)． [注意] 审题是基础，找等量关系是关键. 一、一元一次方程的解法 步骤 具体做法 易错点 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)漏乘括号里的项 (2)括号前是负号，去括号后忘变号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项的变号，不移项的不变 (2)容易丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 同类型的系数合并，字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 把分子、分母写颠倒 特别： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． （2） 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 【典例1】解方程． (1) (2) 二、二元一次方程组的解法 基本思路：把二元一次方程组转化为一元一次方程. （1）代入消元法 (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2) 代入消元法适合以下方程（组）： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便． （2）加减消元法 加减消元法适合以下方程： 1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； 2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 【典例1】用代入消元法解关于的方程组时，代入正确的是（      ） A． B． C． D． 【典例2】利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【典例3】小华在解方程组时，具体解法如下： 解：①×2得，③，…………………（第一步） ③－②得，，……………………（第二步） 所以，， 将代入①得，．………………（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是 ； (2)以上解答过程从第 步开始出现错误，具体错误是 ； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解 ． 三、一次方程（组）的应用 基本思路： 先审题找出题中的数量关系，直接设未知数或者找关键的中间量间接设，然后用含x的式子表示相关的量，列方程、求解、作答，即审、设、列、解、答． [注意] 审题是基础，找等量关系是关键. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间的关系： ① 路程＝速度×时间； ②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ③追及问题：甲为快者， 被追路程＝甲走路程－乙走路程； ④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水． (2) 销售问题中基本量之间的关系： ① 实际售价 - 进价(成本) = 利润； ② 利润÷进价×100% = 利润率； ③ 进价×(1 + 利润率) = 售价； 标价×折扣数÷10 = 进价. 【典例1】小王驾车计划用相同的时间往返甲、乙两地，从甲地到乙地的平均速度是每小时60千米，结果早到20分钟，从乙地到甲地的平均速度是每小时40千米，结果晚到5分钟，求甲、乙两地的距离．设甲、乙两地的距离是千米，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/本） 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ (2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ 【典例3】某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 重难点01 一元一次方程的解法 1．解一元一次方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．小红在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请根据以上已知条件，求得原方程正确的解为 ． 3．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)在①，②两个方程中，为“友好方程”的是______（填序号） (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值． 4．下面是“小迷糊”同学解方程时的部分解题过程，同桌在给他检查时发现每一步都有错误，请你帮助他改正并写出完整的解答过程． 解：去分母，，第一步 去括号，，第二步 移项，，第三步 (1)其中第三步错误的原因是______． (2)请你写出正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项提一条建议． 5．在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （① ），得：． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． （② ），得． (1)小明的解题过程中，①处应填 ，解此步的依据是 ；②处应填 ； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 6．解下列一元一次方程： (1)； (2) 7．（1）解方程：． （2）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．…………………………………第一步 去括号，得．……………………………………………第二步 移项，得．………………………………………………第三步 合并同类项，得．……………………………………………………第四步 任务 ①第一步的依据是________； ②第________步开始出现错误，错误的原因是________； ③该方程的正确解为________． 重难点02 一元一次方程的应用 1．列一元一次方程解应用问题： 一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管3小时可注满一池水，单独开放乙管6小时可注满一池水，单独开放丙管4小时可放尽一池水． （1）若同时开放甲、乙、丙三个水管，几小时可注满水池？ （2）若甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需几小时可注满水池？ （3）若甲管先开放1小时后关闭，而后同时开放乙、丙两个水管，能注满水池吗？并说明理由． 2．在学习“一元一次方程的应用”时．小明和小天在一起讨论下列问题： 某汽车队运送一批援助物资．若每辆车装吨，还剩下吨未装；若每辆车装吨，则最后一辆车还能装吨．这个车队有多少辆车？ (1)若设这个车队有辆车，根据两种装车方案中援助物资的总量不变，请列出方程并解答． (2)小明和小天讨论后，觉得也可以设这批援助物资有吨，根据两种装车方案中车辆数不变来列方程，请判断他们的说法是否正确，若正确，按这种方法列出方程并进行解答． 3．某中学为了准备一百二十周年的校庆活动，计划购买一批演出服装，经了解，购买1件女装比购买2件男装多30元，后来学校购买了20件女装和30件男装共用了11100元． (1)设购买一件男装元，则购买一件女装需 元（用含的代数式表示）； (2)应用一元一次方程求出购买一件男装和一件女装各需多少元？ 4．在学习“一元一次方程的应用”时，小明和小天在一起讨论下列问题： 某汽车队运送一批抗疫物资．若每辆车装4吨，还剩下6吨未装；若每辆车装4.5吨，则最后一辆车还能装2吨．这个车队有多少辆车？ （1）若设这个车队有x辆车，根据两种装车方案中抗疫物资的总量不变，请列出方程（不需要解答）                （2）小明和小天讨论后，觉得也可以设这批抗疫物资有y吨，根据两种装车方案中车辆数不变来列方程．请判断他们的说法是否正确，若正确，按这种方法列出方程并进行解答． 重难点03 二元一次方程的解法 1．在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m和n满足下列条件是（   ） A． B． C． D． 2．请写一个含有x、y两个未知数，x的系数和是且方程组的解是的二元一次方程组是 ． 3．解二元一次方程组: (1)； (2)．（加减消元法） 4．解下列二元一次方程组： (1) (2) 5．解二元一次方程组：． 重难点04 二元一次方程的应用 1．千佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区，为了激发学生个人潜能和团队精神，某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元． (1)这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决） (2)该班在购买活动奖品时，A奖品每件20元，B奖品每件50元，如果准备用200元购买，A，B两种奖品（200元恰好用完，两种奖品都有），请你帮班级设计出购买A，B两种奖品的购买方案． 2．云南风景名胜众多，为了激发学生个人潜能和团队精神，某学校组织学生去景区开展为期一天的素质拓展活动，已知景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠，某班教师与学生一共去了50人，门票共需810元．求这个班参与活动的教师与学生各有多少人？（应用二元一次方程组解决） 3．实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方体的侧面30个，或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成． 现有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余？ 反思：应用二元一次方程组解应用题时，要注意解题的步骤，解、设、答一个不能少，而由于未知数有两个，则必须根据题意找出两个等量关系． 重难点05 三元一次方程组的解法 1．解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．三元一次方程组的解是 ． 4．【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法 例1：解方程组 解：由①得③ 将③代入②得 解得 将代入③，得 所以 小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试： (1)如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组______． (2)求解出上述、、的值． 重难点06 巧设未知数解方程 1、某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（    ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了100元 D．不赚不赔 2、如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示“优美矩形”的周长为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 3、幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．图2是一个未完成的三阶幻方，则 ． 重难点07 整体思想解方程 1、解方程组：． 2、解方程：（2x-1）+（2x-1）= - （2x-1）+9 3、解方程： (1)； (2)． 4、根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为：或， 当时，则有，； 当时，则有，； 综上，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 重难点08 一元一次方程的含参问题 1、若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 2、若方程与关于x方程的有相同的解，则a的值为(    ) A．6 B． C．1 D．2 3、已知方程和方程有相同的解，则的值为 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程（组） 【清单01】方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程． 2. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程． 3. 方程的解：使方程左右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解. 习惯上记作 x = c. 4. 解方程：根据等式的性质求方程的解的过程． 【清单02】等式的性质 1. 等式的性质1：等式两边都加上或减去同一个数 (或整式)，等式两边仍然相等． 2. 等式的性质2：等式两边都乘同一个数， 或除以同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式． 【清单03】一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘. (2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程右边，移项注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b(a ≠ 0)的形式． (5) 系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m 的形式. 【清单04】二（三）元一次方程组 1. 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作二元一次方程. 2. 二元一次方程组的概念：只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组. 3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程左右两边的值相等，叫作这个方程组的一个解. 4. 三元一次方程组的概念：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组. 【清单05】方程组的解法 1. 代入消元法 2. 加减消元法 消元法解三元一次方程组：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组. 【清单06】一次方程与方程组解实际应用题 1. 列方程 (组) 的应用题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程（组）． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)． [注意] 审题是基础，找等量关系是关键. 一、一元一次方程的解法 步骤 具体做法 易错点 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)漏乘括号里的项 (2)括号前是负号，去括号后忘变号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项的变号，不移项的不变 (2)容易丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 同类型的系数合并，字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 把分子、分母写颠倒 特别： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． （2） 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 【典例1】解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤解方程即可． （1）按照去分母，去括号，移项合并同类项，化系数为1解一元一次方程即可． （2）按照去分母，去括号，移项合并同类项，化系数为1解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项： 化系数为1： （2） 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项： 化系数为1： 二、二元一次方程组的解法 基本思路：把二元一次方程组转化为一元一次方程. （1）代入消元法 (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2) 代入消元法适合以下方程（组）： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便． （2）加减消元法 加减消元法适合以下方程： 1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； 2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 【典例1】用代入消元法解关于的方程组时，代入正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，根据方程组的结构特征，将①代入②即可得到答案，熟练掌握代入消元法是解决问题的关键． 【详解】解：， 将①代入②得， 故选：A． 【典例2】利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查加减消元法．根据加减消元法，逐一进行判断即可． 【详解】解： 要消去，可以将，要消去，可以将 故选：C． 【典例3】小华在解方程组时，具体解法如下： 解：①×2得，③，…………………（第一步） ③－②得，，……………………（第二步） 所以，， 将代入①得，．………………（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是 ； (2)以上解答过程从第 步开始出现错误，具体错误是 ； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解 ． 【答案】(1)加减消元法，等式的性质 (2)二，合并常数项时计算错误 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）根据解题步骤可知，为加减消元法，变形依据为等式的性质； （2）第二步出现错误，合并常数项时计算错误； （3）利用加减消元法进行求解即可。 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； （2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错； （3）解：得，③， ③－②得，， 所以，， 将代入①得，． 所以这个方程组的解是． 三、一次方程（组）的应用 基本思路： 先审题找出题中的数量关系，直接设未知数或者找关键的中间量间接设，然后用含x的式子表示相关的量，列方程、求解、作答，即审、设、列、解、答． [注意] 审题是基础，找等量关系是关键. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间的关系： ① 路程＝速度×时间； ②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ③追及问题：甲为快者， 被追路程＝甲走路程－乙走路程； ④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水． (2) 销售问题中基本量之间的关系： ① 实际售价 - 进价(成本) = 利润； ② 利润÷进价×100% = 利润率； ③ 进价×(1 + 利润率) = 售价； 标价×折扣数÷10 = 进价. 【典例1】小王驾车计划用相同的时间往返甲、乙两地，从甲地到乙地的平均速度是每小时60千米，结果早到20分钟，从乙地到甲地的平均速度是每小时40千米，结果晚到5分钟，求甲、乙两地的距离．设甲、乙两地的距离是千米，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本睼主要考查根据实际问题列方程，根据题意可知：预定用相同的时间往返于甲、乙两地，设甲、乙两地之间的路程为x千米，根据时间=路程÷速度，即可求出去时、返回时的时间，用去时的时间加上是到的20分钟，返回的时间减去晚的5分钏，根据由往返所用时间相等即可列方程解答． 【详解】解：设两地的距离是x千米，根据题意得： ． 故答案为：C． 【典例2】为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/本） 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ (2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ 【答案】(1)甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元； (2)甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，准确找到等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元”，列出方程即可； （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本，结合“购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元”，列出方程求解的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ， 答：甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元． （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本， 由题意得，， 解得：， ， 答：甲类书刊购进350本，则乙类书刊购进450本． 【典例3】某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 【答案】不存在恰好配套，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套，根据配套可得出，解出x，y的值，即可判断出结果． 【详解】解：设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套， 依题意，得， 解得： 因为求出的x，y的值不是整数， 所以加工的螺栓和螺母不存在恰好配套． 重难点01 一元一次方程的解法 1．解一元一次方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；根据题意先去分母，然后问题可求解． 【详解】解：解一元一次方程时，去分母变形正确的是； 故选D． 3．小红在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请根据以上已知条件，求得原方程正确的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，解题的关键是理解题意；根据错误方程的解得出a的值，然后再进行求解方程即可 【详解】解：小红去分母时漏乘了，将代入， 可得，即． 所以原方程为， 去分母得， 移项得， 解得； 故答案为． 3．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)在①，②两个方程中，为“友好方程”的是______（填序号） (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意和熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）分别计算方程求出两个方程的解，再根据“友好方程”的定义判断即可； （2）先解方程得到方程的解，再根据“友好方程”的定义得到关于b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵， ∴方程是“友好方程”； 解方程得， ∵， ∴方程不是“友好方程”； （2）解：解方程得， ∵关于x的一元一次方程是“友好方程”， ∴， ∴． 4．下面是“小迷糊”同学解方程时的部分解题过程，同桌在给他检查时发现每一步都有错误，请你帮助他改正并写出完整的解答过程． 解：去分母，，第一步 去括号，，第二步 移项，，第三步 (1)其中第三步错误的原因是______． (2)请你写出正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项提一条建议． 【答案】(1)移项时没有变号 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是掌握解方程各步骤的正确操作，如去分母，去括号，移项等规则． 分析原解题过程错误，再按正确步骤解方程，最后提解一元一次方程的注意事项． （1）根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可解方程； （3）解一元一次方程时，移项时注意变号等建议． 【详解】（1）第三步错误的原因是移项时没有变号； （2） 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化为1，； （3）去分母时，要防止漏乘；括号前面是减号，去掉括号时里面各项都要变号；移项要变号（答案不唯一）． 5．在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （① ），得：． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． （② ），得． (1)小明的解题过程中，①处应填 ，解此步的依据是 ；②处应填 ； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 【答案】(1)去分母；等式的性质；系数化为1 (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：解： 原方程可变形为． ①去分母，得：． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． ②化系数为1，得 小明的解题过程中，①处应填去分母，解此步的依据是等式的基本性质；②处应填系数化为1； （2）解： 原方程可变形为． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边同除以，得． 6．解下列一元一次方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1） 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2） 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 7．（1）解方程：． （2）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．…………………………………第一步 去括号，得．……………………………………………第二步 移项，得．………………………………………………第三步 合并同类项，得．……………………………………………………第四步 任务 ①第一步的依据是________； ②第________步开始出现错误，错误的原因是________； ③该方程的正确解为________． 【答案】（1）；（2）①等式的基本性质；②二，括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；③ 【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （2）①根据等式的基本性质作答即可；②第二步，去括号出现错误；③按照步骤正确的求解即可． 【详解】解：（1）去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 方程两边同除以4，得． （2）①第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里的第二项没有变号； 故答案为：二，括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里的第二项没有变号； ③去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 故答案为：． 重难点02 一元一次方程的应用 1．列一元一次方程解应用问题： 一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管3小时可注满一池水，单独开放乙管6小时可注满一池水，单独开放丙管4小时可放尽一池水． （1）若同时开放甲、乙、丙三个水管，几小时可注满水池？ （2）若甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需几小时可注满水池？ （3）若甲管先开放1小时后关闭，而后同时开放乙、丙两个水管，能注满水池吗？并说明理由． 【答案】（1）三个水管同时开放4小时可注满水池；（2）甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需小时可注满水池；（3）先开放甲管1小时后，再开放乙、丙两管不能注满水池． 【分析】（1）设三个水管同时开放x小时可注满水池，根据“甲、乙注水量-丙出水量=1”列出方程并解答； （2）设共需y小时可注满水池，根据“甲、乙注水量-丙出水量=1”列出方程并解答； （3）设开放甲管1小时后后关闭，再开放乙、丙两管，需z小时可注满水池，根据“甲、乙注水量-丙出水量=1”列出方程并解答． 【详解】（1）设三个水管同时开放x小时可注满水池， 根据题意得（+）x﹣＝1， 解得x＝4， 所以三个水管同时开放4小时可注满水池； （2）设共需y小时可注满水池， 依题意得+﹣＝1， 解得y＝， 所以若甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需小时可注满水池； （3）设开放甲管1小时后后关闭，再开放乙、丙两管，需z小时可注满水池， 根据题意得+﹣＝1 解得z＝﹣8， 因为﹣8＜0不符合实际意义， 所以开放甲管1小时后关闭，再开放乙、丙两管不能注满水池． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．关于工程问题，需要用到的等量关系是：工作效率=工作量÷工作时间． 2．在学习“一元一次方程的应用”时．小明和小天在一起讨论下列问题： 某汽车队运送一批援助物资．若每辆车装吨，还剩下吨未装；若每辆车装吨，则最后一辆车还能装吨．这个车队有多少辆车？ (1)若设这个车队有辆车，根据两种装车方案中援助物资的总量不变，请列出方程并解答． (2)小明和小天讨论后，觉得也可以设这批援助物资有吨，根据两种装车方案中车辆数不变来列方程，请判断他们的说法是否正确，若正确，按这种方法列出方程并进行解答． 【答案】(1)这个车队有辆车 (2)正确，见解析，这个车队有辆车； 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）设这个车队有辆车，根据两种装车方案中援助物资的总量不变列出方程，解方程，即可求解； （2）设这批援助物资有吨，根据两种装车方案中车辆数不变来列方程， 【详解】（1）解：设这个车队有辆车，根据两种装车方案中援助物资的总量不变，得， 解得：， 答： 这个车队有辆车； （2）解：他们的说法正确； 设这批援助物资有吨，依题得， 解得： ∴这个车队有辆 答： 这个车队有辆车 3．某中学为了准备一百二十周年的校庆活动，计划购买一批演出服装，经了解，购买1件女装比购买2件男装多30元，后来学校购买了20件女装和30件男装共用了11100元． (1)设购买一件男装元，则购买一件女装需 元（用含的代数式表示）； (2)应用一元一次方程求出购买一件男装和一件女装各需多少元？ 【答案】(1) (2)购买一件男装和一件女装各需150元，330元 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用： （1）根据购买1件女装比购买2件男装多30元列代数式即可； （2）根据购买了20件女装和30件男装共用了11100元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，购买一件女装需元， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得， ∴， 答：购买一件男装和一件女装各需150元，330元． 4．在学习“一元一次方程的应用”时，小明和小天在一起讨论下列问题： 某汽车队运送一批抗疫物资．若每辆车装4吨，还剩下6吨未装；若每辆车装4.5吨，则最后一辆车还能装2吨．这个车队有多少辆车？ （1）若设这个车队有x辆车，根据两种装车方案中抗疫物资的总量不变，请列出方程（不需要解答）                （2）小明和小天讨论后，觉得也可以设这批抗疫物资有y吨，根据两种装车方案中车辆数不变来列方程．请判断他们的说法是否正确，若正确，按这种方法列出方程并进行解答． 【答案】（1）；（2）正确，16辆车 【分析】（1）设这个车队有辆车，根据题意可知等量关系为：两种装法货物的总量是一定的，据此列方程； （2）设这批抗疫物资有y吨，根据题意可知等量关系为：两种装法的车队车辆数是一定的，据此可列方程，进而进行求解． 【详解】（1）第一种装法货物总量可以表示为：， 第二种装法货物总量可以表示为：， ∴所列方程为：； （2）正确， 第一种装法车辆数可以表示为：， 第二种装法车辆数可以表示为：， ∴所列方程为：， 解得，， 将，代入到得：， ∴这个车队有16辆车． 【点睛】本题考查了用一元一次方程解决实际问题、列代数式等知识，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 重难点03 二元一次方程的解法 1．在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m和n满足下列条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法，通过将方程①减去方程②，消去未知数y，需使y的系数相减后结果为0，从而确定m和n的关系． 【详解】解：得， ∵可直接消去未知数y， ∴， 故选：C． 2．请写一个含有x、y两个未知数，x的系数和是且方程组的解是的二元一次方程组是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即能使方程组中两个方程都成立的未知数的值． 根据x的系数和是，，写出两个不同的二元一次方程即可得到答案． 【详解】解：二元一次方程组， 它的解是，x的系数和是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．解二元一次方程组: (1)； (2)．（加减消元法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是牢记加减消元法与代入消元法． （1）直接用代入消元法求解即可； （2）先化简方程组，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 将②代入①得：， ， 将代入②得， 所以该方程组的解为； （2）解： 该方程组化简得：， 得：， ， 将代入①得：， ∴方程组的解为． 4．解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用代入法解答即可； （）利用加减法解答即可； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， ②①，得， 把代入②，得， ∴， ∴方程组的解为． 5．解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解： 由①得：③， 由②得：④， 由得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 重难点04 二元一次方程的应用 1．千佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区，为了激发学生个人潜能和团队精神，某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元． (1)这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决） (2)该班在购买活动奖品时，A奖品每件20元，B奖品每件50元，如果准备用200元购买，A，B两种奖品（200元恰好用完，两种奖品都有），请你帮班级设计出购买A，B两种奖品的购买方案． 【答案】(1)参与活动的教师有 4 人，学生有 46 人 (2)购买A种奖品5件，购买B种奖品2件 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用， （1）设参与活动的教师有人，学生有人，根据某班教师与学生一共去了50人，门票共需810元建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买种奖品件，种奖品件，则，根据均为正整数进行分析即可得． 【详解】（1）解：设这个班参与活动的教师人，学生人， 由题意得：， 解得， 答：这个班参与活动的教师4人，学生46人． （2）解：设购买种奖品件，种奖品件， 由题意得：， 则， 均为正整数， ， 答：购买种奖品5件，种奖品2件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，正确建立方程组和方程是解题关键． 2．云南风景名胜众多，为了激发学生个人潜能和团队精神，某学校组织学生去景区开展为期一天的素质拓展活动，已知景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠，某班教师与学生一共去了50人，门票共需810元．求这个班参与活动的教师与学生各有多少人？（应用二元一次方程组解决） 【答案】这个班参与活动的教师有4人，学生有46人 【分析】从题目中分析出两个等量关系：第一，教师和学生人数总共50人；第二，门票总价为810元．列出二元一次方程组，解出答案即可． 【详解】解：设这个班参与活动的教师有x人．学生有y人，则， 解得：， 答：这个班参与活动的教师有4人，学生有46人． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用题，在具体题目中分析并找出等量关系是本题的关键． 3．实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方体的侧面30个，或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成． 现有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余？ 反思：应用二元一次方程组解应用题时，要注意解题的步骤，解、设、答一个不能少，而由于未知数有两个，则必须根据题意找出两个等量关系． 【答案】用20张做侧面，6张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余 【分析】设x张大纸板做侧面，y张大纸板做底面才可以使得刚好配套，没有剩余，根据一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，列出方程组，求出x，y的值即可. 【详解】解：设x张大纸板做侧面，y张大纸板做底面刚好配套，没有剩余，根据题意得： , 解方程组得：. 答：用20张做侧面，6张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余． 故答案为用20张做侧面，6张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余. 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键. 重难点05 三元一次方程组的解法 1．解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【答案】A 【分析】此题考查解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 第一个方程中不含，而第二个方程和第三个方程通过加减消元法可消去，再联立第一个方程可组成二元一次方程组，从而实现消元的目的． 【详解】由题知，， 得，， 整理得， ④与①即可组成二元一次方程组， 要使解法较为简单，应先消去， 故选：A． 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫做三元一次方程组．利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：由三元一次方程组的定义得 是三元一次方程组， 故选：C． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 3．三元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】利用消元法求解三元一次方程组即可． 【详解】解： 由可得： 由可得： 将，代入可得： 解得 将分别代入，可得，， 则方程组的解为； 故答案为：． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是掌握消元法求解三元一次方程组． 4．【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法 例1：解方程组 解：由①得③ 将③代入②得 解得 将代入③，得 所以 小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试： (1)如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组______． (2)求解出上述、、的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方体的展开图，解三元一次方程组； （1）根据相对的两个面上的式子的值相等列方程组即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2） 由①得， 将②和④代入③得， 解得， 将代入①、②得：，， ∴，， ． 重难点06 巧设未知数解方程 1、某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（    ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了100元 D．不赚不赔 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设赚了的商品进价为元，赔了的商品进价为元，根据卖价都是480元分别列方程求出进价，即可得到答案． 【详解】解：设赚了的商品进价为元， 则，解得：； 设赔了的商品进价为元， 则，解得：， ， 即这次买卖过程中，商人赔了40元， 故选：B． 2、如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示“优美矩形”的周长为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求得，，，故可列式，计算求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵结合图形可得，，， ∴，，， ∴“优美矩形”的周长为， 又∵“优美矩形”的周长为， ∴， 解得：， ∴正方形的边长为， 故选：B． 3、幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．图2是一个未完成的三阶幻方，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设右下角的数为a，根据题意可得，，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设右下角的数为a， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 重难点07 整体思想解方程 1、解方程组：． 【答案】 【分析】利用整体代入法解方程组即可． 【详解】 由①得， 将③代入②得：， 解得， 将代入③，得， 解得， 则原方程组的解为． 2、解方程：（2x-1）+（2x-1）= - （2x-1）+9 【答案】 【详解】解：原方程可化为（2x-1）+（2x-1）+（2x-1）= 9 （++）（2x-1）= 9 （2x-1）= 9 X=5 3、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解并掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为，得 ； （2）解：， 去分母，得 ， 4（x+1）-5（x+1）=-6 （4-5）（x+1）=-6 系数化为1，得． 4、根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为：或， 当时，则有，； 当时，则有，； 综上，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或20 【分析】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． （1）由绝对值的意义可得或，再解一元一次方程即可得解； （2）由绝对值的意义可得或，将看成整体解方程即可得解． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得：或； 方程的解为或； （2）解：∵， ∴或， 解得：或， ∴的值为或20． 重难点08 一元一次方程的含参问题 1、若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为正整数推出是整数，进而得到解得或2或4；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为1，4，由此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴是整数，且 ∴或2或4， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为1，4， ∴所有满足条件的整数a的值之积是， 故选：C． 2、若方程与关于x方程的有相同的解，则a的值为(    ) A．6 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次程，以及根据一元一次方程的解求参数，先根据求出x的值，再将x的值代入中，求出a的值，能够熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键． 【详解】解：， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并得： 解得：， 将代入得：， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3、已知方程和方程有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程， 首先根据一元一次方程的解法求出方程的解； 然后把x的值代入方程，求解m的值即可,解题的关键是能够求解关于的方程，要正确理解方程解的含义． 【详解】解： ， ，代入得： ， ， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$