精品解析：湖北省宜昌市长江中学2024-2025学年九年级上学期期中能力检测数学试卷

2024年秋长江中学九年级期中能力检测数学试题 第一部分 选择题部分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分为30分）下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的字母代号涂黑． 1. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 5，3 B. 5， C. 5， D. 5，0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为，将化为一般形式即可得到答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式为：， 二次项系数和一次项系数分别是5，， 故选：C． 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 3. 不解方程，判别一元二次方程的根的情况正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式，把，，代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断根的情况． 【详解】解：，， ， 方程无实数根． 故选：C． 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程求出，把化成，再整体代入求出即可． 【详解】∵把代入方程得：， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，采用了整体代入的方法．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5. 某品牌服装，经过两次调价，从每件1000元降至810元，则该服装平均每次降价率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每次降价率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每次降价率为x， ∵经过两次调价，从每件1000元降至810元， ∴， 解得（不符题意，舍去）， ∴该服装平均每次降价率为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意并列出一元二次方程． 6. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 7. 已知点，，都在抛物线上，若，且点A在点B左侧，点C在第三象限，则下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，先根据题意得出抛物线的对称轴，开口方向，增减性，再确定三个点的位置即可得出答案． 【详解】∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大. ∵点，，都在抛物线上，点A在点B左侧，点C在第三象限， ∴点，在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， ∴，， ∴. 故选：D． 8. 如图，是的边上的中线，将线段绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接利用性质的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求解 再证明： 再利用勾股定理求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接 由题意得： 故选B． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 9. 已知函数的图象上有两点和，则的值等于（　　） A. 22 B. 20 C. 17 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键． 由题意可得m，n是方程的两个根，则有，，即，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可． 【详解】解：∵函数的图象上有两点和， ， 把代入得，， ∵函数的图象上有两点和， ∴m，n是方程的两个根， ，， ， ∴ ． 故选：A． 10. 如图，在四边形中，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系以及勾股定理，根据圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系以及勾股定理进行计算即可，掌握圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系以及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，以点为圆心，为半径作，由于，所以点、点也在圆上，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴． 故选：． 第二部分 非选择题部分 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，满分为15分） 11. 函数的图象是抛物线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，要注意二次项的系数不等于0．根据二次函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以． 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点旋转，得到点，则点的坐标是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质． 分两种情况作答即可． 【详解】以原点为旋转中心，把点逆时针旋转，得到点，可知，， 如图，作轴交轴于D，作轴交轴于C， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∴； 以原点为旋转中心，把点顺时针旋转，得到点， 同理可得； 故答案为：或 14. 已知二次函数的图像过点，对称轴为直线. 下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图像上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是_____________（填写序号）. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据抛物线与轴的交点和对称轴确定抛物线与轴的另一个交点即可判断①；由点，关于直线对称即可判断②；由二次函数的图像过点和得出，从而得出当时，抛物线开口向上，当时，为最小值，当，抛物线开口向下，当时，为最大值，即可判断③；把转化为，再根据的关系得出，即可判断④． 【详解】解：二次函数的图像过点，对称轴为直线， 二次函数的图象经过点，即时，， ，故①正确，符合题意； ， 点，关于直线对称， ，故②正确，符合题意； 二次函数的图像过点和， ， 解得：， ， 当时，抛物线开口向上，当时，为最小值， 若m为任意实数，则； 当，抛物线开口向下，当时，为最大值， 若m为任意实数，则，故③错误，不符合题意； 由得，， ，， ，， ， 关于的方程必有两个不相等的实数根，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是对这些知识的掌握和应用． 15. 规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得． 【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点， 函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点， 当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点， 当时，此函数是二次函数， 它们的图象与x轴都只有一个交点， 它们的顶点分别在x轴上， ，得， 故k+1=0，解得k=-1， 故原函数的解析式为， 故它的“Y函数”解析式为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 三、解答题：（本大题共9小题，满分为75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴． 17. 已知二次函数解析式 （1）二次函数的顶点坐标为___________ （2）当x___________时，y随x增大而增大； （3）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线解析式 （4）根据图象，直接写出当时的y取值范围是___________ 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）化为顶点式即可求解； （2）根据顶点式判断开口方向，对称轴，即可求解； （3）根据二次函数的平移规律，左加右减，上加下减即可求解； （4）根据抛物线的开口方向以及对称轴，分别求得最大值与最小值即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴二次函数的顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵，先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴， 故答案为：或； 【小问4详解】 由，，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，最小值为， ∵， ∴时取得最大值，最大值为， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 18. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 【答案】25度 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数． 【详解】证明：是由旋转得到 ，， ， 19. 定义：将函数C的图象绕点旋转180°，得到新的函数的图象，我们称函数是函数C关于点P的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． （1）当时． ①二次函数关于点P的相关函数为______； ②点在二次函数关于点P的相关函数的图象上，求a的值． （2）函数关于点P的相关函数是，则______． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①n=0时，点P（0，0），则相关函数为：，即可求解； ②二次函数的顶点为：，新函数的顶点为，则新函数的表达式为：，将点A的坐标代入上式并解得：； （2）两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，），由中点公式即可求解； 【小问1详解】 解：①n=0时，点P（0，0），则相关函数为：， 故答案为：； ②二次函数的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（-1，0）， 则新函数的表达式为：， 将点的坐标代入得， 解得：； 【小问2详解】 两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，）， 由中点公式得：2n=，解得：n=， 故答案为：； 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，理解旋转的性质，二次函数图象的顶点不变，开口方向发生变化是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 【答案】（1） ∵， ∴， ∴，， ∴无论为何值，此方程总有一个根是定值； （2）或． 【解析】 【分析】（）先通过因式分解解方程，从而可得到两个因式的积为，从而可求解； （）由（）求出方程的两个根为，，，然后分两种情况讨论即可； 本题主要考查一元二次方程解法，勾股定理，分类思想，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及其应用． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分两种情况： 当为直角边时，则，得， 又∵边长， ∴， 当为斜边时，则，得， 又∵边长， ∴， 综上所述，的值为或． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、E、F都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面直角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）如图1，画出线段绕点逆时针旋转后的图形与对应）； （2）如图1，点是线段上一点，在（1）中的线段上找到一点，使得； （3）如图1，线段是由线段绕点顺时针旋转得到的与对应），请直接写出的坐标________； （4）如图2，点为格点，点是线段上一点，在线段上找到一点，使得最小． 【答案】（1） 解：如图1，线段即为所求． （2） 解：即点为所求． （3） （4） 解：点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、垂径定理、轴对称最短路线问题； （1）根据旋转的性质作图即可． （2）连接并延长，交线段于点，则点即为所求． （3）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，即可得出答案． （4）延长至点，使，过点作，且，再过点作的垂线，交于点，则点是点关于直线的对称点，连接，交于点，则点即为所求． 熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图1，连接并延长，交线段于点， 则， 【小问3详解】 如图2，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 线段是由线段绕点顺时针旋转得到的， 点的坐标为． 故答案为：． 【小问4详解】 如图3，延长至点，使，过点作，且，再过点作的垂线，交于点， 点是点关于直线的对称点， 连接，交于点，连接， 此时满足最小，最小值为的长 22. 某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价（元） 40 60 80 日销售量（件） 80 60 40 （1）求与的关系式； （2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，设日利润为元，求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量（件）与销售单价（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求的值． 【答案】（1） （2）1600元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）设与的关系式为，利用待定系数法求解即可得； （2）先根据日利润（销售单价成本价）日销售量求出与的函数关系式，再求出的取值范围，利用二次函数的性质求解即可得； （3）设该商品的日销售利润为元，先建立与的函数关系式为，再求出，，然后分两种情况：①和②，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：由题意，设与的关系式为， 将点代入得：， 解得， 所以与的关系式为． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵物价部门规定每件商品的利润率不得超过， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：公司销售该商品获得的最大日利润为1600元． 【小问3详解】 解：设该商品的日销售利润为元， 由题意得： ， ∵物价部门规定该商品销售单价不能超过元， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 二次函数的开口向下，对称轴为直线， 则分以下两种情况： ①当时， 在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当时， 在内，随的增大而增大；在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为，舍去； 综上，的值为70． 23. （1）【问题背景】如图1，在中，为边上的点，且绕点顺时针旋转得到，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明 （2）【类比探究】如图2，在中，均为边上的点，且，求的长； （3）【拓展应用】如图3，E是正方形内一点，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时___________． 【答案】（1）， ，把绕点顺时针旋转，得到， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）把绕点顺时针旋转，得到，证，得； （2）先证是等边三角形，得，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，再证，得，过点作，交的延长线于点，然后由含角的直角三角形的性质得，则，即可解决问题； （3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接、、，则，由，得取最小值时，点在上，再由旋转的性质得，，然后证，得，设的长为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）略 （2），， 是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图所示： 则，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ； （3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接、、，如图所示： 则， ， 取最小值时，点在上， 如图所示： 由旋转的性质得：，， ，正方形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的长为， 则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 当取最小值时的长为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、角直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）直接写出A，B，C点的坐标； （2）点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标； （3）如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由． 【答案】（1）点、、的坐标分别为：、、 （2）点的坐标为： （3）直线PQ过点 【解析】 【分析】（1）对于，当时，，当时，或3，即可求解； （2）①当是边时，用数形结合的方法求出点，即可求解；当在上方时，同理可解；②当是对角线时，由，即可求解． （3）求出，同理可得：，进而求解． 【小问1详解】 对于，当时，， 当时，或3， 即点、、的坐标分别为：、、； 【小问2详解】 由点、的坐标得，直线的表达式为：，， ①当是边时，如下图， 当在下方时， 设交轴于点，过点作于点， 则由，，，四点组成的平行四边形面积， 则， 由知，， 则， 则点， 则直线的表达式为：， 联立和并解得：（舍去）或， 即点； 点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点， 则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点， 故点； 当在上方时， 同理可得：直线的表达式为：， 经验证，该方程和抛物线无交点， 即无解； ②当是对角线时，如下图： 则， 设点，则点， 则， 则， 该方程无解； 综上，点的坐标为：； 【小问3详解】 经过定点，理由： 设点、的坐标分别为：、， 由点、坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 同理可得：， 则， 即， 设直线的表达式为：， 联立和二次函数表达式并整理得：， 则，， 则， 即， 则的表达式为：， 则直线过点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形面积的计算、平行四边形的性质，分类讨论是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋长江中学九年级期中能力检测数学试题 第一部分 选择题部分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分为30分）下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的字母代号涂黑． 1. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 5，3 B. 5， C. 5， D. 5，0 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 不解方程，判别一元二次方程的根的情况正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定． 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 5. 某品牌服装，经过两次调价，从每件1000元降至810元，则该服装平均每次降价率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 7. 已知点，，都在抛物线上，若，且点A在点B左侧，点C在第三象限，则下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是的边上的中线，将线段绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的图象上有两点和，则的值等于（　　） A. 22 B. 20 C. 17 D. 0 10. 如图，在四边形中，，，，则（　　） A. B. C. D. 第二部分 非选择题部分 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，满分为15分） 11. 函数的图象是抛物线，则___________． 12. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 13. 在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点旋转，得到点，则点的坐标是___________． 14. 已知二次函数的图像过点，对称轴为直线. 下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图像上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是_____________（填写序号）. 15. 规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 三、解答题：（本大题共9小题，满分为75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数解析式 （1）二次函数的顶点坐标为___________ （2）当x___________时，y随x增大而增大； （3）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线解析式 （4）根据图象，直接写出当时的y取值范围是___________ 18. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 19. 定义：将函数C的图象绕点旋转180°，得到新的函数的图象，我们称函数是函数C关于点P的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． （1）当时． ①二次函数关于点P的相关函数为______； ②点在二次函数关于点P的相关函数的图象上，求a的值． （2）函数关于点P的相关函数是，则______． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、E、F都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面直角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）如图1，画出线段绕点逆时针旋转后的图形与对应）； （2）如图1，点是线段上一点，在（1）中的线段上找到一点，使得； （3）如图1，线段是由线段绕点顺时针旋转得到的与对应），请直接写出的坐标________； （4）如图2，点为格点，点是线段上一点，在线段上找到一点，使得最小． 22. 某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价（元） 40 60 80 日销售量（件） 80 60 40 （1）求与的关系式； （2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，设日利润为元，求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量（件）与销售单价（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求的值． 23. （1）【问题背景】如图1，在中，为边上的点，且绕点顺时针旋转得到，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明 （2）【类比探究】如图2，在中，均为边上的点，且，求的长； （3）【拓展应用】如图3，E是正方形内一点，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时___________． 24. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）直接写出A，B，C点的坐标； （2）点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标； （3）如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $