第十五章 轴对称单元测试-2025-2026学年人教版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

第十五章 轴对称 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．点关于x轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．已知等腰三角形一边的长为3，另一边的长为7，则等腰三角形的周长为（   ） A．17 B．13 C．17或13 D．无法确定 8．如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 12．一张纸上写着一个号码，这个号码在镜子里的数字是801，则实际纸上的号码是 ． 13．如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是 ． 14．等腰三角形底边上的高与腰的夹角为，则顶角为 ． 15．如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ． 16．如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则 ． 17．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为 ． 18．如图，，点M，N分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图）．请你用两种不同的方法分别在图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形，并用虚线画出它的对称轴． 20．尺规作图：已知，求作： (1)的角平分线；保留作图痕迹，不写作法 (2)的中线；保留作图痕迹，不写作法 (3)的高线保留作图痕迹，不写作法 21．在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于轴的对称图形； (2)将向下平移4个单位长度，作出平移后的； (3)连接， 则轴与的关系是 ； (4)求出四边形的面积． 22．数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了内径测量仪，如图．制作和使用方法：将两根等长木棒的中点固定在一起，两根木棒可以绕固定点自由旋转．测量容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，使端点，分别抵住内壁，只要测出露在外面的两木棒端点，之间的距离，就可知道容器内径的大小． (1)请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（即解释）； (2)若测得，，求的长． 23．如图，在中，，，分别是，上的点，且，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为，求线段的长． 24．常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： (1)如图①，平分，，则； (2)如图②，，平分，则是等腰三角形． 25．数学课堂上，同学们正在探索一个有趣的数学问题：如图1，点P是等边内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与的周长的关系，记，的周长．（含角的直角三角形中角所对的边等于斜边的一半） (1)从特殊情形入手： ①若点P在的顶点B处，此时点D、F与点B重合，如图2，此时l与c有什么数量关系呢？小明提出了他的解法： 等边， 不妨设， ______（用含m的式子表示） 的周长=______（用含m的式子表示） 此时l与c的数量关系为______． ②若点P在的一条边BC上，如图3，此时①中的结论还成立吗？请说明理由． (2)回到一般情形，若点P不在的边界上，如图4，此时①中的结论还成立吗？请你借助特殊情形下获得的结论和方法解决这个问题，请写出解决过程． 26．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线于于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线于于，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，在平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 轴对称 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行判断即可，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 2．点关于x轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律．熟练掌握平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律是解题的关键． 关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据此性质来求解点关于x轴对称的点的坐标即可． 【详解】解：关于x轴对称的点的坐标为， 故选：D． 3．如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据直线是四边形的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴，，， ∵点P是直线上的点， ∴，， ∴A，C，D正确，B错误， 故选：B． 4．如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． 利用翻折的性质进行求解即可． 【详解】解：根据翻折的性质得，， ∴的周长为：， 故选：C． 5．如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据等边三角形三线合一的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了等边三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵高与交于点O， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数． 【解答】解：由作图可知：垂直平分线段， 可得， 则， 故， 故选：A 7．已知等腰三角形一边的长为3，另一边的长为7，则等腰三角形的周长为（   ） A．17 B．13 C．17或13 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系．分腰长为3和腰长为7两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、7，不能构成三角形， 当腰长为7时，三边分别为3、7、7，，能构成三角形，周长为：， 故选：A． 8．如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，先证明，得出，再证明，得出，根据等腰三角形的性质求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵的两条高，交于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 9．如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，由轴对称的性质可得，，，，，，即得，可知当点在上时，的周长的最小，最小值，进而得到是等边三角形，即得到，再根据轴对称的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，如图， 由轴对称的性质可得，，，，，，， ∴， 可知当点在上时，的周长的最小，最小值， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，即， 故选：． 10．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，证明即可判定①；过点作于，于，由全等三角形的性质得，即得，根据角平分线的判定即可判定③；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可得，即得，即可判定②；在线段上截取，连接，证明得，根据②可得为等边三角形，即得，即得，即可判定④；综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故②错误； 在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由②得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算即可． 本题考查了点的对称，有理数的加法，根据对称点的坐标特点，规范计算即可． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴， 解得， 故， 故答案为：1． 12．一张纸上写着一个号码，这个号码在镜子里的数字是801，则实际纸上的号码是 ． 【答案】108 【分析】本题考查镜面对称，利用镜面对称的性质即可求解． 镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧． 【详解】解：∵这个号码在镜子里的数字是801， ∴实际纸上的号码与镜子里的数字成轴对称， ∴实际纸上的号码是108． 故答案为：108． 13．如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是 ． 【答案】等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的中点处挂一重锤， ∴， 又∵， ∴， ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的， 这种做法依据的数学原理是：等腰三角形的三线合一． 故答案为：等腰三角形的三线合一． 14．等腰三角形底边上的高与腰的夹角为，则顶角为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一即可得到答案． 【详解】解：如图，是等腰三角形的底边上的高，， ∴平分， ∴， 即顶角为， 故答案为： 15．如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；进行线段的等量代换后得到是正确解答本题的关键．由已知条件，利用轴对称图形的性质得，再利用给出的周长即可求出的长． 【详解】解：是轴对称图形，直线是它的对称轴， ， 的周长等于，， ， ． 故答案为：． 16．如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，关键是由折叠的性质得到，由平行线的性质推出．设，由折叠的性质得到，则，求出，由平行线的性质推出，即可得到． 【详解】解： 设， ∴， 由折叠的性质得到， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，则可得的长，同理可得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 故答案为：3． 18．如图，，点M，N分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称最短问题、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活利用轴对称的性质求最值成为解题的关键． 如图：过作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，再根据三角形的外角的性质和平角的定义求解即可． 【详解】 解：如图：过作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， ，，， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图）．请你用两种不同的方法分别在图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形，并用虚线画出它的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的性质画出图形即可． 【详解】解：如图， ． 20．尺规作图：已知，求作： (1)的角平分线；保留作图痕迹，不写作法 (2)的中线；保留作图痕迹，不写作法 (3)的高线保留作图痕迹，不写作法 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）作线段的垂直平分线，交于点E，连接即可． （3）结合三角形的高的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． 21．在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于轴的对称图形； (2)将向下平移4个单位长度，作出平移后的； (3)连接， 则轴与的关系是 ； (4)求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)轴垂直平分 (4) 【分析】本题主要考查了网格画图，轴对称的性质，平移的性质，求网格图形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）利用平移的性质即可画出图形； （3）利用轴对称的性质即可判定位置关系； （4）通过点的坐标和平移的性质求出边的长度，根据梯形的面积公式即可求得面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 根据轴对称的性质，找出点、、的对称点、、，连接三个点即可． （2）解：如图，即为所求； 根据平移的性质，找出点、、的对称点、、，连接三个点即可． （3）解：连接，根据轴对称的性质可知，对称轴垂直平分对称点连接的线段， ∴轴垂直平分线段． （4）解：∵ ， ， ∴向下平移4个单位长度后对应点的坐标分别为， ， ∴，，， 四边形是直角梯形， ∴四边形的面积为． 22．数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了内径测量仪，如图．制作和使用方法：将两根等长木棒的中点固定在一起，两根木棒可以绕固定点自由旋转．测量容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，使端点，分别抵住内壁，只要测出露在外面的两木棒端点，之间的距离，就可知道容器内径的大小． (1)请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（即解释）； (2)若测得，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形和等边三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明即可； （2）通过证明是等边三角形即可解答． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ． （2）解：由题意得，， 点是的中点， ，， ， 又， 是等边三角形， ， 的长为4． 23．如图，在中，，，分别是，上的点，且，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可得，即可求证； （2）根据线段垂直平分线的性质可得四边形的周长为，即，因为长度已知，则可求解题目． 【详解】（1）证明：， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ， ； （2）四边形的周长为， ． 由（1）知，， ， ． ， ， ． 24．常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： (1)如图①，平分，，则； (2)如图②，，平分，则是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． （1）由角平分线的定义求得，由平行线的性质求得，推出 ，再根据等角对等边即可证明； （2）由平行线的性质求得，，再由角平分线的定义求得，推出，即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 25．数学课堂上，同学们正在探索一个有趣的数学问题：如图1，点P是等边内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与的周长的关系，记，的周长．（含角的直角三角形中角所对的边等于斜边的一半） (1)从特殊情形入手： ①若点P在的顶点B处，此时点D、F与点B重合，如图2，此时l与c有什么数量关系呢？小明提出了他的解法： 等边， 不妨设， ______（用含m的式子表示） 的周长=______（用含m的式子表示） 此时l与c的数量关系为______． ②若点P在的一条边BC上，如图3，此时①中的结论还成立吗？请说明理由． (2)回到一般情形，若点P不在的边界上，如图4，此时①中的结论还成立吗？请你借助特殊情形下获得的结论和方法解决这个问题，请写出解决过程． 【答案】(1)①，，；②成立，理由见解析； (2)①中的结论还成立．理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①由直角三角形的性质及三角形的周长可得出答案； ②由直角三角形的性质及三角形的周长可得出答案； （2）过点P作交，于I，H，作，证明，得出，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：①设 ， 的周长， 此时l与c的数量关系为 故答案为：，，； ②成立． 理由：等边， ， 不妨设， ， ， 的周长， 此时l与c的数量关系为 （2）解：①中的结论还成立． 理由：过点P作交，于I，H， 作， ， ， ， ， 等边， ， 不妨设， ， ， ， 的周长 此时l与c的数量关系为 26．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线于于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线于于，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，在平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点B的坐标为或或 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：在平面平面直角坐标系中存在点B，使得为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图3，过点A作轴，过点C作于E，过点B作于F， 同（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； ②当时，，如图4，过点C作轴，过点A作于E，过点B作于F， 同（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； ③当时，，如图5，过点B作轴，交x轴于F，过点C作于E， 同（1）得：， ∴，， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 综上，使为等腰直角三角形，点B的坐标为或或． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$