精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年上学期九年级开学考试数学试题

数学（一） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由正三棱柱和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值应在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 6. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，边在直线上，且，将沿直线平移得到，点的对应点为．若平移的距离为3，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 10 D. 4或10 8. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ） A. 11 B. 14 C. 16 D. 9 9. 如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，为垂线交于点．以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，规定中各项次数和为，各非零次项系数的乘积为．其中，，，为正整数，为自然数，且．若，．下列说法： ①当时，； ②当时，方程恒有两个不相等的解； ③满足条件的整式共有22种； 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共8个小题．每小题4分，共32分） 11. 因式分解： =___． 12. 已知点和关于原点对称，则的值为__________． 13. 在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为；再由乙从袋中剩下的小球中任意摸出一个，将小球上的数字记为．如果满足与的和为偶数，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是__________． 14. 若，是方程的两根，则的值为__________． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M，若的面积为，则k的值为_____ ． 16. 某个夏日晚上小勇陪爸爸去小区散步、如图，在路边有一路灯杆，在灯光下，小勇发现爸爸在点处的影长米，沿方向行走5米到达点（即米），此时爸爸的影长米．已知爸爸的身高为米（人的宽度忽略不计），则路灯杆的高度为__________． 17. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将沿着翻折得到，与相交于点，与相交于点，则的长为__________，__________． 18. 对于一个四位数，若它的各个数位上的数字互不相等且均不为零，且各数位上数字之和的3倍是一个平方数，则称这个数为“方三数”．那么最小的“方三数”为__________；若一个“方三数”．去掉其千位与个位数字得到一个两位数，去掉千位与十位数字得到一个两位数，若除以21余数为3，则满足条件的的最大值为__________． 三、解答题（本大题共6个小题，19题8分，20－26题每题10分，共78分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. （1）先化简，然后在、0、2三个数中任选一个合适的数代入求值； （2）解不等式，并写出它的所有负整数解． 21. 如图，在中，，平分，交于点． （1）使用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）根据（1）中作图，求证：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：平分，平分， ，． 四边形为平行四边形， ， _____①_____， _____②_____， ． ， ， ， ， _____③_____． ， 四边形是_____④_____， ， 四边形是菱形（_____⑤_____）． 22. 为进一步推进学校安全宣传教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，根据教育部《中小学幼儿园安全管理办法》《中小学公共安全教育指导纲要》和《关于开展中小学应急避险安全教育的通知》等文件精神，某中学在七、八年级中举办了中学生安全知识网络竞赛活动．校团委为了解本次竞赛的情况，从七、八年级各选取了名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中，，，，得分在分及以上为优秀）． 下面给出了部分信息： 七年级名同学在组的分数为： 八年级名同学在组的分数为： 七年级选取的学生竞赛成绩条形统计图 八年级选取的学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 八年级 91 93 65% （1）填空：________，________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次知识竞赛中哪个年级学生对安全的了解情况更好?请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 23. 列方程解下列问题： 甲、乙两支队伍计划在同一天出发自驾游，沿着不同的路线旅行至相同目的地．甲队走路线，全程1500千米，乙队走路线，全程1600千米，但路线高速公路较多，若乙队平均每天行驶路程是甲队的倍，这样乙队旅行天数比甲队要少1天． （1）求甲、乙两队原计划分别自驾多少天？ （2）甲、乙两队开始各有20人，甲队计划每人每天的平均花费为500元，而甲队实际又加入了人，经统计，甲队每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙队人数不变，每人每天的平均花费始终为400元．若两个队的旅行天数与各自原计划天数一致，且甲队的总花费比乙队总花费多18000元，求的值． 24. 如图，在矩形中，点E是上定点，连接、，，，，动点M从点D出发沿折线方向运动，动点N从点B同时出发沿方向运动，动点M，N的运动速度均为每秒1个单位长度，当点M、N其中一点到达点A时，两点同时停止运动，连接，．设运动的时间为x秒，记的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线交轴于点，已知，且． （1）求直线的解析式； （2）如图2，若是线段上的一个动点，线段在轴上运动，在的右侧且，当时，求的最小值； （3）如图3，将直线平移，与轴、轴分别交于、两点，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 在中，，，为中点，为上一点． （1）如图1所示，且，求的长； （2）如图2所示，为中点，为外一点，连接，作于点且．连接、、，若，求证：； （3）如图3所示，点、分别在、上，连接，是的中点．若，，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（一） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的定义． 利用分式的定义，即形如的式子，A、B都是整式，且分母B中含有字母，逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，满足分式的定义，该选项符合题意； B. ，分母中不含字母，不是分式，该选项不符合题意； C. ，分母中不含字母，不是分式，该选项不符合题意； D. ，不满足分式的定义，不是分式，该选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图是由正三棱柱和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查组合几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的形状图判断即可，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：该几何体的俯视图是 ， 故选：C． 3. 估计的值应在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式的估值，不等式的运算等，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 根据乘法分配律运算出结果后，对二次根式进行估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似及相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由与是以点为位似中心的位似图形，可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积比为； 故选B． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 当，即时，不符合题意， ∴， 综上，且， 故选：D． 6. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据“增长率问题”及题意可直接列出方程，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D． 7. 在中，边在直线上，且，将沿直线平移得到，点的对应点为．若平移的距离为3，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 10 D. 4或10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键；因此此题可分当向左平移和向右平移两种情况进行分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴当向左平移时，则； 当向右平移时，则； 故选：D． 8. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ） A. 11 B. 14 C. 16 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出两个一元一次不等式，根据它们没有公共部分，确定的取值范围，求出分式方程的解，根据方程有正整数解，确定的值，再将满足条件的所有整数a，进行相加即可得解． 【详解】解：由，得：； 由，得：； ∵不等式组无解， ∴，即：； ∵， 解得：； ∵方程有正整数解，且， ∴满足条件的所有整数或或， ∵， ∴或， ∴满足条件的所有整数a的和为：； 故选A． 【点睛】本题考查解含参的不等式组和分式方程．熟练掌握大大小小，不等式组无解，以及解分式方程的步骤，是解题的关键． 9. 如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，为垂线交于点．以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点P作于点H，设交于点Q，由题意易得，然后可得，则有，，进而可证，由此可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点P作交延长线于点H，设交于点Q，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选C． 10. 已知整式，规定中各项次数和为，各非零次项系数的乘积为．其中，，，为正整数，为自然数，且．若，．下列说法： ①当时，； ②当时，方程恒有两个不相等的解； ③满足条件的整式共有22种； 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数式的操作，涉及整式的相关概念，解一元二次方程，熟练根据题意正确列举出所有情况是解题的关键．根据，，，为正整数，为自然数，且．若，，分别列举出、、、时满足条件的整式，当时，，不符合题意；再对选项进行判断即可． 【详解】解：当时，，， 则， 因为为自然数，且，所以满足题意的为； 当时，，， 则，由，为正整数，为自然数，且， 则满足题意的可以为，，； 当时，，， 则，由，，为正整数，为自然数，且， 则满足题意的可以为，，，，； 当时，，， 则，由，，，为正整数，为自然数，且， 则满足题意的可以为，，，，，，，，，，，，，，，； 当时，，不符合题意； 综上，当时，，为，则，故①正确； 当时，，为，，， 则或或， 当时， 解得，； 当时， 解得：，， 当时， 解得：，是两个相等的解， 则当时，方程并不是恒有两个不相等的解，故②错误； 满足条件的整式共有种，故③错误； 综上，正确的只有1个， 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题．每小题4分，共32分） 11. 因式分解： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 已知点和关于原点对称，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键． 根据点的坐标关于原点对称，即为“如果两个点的坐标关于原点对称，则横纵坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 13. 在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为；再由乙从袋中剩下的小球中任意摸出一个，将小球上的数字记为．如果满足与的和为偶数，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，解题的关键是掌握树状图和列表法． 利用列表法求概率即可． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 等可能出现的情况有12种，符合两数之和为偶数的有，，，，共4种， 则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是， 故答案为：． 14. 若，是方程的两根，则的值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由方程可知：，然后代入进行求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴由韦达定理可知：， ∴； 故答案为7． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M，若的面积为，则k的值为_____ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，连接，由矩形的性质可得O、B、M三点共线，且，则可得到，据此求出即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． ∵点M为矩形的对称中心， ∴O、B、M三点共线，且， ∴， ∵， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：6． 16. 某个夏日晚上小勇陪爸爸去小区散步、如图，在路边有一路灯杆，在灯光下，小勇发现爸爸在点处的影长米，沿方向行走5米到达点（即米），此时爸爸的影长米．已知爸爸的身高为米（人的宽度忽略不计），则路灯杆的高度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． 假设的高度为，利用锐角的正切表示出，然后利用线段的和差，列出方程求解即可． 【详解】解：假设的高度为，根据题意得， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴的高度为． 17. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将沿着翻折得到，与相交于点，与相交于点，则的长为__________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，根据翻折的性质得出垂直平分线段，列出，求出，即可得出长度，根据矩形的性质和翻折的性质得出，利用得到，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由翻折的性质得，垂直平分线段， 由勾股定理得，， ∴， 即， ∴， ∴； 由矩形的性质和翻折的性质得，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 又∵， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：，． 18. 对于一个四位数，若它的各个数位上的数字互不相等且均不为零，且各数位上数字之和的3倍是一个平方数，则称这个数为“方三数”．那么最小的“方三数”为__________；若一个“方三数”．去掉其千位与个位数字得到一个两位数，去掉千位与十位数字得到一个两位数，若除以21余数为3，则满足条件的的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，不等式组的应用，根据“方三数”的定义求解即可． 【详解】解：当这个四位数是1234时，不是平方数，不符合题意； 当这个四位数是1235时，不是平方数，不符合题意； 当这个四位数是1236时，是平方数，符合题意， 所以最小的“方三数”为； ∵一个“方三数”， ∴是一个平方数， 去掉其千位与个位数字得到一个两位数，则， 去掉千位与十位数字得到一个两位数，则， ∴， ∵除以21余数为3，， ∴， ∴， ∴是一个平方数，且这个平方数必定是的倍数， ∵，， ∴，即 ∴或， ∵满足条件的的最大值， ∴取值时按照千位、百位、十位、个位的顺序尽量从大往小取值， 当时，， 当，时，则，找不到各个数位上的数字互不相等且均不为零的和，不合题意； 当，时，则，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得和，此时； 当时，，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得，时，则，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得和，此时； 综上所述，满足条件的的最大值为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共6个小题，19题8分，20－26题每题10分，共78分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是掌握解方程的步骤． （1）利用解分式方程的步骤进行求解即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 经检验，，是原分式方程的解； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴或． 20. （1）先化简，然后在、0、2三个数中任选一个合适的数代入求值； （2）解不等式，并写出它的所有负整数解． 【答案】（1），当时，原式的值为；当时，原式的值为；（2），它的所有负整数解为 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式的运算及一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）先对分式进行化简，然后根据分式有意义的条件把代入进行求解即可； （2）先得出不等式的解集，然后再得到它的所有负整数解即可． 【详解】解：（1）原式 ； ∵，即， ∴当时，则原式； 当时，则原式； （2） ， ∴它的所有负整数解为． 21. 如图，在中，，平分，交于点． （1）使用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）根据（1）中作图，求证：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：平分，平分， ，． 四边形为平行四边形， ， _____①_____， _____②_____， ． ， ， ， ， _____③_____． ， 四边形是_____④_____， ， 四边形是菱形（_____⑤_____）． 【答案】（1）图见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的性质，菱形的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型． （1）根据角平分线的尺规作图作出图形即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 解：所作的角平分线如图所示： 【小问2详解】 证明：平分，平分， ，． 四边形为平行四边形， ， ， ， ． ， ， ， ， ． ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 22. 为进一步推进学校安全宣传教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，根据教育部《中小学幼儿园安全管理办法》《中小学公共安全教育指导纲要》和《关于开展中小学应急避险安全教育的通知》等文件精神，某中学在七、八年级中举办了中学生安全知识网络竞赛活动．校团委为了解本次竞赛的情况，从七、八年级各选取了名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中，，，，得分在分及以上为优秀）． 下面给出了部分信息： 七年级名同学在组的分数为： 八年级名同学在组的分数为： 七年级选取的学生竞赛成绩条形统计图 八年级选取的学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 八年级 91 93 65% （1）填空：________，________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次知识竞赛中哪个年级学生对安全的了解情况更好?请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1） （2） 八年级学生对安全的了解情况更好，理由如下： 根据表中可得，七、八年级的平均分一样，但八年级的中位数、优秀率均高于七年级，因此八年级学生对安全的了解情况更好 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的概念可求出，根据得分在分及以上为优秀，算出优秀率即可；（2）观察图表即可作答；（3）根据样本中七年级、八年级优秀等级的学生所占的百分比，即可估计总体中优秀所占的百分比，再进行计算即可． 【小问1详解】 观察条形统计图可知，中位数 众数是一组数据中出现次数最多的数值，很明显是，所以 因为得分在分及以上为优秀，观察条形统计图，可得： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）． 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总共有人． 【点睛】本题考查了中位数、众数、条形统计图以及扇形统计图，解题的关键在于正确计算． 23. 列方程解下列问题： 甲、乙两支队伍计划在同一天出发自驾游，沿着不同的路线旅行至相同目的地．甲队走路线，全程1500千米，乙队走路线，全程1600千米，但路线高速公路较多，若乙队平均每天行驶路程是甲队的倍，这样乙队旅行天数比甲队要少1天． （1）求甲、乙两队原计划分别自驾多少天？ （2）甲、乙两队开始各有20人，甲队计划每人每天的平均花费为500元，而甲队实际又加入了人，经统计，甲队每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙队人数不变，每人每天的平均花费始终为400元．若两个队的旅行天数与各自原计划天数一致，且甲队的总花费比乙队总花费多18000元，求的值． 【答案】（1）甲原计划需要5天，乙原计划需要4天 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程和一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）设甲原计划需要天，则乙原计划需要天，根据速度的关系，列出方程求解即可； （2）根据题意，表示出甲乙两队的总费用，根据费用的数量关系，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设甲原计划需要天，则乙原计划需要天，根据题意得： 解得， 经检验，，是原分式方程的解，并符合题意， ∴， ∴甲原计划需要5天，乙原计划需要4天； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 解得或（舍去） 所以，． 24. 如图，在矩形中，点E是上定点，连接、，，，，动点M从点D出发沿折线方向运动，动点N从点B同时出发沿方向运动，动点M，N的运动速度均为每秒1个单位长度，当点M、N其中一点到达点A时，两点同时停止运动，连接，．设运动的时间为x秒，记的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）图象见详解；当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合、三角函数、矩形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，，，则有，然后可得函数解析式，进而可分当点M在线段上时，即，当点M在线段上时，即，最后分类求解即可； （2）根据（1）中函数解析式及描点法可得函数图象，进而根据函数图象可进行求解； （3）由（2）中函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴； 当点M在线段上时，即，此时， ∴； 当点M在线段上时，即，过点M作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：； 【小问2详解】 解：由（1）可得函数图象如图所示： 由图象可知：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小，（合理即可）； 【小问3详解】 解：由图象可知：当时，x的取值范围是． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线交轴于点，已知，且． （1）求直线的解析式； （2）如图2，若是线段上的一个动点，线段在轴上运动，在的右侧且，当时，求的最小值； （3）如图3，将直线平移，与轴、轴分别交于、两点，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）若以E、F、C、Q为顶点的四边形为菱形，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后利用待定系数法可求函数解析式； （2）由题意易得，，则有，过点B作，且，连接，过点G作x轴的对称点H，连接，易得四边形是平行四边形，，然后根据“将军饮马”问题可进行求解； （3）设；由题意可分：①将直线进行平移时，点F在x轴的上方时，②将直线平移时，点F在x轴的下方时，然后根据题意及菱形的性质进行分类求解即可． 【小问1详解】 解：，且， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 过点B作，且，连接，过点G作x轴的对称点H，连接，如图所示： ∴四边形是平行四边形，， ∴，， 要使的值最小，即使的值最小，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：的最小值即为的值， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：设； 由题意可分：①将直线进行平移时，点F在x轴的上方时，如图所示： 由（2）可知：， ∵， ∴， 若以E、F、C、Q为顶点的四边形为菱形，根据菱形的对角线互相垂直且平分可知：只有以为该菱形的对角线，其他都不符合题意，如图所示； 设平移后的直线的解析式为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 根据中点坐标公式及菱形的性质可得：， ∵， ∴，解得：， 把代入得：， ∴， ∴； ②将直线平移时，点F在x轴的下方时，如图所示： 同理①可知只有以为该菱形的对角线，其他情况都不符合题意， 设此时直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 根据中点坐标公式及菱形的性质可得：， 解得：， ∴； 综上所述：若以E、F、C、Q为顶点的四边形为菱形，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、一次函数与几何的综合、轴对称的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、一次函数与几何的综合、轴对称的性质及勾股定理是解题的关键． 26. 在中，，，为中点，为上一点． （1）如图1所示，且，求的长； （2）如图2所示，为中点，为外一点，连接，作于点且．连接、、，若，求证：； （3）如图3所示，点、分别在、上，连接，是的中点．若，，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作于点H，由题意易得，则有，然后根据勾股定理及含30度直角三角形的性质可进行求解； （2）连接，在上点M，使得，由题意易证，则有，然后可得，，进而证得，最后问题可求证； （3）连接，在上取一点N，使得，连接，由题意易得，则有，由三角形三边不等关系可知：，当且仅当B、O、N三点共线时，取最小值，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 解：过点E作于点H，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴； 【小问2详解】 解：连接，在上取点M，使得，如图所示： ∵分别为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，在上取一点N，使得，连接，如图所示： ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由三角形三边不等关系可知：，当且仅当B、O、N三点共线时，取最小值， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，解题的关键是正确构造辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $