4.5.1 函数的零点与方程的解（思维导图+2大知识点+9大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第一册）

4.5.1 函数的零点与方程的解 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：函数的零点 4 知识点二：函数零点的判定 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：求函数的零点 6 题型二：求参数问题 8 题型三：函数零点的存在性定理 10 题型四：根据零点所在区间求参数范围 13 题型五：根据零点的个数求参数范围 15 题型六：一次函数零点分布求参数范围 19 题型七：二次函数零点分布求参数范围 20 题型八：指对幂函数零点分布求参数范围 22 题型九： 函数与方程的综合应用 26 知识点一：函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 知识点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 知识点二：函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 知识点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 题型一：求函数的零点 【例题1】（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的零点是（    ） A．和 B．和 C．和6 D．3和6 【答案】C 【解析】由，得或， 所以函数的零点是和6. 故选：C 【例题2】（2025·河北邯郸·一模）已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由题意知在上单调递增， 设，且为正常数。 则，则，，解得或（舍去）， 则，，令，解得. 故选：C. 【方法技巧与总结】 求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点. 【变式1】已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（    ） A．1 B．2020 C．4040 D．4016 【答案】B 【解析】由题意，是曲线与曲线交点的横坐标， 是曲线与曲线交点的横坐标， 显然关于对称，且函数与互为反函数， 故与关于直线对称，即，故或， . 故选：B 【变式2】若是的零点，是的零点，那么的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】解法1： 根据题意，可得①，②， 所以，，即， 令，代入上式得， 所以，即， 而在上为增函数， 故与②式比较得，于是，即. 故选：C． 解法2： 令，化简得， 令，化简得， 令，则，， 故为的解，为方程的解， 由于与的图象关于直线对称，故，所以． 故选：C． 【变式3】（2025·江西萍乡·二模）已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【解析】当时，由，得 当时，由，得或， 所以四个零点和为， 故选：D 题型二：求参数问题 【例题3】（2025·高一·贵州铜仁·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意可得，，则， 则，所以. 故选：D. 【例题4】“”是“函数存在零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】函数存在零点等价于方程有解，等价于有解， 而，从而，因此， 反之，当时，有解， 所以“”是“函数存在零点”的充要条件. 故选：C. 【变式4】（2025·高一·天津河西·期末）“”是“函数存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】令得， “有零点”等价于“有解”， 因为，所以， 所以，函数存在零点的充要条件是 故“”是“函数存在零点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式5】（2025·高一·江苏南京·期末）若命题“，”是真命题，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，方程必有一个正根， 函数在上单调递增， 命题“，”是真命题， 则函数在上必有相同零点， 否则存在使得， 因此函数在上的零点是函数的零点， 即，而，解得， 所以实数的取值集合为. 故选：A 【变式6】已知方程组的两组解分别为和，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】由题意，方程的两根分别为和， 则，解得，则， 所以. 故选：A. 题型三：函数零点的存在性定理 【例题5】（2025·高一·辽宁大连·期中）函数在下列哪个区间内一定有零点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，，， 则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为 故选：B. 【例题6】（2025·高一·辽宁辽阳·期中）函数的大致图象如图所示，则不能由函数零点存在定理确定的的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知，在附近，函数的值均小于0， 故不能由函数零点存在定理确定． 故选：C 【方法技巧与总结】 解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案． 【变式7】已知函数，则在区间（ ）上一定存在零点. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 当时，函数开口向上，且，则函数必然有两个零点， 可设，要使在上存在零点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在零点； 要使在上存在零点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在零点. 同理，当时，函数开口向下，且， 要使在上存在零点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在零点； 要使在上存在零点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在零点. 综上所述，函数在一定存在零点. 故选：C. 【变式8】已知函数在区间上单调，且图象是连续不断的，若，则方程在区间上（    ） A．至少有一实数解 B．至多有一实数解 C．没有实数解 D．必有唯一的实数解 【答案】D 【解析】因为函数在区间上单调且连续， 则或， 由零点存在性定理知必有唯一的实数解使得， 即方程在区间上必有唯一的实数解. 故选：D 【变式9】（2025·高一·四川成都·期中）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，且为增函数， 所以的零点所在的区间为. 故选：C. 题型四：根据零点所在区间求参数范围 【例题7】（2025·高一·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. 【例题8】（2025·高一·天津和平·期末）方程的一个根所在的区间为，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】令，定义域为，且连续， 又， 所以方程的一个实根必在， 所以， 故选：C 【变式10】函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知在上是增函数， 它的零点在区间上， 则，解得， 故选：C． 【变式11】（2025·高一·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设方程即方程在上存在零点， 令，显然在上单调递减， 而，所以的值域为， 所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是， 所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件. 故选：C. 【变式12】（2025·高一·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】对于函数， ， 当，即时，没有零点，不符合题意. 当，即或时， 当时，，零点为， ，符合题意. 当时，，零点为， ，不符合题意. 当，即或时，有两个不相等的零点， 至少有一个零点在区间内， 则需或， 解得，， 另外若， 则，零点为或，不符合题意. 若， 则，零点为或， ，符合题意. 综上所述，的取值范围是：. 故选：C 题型五：根据零点的个数求参数范围 【例题9】（2025·高一·北京·期中）设，若存在实数，使得函数有两个零点，则的取值范围 . 【答案】 【解析】令，可得， 因为有两个零点，可知与的图象有两个交点， 由可得，或， 当时，；当或时，； ①当时，函数的图象如图所示， 此时存在，满足题意，故满足题意； ②当时，可知函数在定义域内单调递增，不符合题意； ③当时，函数的图象如图所示， 此时存在使得，与有两个交点； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【例题10】（2025·高一·辽宁大连·月考）关于x的方程的解集中只含有一个元素，则 ． 【答案】0或或3 【解析】， 当时，方程可化为， 时，变形为， 即， 令，且， 作出图象， 只有时，方程有一个根． 故答案为：0或或3． 【方法技巧与总结】 体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径． 【变式13】（2025·高一·浙江杭州·期中）设表示不超过的最大整数.已知函数的图象与函数的图象共有2个交点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ， 作出两个函数图象如下： 要使函数的图象与函数的图象恰有2个交点， 只需且，得， 那么实数的取值范围是. 故答案为： 【变式14】（2025·高一·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 【答案】或 【解析】令， 所以或，如图，画出函数的大致图象，   时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点，则或， 所以或. 故答案为：或 【变式15】（2025·高一·辽宁·期中）定义，记.若至少有3个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，则，故要满足题意，需使得至少有一个零点， 设，则，则或， 当时，的零点为1，此时有2个零点，不符合题意； 当时，的对称轴， 设的两个零点为， 要满足题意需，即，此时a不存在， 当时，的零点为，此时有3个零点-1,1,3，符合题意； 当时，的对称轴， 设的两个零点为， 要满足题意需，即，解得，则， 综合上述可得实数的取值范围为， 故答案为： 题型六：一次函数零点分布求参数范围 【例题11】若方程的根在内，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，则，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 【例题12】若函数在上存在，使，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数在上存在，使 故答案为 【变式16】（2025·高一·浙江杭州·期末）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，函数在区间上有零点， 当时，函数，此时函数没有零点； 当时，要使得函数在区间上有零点， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式17】函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵ 函数在区间上存在一个零点 ∴，即 ∴ ∴或 故答案为： 【变式18】（2025·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数是分段函数，它有个零点， 则函数必有一个零点，所以， 函数必有个零点，即方程有两个不等的负根（显然不是它的根）， 因此，解得． 综上可得的范围是． 故选：B． 题型七：二次函数零点分布求参数范围 【例题13】（2025·高一·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为函数有两个零点，，所以. 又因为，，所以或， 由； 由. 综上可知：. 故答案为： 【例题14】（2025·高一·甘肃白银·期中）已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】. 【解析】若，即， 则此时的解为； 若，即或， 因为函数在区间上有且只有一个零点， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围是. 【变式19】关于x的方程至少有一个负实根，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负实根，则，解得， 若有两个负实根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是； 故答案为：． 【变式20】方程有两根，，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】令，图象恒过点， 方程0在区间内有两个不同的根， ，解得. 故答案为：. 【变式21】（2025·高一·新疆·期中）已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】令，因为，所以， 则有方程在内有2个根， 即在内有2个解， 即直线与函数的图象在内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以. 故答案为：. 题型八：指对幂函数零点分布求参数范围 【例题15】（2025·高一·上海·期中）已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为关于x的方程有负根，所以有负根. 根据单调性的性质可知：函数的定义域为，且在和上单调递增. 当时，在上单调递增，当时，，，， 根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得； 当时，，若时，，，则恒成立，函数在上无零点； 当时，在和上单调递增， 当时，，，，故函数在上无零点； 当时，时，，，， 根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得. 综上，a的取值范围是. 故答案为：. 【例题16】（1）若方程有两解，则实数的取值范围是 ； （2）若方程有一解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】（1）方程有两解，即有两解，从而函数和的图象有两个交点，作出图象，如图1． 由图可知，，则实数的取值范围是． （2）方程有一解，则函数和的图象有一个交点，作出图象，如图2．由图可知，或，则实数的取值范围是． 【变式22】函数，若，且互不相等，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， 所以函数的图象如下图所示: 若，且互不相等，不妨设， 则， 则，即， 所以．又，，，所以， 又由，变形得，解得，所以． 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式23】（2025·高一·安徽芜湖·期末）已知函数若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】作出的图象，如图所示．由，得，， 则，，则，， 令，，则， 当时，函数的取值范围是． 故答案为：． 【变式24】（2025·高一·山西运城·期末）已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如下图所示： 方程有四个不同的解、、、且，且， 由图可知，点、关于直线对称，则， 由图可得，由可得，可得， 由可得， 所以，， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 因为，则， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 题型九： 函数与方程的综合应用 【例题17】（2025·高一·上海·月考）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，得， 当时，得，即，此时解集为， 当时，则， 得方程的两根为， 则当时，由得，或， 当时，由得，， 综上知，当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：． （2）假设存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，由（1）知， 由韦达定理得，， 则， 解得， 故存在实数，使得方程有两个不相等的实数根且成立． （3）由得，，即， 因为， 所以当时，显然成立，此时可以取任意实数； 当时，，不等式变为， 而函数在上都是单调递增， 则在上是单调递增，其值域为,则，故， 当时，，不等式变为， 而函数在上都是单调递增， 则在上是单调递增，其值域为,则，故， 综上知，实数的取值范围为： 【例题18】（2025·高一·浙江宁波·期中）已知函数（其中a为实数），定义域为D. (1)求函数的定义域D； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)若存在，使得方程有解，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由，解得， 所以函数的定义域D:； （2）若对任意，不等式恒成立，则成立， 所以，解得或,或； 当时，可化为， 即成立； 当时，可化为， 即 成立； 当时， 时，，， 所以， ，所以时，. 同理当时，；故时，. 故实数a的取值范围是：或或. （3）若存在，使得方程有解，即，显然， 当时，上式化为，两边平方化简得，解得， 又； 当时，上式化为， 时，两边平方得，  整理得， 解得，设， 或， 代入得或， 解得， 综上： 【变式25】（2025·高一·浙江·期中）三次方程可以通过坐标变换变形为不含二次项的三次方程.该三次方程其中一个根的求根公式为，其判别式. (1)将三次方程变形为不含二次项的三次方程的形式，并写出变形后方程的其中一个根（无需过程）； (2)方程的三个根分别为，，（）， （ⅰ）求证：； （ⅱ）设函数，为方程的一根，若不等式在上有解，求的取值范围. 【解析】（1） 故，代入原方程中得， 化简得， 由于， 其中一根 . （2）（ⅰ）设方程的三个根分别为，，（，）， 方程可变形为， 展开得， 对比方程形式可知，，即， 则，， ∴， （ⅱ）设方程的重根为a，由（ⅰ）知，，不等式可以因式分解为 当时，则 或或 解得， 此时，， 由于为上的单调递减函数， （2）当时， ①，此时，. ②当时，此时原不等式恒负，无解， 综上，. 【变式26】对于定义域为D的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“漂亮区间”．已知函数，． (1)根据定义讨论函数在区间上的单调性； (2)若函数 （i）判断并证明函数的奇偶性； （ii）当时，若函数存在“漂亮区间”，求实数的取值范围． 【解析】（1）设任意，且， 则 ①当时，， ，即， 在上是单调递增函数. ②当时，若， ， ，即， 在是单调递减函数. 若时， ， 即， 在上是单调递增函数. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）函数是奇函数，证明如下： 由知函数定义域为，关于原点对称， 当时，， 当时， 综上，当时，总有，故函数是奇函数. （ii）因为， 所以当时，函数， 因为对勾函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 若存在“漂亮区间”，则有解， 即有解， 可转化为与的图象在上有两个交点， 在同一平面直角坐标系下，作出与的图象，如下图， 由图象可知，当时，图象有两个交点， 故实数的取值范围为. 【变式27】(1)解关于的不等式，其中. (2)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【解析】(1)由题，即， 当，，所以不等式的解集为 当，，或 ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为； 当，不等式的解集为 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (2)当时，令， 当且仅当时取等号， 关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程， 即有两个不同正根， 则 ，得， 由知，存在使不等式成立， 令，因，故是关于的减函数， 要存在使成立，只需在区间上的最大值 ，即， 解得或，综合可得. 故实数的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.1 函数的零点与方程的解 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：函数的零点 4 知识点二：函数零点的判定 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：求函数的零点 6 题型二：求参数问题 6 题型三：函数零点的存在性定理 7 题型四：根据零点所在区间求参数范围 8 题型五：根据零点的个数求参数范围 8 题型六：一次函数零点分布求参数范围 9 题型七：二次函数零点分布求参数范围 9 题型八：指对幂函数零点分布求参数范围 9 题型九： 函数与方程的综合应用 10 知识点一：函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 知识点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 知识点二：函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 知识点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 题型一：求函数的零点 【例题1】（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的零点是（    ） A．和 B．和 C．和6 D．3和6 【例题2】（2025·河北邯郸·一模）已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（    ） A． B． C．1 D．2 【方法技巧与总结】 求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点. 【变式1】已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（    ） A．1 B．2020 C．4040 D．4016 【变式2】若是的零点，是的零点，那么的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式3】（2025·江西萍乡·二模）已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 题型二：求参数问题 【例题3】（2025·高一·贵州铜仁·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例题4】“”是“函数存在零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】（2025·高一·天津河西·期末）“”是“函数存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5】（2025·高一·江苏南京·期末）若命题“，”是真命题，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【变式6】已知方程组的两组解分别为和，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型三：函数零点的存在性定理 【例题5】（2025·高一·辽宁大连·期中）函数在下列哪个区间内一定有零点（    ） A． B． C． D． 【例题6】（2025·高一·辽宁辽阳·期中）函数的大致图象如图所示，则不能由函数零点存在定理确定的的零点为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案． 【变式7】已知函数，则在区间（ ）上一定存在零点. A． B． C． D． 【变式8】已知函数在区间上单调，且图象是连续不断的，若，则方程在区间上（    ） A．至少有一实数解 B．至多有一实数解 C．没有实数解 D．必有唯一的实数解 【变式9】（2025·高一·四川成都·期中）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 题型四：根据零点所在区间求参数范围 【例题7】（2025·高一·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【例题8】（2025·高一·天津和平·期末）方程的一个根所在的区间为，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式10】函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式11】（2025·高一·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式12】（2025·高一·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 题型五：根据零点的个数求参数范围 【例题9】（2025·高一·北京·期中）设，若存在实数，使得函数有两个零点，则的取值范围 . 【例题10】（2025·高一·辽宁大连·月考）关于x的方程的解集中只含有一个元素，则 ． 【方法技巧与总结】 体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径． 【变式13】（2025·高一·浙江杭州·期中）设表示不超过的最大整数.已知函数的图象与函数的图象共有2个交点，则的取值范围是 . 【变式14】（2025·高一·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 【变式15】（2025·高一·辽宁·期中）定义，记.若至少有3个零点，则实数的取值范围为 ． 题型六：一次函数零点分布求参数范围 【例题11】若方程的根在内，则的取值范围是 ． 【例题12】若函数在上存在，使，则实数的取值范围是 . 【变式16】（2025·高一·浙江杭州·期末）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 . 【变式17】函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是 ． 【变式18】（2025·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：二次函数零点分布求参数范围 【例题13】（2025·高一·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为 . 【例题14】（2025·高一·甘肃白银·期中）已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【变式19】关于x的方程至少有一个负实根，则a的取值范围是 . 【变式20】方程有两根，，且，则的取值范围为 . 【变式21】（2025·高一·新疆·期中）已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 . 题型八：指对幂函数零点分布求参数范围 【例题15】（2025·高一·上海·期中）已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是 . 【例题16】（1）若方程有两解，则实数的取值范围是 ； （2）若方程有一解，则实数的取值范围是 ． 【变式22】函数，若，且互不相等，则的取值范围是 ． 【变式23】（2025·高一·安徽芜湖·期末）已知函数若，且，则的取值范围是 ． 【变式24】（2025·高一·山西运城·期末）已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是 ． 题型九： 函数与方程的综合应用 【例题17】（2025·高一·上海·月考）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【例题18】（2025·高一·浙江宁波·期中）已知函数（其中a为实数），定义域为D. (1)求函数的定义域D； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)若存在，使得方程有解，求实数a的取值范围. 【变式25】（2025·高一·浙江·期中）三次方程可以通过坐标变换变形为不含二次项的三次方程.该三次方程其中一个根的求根公式为，其判别式. (1)将三次方程变形为不含二次项的三次方程的形式，并写出变形后方程的其中一个根（无需过程）； (2)方程的三个根分别为，，（）， （ⅰ）求证：； （ⅱ）设函数，为方程的一根，若不等式在上有解，求的取值范围. 【变式26】对于定义域为D的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“漂亮区间”．已知函数，． (1)根据定义讨论函数在区间上的单调性； (2)若函数 （i）判断并证明函数的奇偶性； （ii）当时，若函数存在“漂亮区间”，求实数的取值范围． 【变式27】(1)解关于的不等式，其中. (2)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $