专题01 集合与常用逻辑用语 4大高频考点（期中真题汇编，安徽专用）高一数学上学期

专题01 集合与常用逻辑用语 4大高频考点概览 考点01 集合间的基本关系 考点02 集合的基本运算 考点03 充分条件与必要条件 考点04 全称量词与存在量词 地 城 考点01 集合间的基本关系 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 3．(24-25高一上·安徽阜南实验中学·期中)下列5个关系式（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟;皖豫名校联盟·期中)已知集合，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 5．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)下列关系正确的有（   ） A． B． C． D． 三、解答题 6．(24-25高一上·安徽蚌埠A层学校·)已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 7．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)已知集合，. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若集合中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数的取值范围. 8．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 9．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)已知全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求a的取值范围． 10．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 11．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． (1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． (2)集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 12．(24-25高一上·安徽六安第一中学·期中)已知函数的定义域为，集合. (1)求； (2)集合，若，求实数的取值范围. 13．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟;皖豫名校联盟·期中)已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 14．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设，若时，对任意，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围. 15．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)已知集合． (1)若，求 ； (2)若，求的取值范围． 16．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 地 城 考点02 集合的基本运算 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽阜阳第三中学·期中)已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·安徽池州贵池区池州第一中学·期中)设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 三、解答题 9．(24-25高一上·安徽芜湖普通高中联考·期中)给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集. (1)分别判断集合是不是理想数集； (2)任取一个元理想数集，求证：； 注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数. 10．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 11．(24-25高一上·安徽蚌埠怀远县·期中)已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 12．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟·期中)对于非空的有限整数集，定义，． (1)若集合，求和． (2)已知，为非空的有限整数集，且． （ⅰ）若，求集合； （ⅱ）证明：． 13．(24-25高一上·安徽亳州涡阳县·月考)已知，． (1)求； (2)求． 14．(24-25高一上·安徽合肥第八中学·期中)已知为正整数，集合 对于 中任意两个元素 和 定义： (1)当 时，设 ，写出 并计算； (2)若集合满足 且 求集合中元素个数的最大值，写出此时的集合，不用证明； (3)若， ，任取，证明：   15．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)已知集合，________________________. (1)当时，求，； (2)若求实数的取值范围. 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答. ①函数的定义域为集合； ②不等式的解集为. 地 城 考点03 充分条件与必要条件 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟·期中)已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)“”是“方程有实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(23-24高二下·安徽合肥第一中学·期中)子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设，下列四个命题中，正确的是（    ） A．当时的单调递增区间是和 B．当时的图象与直线有两个交点 C．在内单调递减的充要条件是 D．若的最小值是零，则 8．(24-25高一上·安徽皖江名校·)下列命题中正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“”是“”的充要条件 9．(24-25高一上·安徽池州贵池区池州第一中学·期中)设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)下列“若，则”形式的命题中，p是q的必要不充分条件的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)下列说法中正确的有（） A．若则 B．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 C．设a，则“”是“”的必要不充分条件 D．若则的最小值是2 三、解答题 13．(24-25高一上·安徽皖江名校·)已知命题． (1)若不等式的解集是，求a的值； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 14．(24-25高一上·安徽六安第二中学·期中)已知集合，集合． (1)求集合中的取值范围． (2)若是的充分不必要条件，求取值范围． 地 城 考点04 全称量词与存在量词 1．(24-25高一上·安徽合肥一六八中学·期中)若命题，是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)已知命题“”，命题：“”，若命题均为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)若命题，则的准确表述是（   ） A．， B．， C．，或 D．，或 4．(24-25高一上·安徽皖江名校·)命题p：“”的否定是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知命题：若，则.则命题的否定为（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 7．(24-25高一上·安徽阜阳第一中学·期中)命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 8．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟·期中)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 9．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)命题“，使”的否定为 . 10．(24-25高一上·安徽合肥普通高中六校联盟·期中)命题“，”的否定是 . 11．(24-25高一上·安徽六安第二中学·期中)命题“，”的否定是 . 12．(22-23高一上·安徽十联考（合肥八中等）·期中)命题“，”的否定是 ． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 4大高频考点概览 考点01 集合间的基本关系 考点02 集合的基本运算 考点03 充分条件与必要条件 考点04 全称量词与存在量词 地 城 考点01 集合间的基本关系 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 2．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 【答案】A 【分析】由已知可得，列方程求，结合元素的互异性排除不满足条件的值. 【详解】因为，且的元素个数相等， 所以，所以， 解得或， 当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，，满足条件. 故选：A. 3．(24-25高一上·安徽阜南实验中学·期中)下列5个关系式（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据集合与集合之间、元素与集合之间的关系逐项判断. 【详解】（1）正确，任何集合是其自身的子集； （2）错误，是集合，与数字0不相等； （3）正确，考查了元素与集合的关系； （4）错误，集合与集合的关系是包含关系； （5）正确，是任何非空集合的子集. 有3个关系式正确. 故选：C. 4．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟;皖豫名校联盟·期中)已知集合，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据集合与集合间的关系列方程求解实数的值即可. 【详解】已知集合，，且， 所以，所以. 故选：C. 二、多选题 5．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)下列关系正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据为整数，为无理数，集合元素与集合的关系判断AB，根据，为正整数集，为自然数集，为整数集，结合集合与集合的关系判断CD. 【详解】因为是整数，所以，A错误； 因为为无理数，所以，B正确； 因为，所以，C正确； 由于为正整数集，为自然数集，为整数集，所以，D正确. 故选：BCD. 三、解答题 6．(24-25高一上·安徽蚌埠A层学校·)已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）先考虑当时，求出实数的取值范围，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围，再利用补集思想可得出当时实数的取值范围. 【详解】（1）由可知，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是． （2）考虑当时，实数的取值范围，则， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，解得， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. 7．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)已知集合，. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若集合中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由一元二次不等式的解法求出集合，再由集合之间的包含关系列不等式求解即可； （2）先由补集的运算求出，再由已知条件列不等式组求解即可； 【详解】（1） 或 根据充分不必要条件的定义可知， 所以或， 解得或， 故实数的取值范围为. （2）由（1）可知，，则集合中含有整数元素-1，0，1， 由集合中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知 解得， 故实数的取值范围为. 8．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据交集的概念计算即可； （2）根据集合的关系及补集运算，分类讨论计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）由题意，，所以， 集合，所以或， 所以或， 所以或. 故实数m的取值范围为或. 9．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)已知全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）求解二次不等式解得集合，再求，； （2）由题可得，根据集合的包含关系，列出关于的不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意可得或，当时，， 故； ，故． （2）因为，所以， 又，则或，解得或， 即的取值范围为或. 10．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解不等式，再根据集合并运算即可求解； （2）由题意得，分和讨论即可求解. 【详解】（1），即且， 解得，所以， 当时，， 所以. （2）由题意得， 当时，符合题意，此时，解得；     当时，应满足，解得； 故的取值范围是. 11．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． (1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． (2)集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 【答案】(1)①12; ②-1 (2)①13184; ②-1 【分析】（1）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，找出符合条件的元素，再求和即可. （2）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，结合集合子集概念和结论，运用组合一起求和即可. 【详解】（1）①的所有非空子集为， 其“递嬗和”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． ②的所有非空子集为， ， 其“递嬗积”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． （2）因为， 所以集合． ①集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗和”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉103的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗和”的和为103，共有组， 所以所有“递嬗和”的总和为． ②集合的子集中，其中除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗积”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗积”的和为0，共有组， 所以所有“递嬗积”之和应该为． 12．(24-25高一上·安徽六安第一中学·期中)已知函数的定义域为，集合. (1)求； (2)集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先根据分式不等式求解，再根据绝对值不等式求解，进而可得并集； （2）分情况讨论与再求解即可. 【详解】（1）由，所以或， 又由，得到或，即或， 所以或，所以或 （2）因为或，所以， ①当，即时，此时，满足，所以满足题意， ②当，即，由题有，结合解得， 综上，实数的取值范围是. 13．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟;皖豫名校联盟·期中)已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解出为真命题时的范围，再根据补集思想求得结果； （2）分析条件得到⫋，列出不等式组求解出结果. 【详解】（1）当为真命题时，即“，”为真命题， 所以，所以或， 所以若为假命题，则的范围是， 所以. （2）因为是的必要不充分条件，所以⫋， 因为时，若⫋，只需，解得， 经检验，和时满足条件， 综上所述，的取值范围是. 14．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设，若时，对任意，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）分解因式后分类讨论求解二次不等式的解集； （2）由题意转化为在所给区间上的值域为在所给区间上值域的子集， 分类讨论求的值域，由包含关系列出不等式组求解即可. 【详解】（1）由，     则（i）时，解得或，解集为；     （ii）时，由解得，解集为；     （iii）时，解得或，解集为.     综上，时，解集为，时，解集为， 时，解集为. （2）由题意：，在上的值域， 设在上的值域，则， 对称轴为， （i）若，即，则在上单调递增， 所以， 所以，解得；     （ii）若，即，则在上单调递减， 所以， 所以，解得；     （iii）若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 所以在上的最大值， 所以当，即时，不存在，使得， 故此情形不成立. 综上，的取值范围是. 15．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)已知集合． (1)若，求 ； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）先求出集合，代入值，利用交并补运算法则计算即得； （2）就集合分和两种情形考虑，依题列出不等式组，解之即得. 【详解】（1）由题意得，． 若，则， 故， 又， 则或． （2）当时，，解得． 当时，由，得，解得． 综上，的取值范围是． 16．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解分式不等式，将代入集合，再根据交集的定义计算即可； （2）根据题意得集合和的包含关系，列不等式，求解即可. 【详解】（1）由，得，解得，则， 当时，， 所以． （2）由，得， 若，则，解得，此时符合题意； 若，则，解得； 综上所述，，故的取值范围为. 地 城 考点02 集合的基本运算 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽阜阳第三中学·期中)已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合间的运算直接可得解. 【详解】因为，， 所以， 故选：D. 2．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域求出，根据指数函数的性质求出，再根据交集运算求解即可. 【详解】集合，， 则 . 故选：C. 3．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出全集，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，，， 则，，所以，. 故选：B. 4．(24-25高一上·安徽池州贵池区池州第一中学·期中)设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集与交集的概念，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 5．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】由题意得，，则． 故选：A． 6．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解集合中的分式不等式，再求集合的补集，最后求交集即可. 【详解】对于集合，由，得，解得，则； 所以 ，则 ， 故选：. 7．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由图可知图中阴影部分表示的集合为 ，从而可求得答案. 【详解】由，得，解得， 所以， 由，所以， 图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 二、多选题 8．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出集合A和B，再根据集合的交集、并集和补集的定义即可直接计算判断各选项. 【详解】要使函数有意义，则， 所以，即， 因为，所以，即， 所以，，， 故ABD正确，C错误. 故选：ABD 三、解答题 9．(24-25高一上·安徽芜湖普通高中联考·期中)给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集. (1)分别判断集合是不是理想数集； (2)任取一个元理想数集，求证：； 注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数. 【答案】(1)集合是理想数集，集合不是理想数集 (2)证明见解析 【分析】（1）由理想数集的定义即可判断； （2）为了方便说明，假定元素间一个有序关系为，从而分三种情况，，，讨论即可得证. 【详解】（1）设的随影数集分别为， 则， 所以集合是理想数集，集合不是理想数集. （2）不妨设集合且，即. 为理想数集，，则，且，使得. 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当时，等号成立. 综上所述：. 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 10．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 11．(24-25高一上·安徽蚌埠怀远县·期中)已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式确定集合，然后由交集定义计算； （2）由包含关系得关于的不等式组，解之可得． 【详解】（1）易得， 当时，， ∴. （2）∵，∴，， ∴， ∵，∴，∴， 故实数的取值范围：. 12．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟·期中)对于非空的有限整数集，定义，． (1)若集合，求和． (2)已知，为非空的有限整数集，且． （ⅰ）若，求集合； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)；. (2)（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，由集合新定义代入计算，即可得到结果； （2）（ⅰ）根据题意，由集合新定义可得，从而可得，即可得到结果；（ⅱ）结合新定义可得，则，然后分别考虑属于时的情况，再考虑，时，由是有限集即可舍去，从而证明. 【详解】（1）由题意可得，. （2）（ⅰ）设，则， 因为，所以，所以， 即，因此 ， 因为，所以，所以， 由此可知中至少有和两个元素，所以， 故或. （ⅱ）设，因为，所以， 又因为，所以，即， 若，则，故可以是； 若，则，故可以是，； 若，则，故可以是，； 若，则， 像这样可以得到无限个中的元素，不符合是有限集； 若，则， 同样不符合是有限集； 同理可得，当或时，也不符合是有限集； 综上，可以是，，，，， 均满足. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于从新情境中获取信息，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新情境中，从而求解. 13．(24-25高一上·安徽亳州涡阳县·月考)已知，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】求出集合M、N，然后利用交集和并集的定义可求出集合， 【详解】（1），所以，解得或， 所以或， 又，所以，解得或， 或， 故或 （2）. 14．(24-25高一上·安徽合肥第八中学·期中)已知为正整数，集合 对于 中任意两个元素 和 定义： (1)当 时，设 ，写出 并计算； (2)若集合满足 且 求集合中元素个数的最大值，写出此时的集合，不用证明； (3)若， ，任取，证明：   【答案】(1)， (2)最大值是2，或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据定义，结合反证法进行求解即可； （3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可． 【详解】（1），； （2）若，由可得，， 若，由可得，， 若，则，矛盾， 所以集合中元素个数的最大值是， 此时或； （3）设， 所以， 从而， 又， 当时，； 当时，． 所以． 【点睛】关键点睛：运用分类讨论法、反证法是解题的关键. 15．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)已知集合，________________________. (1)当时，求，； (2)若求实数的取值范围. 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答. ①函数的定义域为集合； ②不等式的解集为. 【答案】(1)选①或②，，或. (2) 【分析】（1）选①或②，求出集合，当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）选①或②，分析可得，分、两种情况讨论，根据题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）选条件①： 当时，，， 则， 则或，或， 所以，或. 选条件②：由可得，则， 当时，， 则， 则或，或， 所以，或. （2）选①或②，若，则， 当时，，解得； 当时，由可得，解得. 综上，实数的取值范围为 地 城 考点03 充分条件与必要条件 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】设，则使成立的一个充分不必要条件是集合的真子集． 对照选项知只有B符合题意. 故选：B． 2．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解方程，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解方程，可得或， 因为，因此，“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 3．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟·期中)已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据“”与“”互相推出的情况判断属于何种条件. 【详解】当时，取，，但， 所以不能推出； 当时，取，，但， 所以不能推出， 所以是的既不充分也不必要条件， 故选：D. 4．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】以为条件，判断方程是否有两个负实根；以方程有两个负实根为条件，判断是否成立，即可得出正确答案. 【详解】方程的判别式，当时，的符号可正可负，即由推不出方程有两个负实根． 反之，若方程有两个负实根，则，且，因此．由不能推出． 所以“”是“方程有两个负实根”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 5．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)“”是“方程有实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由得到有实数根满足的条件，根据真包含关系得到答案. 【详解】若方程有实根，则，即或． 由于是的真子集， 故“”是“或”的充分不必要条件． 故选：A 6．(23-24高二下·安徽合肥第一中学·期中)子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题 7．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设，下列四个命题中，正确的是（    ） A．当时的单调递增区间是和 B．当时的图象与直线有两个交点 C．在内单调递减的充要条件是 D．若的最小值是零，则 【答案】AC 【分析】当，时，分别作出图象逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，二次函数与x轴交于点和， 画出函数的图象如下： 的单增区间是和，故A正确； 对于B，当时，二次函数与x轴交于点和，顶点是， 画出函数的图象如下： 的图象与直线有三个交点，故B不正确； 对于C，当时，在内单调递减； 当时，在内单减，故C正确． 对于D，若的最小值是零，则，均可以，故D不正确． 故选：AC． 8．(24-25高一上·安徽皖江名校·)下列命题中正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】AD 【分析】由充分、必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由，所以，若，例如，则得不到，故A正确； 对于B，由，则，若，例如，则没意义， 故“”是“”充分不必要条件，故B错误； 对于C，若“”，则“”，反过来，若，例如，则， 故“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，由，则，反过来，若，则，故“”是“”的充要条件，故D正确； 故选：AD． 9．(24-25高一上·安徽池州贵池区池州第一中学·期中)设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意写出集合的元素，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，利用分情况讨论，可得答案. 【详解】由题，， 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以，即或. 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是，. 故选：AD. 10．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)下列“若，则”形式的命题中，p是q的必要不充分条件的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，B，命题“若，则”，当时是假命题，而命题“若，则”是真命题， 所以，而不能推出，故是的必要不充分条件，故A正确，B错误； 对于C，D，由，则，所以，即， 所以命题“若，则”是真命题， 而若，如，，，则命题“若，则”是假命题， 所以可以推出，但不能推出， 故是的必要不充分条件，故C错误，D正确． 故选：AD. 11．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对进行讨论，求解为真命题的充要条件是，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】当时，显然，使得； 当时，，. 综上，命题为真命题的充要条件是， 故选：. 12．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)下列说法中正确的有（） A．若则 B．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 C．设a，则“”是“”的必要不充分条件 D．若则的最小值是2 【答案】BC 【分析】由不等式的性质可判断A；由二次方程的解法和充分必要条件的定义可判断B；由充分必要条件的定义和性质可判断C；由基本不等式可得最小值，可判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，故A错误； 对于B，集合中只有一个元素，则方程有一个根， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，，解得； 综上所述：若中只有一个元素,则或， 所以"集合中只有一个元素"是""的必要不充分条件，故B正确; 对于C,设"推不出""，比如，反之成立, 所以""是""的必要不充分条件，故C正确; 对于D，若，则,但是等号不成立， 因为,即无实数解，所以的最小值不是2,故D错误. 故选:BC. 三、解答题 13．(24-25高一上·安徽皖江名校·)已知命题． (1)若不等式的解集是，求a的值； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到是方程的两根，即可求解； （2）利用一元二次不等式的解法，得到，再结合条件得到，即可求解. 【详解】（1）由题意知，是方程的两根， 所以，且，解得． （2）因为，即，所以． 因为p是q的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集． 因此，解得． 故实数a的取值范围是． 14．(24-25高一上·安徽六安第二中学·期中)已知集合，集合． (1)求集合中的取值范围． (2)若是的充分不必要条件，求取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式，然后直接求出结果； （2）先表示出集合，然后将问题转化为⫋，由此列出不等式组求解出结果. 【详解】（1）因为，所以，解得或， 所以的取值范围是或. （2）因为恒成立，所以或， 所以或， 又因为是的充分不必要条件，所以⫋， 所以，解得， 当或时，，所以满足要求， 综上所述，的取值范围是. 地 城 考点04 全称量词与存在量词 1．(24-25高一上·安徽合肥一六八中学·期中)若命题，是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，命题，是真命题，分、两种情况讨论，时直接检验即可；当时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为命题，是假命题， 则命题，是真命题， 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，. 故选：B. 2．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)已知命题“”，命题：“”，若命题均为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含量词的命题为真命题，可得关于参数的不等式，解得的范围，依题再求各范围的交集即得. 【详解】由命题“”是真命题，可得 ，即； 由命题“”为真命题，可得，解得， 因命题均为真命题，故可得． 故选：B． 3．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)若命题，则的准确表述是（   ） A．， B．， C．，或 D．，或 【答案】D 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，否定结论的时候，注意不等式的解集是否互为补集关系. 【详解】由特称命题的否定是全称命题，另外，等价于，其否定为，即或， 所以或. 故选：D. 4．(24-25高一上·安徽皖江名校·)命题p：“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】“”改为“”，“”改为“”，因此是“”. 故选：C． 5．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】运用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 6．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知命题：若，则.则命题的否定为（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定的定义判断即可. 【详解】由题意知，命题：，则，则命题的否定是，则， 故选：B. 7．(24-25高一上·安徽阜阳第一中学·期中)命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由全称量词命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得答案. 【详解】根据全称量词命题的否定知“，”的否定为“，”， 故选：A 8．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟·期中)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】修改量词，否定结论，由此得出结果. 【详解】修改量词否定结论，可得“，”， 故选：B. 二、填空题 9．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)命题“，使”的否定为 . 【答案】， 【分析】利用一个量词的命题的否定的意义可求解. 【详解】命题“，使”的否定为“，”. 故答案为：，. 10．(24-25高一上·安徽合肥普通高中六校联盟·期中)命题“，”的否定是 . 【答案】， 【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故答案为：， 11．(24-25高一上·安徽六安第二中学·期中)命题“，”的否定是 . 【答案】， 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 该命题的否定为“，”. 故答案为：，. 12．(22-23高一上·安徽十联考（合肥八中等）·期中)命题“，”的否定是 ． 【答案】， 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】解：因为命题“，”为全称量词命题， 所以该命题的否定为“，”． 故答案为：， 试卷第1页，共3页 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$