专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点（期中真题汇编，安徽专用）高一数学上学期

专题02 等式与不等式 3大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 一元二次不等式 考点03 基本不等式 地 城 考点01 不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)已知，，，则下列不等关系成立的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 4．(23-24高一上·合肥八中·期中)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 5．(23-24高一上·安徽淮北第十二中学·期中)已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一上·安徽六安第二中学河西校区·期中)对于实数，，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则，.其中真命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．(23-24高一上·安徽池州贵池区·期中)若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高一上·安徽皖江名校·)下列几个不等式中，能取到等号的是（   ） A． B． C． D． 9．(23-24高一上·安徽马鞍山中加双语学校·期中)设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)下面命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．(23-24高一上·安徽安庆第一中学·)已知 ，是两个非零实数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当 时， 12．(23-24高一上·安徽池州贵池区·期中)下列命题为假命题的是（    ） A．命题“函数，是偶函数” B．“，”是“”的充分必要条件 C．二次函数的零点为和 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 三、解答题 13．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）.假设全部溶解，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)已知，，且，求证：. 14．(23-24高一上·安徽淮北第十二中学·期中)某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 15．(23-24高一上·安徽池州贵池区·期中)（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 地 城 考点02 一元二次不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)对于任意的，，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)若关于的不等式的解集为，则一元二次不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 二、多选题 5．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)已知，且关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．命题“”为假命题 D．若的解集为，则⫋ 三、填空题 6．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是 . 7．(24-25高一上·安徽阜南实验中学·期中)已知关于的不等式的解集为，则 8．(24-25高一上·安徽合肥第八中学·期中)关于x的不等式的整数解恰有2个，则实数a的取值范围是 . 9．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 10．(24-25高一上·安徽池州贵池区池州第一中学·期中)若关于的不等式的解集是，则 . 11．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 12．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)不等式的解集是，则的解集为 ． 四、解答题 13．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知，且，求xy的最大值； (3)若不等式的解集为，求a，b的值； 14．(24-25高一上·安徽淮南第二中学·期中)已知函数. (1)证明函数是奇函数，并判断单调性（不需要证明） (2)求使不等式恒成立时，实数的取值范围； (3)令（其中），求函数在上的值域. 15．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)对，不等式恒成立，求的最小值． 16．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)已知二次函数，且. (1)求函数的解析式； (2)解关于x的不等式. 17．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，） 18．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟·期中)已知关于的函数． (1)若，求时的取值范围． (2)是否存在实数，满足当时，的最大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 地 城 考点03 基本不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知，，，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 2．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟·期中)若正数满足，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 二、多选题 3．(24-25高一上·安徽合肥第八中学·期中)若实数a， b满足 则下列说法正确的为（   ） A．当时，最大值为 B．当时， 最小值为 C．当时， 有最大值 D．当时，最小值 4．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)设非负实数，满足，则（    ） A．的最小值为0 B．的最大值是 C．的最小值为9 D．最小值为5 5．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)已知、均为正实数，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 6．(24-25高一上·安徽六安第二中学·期中)设正实数满足，则下列选项正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值为2 D．的最小值为 三、填空题 7．(24-25高一上·安徽六安第一中学·期中)已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围 . 8．(24-25高一上·安徽池州贵池区池州第一中学·期中)已知实数，命题，为真命题，则的最小值为 . 四、解答题 9．(24-25高一上·安徽皖江名校·)某医院为改善医疗技术，2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用年后所需要的各种维护费用总计为万元，2024年为第一年 (1)写出该套医疗设备的利润函数的表达式，并求的最大值； (2)第几年后，该套医疗设备的年平均利润最大？ 10．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量万份与年促销投入费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出. (1)将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？ 11．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有万游客，则另需投入成本万元，且．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴万元． (1)求该景区一年利润（万元）关于人数（万人）的函数解析式； (2)一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 12．(24-25高一上·安徽合肥第八中学·期中)在当今这个科技迅猛发展的时代，新能源产业正以前所未有的速度改变着我们的生活.作为新能源领域的重要组成部分，电池技术的进步直接关系到电动汽车的续航里程、充电效率以及整体安全性，是推动新能源汽车行业发展的关键力量.假设某电池生产厂家生产一款新型电池的年固定成本为200万元，每生产1万台还需另投入16万元. 设该厂家一年内共生产该款新型电池x万台并全部销售完，每万台的销售收入为万元，且 ，当该厂家一年内共生产这款新型电池8万台并全部销售完时，年利润为1816万元； 当该厂家一年内共生产这款新型电池20万台并全部销售完时，年利润为3000万元. (1)写出年利润（万元） 关于年产量（万台） 的函数解析式； (2)当年产量为多少万台时，该厂家在这款新型电池的生产中所获得的利润最大? 并求出最大利润. 13．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)合肥四中东南角有一块劳动园地，“夏收油菜，秋收红薯”等活动已成为合肥四中劳动教育的特色项目.已知该劳动园地为如图矩形AMPN，C点在对角线MN上，，.经测量米，米. (1)设DN的长为米，试用表示劳动园地的面积； (2)某劳动小组计划明年在该劳动园地种植面积至少为300平方米的油菜，请问计划能否实现，并说明理由. 14．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)已知正实数、满足. (1)求的最小值； (2)求的最大值. 15．(24-25高一上·安徽六安第二中学·期中)（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等式与不等式 3大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 一元二次不等式 考点03 基本不等式 地 城 考点01 不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件利用作差法判断出的符号，即可得出结论. 【详解】显然异号，又，则. 所以，选项C错误，选项D正确. 当时，；当时，. 所以选项A，B错误. 故选：D 2．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)已知，，，则下列不等关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质可判断ABD选项，利用特殊值法可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，则， 在不等式的两边同时除以可得，A错； 对于B选项，因为，，，则， 所以，，则， 在不等式的两边同时除以可得， 因为，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，因为，， 取，，，，则，C错； 对于D选项，因为，，所以，，故，D错. 故选：B. 3．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；取、均为负数，可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若且，不妨取，，，，则，A错； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为，B错； 对于C选项，当、均为负数时，，C错； 对于D选项，因为，所以，， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：D. 4．(23-24高一上·合肥八中·期中)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，如， 则，所以A选项错误. B选项，若，则，所以B选项错误. C选项，若，则， 所以由两边乘以得，所以C选项正确. D选项，若，， 则，所以D选项错误. 故选：C 5．(23-24高一上·安徽淮北第十二中学·期中)已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 6．(23-24高一上·安徽六安第二中学河西校区·期中)对于实数，，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则，.其中真命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据不等式性质判断各命题的真假即可. 【详解】对于①：若，当时，，此时不成立，假命题； 对于②：若，可知，则有，真命题； 对于③：若，则，真命题； 对于④：由得，即，因为，所以，所以， 又，所以，真命题； 综上，真命题的个数是3. 故选：A 7．(23-24高一上·安徽池州贵池区·期中)若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质应用作差法逐个判断即可. 【详解】对于A：，，A错误； 对于B：， 所以当时，当时， 当时，B错误； 对于C：， 所以，C正确； 对于D：，所以，D错误， 故选：C 二、多选题 8．(24-25高一上·安徽皖江名校·)下列几个不等式中，能取到等号的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】用作差法可判断A，由基本不等式及取等号的条件逐一判断选项B、C、D. 【详解】对A，，当且仅当时等号成立； 对B，∵，∴，， 当且仅当时等号成立； 对C，∵，则，所以，， 则，当且仅当时等号成立； 对D，∵，∴， 当且仅当，即时等号成立， 而，因此中的等号取不到． 故选：ABC. 9．(23-24高一上·安徽马鞍山中加双语学校·期中)设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数函数的单调性即可比较AB,作出函数的图像，借助函数图象结合选项逐一判断CD. 【详解】，故可作出的图象如图所示，    由图可知，要使且成立，则有且， 故必有且， 又，即为，所以． 由于函数为单调递增函数，且，所以，故AD可能，CB不可能， 故选：BC． 10．(23-24高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)下面命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对A，B，利用不等式性质可判断；对C，利用基本不等式判断；对D，利用作差比较法判断. 【详解】对于A，，，则，即，故A正确； 对于B，，，又，所以，故B错误； 对于C，，，即，故C正确； 对于D，，，， ，，则，即，故D正确. 故选：ACD. 11．(23-24高一上·安徽安庆第一中学·)已知 ，是两个非零实数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当 时， 【答案】BC 【分析】利用特殊值法，排除AD，利用基本（均值）不等式，判断BC. 【详解】对于A，当 ，时，不等式不成立，故A错误； 对于B：当且仅当 时取等号，故B正确； 对于C：，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：当 ，时，不等式不成立，故D错误. 故选：BC 12．(23-24高一上·安徽池州贵池区·期中)下列命题为假命题的是（    ） A．命题“函数，是偶函数” B．“，”是“”的充分必要条件 C．二次函数的零点为和 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABC 【分析】根据奇偶函数的定义判断A；根据基本不等式的适用原则和举例说明即可判断B；根据零点的定义即可判断C；举例说明即可判断D. 【详解】A：函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故A符合题意； B：由基本不等式知当时，，当且仅当时等号成立. 当时，满足， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B符合题意； C：由，得或3， 所以二次函数的零点为和，故C符合题意； D：当时，满足，但不成立. 当时，满足，但不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D不符合题意. 故选：ABC. 三、解答题 13．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）.假设全部溶解，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)已知，，且，求证：. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可. （2）方法一，利用基本不等式乘“”法求出，再利用（1）中结论证明即可；方法二，利用条件，得，并确定，代入原式化简，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）不等式为 ，其中 ， ． 因为 ， ，， 所以，，从而 ，即 ． （2）法一：，，且，所以 ，则有， ， 当且仅当时，取等号． 由（1）不等式知 ， 所以 ． 法二：因为，所以，因为，， 所以，即，所以有： ， 因为，，所以. 14．(23-24高一上·安徽淮北第十二中学·期中)某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】(1)采用方案二；理由见解析 (2)24 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 15．(23-24高一上·安徽池州贵池区·期中)（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意可得，则，结合基本不等式计算即可证明； （2）利用作差法可得，同理可得，相加即可证明. 【详解】（1）证明：由，得， 所以， 当且仅当即，时等号成立， 所以； （2）证明：由题意知，，且， 所以， 即. 同理可得， 所以， 即证. 地 城 考点02 一元二次不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)对于任意的，，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知不等式可化为得，结合条件及二次函数性质可得，解不等式可得结论. 【详解】由已知得对任意实数恒成立， 所以，解得. 故选：B. 2．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为不等式对恒成立，结合不等式在R上恒成立问题计算即可求解. 【详解】由，得原不等式可转化为， 即对恒成立， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 3．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)若关于的不等式的解集为，则一元二次不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系，求得的关系式，由此化简不等式，求得不等式的解集. 【详解】由于关于的一元二次不等式的解集为， 所以，即， 所以不等式等价于， 即，解得. 故选：A. 4．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 二、多选题 5．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)已知，且关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．命题“”为假命题 D．若的解集为，则⫋ 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系可得，，可得选项A错误；利用二次函数对称轴可得选项B正确；根据关系化简不等式可得选项C正确；利用两不等式的关系可得选项D错误. 【详解】由题意得，，且是关于的方程的根， 所以，即，故A错误. 因为的图象的对称轴是直线，开口向下，且， 所以，故B正确. ，故C正确. 由得，由必可得到，所以⫋，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 6．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是 . 【答案】19 【分析】由不等式的解集即可确定，进而可求解； 【详解】由不等式的解集是可知： 的两根为，2， 所以，所以， 所以就是， 于是． 故答案为：19. 7．(24-25高一上·安徽阜南实验中学·期中)已知关于的不等式的解集为，则 【答案】4 【分析】由一元二次不等式的解集确定参数. 【详解】不等式的解集为， 则有，解得，所以. 故答案为：4. 8．(24-25高一上·安徽合肥第八中学·期中)关于x的不等式的整数解恰有2个，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数开口方向和根的判别式得到不等式，求出，求出不等式的解集，解集中恰有两个整数，从而得到不等式，求出答案. 【详解】关于的不等式等价于， 此不等式整数解恰有2个，则有且有，故有， 令即得， 故不等式的解集为， 因为，所以， 所以解集中恰有两个整数，可得，解得． 故答案为：． 9．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 10．(24-25高一上·安徽池州贵池区池州第一中学·期中)若关于的不等式的解集是，则 . 【答案】/ 【分析】由题可知和4是方程的根，利用韦达定理可得答案. 【详解】由题可知和4是方程的根， 由根与系数关系得，即，，所以. 故答案为：. 11．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先依题意求出，接着求不等式的解集，根据解集特征求出解集中的整数是，从而得，再结合即可求解. 【详解】当时，不等式化为， 因为，所以该不等式解集为，不满足解集中的整数恰有4个； 当时，，显然不满足解集中的整数恰有4个； 所以，，不等式化为， 解方程， 所以不等式的解集为，又， 所以不等式解集中的整数是， 所以，所以， 又因为，所以，即，所以， 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 12．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)不等式的解集是，则的解集为 ． 【答案】 【分析】分析可知，，且关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出 、与的等量关系，然后利用二次不等式的解法可得出不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集是，则， 且关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 13．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知，且，求xy的最大值； (3)若不等式的解集为，求a，b的值； 【答案】(1)最小值为4，此时； (2)； (3). 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用基本不等式求出最值. （3）利用一元二次不等式的解集，结合韦达定理求出参数值. 【详解】（1），，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为4，此时. （2），，即，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. （3）由不等式的解集为， 得且和3是方程的两个实根， 因此，解得， 所以. 14．(24-25高一上·安徽淮南第二中学·期中)已知函数. (1)证明函数是奇函数，并判断单调性（不需要证明） (2)求使不等式恒成立时，实数的取值范围； (3)令（其中），求函数在上的值域. 【答案】(1)证明见解析；在R上单调递增 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）先判断函数的定义域，然后再分析之间的关系，从而判断出的奇偶性； （2）根据函数的奇偶性将不等式变形，再根据函数的单调性将函数值的不等关系转变为自变量的不等关系，再根据恒成立的思想求解出的取值范围. （3）令，得到二次函数，结合二次函数的图象与性质分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为的定义域为R，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数. 在R上单调递增. （2）因为为奇函数且恒成立， 所以恒成立， 又因为是R上的增函数，所以恒成立， 所以对成立， 所以，解得， 即实数的取值范围为. （3）， 令，由（1）可知为增函数， ∵，∴， 令， 若，当时，，则， 此时在上的值域为； 若时，，此时在上的值域为； 综上，当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为. 15．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)对，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用分解因式的方法求解不等式. （2）先证明，再说明时条件满足，即可得到的最小值是. 【详解】（1）由， 可知不等式等价于. 由，得，所以原不等式的解集为． （2）在条件中取，可得，从而，即. 而当时，对任意，有，满足条件. 所以的最小值为. 16．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)已知二次函数，且. (1)求函数的解析式； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）结合条件，用待定系数法求解即可； （2）将问题转化为，讨论参数的范围求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以. （2）由，可得，即， 当，即时，不等式解集为， 当，即时，不等式解集为， 当，即时，不等式解集为， 综上，当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 17．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，） 【答案】(1)，，从第3年开始盈利； (2)答案见详解 【分析】（1）根据题意得到函数关系化简，列出不等关系，解不等式得到结果，向上取整即可. （2）①先表示出年平均盈利额，利用基本不等式求出去年平均盈利额最大年份，求出总获利；②由二次函数的性质求出盈利额最大年份，求出总获利；比较获利金额，金额相同比较时间，即可得到合理方案. 【详解】（1）由题意可得，，（） 令，解得， 因为，所以，故从第3年开始盈利. （2）, 当且仅当，即时等号成立， 故第7年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利万元； 由，当时，， 故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短，故方案①比较合理. 18．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟·期中)已知关于的函数． (1)若，求时的取值范围． (2)是否存在实数，满足当时，的最大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）问题转化成解一元二次不等式解决. （2）分情况讨论函数在上最大值，令最大值为3求的值. 【详解】（1）当时，可转化为：. 所以 或. 所以的取值范围是：. （2）函数在的最大值，可能是在行或或时取得. 若 .此时为开口向上的抛物线，且，，所以满足题意. 若 .此时为开口向下的抛物线，且，，对称轴为，所以满足题意； 若 ，解得或. 当时，，对称轴为，故不合题意. 综上可知：存在实数或，使得满足当时，的最大值为3. 地 城 考点03 基本不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知，，，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】D 【分析】根据基本不等式可求最值，也可构造函数，根据函数单调性可求最值. 【详解】方法一：因为，，则由基本不等式可得 ， 解得，当且仅当，时，等号成立； 方法二：由原式变形得，，则， 所以，令，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，无最大值； 故选：. 2．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟·期中)若正数满足，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】将原等式变形后代入化简，利用基本不等式求解出最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为， 故选：A. 二、多选题 3．(24-25高一上·安徽合肥第八中学·期中)若实数a， b满足 则下列说法正确的为（   ） A．当时，最大值为 B．当时， 最小值为 C．当时， 有最大值 D．当时，最小值 【答案】ABD 【分析】对于A，B，D利用重要不等式判断即可；对于C，运用“万能k法”判断方程是否有解即可. 【详解】对于A，当时，，解得， 当且仅当时等号成立，有最大值，最大值为18，选项A正确； 对于B，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时时有最小值，最小值为，选项B正确； 对于C，当时，， 设，则化为， 即， 因为关于的方程有解， 所以，解得， 所以没有最大值，选项C错误； 对于D，当时，， 则，当且仅当时等号成立， 有最小值，最小值为，选项D正确． 故选：ABD． 4．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)设非负实数，满足，则（    ） A．的最小值为0 B．的最大值是 C．的最小值为9 D．最小值为5 【答案】BC 【分析】对于A，利用二次函数的性质判断；对于B，利用基本不等式判断；对于C，D，利用基本不等式中1的妙用求解判断． 【详解】对于A，因为非负实数，满足，可得且， 则，∴当时，取最小值，故A错误； 对于B，当中有为0的值时，的值为0； 当均为正数时，由，得， 当且仅当时，等号成立， ∴的最大值是，故B正确； 对于C，由题意，， ∴， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9，故C正确； 对于D，由题意，，∴， ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4， 所以的最小值为3，故D错误． 故选：BC． 5．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)已知、均为正实数，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A，利用基本不等式即可解得； 对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案； 对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案； 对D，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 所以，的最小值为，C对； 对于D选项， ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，D对. 故选：ACD. 6．(24-25高一上·安徽六安第二中学·期中)设正实数满足，则下列选项正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】A ：根据基本不等式直接计算并判断；B：采用常数代换法直接计算并判断；CD：根据选项A的结论化简判断即可. 【详解】A：，当且仅当时取等号，故正确； B：，当且仅当时取等号，故正确； C：，且， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故错误； D：，当且仅当时取等号，故正确； 故选：ABD. 三、填空题 7．(24-25高一上·安徽六安第一中学·期中)已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围 . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算可得，构造函数，根据函数的单调性可得，即可利用不等式的乘“1”法求解. 【详解】解：由题意可得， 所以， 令，因为和均在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为等价于，所以， 因为，为正实数，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 所以的范围. 故答案为： 8．(24-25高一上·安徽池州贵池区池州第一中学·期中)已知实数，命题，为真命题，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】首先根据函数图象与不等式的关系，确定一次函数的零点也是二次函数的零点，从而得到，代入后，利用基本不等式求最小值. 【详解】当时，单调递增，且当时，，此时， 当时，，， 所以，即，则， 当且仅当，时，等号成立. 故答案为：6 四、解答题 9．(24-25高一上·安徽皖江名校·)某医院为改善医疗技术，2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用年后所需要的各种维护费用总计为万元，2024年为第一年 (1)写出该套医疗设备的利润函数的表达式，并求的最大值； (2)第几年后，该套医疗设备的年平均利润最大？ 【答案】(1)，最大值56 (2)第6后年平均利润最大 【分析】（1）利润为收入减去维护费用和购入成本，列出解析式，根据二次函数的性质可计算最大值； （2）年平均利润为总利润比上年数，写出表达式，根据基本不等式计算可求出结果. 【详解】（1）， 因为，所以当时，取最大值56. （2）年平均利润为 ， 当且仅当，即时取等号， 故第6后年平均利润最大. 10．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量万份与年促销投入费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出. (1)将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元. 【分析】（1）由已知求得，结合每件产品的销售价格，可得出利润； （2）利用基本不等式求解最大利润即可． 【详解】（1）由已知得，当时，，则，得，故.     故每件产品的销售价格为， 故利润. （2）因为当时，， 所以，     当且仅当，即时等号成立. 即促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元. 11．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有万游客，则另需投入成本万元，且．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴万元． (1)求该景区一年利润（万元）关于人数（万人）的函数解析式； (2)一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)一年的游客为29万人时，该景区一年利润最大，最大利润是249万 【分析】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可； （2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可. 【详解】（1）由题意得， （2）当时，单调递增，此时． 当时，， 此时． 当时，， 当且仅当，即时取等号．此时． 综上，一年的游客为29万人时，该景区一年利润最大，最大利润是249万． 12．(24-25高一上·安徽合肥第八中学·期中)在当今这个科技迅猛发展的时代，新能源产业正以前所未有的速度改变着我们的生活.作为新能源领域的重要组成部分，电池技术的进步直接关系到电动汽车的续航里程、充电效率以及整体安全性，是推动新能源汽车行业发展的关键力量.假设某电池生产厂家生产一款新型电池的年固定成本为200万元，每生产1万台还需另投入16万元. 设该厂家一年内共生产该款新型电池x万台并全部销售完，每万台的销售收入为万元，且 ，当该厂家一年内共生产这款新型电池8万台并全部销售完时，年利润为1816万元； 当该厂家一年内共生产这款新型电池20万台并全部销售完时，年利润为3000万元. (1)写出年利润（万元） 关于年产量（万台） 的函数解析式； (2)当年产量为多少万台时，该厂家在这款新型电池的生产中所获得的利润最大? 并求出最大利润. 【答案】(1) (2)年产量为50万台时，获得的利润最大，最利润为3720万元 【分析】（1）根据题意先求出，，再结合题设分，两种情况求解即可； （2）结合二次函数的性质及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为当生产这款新型电池8万台并全部销售完时，年利润为1816万元， 所以，解得， 当该厂家一年内共生产这款新型电池20万台并全部销售完时，年利润为3000万元， 所以，解得， 当时，； 当时，， 综上：． （2）当时，单调递增， 所以； 当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号，所以此时的最大值为3720， 综上所述，年产量为50万台时，获得的利润最大，最利润为3720万元. 13．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)合肥四中东南角有一块劳动园地，“夏收油菜，秋收红薯”等活动已成为合肥四中劳动教育的特色项目.已知该劳动园地为如图矩形AMPN，C点在对角线MN上，，.经测量米，米. (1)设DN的长为米，试用表示劳动园地的面积； (2)某劳动小组计划明年在该劳动园地种植面积至少为300平方米的油菜，请问计划能否实现，并说明理由. 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）根据相似比得出边长，即可求得面积； （2）利用基本不等式计算可得时劳动园地面积最小值为平方米，可知计划能够实现． 【详解】（1）设的长为米，则米， 由三角形相似可得，即 ， 所以； （2）易知， 当且仅当，即时取等号， 故的长为8米时，劳动园地面积最小值为平方米． 显然，所以计划能够实现． 14．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)已知正实数、满足. (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）由题意可得，结合基本不等式中“1”的妙用计算即可求解； （2）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为18. 15．(24-25高一上·安徽六安第二中学·期中)（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）通过配凑将原式变形为，然后利用基本不等式求解出最小值； （2）先化简得到，然后采用常数代换法求解出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$