精品解析：甘肃省民乐县第一中学2025-2026学年高二（5）部上学期9月月考数学试卷

民乐一中2025-2026学年第一学期高二（5）部9月月考 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，点在直线上，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2028 8. 设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C，则（ ） A. C的方程为 B. 若直线与C有公共点，则k的取值范围是 C. 当O，A，P三点不共线时，若，则射线PD平分 D. 过C外一点作C的切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ____________． 13. 已知两直线与被圆所截得的弦长相等，则圆的圆心可以是______，半径可以是______.（写出一组满足条件的结果即可） 14. 已知圆与直线交于，两点，点在直线上，且，则的取值范围为_____ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知圆O：，直线l：． （1）若直线l与圆O相切，求k的值； （2）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB为直角时，求k的值． 17. 在正项数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 18. 已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． （1）若弦长，求直线的方程； （2）求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 19. 如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点． （1）当与垂直时，求证：过圆心； （2）当时，求直线的方程； （3）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民乐一中2025-2026学年第一学期高二（5）部9月月考 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，点在直线上，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，故数列是以首项为1，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】∵点在直线上，∴. 又，∴数列是以首项为1，公比为2的等比数列，∴. 故选：B. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由得，解出，进而求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意有， 所以， 故选：B. 3. 若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 4. 若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解 由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 5. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可. 【详解】因为是方程的两个根，所以， 在正项等比数列中，有，， 又，所以，所以. 故选：B 6. 已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用垂直关系求参数，从而可得交点，即可利用圆心和半径求得圆的标准方程. 【详解】由可得：，由， 解得：，即可得，则， 即所求圆的方程为． 故选：D. 7. 已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2028 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得 化简得，解得，， 又，故数列的通项公式为， 设数列的前项和为， 则， ， 从到共项，两两一组，可分为组， . 故选：. 8. 设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，经过定点且互相垂直，再由圆的弦长公式得，再用基本不等式即可得最大值. 【详解】由题知圆M的方程为，圆心，半径． 可化为，可知经过定点，同理可得也经过定点. 又，所以，即，经过定点且互相垂直，如图， 设AC和BD中点分别为F，G，可知四边形EFMG为矩形． 设，则，结合，， 可得，所以, ， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，当时，取得最大值． 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令直接代入计算可得A正确，根据的关系式以及等比数列定义即可求得数列为等比数列，可得B错误，再求得数列的通项公式可得C正确，结合分组求和以及等比数列前项和公式计算可得D正确. 【详解】对于A，由可得， 即，所以，因此A正确， 对于B，由可得，即， 显然不是定值， 因此数列不是等差数列，即B错误； 对于C，结合B分析由可知， 即数列是以为首项，公比为2的等比数列， 因此可得，所以，即C正确； 对于D， ，即D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，应用直线的定点结合垂直计算求参判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围判断D. 【详解】对于A，直线与直线平行，则，解得， 直线，即， 则与的距离为，选项A正确； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，将直线方程变形为，由得， 则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确； 对于D，如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确. 故选：ACD． 11. 在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C，则（ ） A. C的方程为 B. 若直线与C有公共点，则k的取值范围是 C. 当O，A，P三点不共线时，若，则射线PD平分 D. 过C外一点作C的切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据条件列出方程化简可判断A，利用圆心到直线的距离列出不等式求解判断B， 根据角平分线定理计算即可判断C，利用切线的切点在圆上，求出圆的方程，根据切点为两圆的交点，两圆方程作差求出切点所在直线方程即可判断D. 【详解】设， 由，得，即， 故A正确； 圆心为，半径为，直线与C有公共点，则圆心到直线的距离， 解得或，故B错误； 如图， 当O，A，P三点不共线时，， 则，，，则， 所以，所以射线PD平分，故C正确； 如图， 设，因为，，所以M，N在以CE为直径的圆上． CE中点为，所以CD为直径的圆方程为， 即， 与C方程相减得直线MN的方程为， 令，，解得，， 则直线MN过定点，故D正确． 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ____________． 【答案】 【解析】 【分析】变形得，再分组求和，结合等比数列求和公式得到答案. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 13. 已知两直线与被圆所截得的弦长相等，则圆的圆心可以是______，半径可以是______.（写出一组满足条件的结果即可） 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，写出圆心在直线上，半径大于都对）. 【解析】 【分析】由已知可得圆心到两直线的距离相等，列式得到圆心坐标满足关系式，而半径要大于圆心到直线的距离. 【详解】设圆心坐标，因为两直线被圆截得的弦长相等，所以圆心到两直线的距离相等， 所以，化简得，此时， 即满足条件的圆心在直线上，且圆的半径， 故答案为：①；②（答案不唯一，写出圆心在直线上，半径大于都对）. 14. 已知圆与直线交于，两点，点在直线上，且，则的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先联立直线与圆，得到两根之和，并由根的判别式求出的取值范围，求出中点坐标，从而求出的垂直平分线，利用得到是直线与的垂直平分线的交点，故联立两直线，求出交点横坐标，即，利用的取值范围，求出的取值范围. 【详解】因为， 所以是直线与的垂直平分线的交点， 联立与，可得： ， 由得：或， 设， 则， 所以， 所以中点坐标为， 的垂直平分线方程为：， 与联立得：， 因为或， 所以 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比中项的性质和等差数列的通项公式计算即可； （2）利用错位相减法求和计算可得结果. 【小问1详解】 设的公差为，因为成等比数列， 所以，即，，化简得， 由于，所以，， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 ， ①， ②， ①②得， 所以. 16. 已知圆O：，直线l：． （1）若直线l与圆O相切，求k的值； （2）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB为直角时，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求待定系数的值. （2）借助“几何法”，把问题转化成为圆心到直线的距离问题求解. 【小问1详解】 ∵圆O：，直线l：．直线l与圆O相切， ∴圆心O到直线l的距离等于半径， 即， 解得． 【小问2详解】 根据题意，圆O的方程为，其半径， 直线l与圆O交于不同的两点A，B，∠AOB＝， 则点O到l的距离d＝r＝1， 则有＝1，解可得k＝±． 17. 在正项数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合平方差公式化简可得，再根据等差数列的定义和通项公式求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 由可得， 所以， 因为是正项数列，，所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 18. 已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． （1）若弦长，求直线的方程； （2）求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 【答案】（1）或； （2）最大，此时. 【解析】 【分析】（1）根据已知，令直线，利用几何法求点线距离，再应用坐标法列方程求参数，即可得直线方程； （2）令直线，应用点线距离公式、弦长公式及三角形面积求法列方程，利用基本不等式求面积最大值，注意取值条件即可得答案. 【小问1详解】 若直线斜率不存在，则，此时，不符题设， 由，则圆心，半径为3，又， 所以到直线的距离， 令直线，则，可得，故或， 所以直线的方程为或； 【小问2详解】 由（1）直线斜率不存在，有， 又到直线的距离，则； 若直线斜率存在，令， 此时到直线的距离，， 所以，令， 则，当且仅当，即或时等号成立， 所以，此时最大. 19. 如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点． （1）当与垂直时，求证：过圆心； （2）当时，求直线的方程； （3）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） 由已知，故， 所以直线的方程为． 将圆心代入方程易知过圆心． （2）或 （3）是，-5 【解析】 【分析】（1）根据已知，容易写出直线的方程为．将圆心代入方程易知过圆心； （2）过的一条动直线．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线与轴垂直时，进行验证．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于弦长，利用垂径定理，则圆心到弦的距离．从而解得斜率来得出直线的方程为； （3）同样，当与轴垂直时，要对设，进行验证．当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定的代数表达式，再讨论是否为定值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当直线与轴垂直时，易知符合题意； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于， 所以．由，解得． 故直线的方程为或． 【小问3详解】 当与轴垂直时，易得，， 又则，，故．即． 当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得． 则，， 即，． 又由得， 则． 故． 综上，的值为定值，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $