第十五章 轴对称拓展之最值篇（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

第十五章 轴对称拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、牧民饮马 【解惑】如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．6 D．8 2．如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ． 3．如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ． 类型二、三点共线 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，若为等腰直角三角形，，P为CD上一动点，的最大值是（） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 3．如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 类型三、周长最小——牧民饮马 【解惑】如图，等腰三角形的面积为65，底边，腰的垂直平分线交于点E，F，若D为边中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为（    ） A．13 B．15 C．16 D．18 【融会贯通】 1．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是（    ）． A． B． C． D．无法计算 2．如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 3．如图，在中，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点P为上一动点，则的周长最小值为 ． 类型四、周长最小——双对称 【解惑】已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【融会贯通】 1．如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 ． 3．如图，，点P在内部，，点M，点N分别是上的动点，若存在点M，点N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 类型五、两动一定 【解惑】如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【融会贯通】 1．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．5 2．如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 3．如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ． 类型六、面积最大 【解惑】如图，四边形中，，的角平分线与点D，E为的中点，则与面积之差的最大值为（  ）    A．9 B．4.5 C．3 D．1.5 【融会贯通】 1．如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，对角线平分，且，则四边形面积最大值为 ． 3．如图，在中，，，的面积为，点D是上一点（点D不与点B，C重合），点E是点D关于的对称点，点F是点D关于的对称点，连接、、、、、，则四边形面积的最大值为 ． 类型七、四点共线 【解惑】如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，M为AB的中点．若∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A．12 B．4 C．4 D．14 【融会贯通】 1．如图，，在的同侧，，，，M为的中点．若，则长的最大值是（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是 ． 3．如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ． 类型八、两定两动 【解惑】如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，点M、N分别在边上，且，，点P、Q分别在边上，则当取最小值时， ．    3．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝2，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上则当MP+PQ+QN的最小值时，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝ ． 类型九、手拉手最值 【解惑】如图，在直角坐标系中，，，连接，以为边向右作等边，连接，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点是边上一动点，以为腰作等腰三角形，使，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为 ． 3．如图，在矩形中，，．点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 类型十、其他最值 【解惑】如图，，，为边上一点，作且，当取最小值时，（   ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知点是边长为的等边的中心，点在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 3．如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 轴对称拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、牧民饮马 【解惑】如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示． 【融会贯通】 1．如图所示，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点关于的对称点，连接，如图所示，由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为，由等边三角形的判定与性质求出边长即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵为中点，， ∴，则， 作点关于的对称点，连接，如图所示： 由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为， ∴，则， ∴， ∵， ，即， 在等边中，，，则为等边三角形， ， 故选：D． 2．如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，中垂线的性质，得到，进而得到，三线合一结合三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， ∵，D为底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 3．如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，两点之间线段最短， 先连接，先说明，将转化为，再根据两点之间线段最短说明的最小值，然后三角形的面积相等求出答案即可. 【详解】解：连接，交于点， ∵是等边三角形，且是高线， ∴垂直平分，, ∴. 即， 当点三点共线时，根据两点之间线段最短，最小，即最小， ∵是等边三角形，点E是边的中点， ∴是的高线. ∵，且， ∴， ∴最小值为7. 故答案为：7. 类型二、三点共线 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查关于轴对称的点的坐标特点，线段最值问题，一次函数与y轴交点，正确理解最值问题并作出点是解题的关键．作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大，设直线的解析式为，将，代入，利用待定系数法求出解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，若为等腰直角三角形，，P为CD上一动点，的最大值是（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称一一最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质， 作A关于的对称点A，连接交于P，则点P就是使的值最大的点．此时，结合条件证明是等边三角形，即可求得答案． 【详解】解：作A关于的对称点A，连接交于P，则点P就是使的值最大的点．此时， 连接，如下图： ∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即：的最大值是5． 故选∶C． 2．已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，三角形的内角和等知识，综合性强．作点B关于的对称点H，连接．可以得到，，即可得到当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时，进而得到．求出，根据和关于对称，求出，进而求出，，根据即可求出． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则，， 此时， ∴当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时， ∵当的最大值是时， ∴． ∵，， ∴， 由题意得和关于对称， ∴，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90 3．如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称解决线段差值的最大值，等边三角形的判定和性质，作点关于的对称点，连接，进而得到，进而得到当三点共线时，的最大值为的长，证明为等边三角形，进而得到的长，即可．解题的关键是通过轴对称构造特殊三角形． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的最大值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：． 类型三、周长最小——牧民饮马 【解惑】如图，等腰三角形的面积为65，底边，腰的垂直平分线交于点E，F，若D为边中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为（    ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小， 连接，由是等腰三角形，点D是的中点，可得，再根据三角形的面积公式求出，然后根据是线段的垂直平分线，可得点A关于直线的对称点C，可知，即可推出，可得是的最小值，进而得出答案． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是的中点， ∴， ∴， 解得：． ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点C， ∴， ∴， ∴是的最小值， ∴的周长最短． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是（    ）． A． B． C． D．无法计算 【答案】C 【分析】连接与交于点P，则此时周长取到最小值时周长取到最小值，则根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得结果． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点，M，N， ∴A，C关于对称， 连接与交于点P，则此时周长取到最小值时周长取到最小值， ∵，点D是的中点， ∴， ∵垂直平分，点P是上的点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称－最短路径，三角形外角的性质等知识点，找到周长取到最小值时P点所在的位置是解题的关键． 2．如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：8． 3．如图，在中，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点P为上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】21 【分析】连接，根据折叠的性质，得，，结合已知得到，根据，得到，故当C，P，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，结合的周长为解答即可． 本题考查了折叠的性质，两点之间线段最短原理，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：连接，根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当C，P，B三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∵的周长为， ∴的周长最小值为． 故答案为：21． 类型四、周长最小——双对称 【解惑】已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质；由对称的性质得出，，；，，，得出，证出是等边三角形，可得，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，如图所示： 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值是3， ， ， 即， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作点关于的对称点，与交点为，与交点为，连接交于两点，则，，由题意知，当四点共线时，的周长最小，由，，可知，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，与交点为，与交点为，连接交于两点，则，，    由题意知，当四点共线时，的周长最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，两点之间线段最断．解题的关键在于明确的周长最小的情况． 2．如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 ． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，点关于的对称点，连接交于点交于点，则，因为，所以，求得，连接交于点，交于点，连接、，则，所以，由，可知此时的周长最小，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，点关于的对称点，连接交于点交于点， 垂直平分垂直平分， ， ， ， ， 连接交于点，交于点，连接、，则， ， ， ， 此时的周长最小， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查轴对称最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 3．如图，，点P在内部，，点M，点N分别是上的动点，若存在点M，点N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点、，连接、、，由轴对称的性质可推出，，则可证明是等边三角形，得到，则的周长的最小值为． 【详解】解：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点、，连接、、， 点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ，，，，，， ， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值为， 故答案为： 类型五、两动一定 【解惑】如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、垂线段的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点F，连接， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴就是的最小值， ∵直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短， ∴时，最小， ∵是等边三角形， ∴是的中线， ∴， 即的最小值为8，故C正确． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查轴对称最短路径问题，坐标与图形性质，角平分线等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短路径问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故选：C． 2．如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】度/ 【分析】连接，先证明，得到，从而推出当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， 又∵是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且时最小，即此时最小， 过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，线段最短问题，三角形外角的性质等知识，解题的关键将的最值转化为． 3．如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质．过点A作于点H，根据题意求得，得到是等腰三角形的中线，得到，根据，当共线时，有最小值，得到，根据等面积法求出的长． 【详解】解：过点A作于点H， ∵，平分， ∴， ∴， ∵是等腰三角形的中线， ∴点C关于的对称为点A， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值， ∴， ∵， ∴， ∴则的最小值为， 故答案为：． 类型六、面积最大 【解惑】如图，四边形中，，的角平分线与点D，E为的中点，则与面积之差的最大值为（  ）    A．9 B．4.5 C．3 D．1.5 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键．延长交的延长线于H，过点D作于T，设的面积为S，证明和全等得，再证明，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得出，而，由此的当为最大时，S为最大，则为最大，然后根据“垂线段”最短得，则时，为最大，最大值为3，据此求出S的值即可得出答案． 【详解】解：延长交的延长线于H，过点D作于T，   设的面积为S， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴当为最大时，S为最大，则为最大， 根据“垂线段”最短得：， ∴时，为最大，最大值为3， ∴S的最大值为：， ∴的最大值是4.5． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交于点H设交于点．   ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故选：C． 2．如图，四边形中，，对角线平分，且，则四边形面积最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中线与面积关系，等腰三角形的判定与性质，如图，延长交的延长线于，过作于，证明，可得，证明，可得，进一步可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，过作于， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形面积最大值为， 故答案为： 3．如图，在中，，，的面积为，点D是上一点（点D不与点B，C重合），点E是点D关于的对称点，点F是点D关于的对称点，连接、、、、、，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，由轴对称的性质得出，根据等边对等角得出，，结合已知条件可得出是等腰直角三角形，即可得出，即可得出四边形面积有最大值，则要有最小值，即有最小值，根据时，最小，根据三角形面积公式求出，进而可得出答案． 【详解】解：∵点E是点D关于的对称点，点F是点D关于的对称点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴， 要使四边形面积有最大值，则要有最小值，即有最小值， ∵点D是上一点（点D不与点B，C重合）， ∴当时，最小， 此时：， ∴， ∴， 故答案为： 类型七、四点共线 【解惑】如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，M为AB的中点．若∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A．12 B．4 C．4 D．14 【答案】D 【详解】分析：如图，作点A关于CM的对称点A'，点B关于DM的对称点B′，连接CA'、MA'、MB'、A'B'、B'D，证明△A'MB'为等边三角形，然后利用三角形三边的关系解决问题即可． 解答：解：如图，作点A关于CM的对称点A'，点B关于DM的对称点B'，连接CA'、MA'、MB'、A'B'、B'D， ∵∠CMD＝120°， ∴∠AMC+∠DMB＝60°， ∴∠CMA'+∠DMB'＝60°， ∴∠A'MB'＝60°， ∵MA'＝MB'， ∴△A'MB'为等边三角形 ∵CD≤CA'+A‘B'+B'D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14， ∴CD的最大值为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，轴对称和等边三角形的性质，利用轴对称作图把CA+AM+BD转化为CA'+A‘B'+B'D是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，，在的同侧，，，，M为的中点．若，则长的最大值是（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接、、、、，证明为等边三角形，即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接、、、、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴的最大值为14， 故选：D． 2．如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了了翻折变换，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是利用两点之间线段最短解决问题．作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题. 【详解】解：作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接，，，，， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ， ∴的最大值为19． 故答案是19． 3．如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和两点之间选段最短，准确分析计算是解题的关键．作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，利用两点之间，线段最短即可解决问题； 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ∴，，，，， ∵点为的中点，， ∴ ， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ， 的最大值为， 故答案为：。 类型八、两定两动 【解惑】如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点，证明，，那么，当点共线时，取得最小值，记交于点，可证明，则此时，可得为等边三角形，则，由关于对称，得到，那么由，即可求解． 【详解】解：连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点， ∴，， ∵，点为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值，如图： 记交于点， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴此时， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，难度较大解题的关键在于将进行转化． 【融会贯通】 1．如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值为，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得和即可求得． 【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ ∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO, ∵x轴⊥y轴， ∴AG=AH，、关于y轴对称， ∴当、，P、Q在同一条直线上时，最小，此时轴， ∵∠GAH＝60°， ∴△AGH为等边三角形， ∴∠AGO=60°， ∵轴，B、关于AG对称， ∴,， ∴△BPG为等边三角形， 过作PM⊥GO交x轴与M， ∵G（﹣3，0），B（﹣2，0）， ∴BG=1，BO=2， ∴， ∴， 同理可得, 即． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键． 2．如图，点M、N分别在边上，且，，点P、Q分别在边上，则当取最小值时， ．    【答案】20 【分析】作M关于的对称点，作N关于的对称点，连接，即为的最小值；证出为等边三角形，为等边三角形，得出，即为的面积． 【详解】解：作M关于的对称点，作N关于的对称点，如图所示： 连接，    则， 即为的最小值． 根据轴对称的定义可知：，， ∴为等边三角形，为等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，属于填空题中的压轴题，通过轴对称变换找到取最小值时P，Q的位置是解题的关键． 3．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝2，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上则当MP+PQ+QN的最小值时，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝ ． 【答案】5 【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′＝90°，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝计算即可． 【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，交OA和OB于Q与M，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝∠AOB=30°，∠ONN′=∠OMM′＝60°， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′＝90°，OM＝M′O=2，ON＝ON′=5 根据对称可得： S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝ ∴S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝5 故答案为：5． 【点睛】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 类型九、手拉手最值 【解惑】如图，在直角坐标系中，，，连接，以为边向右作等边，连接，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助图形：以为边作等边，借助等边三角形性质(边相等、角为)，为证明三角形全等创造条件，利用和均为等边三角形的条件，通过判定定理证得，根据全等性质推导出点的运动轨迹为一条直线．求最值：依据垂线段最短原理，过原点作点运动轨迹的垂线，结合特殊角()的直角三角形性质，计算出的最小值． 【详解】解：以为边，在上方作等边，连接，，作于，如图： ∵， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴到的距离等于到的距离， ∵，即点到的距离为4， ∴到的距离为， 当在的延长线上时最小， 最小为； 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、坐标与图形的位置关系以及垂线段最短的原理．关键通过构造全等三角形，将的最值问题转化为点到直线的距离问题． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点是边上一动点，以为腰作等腰三角形，使，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，在上取一点，使，可证，得到，可知当最小时，最小，当时，最小，利用直角三角形的性质求出，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：在上取一点，使， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 当最小时，最小， 而当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故选：． 2．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 3．如图，在矩形中，，．点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形全等的性质和证明，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值计算等相关知识点，能够根据已知条件作出相关的辅助线是解题重点． 以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于点，证明，由全等性质可以得到，进一步解三角形求得的值，判断出点的运动轨迹是射线，在中，当点与点重合时，的值最小，利用特殊角的锐角三角函数值求解即可。 【详解】解：以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于点，如下图： 四边形是矩形， ， 和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是射线， ， ， ，， ， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为3． 故答案为: 3． 类型十、其他最值 【解惑】如图，，，为边上一点，作且，当取最小值时，（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使得，连接，则，证明得出在射线上运动，作关于的对称点，连接，，，则点关于的对称点在上，连接，可得当与点重合时，取得最小值，此时， 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，延长至，连接， 使得，则，    ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在射线上运动，平分， 作关于的对称点，连接，，，则点关于的对称点在上，连接，如图所示，    ∴， ∴是等边三角形， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵与关于的对称， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值， 即当与点重合时，取得最小值，此时， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，等边三角形的判定及性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知点是边长为的等边的中心，点在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到点的位置是解题的关键．根据，可得，根据等边三角形的性质可求得中边上的高和中边上的高的值，当在的延长线时，取得最小值，，过作，求得，则可求解． 【详解】解：如图， ，， ， 设中边上的高为，中边上的高为， 则，， ， ， 是等边三角形， ，， 点在平行于，且到的距离等于的线段上， 当点在的延长线上时，取得最小值，过作于， ， 是等边的中心，， ，， ， ， ， 解得， ， ． 故选：D． 2．如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了折叠的性质、垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由将、分别沿、向外翻折至、可得：，由易得，面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：∵、分别沿、向外翻折至、， ∴，，， ∵ ∴， ∴面积， 当取最小值时的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，，， ， 解得：， 面积的最小值为：． 故答案为：18． 3．如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知识，延长到点，使，连接，证是等边三角形，可推出，过点作于点，则，从而，故当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，求出的值即可，构造含的直角三角形，将目标转化为求的最小值是解题关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ，即， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 过点作于点， ， ， 求的最小值即求的最小值，当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值， 此时，设，则， ， 即当取最小值时，的值为． 故答案为：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$