第十五章 轴对称（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

第十五章 轴对称思维导图 【类型覆盖】 类型一、时钟、台球、光线、车牌问题 【解惑】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．光线照射到平面镜上时会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，且，在上有一点，从点射出一束光线(入射光线)，经平面镜点处反射后，反射光线刚好与平行，则的度数为(　　) A． B． C． D． 2．雨后从地面水洼处观察到一辆小汽车的车牌号为，它的实际车牌号是 ． 3．小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ． 类型二、两圆一线画等腰三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知、，点C在x轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的C有 个． 3．如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，在x轴上确定一点B，使是等腰三角形，这样的B点有 个． 类型三、折叠问题 【解惑】将六边形沿直线折叠，使点A，B落在六边形的内部，记，则（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，E、F是长方形纸片边上的两点（长方形的两组对边分别平行，每一个内角都是直角），将纸片沿直线进行折叠，边的对应边交边于G点，若，有如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 2．如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，与交于点E；再将三角形沿折叠，使点D落在点处．则 ． 3．如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则 ． 类型四、阴影周长与面积问题 【解惑】将直角三角板与直角三角板如图摆放，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 3．阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 类型五、格点三角形 【解惑】如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在的方格纸中有一个以格点（网格线的交点）为顶点的，在图中可画出以格点为顶点且与成轴对称的三角形个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个. 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接． (1)画出线段关于直线l的轴对称线段； (2)在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； (3)在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个． 类型六、等腰、等边三角形的手拉手 【解惑】数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【融会贯通】 1．问题提出 （1）如图，在和中，，，（），将绕点顺时针旋转，连接．当点落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是_______，的度数为____________； （2）如图，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长； 问题解决 （3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形，如图所示，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成，两大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 2．模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 3．探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 类型七、角平分线与垂直平分线结合 【解惑】如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【融会贯通】 1．在学习《生活中的轴对称》时，我们探究了两个重要结论： 结论1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，当，时，则有：． 结论2：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图，当平分，，时，则有：． 请利用上述结论，解决下列问题： 如图，在中，，，是的平分线，，垂足为点E，点P为线段上一动点． (1)试说明：； (2)若点P为线段的垂直平分线与的交点，求的度数． 2．已知，如图，在中，的垂直平分线与的角平分线交于点D，          (1)如图1，判断和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若时，探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，和的延长线交于点E，点F是上一点且，连接交于点G，若，求的长． 3．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF． 类型八、等腰三角形动点求t 【解惑】综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在中，，已知，，，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)求边上的高； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 2．如图，在中，，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为___________（用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值 (3)当将分成的两部分的面积比为时，求的值 (4)当点与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 3．如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，，分别与交于点M，N．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求t的值； (2)当t为何值时，点M在的平分线上？ (3)当点N为的中点时，求t的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 类型九、等腰三角形的新定义 【解惑】【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∴ 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，，则 ______； (2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． (4)在中，，，是边上的高． 求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 【融会贯通】 1．定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”．例如，在图1中，与有公共边和公共角，且，则与是双赢三角形．如图2，在中，是边上任意一点． (1)若和是“双赢三角形”，，则 ； (2)如图3，延长到点，连接和，，，． ①试说明：与是“双赢三角形”； ②若，，求的长； ③若，，求的度数． 2．阅读与思考 下面是奋进小组在模拟练习过程中对已有练习试题进行的研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 背景：翻阅资料了解到一个新名词“等垂四边形”．定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． 任务： (1)如图2．如图3，已知四边形为等垂四边形，，． 在图2中，若，，则的度数为_______； 在图3中，若，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由． (2)如图4，已知锐角，请你在图中作等垂四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 3．综合与实践 【问题情景】在一节综合与实践课上，范老师提出这样一道数学问题：“把一张底角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．”小明思考了一会后给出了一种剪法，如图所示． 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 【实践操作】请你在备用图中再画出一种剪法的三分线，并标注每个等腰三角形底角的度数； 【解决问题】请你在图中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形底角的度数． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】如图，在中，于点，点分别在与上，连接．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，在上画点，使点与点关于对称； (2)在图2中，在上画点，使． 【融会贯通】 1．请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴 (1)如图1，在四边形中，，； (2)如图2，三个等边三角形如图所示放置，且点、、在一条直线上． 2．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均是格点．在内部找一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，连接、、，使； (2)在图②中，连接、、，使； (3)在图③中，连接、、，使，且． 3．如图，“T”字形图案由两个全等的矩形拼成，E，F是的三等分点，是矩形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作等腰直角三角形，其中为腰． (2)在图2中作线段的垂直平分线． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 轴对称思维导图 【类型覆盖】 类型一、时钟、台球、光线、车牌问题 【解惑】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【融会贯通】 1．光线照射到平面镜上时会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，且，在上有一点，从点射出一束光线(入射光线)，经平面镜点处反射后，反射光线刚好与平行，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解答本题的关键是作出辅助线，在直角三角形中解决问题．过点作交于点．根据题意知，是的角平分线，故；然后又由两直线推知内错角；最后由三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，如图，过点作交于点． 入射角等于反射角， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， 故选：B． 2．雨后从地面水洼处观察到一辆小汽车的车牌号为，它的实际车牌号是 ． 【答案】GFT2567 【分析】本题考查了镜面反射的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是：GFT2567． 故答案为：GFT2567． 3．小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，将其左右翻转后，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 类型二、两圆一线画等腰三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的性质，垂直平分线，根据以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，进行分类讨论，借助尺规作图进行快速得出满足条件的点P的个数，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，如图所示： 此时满足条件的点P有一个； 当时，如图所示： 此时满足条件的点P有两个； 当时，如图所示： 此时满足条件的点P有一个； 综上满足在坐标轴上的点一共有个， 故选：C 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，的中垂线交y轴于点，即可求得答案． 【详解】解：如图，①以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，此时， ②以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，此时， ③的中垂线交y轴于点，此时， 综上所述，符合要求的点的位置共有5个， 故选：D． 2．已知、，点C在x轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的C有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，分，，三种情况，根据等腰三角形性质即可求解． 【详解】解：以B为圆心，以为半径画弧，交x轴于，两点，此时； 以A为圆心，以为半径画弧，交x轴于点，此时； 作的垂直平分线交x轴于，此时， 满足这样条件的C有: （个）， 故答案为：4． 3．如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，在x轴上确定一点B，使是等腰三角形，这样的B点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质，分当时，当时， 当时， 三种情况分别利用数形结合的思想找到符合条件的B点个数即可得到答案． 【详解】解：如图， 当时，符合条件的B有一个， 当时，符合条件的B有两个， 当时，符合条件的B有一个 综上所述，符合条件的点B共有4个． 故答案为：4． 类型三、折叠问题 【解惑】将六边形沿直线折叠，使点A，B落在六边形的内部，记，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，多边形内角和，关键在于运用折叠前后，对应角相等，多边形的内角和定理将进行转换． 设的延长线与的延长线交于点P，的延长线与的延长线交于点，连接．由对称性可知．进而得到，再结合多边形内角和求出，即可解题． 【详解】解：记点A，B落在六边形的内部的对称点为， 如图，设的延长线与的延长线交于点P，的延长线与的延长线交于点，连接． 由对称性可知． ∴． ∵， ． 答案为：B． 【融会贯通】 1．如图，E、F是长方形纸片边上的两点（长方形的两组对边分别平行，每一个内角都是直角），将纸片沿直线进行折叠，边的对应边交边于G点，若，有如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了邻补角、平行线的判定与性质、折叠的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据邻补角的性质可得，故该结论①正确；根据“两直线平行，内错角相等”可知，故该结论②正确；由折叠可得，进而可判断该结论③正确；已知条件无法证明，故该结论④不正确；过点作，根据“两直线平行，内错角相等”可得，故该结论⑤正确． 【详解】解：①∵， ∴，故该结论正确； ②根据题意，可知， ∴，故该结论正确； ③由折叠可知， ∴，故该结论正确； ④已知条件无法证明，故该结论不正确； ⑤如下图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故该结论正确． 综上所述，结论正确的有①②③⑤． 故选：B． 2．如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，与交于点E；再将三角形沿折叠，使点D落在点处．则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查折叠的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.由题意得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 在长方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形的性质，垂直的定义，掌握折叠的性质和进行分类讨论是解题的关键． 分三种情况进行讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：如图，当时，, 由折叠性质，得, , ； 如图，当时， 由折叠性质，得， ∴； 如图，当时， 由折叠性质，得, ； 当时与时相同， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 类型四、阴影周长与面积问题 【解惑】将直角三角板与直角三角板如图摆放，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含角的直角三角形，等腰直角三角形，关键是掌握含角的直角三角形的性质．根据含角的直角三角形的性质得，由得，即可求解． 【详解】解：直角三角板，，， ， 直角三角板，， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 故选：A ． 【融会贯通】 1．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 根据等边三角形的性质可得，再根据折叠的性质，即可得，从而得到阴影部分图形的周长为：，即可求解． 【详解】解：∵等边三角形的边长为， ∴， ∵将沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ． 故选：A 2．如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出． 由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， 三个阴影部分的周长的和， 故答案为：． 3．阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质及旋转的性质． （1）作中线，证明，可得结论； （2）证明点B，，共线，结合，即可得到结论； （3）绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到，证明是直角三角形，利用即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作中线， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， ， 点B，，共线， 又∵， 是等腰三角形； （3）解：如图，把绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到， 由旋转得，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ． 类型五、格点三角形 【解惑】如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了在网格中画轴对称图形，根据轴对称的定义，画出所有的轴对称图形，然后得出答案即可． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． 综上可知：与成轴对称的格点三角形一共有8个． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在的方格纸中有一个以格点（网格线的交点）为顶点的，在图中可画出以格点为顶点且与成轴对称的三角形个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形．利用轴对称图形的性质即可解答． 【详解】解：与成轴对称且以格点为顶点三角形有、共6个， 如图： 故选：C． 2．如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个. 【答案】5 【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知. 【详解】解：如图： 与成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为，，，，，共有5个. 故答案为：5. 【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接． (1)画出线段关于直线l的轴对称线段； (2)在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； (3)在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了作轴对称图形、对称的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想，是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质得出的对应点，连接即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求作的点； （3）根据等腰三角形的概念求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段为所求： （2）解：如图所示，点为所求： 由对称的性质得， 则， 此时，最小； （3）解：如图所示， 点C共有5个． 故答案为：5． 类型六、等腰、等边三角形的手拉手 【解惑】数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】(1)等式的性质， (2)42° 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明； （2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等式的性质）． 即． 又∵， ∴； （2）解：在上取一点E，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设和交于点O， ∵， ∴． 【融会贯通】 1．问题提出 （1）如图，在和中，，，（），将绕点顺时针旋转，连接．当点落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是_______，的度数为____________； （2）如图，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长； 问题解决 （3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形，如图所示，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成，两大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 【答案】（）；；（）四边形的周长为；（）满足条件的建设费用元． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的应用，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）先求出，进而得，再依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出答案； （）延长到，使，连接，证明是等边三角形，得，，再根据是等边三角形得，，由此得，进而依据“”判定和全等得，则，由此即可得出四边形的周长； （）过点作交于点，连接，则和都是等腰直角三角形，进而得，，，，由此得，继而依据“”判定和全等得米，，则，再求出平方米，即可得出种植草坪的费用，据此可得满足条件的建设费用． 【详解】解：（）在中，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，的度数为， 故答案为：；； （）延长到，使，连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形的周长为； （）过点作交于点，连接，如图所示， ∵，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴（米），， ∴，即， ∴（平方米）， ∴在内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元， ∴在内部种植草坪的费用为：（元）， 又∵在区域内安装健身器材需元， ∴满条件的建设费用为（元）， 答：满足条件的建设费用元． 2．模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 3．探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，详见解析 (2)见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明，证明，得到，进而得到答案； （3）在线段上取一点H，使得，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点D，点E在同一直线上； （3）解：结论：，理由如下， 如图3，在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 类型七、角平分线与垂直平分线结合 【解惑】如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可证，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用证明，从而可得，结合（1）中的平行，等边三角形的判定方法，即可解答． 【详解】（1）证明：∵ 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由： ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定是解题的关键． 【融会贯通】 1．在学习《生活中的轴对称》时，我们探究了两个重要结论： 结论1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，当，时，则有：． 结论2：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图，当平分，，时，则有：． 请利用上述结论，解决下列问题： 如图，在中，，，是的平分线，，垂足为点E，点P为线段上一动点． (1)试说明：； (2)若点P为线段的垂直平分线与的交点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）由结论2可得，则可证明得到，再证明，则可证明； （2）由三角形内角和定理和角平分线的定义可得，由结论1可得，则，则可得到，再由全等三角形额性质得到，据此可得． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在中，，， ， 是的平分线， ， 点P为线段的垂直平分线与的交点， ∴， ， 是的外角， ， ， ， ． 2．已知，如图，在中，的垂直平分线与的角平分线交于点D，          (1)如图1，判断和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若时，探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，和的延长线交于点E，点F是上一点且，连接交于点G，若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)4 【分析】（1）过点D作于点G，于点H，根据角平分线的性质及垂直平分线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质及各角之间的关系即可证明； （2）在上截取，连接，根据各角之间的关系及等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质证明即可； （3）延长至点M，使，证明，可得，，可由得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点D作于点G，于点H，    ∵的垂直平分线与角平分线的交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （2），理由如下： 如图2，在上截取，连接，    由（1）知， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）由（2）知，如图3，延长至点M，使，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定与性质；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 3．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF． 【答案】见解析 【详解】试题分析：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE=CF． 试题解析： 连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD， ∵D为∠BAC上面的点，DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF， 在RT△BDE和RT△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE=CF． 类型八、等腰三角形动点求t 【解惑】综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)4或8 (4)存在，点P的坐标为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）先求得点C的坐标，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）分两种情况，列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：当点在线段上时， ， ； 当点在轴正半轴时，即， 如图2，由运动知，， ， 同（2）的方法得，， ， ， 即时，的值为4或8； 故答案为：4或8； （4）解：，，点， ，，， 当时，， ，点； 当时， 又， ， ， ，点， 综上所述：点P的坐标为或． 【融会贯通】 1．如图，在中，，已知，，，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)求边上的高； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查列代数式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，一元一次方程的应用等知识，运用数形结合与分类讨论思想是解题的关键． （1）分①当点P在A、C之间，即时，②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论即可得解； （2）过点作于点，利用等面积法，即可求解； （3）先运用等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余以及等角的余角相等推出； 分当时和当时两种情况讨论，前者点P与点A或点B重合排除，后者列方程求解即可； （4）分①当点P在A、C之间，即时， ②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论，运用等面积法列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①当点P在A、C之间，即时，， ∴， ②当点P在B、C之间，即时，， ∴， 综上所述：； （2）解：如图，过点作于点， ∵，，，， ∴， ∴， 即边上的高为； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，此时点P与点A或点B或点C重合，不合题意，舍去； 当时， ①当时，得，解得：； ②当时，得，解得：； 即的值是或； （4）解：①当点P在A、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且， ∴， 解得：； ②当点P在B、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且， ∴， 解得：． 综上所述：的值为或． 2．如图，在中，，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为___________（用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值 (3)当将分成的两部分的面积比为时，求的值 (4)当点与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)的值为或2.4或3.6或5.6． 【分析】题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）观察图形用即可列式来求解； （2）当时，表示出，即可列式求解； （3）当将分成的两部分的面积比为，则点P在上，分两种情况：当时；当时；分别求解即可； （4）先求出周长的一半，再利用当点在上时，或，此时；当点在上时，或，此时；当点在上时，或，此时，分别求解即可． 【详解】（1）解：点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒，， ； 故答案为：； （2）解：是以为腰的等腰三角形时， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵当将分成的两部分的面积比为， ∴点P在上， 分两种情况：当时； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； 当时； ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； 综上，当将分成的两部分的面积比为时，或． （4）解：，，，， 的周长为， 点与顶点连接的线段将的周长分为的两部分时，每一部分的周长为或， 当点在上时，或，此时，    或， 或（舍去）； 当点在上时，或，此时，    或， 或； 当点在上时，或，此时，    或， （舍去）或； 综上所述，的值为或2.4或3.6或5.6． 3．如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，，分别与交于点M，N．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求t的值； (2)当t为何值时，点M在的平分线上？ (3)当点N为的中点时，求t的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或6或9 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平移的性质等知识内容，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的定义可得，据此可得答案； （2）连接，证明，得到，据此可得答案； （3）连接，由平移的性质可得，可证明垂直平分，则，导角证明，得到，则，据此可得答案； （4）分，和三种情况，根据等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解；如图所示， ∵垂直平分， ∴， 在图①中， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵点M在的平分线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由平移的性质可得， ∵，即， ∴， ∵点N为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：存在，理由如下： 当时， 过点B作于G， 在图①中，∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点E与点G重合， ∵，， ∴， ∴； 当时，则； 当时， 则点F在的垂直平分线上， ∴同理可得， ∴； 综上所述，t的值为或6或9． 类型九、等腰三角形的新定义 【解惑】【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∴ 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，，则 ______； (2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． (4)在中，，，是边上的高． 求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)①；②， 【分析】本题主要考查了等高三角形的定义、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． （1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． （4）①设，利用含30度角的直角三角形的性质分别求得，，然后根据“等高三角形”的面积关系可得结论； ②根据①中面积关系求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于E， 则，， ∴； （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴； （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （4）解：如图，设， ∵在中，，，是边上的高， ∴，， ∴， ∴，则， ∵与是等高三角形， ∴； ②∵，， ∴， ． 【融会贯通】 1．定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”．例如，在图1中，与有公共边和公共角，且，则与是双赢三角形．如图2，在中，是边上任意一点． (1)若和是“双赢三角形”，，则 ； (2)如图3，延长到点，连接和，，，． ①试说明：与是“双赢三角形”； ②若，，求的长； ③若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角性质，熟练掌握相关的知识和方法并读懂新定义概念是解题的关键． （1）利用新定义可得，根据等边对等角求解； （2）①根据证明可得，据此证明即可； ②由得，再利用线段和差求解即可； ③根据等腰三角形的性质，结合外角性质求，再利用等腰三角形的性质求，最后利用角的和差求解即可． 【详解】（1）∵和是“双赢三角形”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴与是“双赢三角形”； ②由①得， ∴， 又∵， ∴； ③由①得， ∴， ∵， ∴， 由②得， ∴， 由由①得， ∴， ∴． 2．阅读与思考 下面是奋进小组在模拟练习过程中对已有练习试题进行的研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 背景：翻阅资料了解到一个新名词“等垂四边形”．定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． 任务： (1)如图2．如图3，已知四边形为等垂四边形，，． 在图2中，若，，则的度数为_______； 在图3中，若，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由． (2)如图4，已知锐角，请你在图中作等垂四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)；四边形是等垂四边形，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等垂四边形定义和四边形内角和求解，即可解题；利用平行线性质和角平分线定义得到，再由即可得证； （2）由等垂四边形可知D的大概位置，再根据等垂四边形定义作图即可。 【详解】（1）解： ； ，， ， ， ， ， 故答案为：； 四边形是等垂四边形， 理由如下： ， ， 分别平分，， ，， ， ， ，即． 又， 四边形是等垂四边形． （2）如图，四边形即为所求作的等垂四边形． 过A点，作，与交于D点． 【点睛】本题考查四边形内角和、新定义的理解和运用、平行线性质、角平分线性质，尺规作图等，弄清题目中“等垂四边形”的意思是解题的关键． ． 3．综合与实践 【问题情景】在一节综合与实践课上，范老师提出这样一道数学问题：“把一张底角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．”小明思考了一会后给出了一种剪法，如图所示． 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 【实践操作】请你在备用图中再画出一种剪法的三分线，并标注每个等腰三角形底角的度数； 【解决问题】请你在图中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形底角的度数． 【答案】[实践操作]见解析；[解决问题] 见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和与外角的性质； [实践操作]仿照例题，根据要求作出图形即可； [解决问题]根据要求作出图形即可． 【详解】[实践操作] 三分线如图所示： [解决问题] 图形如图所示： 类型十、无刻度尺作图 【解惑】如图，在中，于点，点分别在与上，连接．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，在上画点，使点与点关于对称； (2)在图2中，在上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）连接交于点，由等腰三角形三线合一的性质可知，，则，连接并延长交于点，可证，则进而得出，即点即为所作； （2）连接并延长交于点，由（1）可得，，再结合对顶角相等得，则，即点即为所作． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所作； （2）解：如图2所示，点即为所作． 【融会贯通】 1．请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴 (1)如图1，在四边形中，，； (2)如图2，三个等边三角形如图所示放置，且点、、在一条直线上． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查画对称轴，解题的关键是熟练掌握对称轴的定义． （1）过点和点作直线即可； （2）连接，，交于点，过点和点作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线为所求， 证明：连接，作直线， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴直线为轴对称图形的对称轴． （2）解：如图，直线为所求， 证明：连接，，交于点，作直线，交于点， ∵、、均为等边三角形， ∴，，，，，， ∴，，，，，， ∴点为的中点，，，， ∴ ∴，， ∴，， ∴， ∴直线为线段和线段的垂直平分线， ∴直线为轴对称图形的对称轴． 2．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均是格点．在内部找一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，连接、、，使； (2)在图②中，连接、、，使； (3)在图③中，连接、、，使，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，线段垂直平分线的性质、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）满足条件的点在的垂直平分线上，且，由此作图即可； （2）满足条件的点在的垂直平分线上，且在的垂直平分线上，由此作图即可； （3）满足条件的点在的垂直平分线上，作边的中线，交的垂直平分线于，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所作， （2）解：如图，点即为所作， （3）解：如图，作边的中线，交的垂直平分线于，点即为所作， ， ∵为边边的中线， ∴，， ∴，即． 3．如图，“T”字形图案由两个全等的矩形拼成，E，F是的三等分点，是矩形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作等腰直角三角形，其中为腰． (2)在图2中作线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可； （1）由题意得，推出，得到，进一步得，即可完成作图； （2）连接，得到的中点；根据（1）可得，过点作，即可完成作图． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作： （2）解：如图所示，即为所求作： 6 学科网（北京）股份有限公司 $$