专题24.3 三角形一边的平行线（10大题型+能力提升）　 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义（沪教版五四制）

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题24.2 三角形一边的平行线 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么． 2、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点、分别在的边、上， ，那么． 3、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//． 6、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． B C D E F G 7、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等． 题型01：三角形一边的平行线性质定理及推论—A字型X字型 【例1】（2024-25松江区校级月考）在中，点、分别在线段、的延长线上，平行于，，，，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵，，， ∴ ∴ 故答案为：8． 【例2】（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【分析】根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意． 【解答】解：当时，无法判断AD∥BC，故选项A不符合题意； 当＝时，∠AFB＝∠DFE，则△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但无法判断AD∥BC，故选项B不符合题意； 当时，无法判断AD∥BC，故选项C不符合题意； 当时，∠FED＝∠BEC，则△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判断判断AD∥BC，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【例3】（2023秋•浦东新区期末）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判定即可． 【解答】解：A．∵DE∥BC， ∴＝， ∴＝，故本选项符合题意； B．∵DF∥AC， ∴＝，故本选项不符合题意； C．∵DE∥BC， ∴＝， ∴＝， 即＝，故本选项不符合题意； D．∵DE∥BC，DF∥AC， ∴，， ∴＝，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的性质，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【例4】（22-23九年级上·崇明部分学校联考·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【例5】（2024-25松江区校级月考）如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠AFB=∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=3，又FD=2， ∴BC=AD=AF+FD=5， ∵AD∥BC， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 题型02：A型与X字型综合 【例6】（2024-25普陀区校级月考）如图，点E、F分别在线段、上，，，，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；连接，延长交于点H，然后由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故答案为3． 【例7】（2024-25奉贤区校级月考）如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例得比值是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【例8】（2025·上海嘉定·一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，分别求出线段之间的数量关系，逐一计算，比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∵， ∴的差最大； 故选D． 题型03：三角形一边的平行线判定定理及推论 【例9】（2022秋•嘉定区校级期末）如果点H、G分别在△DEF中的边DE和DF上，那么不能判定HG∥EF的比例式是（　　） A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DE C．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【解答】解：A、当DH：EH＝DG：GF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意； B、当HG：EF＝DH：DE，不能判定HG∥EF，本选项符合题意； C、当EH：DE＝GF：DF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意； D、当DE：DF＝DH：DG，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【例10】（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 【例11】（2024-25金山区校级月考）如图，、相交于点，下列条件中能判断∥的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各项分析判断后利用排除法求解. 【详解】A.AO与DO，BO与CO不是对应线段，不能判定CD∥AB，故错误； B.AO与CO，AB与CD不是对应线段，不能判定CD∥AB，故错误； C. 能判定CD∥AB，故错误； D.能判定CD∥AB，正确； 故选D. 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据图形进行分别判断. 【例12】（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，如果，那么，这个命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】当是的中点，是的中点时，，但不平行，也不平行，从而得出是假命题． 【详解】解：是假命题，理由如下： 当是的中点，是的中点时，，但不平行，也不平行，所以这是个假命题； 如图， 故答案为：假． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理和命题的真假，注意找准对应关系，得出正确答案 题型04：已知比例线段中的三条线段，求作另一条未知线段 【例13】（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 【例14】（2023·上海闵行·校联考模拟预测）已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A．由平行线分线段成比例可得，即，故A选项错误； B．由平行线分线段成比例可得，即，故B选项错误； C．由平行线分线段成比例可得，，即，故C选项正确， D．由平行线分线段成比例可得，即x＝，故D选项错误． 故选C． 【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理,根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键. 【例15】（2023秋•浦东新区校级期中）已知线段、，求作线段，使，正确的作法是　　 A． B． C． D． 【分析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段、和，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段． 【解答】解：由题意， ， 线段没法先作出， 选项错误， 根据平行线分线段成比例定理，只有符合． 故选：． 【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意找准线段的对应关系．需要注意选项看似正确，实际上前面的线段没法作出，应该先作出已知线段，所以很多学生容易误选导致出错． 题型05：平行线分线段成比例定理—梯子型梯子交叉型 【例16】（2025·上海松江·一模）如图，已知直线、、分别与直线交于点，与直线交于点，如果，，．那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线截线段成比例的计算方法，找准线段的比是解题的关键． 根据，，得到，由，得，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：4 ． 【例17】（2022秋•闵行区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（　　） A． B． C． D． 【分析】由AB∥CD∥EF，可得出＝，代入AC＝3CE，BF＝10，即可求出DF的长． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴＝， 即＝， ∴DF＝． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【例18】（2024-25闵行区校级月考）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 【例19】（2025·上海虹口·一模）如图，直线，如果，，那么长 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式计算即可，灵活运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例20】（2023•长宁区一模）如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的长等于 　　． 【分析】由AD∥BE∥CF，可得＝，即＝，可解得DF＝18，从而EF＝DF﹣DE＝12． 【解答】解：如图： ∵AD∥BE∥CF， ∴＝， ∵AB＝5，DE＝6，AC＝15， ∴＝， 解得DF＝18， ∴EF＝DF﹣DE＝18﹣6＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式． 题型06：三角形的重心概念及性质 【例21】（2023•青浦区一模）三角形的重心是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条高的交点 【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果． 【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 故选：B． 【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点． 【例22】（2022秋•杨浦区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC的长为　　． 【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【解答】解：如图，延长AG交BC于点D． ∵点G是△ABC的重心，AG＝4， ∴点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4， ∴DG＝2， ∴AD＝AG+DG＝6， ∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线， ∴BC＝2AD＝12． 故答案为12． 【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．同时考查了直角三角形的性质． 【例23】（2022秋•徐汇区期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，设点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，则两重心E与F之间的距离是 　　． 【分析】取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．根据含30度角的直角三角形的性质求出AC＝2BC＝2，利用勾股定理得出AB＝，根据等边三角形的性质得出CD＝AD＝AC＝2，∠CAD＝60°，那么∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，利用勾股定理求出BD＝．然后证明△EOF∽△BOD，得出EF＝BD＝． 【解答】解：如图，取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF． 在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1， ∴AC＝2BC＝2，AB＝＝＝， ∵△ACD是等边三角形， ∴CD＝AD＝AC＝2， ∴∠CAD＝60°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°， ∴BD＝＝＝． ∵点E、F分别是△ABC和△ACD的重心， ∴＝＝， 又∠EOF＝∠BOD， ∴△EOF∽△BOD， ∴＝＝＝， ∴EF＝BD＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重心的定义与性质，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键． 题型07：有关面积问题 【例24】（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，在梯形中，，对角线相较于点O，已知的面积为2，的面积为4，那么 ． 【答案】 【分析】根据的面积为2，的面积为4，得出，根据，得出即可． 【详解】解：∵的面积为2，的面积为4， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据同高的两个三角形的面积之比等于两个三角形的底之比求出． 【例25】如图，中，E是边的中点，交对角线于点F，那么的值为 ． 【答案】/0.2 【分析】证明，推出，设，则，，求出四边形的面积，可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ E是边的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ； 故答案为：． 【例26】（2022春·上海普陀·九年级校考期中）如图，中，E是边的中点，交对角线于点F，那么的值为____． 【答案】/0.2 【分析】证明，推出，设，则，，求出四边形的面积，可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ E是边的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 题型08：几何证明 【例27】（2023·上海闵行·校联考模拟预测）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，连接求证：． 【答案】见解析 【分析】延长到，使，连接、，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，于是，即，再根据平行线分线段成比例定理1的推论得出，同理，等量代换得到，然后根据平行线分线段成比例定理2即可证明． 【详解】证明：如图，延长到，使， 连接、． 是的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， ， 同理， ， ． 【例28】（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F． 求证：． 【答案】见解析 【分析】由GF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AB∥CD，继而可证得，则可证得结论． 【详解】证明：∵GF∥BC， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴， ∴． 点评：此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 【例29】（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由，推出，得到，即可得到； （2）由，推出，由，推出，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型09：构造平行线求值 【例30】（2022秋•奉贤区期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm． （1）求DE、DF的长； （2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的长． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解； （2）过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．求出BJ，可得结论． 【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3， ∴＝， ∴＝， ∴DE＝（cm）， ∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）． （2）如图，过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm． ∴CK＝CF﹣FK＝40cm， ∵BJ∥CK， ∴＝， ∴＝， ∴BJ＝15cm， ∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 【例31】（22-23九年级上·上海金山·期中）如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么 ． 【答案】/1:2 【分析】根据题意先过D作BF的平行线，交AC边于G，得出DG∥BF，再根据D为BC中点可得出△CDG∽△CBF，即，CG=FC=FG；同理得出△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，从而得出AF=FG=GC，即可得出的值． 【详解】解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示： ∵D为BC中点，DG∥BF， ∴∠CGD=∠CFB， 又∵∠C=∠C， ∴△CDG∽△CBF， ∴，即：CG=CF=FG， 又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF， 同理可得：△AEF∽△ADG， ∴，即：AF=AG=FG， ∴AF=FG=GC， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解． 【例33】（2023春·陕西西安·九年级校考期末）如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为 ． 【答案】8:5 【分析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到，则CE=DF，由DF∥AE得到，则AE=4DF，然后计算的值． 【详解】过点D作DF∥CA交BE于F，如图， ∵DF∥CE， ∴， 而BD：DC=2：3， ∴，则CE=DF， ∵DF∥AE， ∴， ∵AG：GD=4：1， ∴，则AE=4DF， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【例34】（2023春·广东深圳·九年级深圳市南山外国语学校校联考期中）如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是 ． 【答案】 【分析】过点P作交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论． 【详解】如图：过点P作交DC延长线于点E， 在和中 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式． 【例35】如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形中位线，角平分线的定义，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．过点作交的延长线于点，先利用平行线的性质以及角平分线的定义，证明，再证明为的中位线，从而得到，最后算出的长度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示 ，是的平分线 ， 又是中点 为的中位线 ， 故答案为：4． 题型10：综合提升 【例36】如图，在平行四边形中，连接，点E是上一点，交于点F．若，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长、交于点G，由可得，由两直线平行同位角相等可得，由平行四边形的性质可得，，即，由两直线平行内错角相等可得，，再结合，可证得四边形是平行四边形，于是可得，，由平行线分线段成比例定理可得，设，则，，，，在中，根据勾股定理可得，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的值，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，延长、交于点G， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，即， ，， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 设，则，，，， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【例37】如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，所以，即＝，于是可判断； （2）先利用得到＝，则可设，再由得到，，所以，接着由得到，于是可设，则，然后证明四边形为平行四边形得到，最后利用得到，求出a从而得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理．平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 【例38】如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G． (1)当时，求DP的长． (2)如图2，点E为BP中点，连接EF． ①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． ②连接DE和PF，若，求DP长. 【答案】(1)2 (2)①；②或4． 【分析】（1）设，勾股定理求得，根据已知等式建立方程，解方程求解即可； （2）①连接DE并延长交BC于点M，过D作于点H，证明，勾股定理求得，，，，代入化简整理即可求得函数解析式； ②当时，四边形DEFP为平行四边形，当时，四边形DEFP为等腰梯形，过E作于点Q，，由，，根据平行线分线段成比例可得,则，解方程求解即可． 【详解】（1）设， ∵在直角三角形ABP中，，，， ∴. ∵. ∴， 解得：， ∴DP=2； （2）①连接DE并延长交BC于点M， ∵F为DC的中点，， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， 过D作于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴. ②∵，， 当时，四边形DEFP为平行四边形． ∴， ∴. 当时，四边形DEFP为等腰梯形， 过E作于点Q，. ∵，， ∴， ∴. ∴， 解得：. ∴PD的长为或4. 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键． 一、选择题 1．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，下列式子不一定能推得的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】A．，能推得，故不符合题意； B． ，能推得，故不符合题意； C． ，能推得，故不符合题意； D． ，不能推得，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应边是解题关键． 2.（2023春·山西晋城·九年级统考期末）如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵DGBC， ∴，故A选项错误； ∵DGBC， ∴，故B选项错误； ∵EHAB， ∴，故C选项正确； ∵EHAB， ∴，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质． 3.（2023春·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考期中）已知线段a、b、c，若求作线段x，使a∶b＝c∶x，则以下作图正确的是（    ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例，逐项分析即可 【详解】A.根据平行线分线段成比例，可得，故该选项不符合题意； B.根据平行线分线段成比例，可得，故该选项不符合题意； C.根据平行线分线段成比例，可得，故该选项不符合题意； D.根据平行线分线段成比例，可得，即，故该选项符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 4.（2023春·陕西商洛·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点F是上的点，，直线交于点E，交的延长线于点G，若则的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】由可以假设，得到，（k是正整数），根据平行四边形的性质得到，，，然后根据平行线分线段成比例来求解． 【详解】解：， 设， 则，（k是正整数）． 四边形ABCD是平行四边形， ，，， ， ． ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．理解相关知识是解答关键． 5．如图，在中，点、分别在边、上，，，那么等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得: ,然后根据等高的两三角形的面积比等于底之比,可得: S△ADE:S△BDE=, S△ABE:S△BCE=,设S△ADE=a,可得S△BDE=2a,从而求出S△BCE=6a,即可求出. 【详解】解:∵, ∴ ∵△ADE和△BDE等高 ∴S△ADE:S△BDE=,可设S△ADE=a,可得S△BDE=2a ∴S△ABE= S△ADE＋S△BDE=3a ∵△ABE和△BCE等高 ∴S△ABE:S△BCE= ∴S△BCE=6a 故选B. 【点睛】此题考查的是求三角形的面积比,掌握平行线分线段成比例定理和等高的两三角形的面积比等于底之比是解决此题的关键. 6．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，同理得到，计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 同理可得：， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 7．如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理等知识．过点F作交于点G，得到，进一步得到，由得到即可． 【详解】解：∵F是上的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 故选：C 2、 填空题 8．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，已知为角平分线，，如果，，那么______． 【答案】 【分析】由可得，再根据题干条件，即可求解． 【详解】解：∵， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 9．（2023·上海长宁·统考一模）如图，已知，，，那么的长等于______． 【答案】12 【分析】根据平行线分线段对应成比例，列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键． 10．（2017秋·上海·九年级校考期中）如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式解答即可． 【详解】∵， ∴， ∵，则 ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键． 11．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，在梯形中，，对角线相较于点O，已知的面积为2，的面积为4，那么_____________． 【答案】 【分析】根据的面积为2，的面积为4，得出，根据，得出即可． 【详解】解：∵的面积为2，的面积为4， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据同高的两个三角形的面积之比等于两个三角形的底之比求出． 12．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，四边形中，，如果，， ，则的长是__________． 【答案】// 【分析】根据平行线分线段成比例得出，求出，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确得出比例线段是解题的关键． 13．如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么线段的长是 ． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 14．如图，点D、F在线段上，点E、G在线段上，，，如果，那么的长为 ． 【答案】9 【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到，进而求出，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 15．如图，在中，是边上的中线，G是重心，，交于点E，则 ． 【答案】2 【分析】根据重心的概念得到，根据平行线分线段成比例定理解答． 【详解】解：是重心， ， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 16．如图，已知点在的边上，联结为上一点，过点分别作的平行线交于点如果，那么 ． 【答案】2 【分析】根据平行线分线段成比例性质可得，再由等比性质可得，即可得出． 【详解】解：∵PE∥AB，PF∥AC， ∴，． ∴． ∵BC＝3EF， ∴． ∴． ∴． 答案：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质，掌握平行线分线段成比例性质定理及等比性质是解答此题的关键． 17．如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为 ． 【答案】 【分析】首先证明EF：BC=1：3，再利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 【详解】解：，， ， 又，， ≌， ， ：：3， ：：4， ， 故答案为． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则= ． 【答案】1． 【分析】根据菱形的性质得出AD=DC=AB=BC=1，DC∥AB，BC∥AD，根据平行线分线段成比例定理求出，再相加即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DC=AB=BC=1，DC∥AB，BC∥AD， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1． 三、解答题 19．如图，在中，，，，，求． 【答案】4 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 20．已知，如图，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长． 【答案】DE=6，EF=10 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，得3：5=DE：（16-DE），即可求出DE的长，进而可得EF的长． 【详解】解：∵， ∴AB：BC=DE：EF， ∵AB=3，BC=5，DF=16， ∴3：5=DE：（16-DE）， ∴DE=6， ∴EF=16-6=10． 21．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行线间线段成比例即可求出答案； （2）如图，先将平移经过A点，把线段分成和两部分求解即可． 【详解】（1）∵直线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴长为，长为． （2）如图，将直线向左平移到直线交于H点，交于G点， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行线间线段成比例定理，熟练掌握线段中的比例关系是解题关键． 22．如图，是的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过作交于点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案； （2）如图，过作交于点，，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：如图，过作交于点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过作交于点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 23.（2023春·安徽滁州·九年级校考期中）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，． (1)求的长； (2)若，在上述条件和结论下，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，推出，由，推出，可得结论． （2）由，推出，可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键． 24．如图，为对角线上任意一点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而根据平行线分线段成比例定理得到，由此即可证明． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ， ， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 25．如图，已知在中，中线，交于点，交于点． (1)如果，求和的长． (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）结合重心的性质、平行线分线段成比例定理推得，将，代入可得，又，即可求得； （2）证明，由相似三角形的性质可得，再由重心性质得到，即可证明． 【详解】（1）解：中线，交于点， 点为重心， ， ， ， ，， ， ． （2）解：， ， 由（1）得， ， 点为重心， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是重心的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握重心的性质． 26．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： (1)还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (2)请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 【答案】(1)成立 (2) 【分析】（1）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果； （2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系． 【详解】（1）成立．证明：∵  ABEF, 所以, ∵CDEF, ∴, ∴=1, ∴, （2）关系式为:, 证明如下:分别过A作AM⊥BD于M,过E作EN⊥BD于N,过C作CK⊥BD交BD的延长线于K, 由题设可得:, ∴, 又∵•BD•AM=S△ABD, =S△BCD ∴BD•EN=S△BED, ∴. 【点睛】此题考查平行线分线段成比例定理的运用，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题24.2 三角形一边的平行线 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么． 2、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点、分别在的边、上， ，那么． 3、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//． B C D E F G 6、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 7、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等． 题型01：三角形一边的平行线性质定理及推论—A字型X字型 【例1】（2024-25松江区校级月考）在中，点、分别在线段、的延长线上，平行于，，，，那么 ． 【例2】（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【例3】（2023秋•浦东新区期末）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【例4】（22-23九年级上·崇明部分学校联考·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 【例5】（2024-25松江区校级月考）如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型02：A型与X字型综合 【例6】（2024-25普陀区校级月考）如图，点E、F分别在线段、上，，，，，那么 ． 【例7】（2024-25奉贤区校级月考）如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 【例8】（2025·上海嘉定·一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 题型03：三角形一边的平行线判定定理及推论 【例9】（2022秋•嘉定区校级期末）如果点H、G分别在△DEF中的边DE和DF上，那么不能判定HG∥EF的比例式是（　　） A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DE C．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG 【例10】（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【例11】（2024-25金山区校级月考）如图，、相交于点，下列条件中能判断∥的是（    ） A．B．C．D． 【例12】（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，如果，那么，这个命题是 命题（填“真”或“假”）． 题型04：已知比例线段中的三条线段，求作另一条未知线段 【例13】（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 【例14】（2023·上海闵行·校联考模拟预测）已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【例15】（2023秋•浦东新区校级期中）已知线段、，求作线段，使，正确的作法是　　 A． B． C． D． 题型05：平行线分线段成比例定理—梯子型梯子交叉型 【例16】（2025·上海松江·一模）如图，已知直线、、分别与直线交于点，与直线交于点，如果，，．那么 ． 【例17】（2022秋•闵行区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（　　） A． B． C． D． 【例18】（2024-25闵行区校级月考）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【例19】（2025·上海虹口·一模）如图，直线，如果，，那么长 ． 【例20】（2023•长宁区一模）如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的长等于 　　． 题型06：三角形的重心概念及性质 【例21】（2023•青浦区一模）三角形的重心是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条高的交点 【例22】（2022秋•杨浦区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC的长为　　． 【例23】（2022秋•徐汇区期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，设点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，则两重心E与F之间的距离是 　　． 题型07：有关面积问题 【例24】（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，在梯形中，，对角线相较于点O，已知的面积为2，的面积为4，那么 ． 【例25】如图，中，E是边的中点，交对角线于点F，那么的值为 ． 【例26】（2022春·上海普陀·九年级校考期中）如图，中，E是边的中点，交对角线于点F，那么的值为____． 题型08：几何证明 【例27】（2023·上海闵行·校联考模拟预测）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，连接求证：． 【例28】（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F． 求证：． 【例29】（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 题型09：构造平行线求值 【例30】（2022秋•奉贤区期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm． （1）求DE、DF的长； （2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的长． 【例31】（22-23九年级上·上海金山·期中）如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么 ． 【例33】（2023春·陕西西安·九年级校考期末）如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为 ． 【例34】（2023春·广东深圳·九年级深圳市南山外国语学校校联考期中）如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是 ． 【例35】如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，若，，则的长为 ． 题型10：综合提升 【例36】如图，在平行四边形中，连接，点E是上一点，交于点F．若，，，，则的长为 ． 【例37】如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【例38】如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G． (1)当时，求DP的长． (2)如图2，点E为BP中点，连接EF． ①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． ②连接DE和PF，若，求DP长. 一、选择题 1．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，下列式子不一定能推得的是（    ） A．； B．； C．； D．． 2.（2023春·山西晋城·九年级统考期末）如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2023春·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考期中）已知线段a、b、c，若求作线段x，使a∶b＝c∶x，则以下作图正确的是（    ） A． B．C．D． 4.（2023春·陕西商洛·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点F是上的点，，直线交于点E，交的延长线于点G，若则的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．如图，在中，点、分别在边、上，，，那么等于（    ）. A． B． C． D． 6．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 2、 填空题 8．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，已知为角平分线，，如果，，那么______． 9．（2023·上海长宁·统考一模）如图，已知，，，那么的长等于______． 10．（2017秋·上海·九年级校考期中）如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，则的长为__________． 11．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，在梯形中，，对角线相较于点O，已知的面积为2，的面积为4，那么_____________． 12．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，四边形中，，如果，， ，则的长是__________． 13．如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么线段的长是 ． 14．如图，点D、F在线段上，点E、G在线段上，，，如果，那么的长为 ． 15．如图，在中，是边上的中线，G是重心，，交于点E，则 ． 16．如图，已知点在的边上，联结为上一点，过点分别作的平行线交于点如果，那么 ． 17．如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为 ． 18．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则= ． 三、解答题 19．如图，在中，，，，，求． 20．已知，如图，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长． 21．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 22．如图，是的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求的值． 23.（2023春·安徽滁州·九年级校考期中）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，． (1)求的长； (2)若，在上述条件和结论下，求的长． 24．如图，为对角线上任意一点．求证：． 25．如图，已知在中，中线，交于点，交于点． (1)如果，求和的长． (2)求证：． 26．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： (1)还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (2)请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$