专题25.1 锐角三角比的意义（9大题型+能力提升） 【精英班课程】 2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题25.1 锐角三角比的意义 知识点一：正切和余切 1.正切：直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比 叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切：直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比 叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． 知识点二：正弦和余弦 1.正弦：直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比 叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦：直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比 叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． 知识点三：锐角的三角比的性质 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 题型01：锐角三角比的意义 【例1】在中，，那么锐角的正弦等于（ ） A． B． C． D．． 【例2】在中，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【例3】如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【例4】把△ABC的各边长都增加两倍，则锐角A的正弦值 ( ) A．增加2倍 B．增加4倍 C．不变 D．不能确定 题型02：几何图形中求锐角三角比 【例5】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC=5，则cosA的值是（ ） A． B． C． D． 【例6】如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【例7】已知在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，点G为重心，求tan∠GCB的值． 【例8】如图，在中，，则的值是 题型03：由文字语言求锐角三角比 【例9】在中，，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例10】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，则下列结论正确的是（　　） A．sin B＝ B．cos B＝ C．tan B＝ D．cot B＝ 【例11】在中，，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求、、和． 【例12】在中，，AC = 4，BC = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值． 【例13】在中，，，，那么直角边长为 ． 【例14】已知中，，是边上的高，．如果，那么 ． 题型04：直角坐标系中求锐角三角比 【例15】如图，已知正比例函数的图像上有一动点A，x轴上有一动点B，求和的值． 【例16】如图，在直角坐标平面内有一点P（2，3）．求OP与x轴正半轴的夹角的正弦和余弦的值． 【例17】在直角坐标平面内有一点A（3，1），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为，求、、和． 【例18】已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是 ． 【例19】在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ． 题型05：在网格中求锐角的三角比 【例20】如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ． 【例21】如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，那么的值为 ． 【例22】在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，M，C，N都在格点处，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值等于 ． 【例23】如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连结、相交于，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于 ．    题型06：多三角形中求锐角的三角比 【例24】如图，在中，，BDAC，若AB = 9，BC = 12，求sin A、、、cot C的值． 【例25】如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【例26】等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 【例27】已知在中，，，那么的正弦值等于 ． 题型07：由一个三角比求其他三角比 【例28】已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例29】在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【例30】已知，在中，，sin A =，求sin B的值． 【例31】在中，，BC = 3，tan A =，求的四个三角比的值． 题型08：锐角的三角比的性质 【例32】小杰在学完了《锐角三角比》知识后回家整理笔记，写下了下列四句话： （1）锐角的正弦的值的范围是； （2）根据正切和余切的意义，可以得到； （3）在△中，如=90°，则； （4）在△中，如=90°，则． 请你判断上述语句正确的个数是（ ） ．1个； ．2个； ．3个； ．4个． 【例33】在中，，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【例34】在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 【例35】已知，则的值约为（    ） A． B． C． D． 【例36】如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 题型09：综合提升 【例37】如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长是 ． 【例40】已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是 ． 【例41】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=6，现将△ABC沿ED翻折，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠BED的值是_____________． 【例42】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，求的值． 【例43】已知：△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D为边BC上一动点，△ABD的形状可由BD的长来确定． （1）若△ABD为直角三角形，求BD的长； （2）若△ABD为锐角三角形，求BD的取值范围； （3）若△ABD为钝角三角形，求BD的取值范围． 一、选择题 1．（24-25九上文来中学期中）在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 3．（2024秋•浦东新区校级期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（　　） A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝ 4．（24-25九上建平中学期中）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海金山·统考一模）在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 6．（24-25九上上海实验西校期中）⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 7．（2023秋•闵行区期中）已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，那么cosA的值是 　　． 8．（2024·上海宝山·统考一模）在中，若，，，则 ． 9．（2024秋•宝山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，那么sinA的值是 　． 10.（2024秋·江苏盐城·九年级校联考期末）已知是锐角，且，则 ． 11．（2024·上海徐汇·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 12．（2024·上海徐汇·统考一模）如图，在中，和是的高，且交于点，已知，，，那么的正切值是 ． 13．（2024·上海金山·统考一模）如果是直角三角形的一个锐角，，那么 ． 14．（2024·上海奉贤·统考一模）如图，已知在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么的正切值为 ． 15．（2025·上海黄浦·一模）在中，已知，，那么的值为______ 16．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）已知，正方形的边长为，点是直线上一点．若，则的值是 17．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，于，如果，那么的值是 ． 18．（2025·上海杨浦·一模）已知矩形（），点是边的中点，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上，那么 ． 三、解答题 19．（24-25九上格致中学期中）已知， 其中为锐角，求、、的値． 20．（2024·上海宝山·统考一模）如图，在中，，，，点D是边上一点，且． (1)求的长； (2)求的余切值． 21．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 22．（2025·上海崇明·模拟预测）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题25.1 锐角三角比的意义 知识点一：正切和余切 1.正切：直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比 叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切：直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比 叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． 知识点二：正弦和余弦 1.正弦：直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比 叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦：直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比 叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． 知识点三：锐角的三角比的性质 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 题型01：锐角三角比的意义 【例1】在中，，那么锐角的正弦等于（ ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果． 【详解】在中，，那么锐角的正弦=， 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义． 【例2】在中，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出草图，根据锐角的正弦=列式即可． 【详解】解：如图，∵∠C=90°， ∴cosA=． 故选：B． ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【例3】如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】由于锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正切的定义得到锐角的正切函数值也不变． 【详解】解：因为锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变， 所以锐角的正切函数值也不变． 故选：C． 【点睛】本题考查了正切的定义，解题的关键是掌握在直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值． 【例4】把△ABC的各边长都增加两倍，则锐角A的正弦值 ( ) A．增加2倍 B．增加4倍 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】设锐角△ABC的三边长为a，b，c，AC边上的高为h，则sinA=，如果各边长都扩大2倍，则AC边上的高为2h，则sinA=即可得出答案． 【详解】解； 设锐角△ABC的三边长为a，b，c，AC边上的高为h，则sinA=， 如果各边长都扩大2倍，则AC边上的高为2h， ∴sinA=， 故∠A的正弦值大小不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握锐角三角函数的定义． 题型02：几何图形中求锐角三角比 【例5】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC=5，则cosA的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：AB===13 则cosA==   故选C． 【点睛】本题考查勾股定理以及三角函数，解题关键是理解三角函数的定义． 【例6】如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【解析】解：，， 故选A． 【例7】已知在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，点G为重心，求tan∠GCB的值． 解：延长CG交AB于D，则D为AB中点；作，∵ ∴∴E为BC中点 ∴ CE=4 ∵，D为AB中点 ∴ ∴ 方法二：利用等角B，解决问题。 【例8】如图，在中，，则的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，含30度直角三角形的性质，过点C作交的延长线与点D，先得出，再由含30度直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：过点C作交的延长线与点D， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 题型03：由文字语言求锐角三角比 【例9】在中，，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查锐角三角函数定义，根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：已知，，， ∴， ∴A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； A、，故选项正确； 故选：D． 【例10】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，则下列结论正确的是（　　） A．sin B＝ B．cos B＝ C．tan B＝ D．cot B＝ 【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义解答． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3， ∴BC＝2， ∴sinB＝，cosB＝，tanB＝＝，cotB＝2． 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【例11】在中，，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求、、和． 【答案】． 【解析】本题条件充足，三条边都给了，并且是直角三角形，画示意图（略）直接求得 ． 【例12】在中，，AC = 4，BC = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值． 【答案】． 【解析】画示意图（略），由勾股定理，得,， ． 【总结】考查锐角的正弦和余弦． 【例13】在中，，，，那么直角边长为 ． 【答案】4 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题考查解直角三角形．先根据余弦定义求得即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， 故答案为：4． 【例14】已知中，，是边上的高，．如果，那么 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了余切的定义，根据已知可得，进而根据余切的定义，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 中，，是边上的高， ∴ ∵． ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 题型04：直角坐标系中求锐角三角比 【例15】如图，已知正比例函数的图像上有一动点A，x轴上有一动点B，求和的值． 【答案】． 【解析】过点A作AC垂直于轴，设， 且点A在第一象限，所以， 因为，所以． 【总结】考查锐角的正切和余切，当没有直角三角形时，需要构造直角． 【例16】如图，在直角坐标平面内有一点P（2，3）．求OP与x轴正半轴的夹角的正弦和余弦的值． 【答案】． 【解析】过点P作PH垂直于轴，则 由勾股定理，得，． 【总结】考查作垂线构造直角三角形求解锐角的正弦和余弦． 【例17】在直角坐标平面内有一点A（3，1），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为，求、、和． 【答案】． 【解析】画示意图，过点A作AH垂直于轴，垂足为H， ∵，∴，由勾股定理，得， 根据三角比的意义，得． 【总结】结合坐标系考查三角比的意义，过点向坐标轴作垂线构造直角三角形． 【例18】已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正弦函数．在直角坐标系中，过作轴，构造直角三角形，可得直线与轴夹角的正弦值． 【详解】解：过作轴，交轴于点，则， ∵， ∴， 在中，， 直线与轴夹角的正弦值， 故答案为：． 【例19】在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长 【分析】过点P作轴于点M，利用三角函数的定义，勾股定理，点的坐标的意义解答． 本题考查了正弦函数的应用，勾股定理，坐标的确定，熟练掌握正弦函数，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 题型05：在网格中求锐角的三角比 【例20】如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了三角形函数、勾股定理．首先根据网格求出三角形的三边，在三角形中过点作，利用三角形的面积公式求出的长度，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作， 在中，，， ， 当以为的底边时，对应的高为， ， ， 解得：， ． 故答案为： ． 【例21】如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，那么的值为 ． 【答案】 【分析】如图，向下2个格点，向右2个格点为，连接，，设正方形的边长为，由勾股定理得，，，由，可知是直角三角形，，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，向下2个格点，向右2个格点为，连接，， 设正方形的边长为， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦，平行线的性质．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦，平行线的性质是解题的关键． 【例22】在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，M，C，N都在格点处，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值等于 ． 【答案】 【分析】连接MN．设小正方形的边长1．利用相似三角形的性质证明∠CPN=45°即可解决问题． 【详解】解：连接MN．设小正方形的边长1． ∵△MNF是等腰直角三角形， ∴∠FMN＝∠FNM＝45°， ∴∠AMN＝∠MNC＝135°， ∵MN＝，AM＝2．CN＝1， ∴＝＝， ∴△ANM∽△MCN， ∴∠MAN＝∠CMN， ∵∠NMF＝∠MAN+∠ANM＝45°， ∴∠CPN＝∠PMN+∠PNM＝45°， ∴cos∠CPN＝， 故答案为． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 【例23】如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连结、相交于，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、求余弦值、平行四边形的判定及性质，由题意得由勾股定理求得各边的长度，易知四边形是平行四边形，，进而可知，，得，再结合余弦的定义进行求解是解决问题的关键． 【详解】解：由可知，，， ，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 则， 故答案为：． 题型06：多三角形中求锐角的三角比 【例24】如图，在中，，BDAC，若AB = 9，BC = 12，求sin A、、、cot C的值． 【答案】． 【解析】由勾股定理，得，∵, 可知，∴ ，． 【例25】如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义计算判断即可． 【解析】解：A、由，故该项错误，不符合题意； B、由，故该项错误，不符合题意； C、由，故该项错误，不符合题意； D、由，故该项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键． 【例26】等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 【答案】3 【知识点】重心的有关性质、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半、求角的正切值 【分析】设与交于Q，连接并延长交于点，由题意得，点为的重心，则为中点，，则为等腰直角三角形，设，则，即可求解． 【详解】解：设与交于Q，连接并延长交于点， 由题意得，点为的重心， ∴为中点， ∵， ∴， ∵，为中点 ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴设，则， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 【例27】已知在中，，，那么的正弦值等于 ． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题主要考查了正弦的定义，等腰三角形的性质等知识，过点A作于点H，过点C作于点K．根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，再根据等面积法求出，再根据三角形正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，过点C作于点K． ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为∶． 题型07：由一个三角比求其他三角比 【例28】已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查求锐角三角函数值，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，，； 故选A． 【例29】在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：B． 【例30】已知，在中，，sin A =，求sin B的值． 【答案】． 【解析】在中，， ∴． 【总结】考查锐角三角比之间的相互转换，运用了“设法”． 【例31】在中，，BC = 3，tan A =，求的四个三角比的值． 【答案】． 【解析】已知,又∵，∴， 由勾股定理，得，根据正弦、余弦、正切、余切的定义得 ． 【总结】考查锐角的三角比的基础运用． 例3．在中，，sin B =，求、、和． 【答案】． 【解析】∵，∴设，由勾股定理，得,由三角比的定义 得． 【总结】考查“设法”求锐角的三角比的值． 题型08：锐角的三角比的性质 【例32】小杰在学完了《锐角三角比》知识后回家整理笔记，写下了下列四句话： （1）锐角的正弦的值的范围是； （2）根据正切和余切的意义，可以得到； （3）在△中，如=90°，则； （4）在△中，如=90°，则． 请你判断上述语句正确的个数是（ ） ．1个； ．2个； ．3个； ．4个． 答案： D 【例33】在中，，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各个三角函数的定义即可解答． 【解析】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合题意； B、，∴，故B成立，符合题意； C、，∴，故C不成立，不符合题意； D、，∴，故D不成立，不符合题意； 故选：B．    【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法． 【例34】在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的概念表示出，，所以；再根据三角形的三边关系进行分析． 【解析】解：设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是． 根据锐角三角函数的概念，得 ，． 所以， 再根据三角形的三边关系，得， 故的值大于1． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，首先理解锐角三角函数的概念，再结合三角形的三边关系进行分析． 【例35】已知，则的值约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的正弦值和余弦值都是的的值，因此值相等． 【解析】 ∴ 故选：D 【点睛】此题考查锐角三角形函数值，解题关键是分清锐角三角函数中的对边，邻边和斜边分别是哪条边． 【例36】如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 题型09：综合提升 【例37】如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长是 ． 【答案】或2 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】由三线合一可得，进而求出各边长，然后根据是直角三角形分类讨论，当时或时，画出图形，利用特殊角求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是中点， ∴，即， ∵， ∴，，， ∵线段绕点顺时针旋转得到对应线段， ∴， ∴，，， ①当时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 此时，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形的计算，掌握等腰三角形的性质，解直角三角形的计算，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 【例40】已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．分两种情况讨论，根据矩形的性质得出，，则，根据折叠的性质得出，，设，则，根据直角三角形的性质及三角形外角性质推出，则，或，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，交于点O，，， ∵四边形是矩形， .∴，， ， 根据折叠的性质得，，， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 即∠BDE的正切值是； 如图，交于点O，，， 同理得， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 即的正切值是； 综上，的正切值是或， 故答案为：或． 【例41】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=6，现将△ABC沿ED翻折，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠BED的值是_____________． 【答案】； 【分析】由翻折的性质可知ED⊥AB，∠DEA=∠DEB，然后可证明∠BED=∠ABC，最后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由翻折的性质可知：ED⊥AB，∠DEA=∠BED． ∵∠A+∠DEA=90°，∠CBA+∠A=90°， ∴∠DEA=∠CBA． ∴∠BED=∠CBA． ∴tan∠BED=tan∠CBA= ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、锐角三角函数的定义，证得∠BED=∠CBA是解题的关键． 【例42】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，求的值． 【答案】． 【解析】由题意，得，因为翻折，所以， 设，在直角三角形BCE中，， 即，解得，所以，所以． 【总结】考查图形运动——翻折，利用翻折的性质求解锐角三角比． 【例43】已知：△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D为边BC上一动点，△ABD的形状可由BD的长来确定． （1）若△ABD为直角三角形，求BD的长； （2）若△ABD为锐角三角形，求BD的取值范围； （3）若△ABD为钝角三角形，求BD的取值范围． 【答案】（1）△ABD是直角三角形时，BD＝4或,（2）△ABD为锐角三角形时，4＜BD＜,（3）△ABD是钝角三角形时，0＜BD＜4或＜BD≤8． 【分析】（1）对△ABD为直角三角形分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质和锐角三角函数，即可得出BD的长； （2）由（1）的数据和图形，再根据△ABD为锐角三角形，即可得出BD的取值范围； （3）由（1）的数据和图形，再根据△ABD为钝角三角形，即可得BD的取值范围． 【详解】（1）如图，∵△ABD是直角三角形， ∴①当∠AD'B＝90°时， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴BD'＝BC＝4， 当∠BAD＝90°时， 在Rt△ABD'中，cosB＝＝， 在Rt△BAD中，tanB＝＝， ∴BD＝AB＝＜BC， 即：△ABD是直角三角形时，BD＝4或； （2）∵△ABD为锐角三角形， ∴4＜BD＜； （3）∵△ABD为钝角三角形， 当∠ADB＞90°时，0＜BD＜4， 当∠BAD＞90°时，BD＞， ∵D在边BC上， ∴BD≤8， ∴＜BD≤8， 即：△ABD是钝角三角形时，0＜BD＜4或＜BD≤8． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，求出直角三角形ABD时，BD的值是解本题的关键． 一、选择题 1．（24-25九上文来中学期中）在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA． 【解析】解：∵∠C=90°， ∴=， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义． 2．（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【答案】C 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 3．（2024秋•浦东新区校级期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（　　） A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝ 【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义逐一判断即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝＝3， ∴sinA＝＝，故A不符合题意； cosA＝＝，故B符合题意； tanA＝＝，故C不符合题意； cotA＝＝，故D不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九上建平中学期中）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【解析】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 5．（2024·上海金山·统考一模）在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解直角三角形，过点作轴于点，则，，再由正切的定义得到，则． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选A． 6．（24-25九上上海实验西校期中）⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义就可以解决． 【解析】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义： A、∵tanA=，cotA=， ，∴ ，故成立； B、∵tanA=，cotB=， ，∴ ，故不成立； C、∵tanA=，cotB=，∴，故不成立； D、∵cotA= ，tanB=，∴，故不成立； 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，结合图形容易求解． 2、 填空题 7．（2023秋•闵行区期中）已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，那么cosA的值是 　　． 【分析】根据余弦的定义即可求解． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴cosA＝＝＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦函数的定义，正确记忆定义是解题的关键． 8．（2024·上海宝山·统考一模）在中，若，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理的逆定理“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形”，判定是直角三角形，再根据直角三角形中余弦的定义“角的邻边比斜边”，计算即可． 【详解】解：∵在中，若，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴是斜边，所对的角是直角，即是直角， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、求角的余弦值，掌握勾股定理的逆定理的运用和余弦的定义是解题的关键． 9．（2024秋•宝山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，那么sinA的值是 　． 【分析】根据题意设AC＝3k，则BC＝4k，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：由于在Rt△ABC中，∠C＝90°，， 可设AC＝3k，则BC＝4k， 由勾股定理可得，AB5k， ∴sinA， 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键． 10.（2024秋·江苏盐城·九年级校联考期末）已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】根据cosA=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值． 【详解】解：由cosA=知， 如果设b=5x，则c=13x，结合a2+b2=c2得a=12x； ∴ ． 故， 【点睛】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 11．（2024·上海徐汇·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过P作轴于N，轴于M，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，轴于M，则，    ∵点， ∴，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键． 12．（2024·上海徐汇·统考一模）如图，在中，和是的高，且交于点，已知，，，那么的正切值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求正切值，勾股定理；利用勾股定理求出的长，再将转化成即可解决问题． 【详解】解：令， 在中，． 在中，． 则， 解得， 则 ． 又因为，， 所以． 在中， ； 故答案为：． 13．（2024·上海金山·统考一模）如果是直角三角形的一个锐角，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正弦和正切的知识，熟练掌握正弦和正切的定义是解题关键．由题意可知，，可设，则，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如下图， 由题意可知，， 设，则， ∴． 故答案为：． 14．（2024·上海奉贤·统考一模）如图，已知在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理及三角形函数的性质等知识点，构建合适的直角三角形即可解决问题，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 【详解】连接，如图所示， 易得是直角三角形， 由勾股定理得， ， 在中， ． 故答案为：． 15．（2025·上海黄浦·一模）在中，已知，，那么的值为______ 【分析】此题考查了解直角三角形，关键是熟练锐角三角函数的定义．画出图形，表示出，再根据的定义求解即可 【详解】解：如图所示，，    则． 16．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）已知，正方形的边长为，点是直线上一点．若，则的值是 【答案】或 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及正方形的性质，解题的关键是利用图形考虑此题有两种可能，要依次求解． 本题可以利用锐角三角函数的定义在直角三角形中分两种情况求解即可． 【详解】解：此题有两种可能： 当点在线段上时， ，， ， ， ∴， ； 当点在线段的延长线上时， ，， ， ， ∴， ； 故答案为：或． 17．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，于，如果，那么的值是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，则，再根据锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2025·上海杨浦·一模）已知矩形（），点是边的中点，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上，那么 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、求角的正切值 【分析】延长交于点，连接，由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，由折叠的性质可得，，，由等边对等角可得，利用邻补角互补可得，由对顶角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，由点是边的中点可得，进而可得，利用可证得，于是可得，进而可得，则，，即，，，利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， ， 将沿翻折，点落到点处， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求角的正切值，矩形的性质，两直线平行内错角相等，折叠的性质，等边对等角，利用邻补角互补求角度，对顶角相等，等角对等边，线段中点的有关计算，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 三、解答题 19．（24-25九上格致中学期中）已知， 其中为锐角，求、、的値． 【答案】，， 【分析】根据已知锐角α的正弦，设α的对边=2k，直角三角形的斜边=3k，由勾股定理求出α的邻边=k，根据锐角三角函数的定义求解即可． 【解析】∵ ∴设α的对边=2k，直角三角形的斜边=3k，由勾股定理求出α的邻边=k， ∴，，． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，解题关键是熟练掌握三角函数定义． 20．（2024·上海宝山·统考一模）如图，在中，，，，点D是边上一点，且． (1)求的长； (2)求的余切值． 【答案】(1)6 (2)2 【分析】本题考查解直角三角形，熟知三角函数的定义并构造出合适的直角三角形是解题的关键． （1）根据的正弦值，求出的长，再利用勾股定理求出即可解决问题． （2）过点作的垂线，在所构造的直角三角形中，求出的邻边和对边即可解决问题． 【详解】（1）解：∵在中，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）过点作的垂线，垂足为，由得，． ∵， ∴， ∴， 即， 得， 在中， ∴的余切值为2． 26．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【解析】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．（2025·上海崇明·模拟预测）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果； ①由上计算可想到在中，，都有； ②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ③∵， ∴ 【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $