精品解析：辽宁省七校协作体2026届高三上学期期初联考数学试卷

2025—2026学年度（上）七校协作体期初高三联考数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 根据中国报告大厅对2023年3月—10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（亿千瓦时）月度数据统计如下表，则（ ） 月份 3 4 5 6 7 8 9 10 发电量 242.94 230.87 240.59 259.33 258.9 269.19 246.06 244.31 A. 中位数是259.115 B. 极差是36.32 C. 第85百分位数是257.33 D. 第25百分位数是241.765 5. 记为事件A的对立事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. e B. 1 C. D. 7. 已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 8. 已知在上恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ） A. P(X＞32)＞P(Y＞32) B. P(X≤36)＝P(Y≤36) C. 李明计划7：34前到校，应选择坐公交车 D. 李明计划7：40前到校，应选择骑自行车 10. 等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（ ） A. ， B. 等差数列的公差 C. 使成立的n最小为10 D. 当时，取得最小值 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则在单调递减 B. 若，则 C. 若，则有最小值 D. 若有解，则实数c的最小值为－1 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则_______ X 0 1 2 3 P a 5a 13. 已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________． 14. 若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 数列中，，满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 16. 设函数，函数. （1）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； （2）若存在，使得成立，求实数的最大值. 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 18. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． （1）若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． （2）若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 19. 已知函数，其中，e为自然对数的底数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数存在极小值点，且，求实数a的取值范围； （3）若函数有两个零点，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度（上）七校协作体期初高三联考数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为，全集， 故. 故选：C. 2. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分析每个条件的等价条件，再根据充要条件的定义即可得解. 【详解】由得或 由，得且， 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件， 故选：B． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解分式不等式的解集. 【详解】因为，所以. 即，可得，解得. 故选：D. 4. 根据中国报告大厅对2023年3月—10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（亿千瓦时）月度数据统计如下表，则（ ） 月份 3 4 5 6 7 8 9 10 发电量 242.94 230.87 240.59 259.33 258.9 269.19 246.06 244.31 A. 中位数是259.115 B. 极差是36.32 C. 第85百分位数是257.33 D. 第25百分位数是241.765 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本数字特征的求解逐项检验即可. 【详解】将数据从小到大排序可得230.87，240.59，242.94，244.31，246.06，258.9，259.33，269.19， 共8个数据，所以中位数是，A错误； 极差是，B错误； 因为，所以第85百分位数是第7个数，即259.33，C错误； 因为，所以第25百分位数是，D正确． 故选：D. 5. 记为事件A的对立事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式，求出，根据事件与事件的关系，进而求出，根据概率加法公式求出； 【详解】由题意得，， 因为，得， 则. 故选：C. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. e B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等价转化为在区间上恒成立，再利用分离参数法并结合导数即可求出答案. 【详解】因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立． 令，则在上恒成立， 所以在区间上单调递减，所以，故． 故选：D. 7. 已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 8. 已知在上恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由导数确定单调性后，由单调性得结论． 【详解】令，则，为增函数， 故，即解集为. 故选：B． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ） A. P(X＞32)＞P(Y＞32) B. P(X≤36)＝P(Y≤36) C. 李明计划7：34前到校，应选择坐公交车 D. 李明计划7：40前到校，应选择骑自行车 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先利用正态分布，确定和，再结合正态分布的对称性，和的原则，即可求解. 【详解】A.由条件可知，，根据对称性可知，故A错误； B., ，所以，故B正确； C. =，所以，故C正确； D. ，，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（ ） A. ， B. 等差数列的公差 C. 使成立的n最小为10 D. 当时，取得最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由等差数列的前n项和为、可得即可判断；对于B，只需求出，然后由即可判断；对于C，直接解不等式即可判断；对于D，由n为正整数即可判断. 【详解】对于A选项，因数列为等差数列，，则，且， 则，所以，A错误； 对于B选项，由A知，则，则， 则公差，B正确； 对于C选项，由，得或，因为n为正整数，所以n最小值为10，C正确； 对于D选项，因为n为正整数，所以D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则在单调递减 B. 若，则 C. 若，则有最小值 D. 若有解，则实数c的最小值为－1 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，B，C，直接求导判断单调性及最值即可；对于D，将问题转化为有解，构造函数求导，判断单调性后求出最小值即可. 【详解】易得，对于A，若，，则，，当时，，则在单调递增，A错误； 对于B，若，则，，当时，单减， 当时，单增，则，B正确； 对于C，，令，，显然，设两根为，则， 两根异号，不妨设，则当时，单减，当时，单增，则有最小值，C正确； 对于D，有解，等价于有解，令， 则，当时，单减，当时，单增， 则，则，则实数c的最小值为－1，D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则_______ X 0 1 2 3 P a 5a 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故答案为： 13. 已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据和在公共点处有相同的切线得出在处两函数的导数相等,再由在上,列方程组求解即可. 【详解】因为， 所以，， 因为在公共点处有相同的切线， 所以即， 所以 故答案为： 14. 若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可判断出为等差数列．利用等差数列性质可得，再利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为数列为调和数列，所以，故为等差数列． 由，得，所以， 所以，故，故， 当且仅当或时取等号， 由于，当且仅当时取得最大值， 故的最大值为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 数列中，，满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） 由，得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义即可证明； （2）由题意，由等差、等比数列求和公式以及分组求和法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得（，. 所以 . 16. 设函数，函数. （1）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； （2）若存在，使得成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）转化为，由基本不等式得到，由函数单调性得到，从而得到不等式，求出答案； （2）参变分离得到，变形后，由基本不等式求出的最大值，从而求出答案. 【小问1详解】 对于任意的，总存在，使得， 即， 其中，， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 因为是减函数，所以当时，， 所以，解得. 【小问2详解】 时，可得，， 即， 因为，分离参数可得 ， 由题意，不等式在存在解集，则 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，解得， 所以的最大值为1. 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 18. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． （1）若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． （2）若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）的分布列为： 0 1 2 3 4 期望为；（ⅱ），. （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据题意可知Y服从超几何分布，根据数学期望计算即可； （ⅱ）根据题意可知，分别求出和再比较它们大小即可； （2）根据题意列出进行计算出，再根据函数的导函数求出a的取值范围. 【小问1详解】 （ⅰ）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，可取0，1，2，3，4， ， ；；； ；； 服从超几何分布，的分布列为： 0 1 2 3 4 ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下， 设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则；； ； 故， 由（ⅰ）可知， 因为，所以； 【小问2详解】 当，则，若最大，则， 即，得 又，， 故，，由题得方程有两个不相等的正实根， 两边取对数得有两个不相等的正实根， 构造函数，求导得， 令，解得； 当时，；当时，； 易知在单调递增，在单调递减，且， 可知的图象如下图所示： 由数形结合得，，所以. 19. 已知函数，其中，e为自然对数的底数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数存在极小值点，且，求实数a的取值范围； （3）若函数有两个零点，，求证：. 【答案】（1） 单调递减区间为，单调递增区间为. （2） （3） 令，可得， 由题意可得：， 构建，则， 不妨设，可得， 令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减，且， 可得， 构建，， 则， 可知函数在上单调递增，则，即， 则，且， 又因为在上单调递减，所以，即. 【解析】 【分析】（1）求导可得，利用导数判断原函数的单调性； （2）求导构建，可知在存在零点，结合题意整理可得，构建，求导，利用导数分析单调性和符号，即可得结果； （3）整理可得，构建，，，利用导数结合单调性可得，，结合单调性分析证明. 【小问1详解】 当时，， 可知的定义域为，且， 设，则， 可知在单调递增，且， 当时，，即；当时，，即； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意可知：的定义域为，且， 设，则，可知在单调递增， 因为函数存在极小值点，所以在存在零点， 即，可得. 则，可得， 设，且， 当，，则； 当，，则. 可得，， 所以实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $