精品解析：浙江省台州市温岭市2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年浙江省台州市温岭市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（ ） A. 握手 B. 您好 C. 拜托 D. 谢谢 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．利用相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，计算正确，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴ 又∵， ∴ 故选：C． 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】A．∵，，，根据可判定； B．∵平分，∴，∵，，根据可判定； C．∵，，，根据不能判定； D．∵，，，根据可判定； 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 5. 如图，在中，点D在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的定义和性质．由等边对等角得出，再由三角形外角的定义和性质得出，最后再根据等边对等角即可得出答案． 【详解】解∶∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 6. 已知等腰三角形一边的长为3，另一边的长为7，则等腰三角形的周长为（ ） A. 17 B. 13 C. 17或13 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系．分腰长为3和腰长为7两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解． 【详解】解：当腰长3时，三边分别为3、3、7，不能构成三角形， 当腰长为7时，三边分别为3、7、7，，能构成三角形，周长为：， 故选：A． 7. 点与点关于（ ）对称 A. x轴 B. y轴 C. 原点 D. 直线x=5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－轴对称，根据两点纵坐标相等，横坐标相等，即可得出两点关于y轴对称． 【详解】解：点与点关于y轴对称， 故选B 8. 如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形三线合一的性质，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进一步证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件即可得出，即，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵为边上的高， ∴，， ∴， ∵，为边上的高， ∴， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的面积为 故选B． 9. 若实数，，满足，，则的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．由可得，将其代入中并整理后利用偶次幂的非负性求得的值，然后求得的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 整理得：， 则， 那么，， 因此， 则， 故选：A． 10. 如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，利用全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，将阴影部分面积转化为只含一个未知数的表达式，从而确定所需条件． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴图中阴影部分的面积 ∴若想求出图中阴影部分的面积，只需知道的长， 故选B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若分式的值为零，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为零的条件：分式分子的值为零，分母的值不为零；根据条件可直接得到答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得， 故答案为：2 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】观察式子 ，发现每一项都含有公因式 ，通过提取公因式来进行因式分解．本题主要考查了因式分解中的提取公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键． 【详解】解：, 故答案为： 13. 正九边形一个内角的度数为______． 【答案】140° 【解析】 【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于减去一个外角，求出外角即可求解． 【详解】正多边形的每个外角 （为边数）， 所以正九边形的一个外角 正九边形一个内角的度数为 故答案为：140°． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键． 14. 如图，中，，，过点，点分别作，的垂线相交于点，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质得，，可得，，根据含角的直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则________（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 16. 如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质先证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：5． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算． （1）按照多项式乘多项式计算即可； （2）按照多项式除单项式法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号里面的，再计算括号外面的除法，最后把代入化简后的分式中计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 19. 如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由已知条件即可得出，再根据证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 20. 为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，设升级条乙类生产线需投入万元． （1）升级条甲类生产线需投入______万元，用万元升级甲类生产线的条数为______条；(用含的式子表示) （2）升级一条甲类、乙类生产线各需投入多少资金？ 【答案】（1），； （2）升级条甲类生产线需投入万元，升级条乙类生产线需投入万元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式； （1）根据升级一条甲类、乙类生产线需投入资金间关系，可得出升级1条甲类生产线需投入万元，再利用用万元升级甲类生产线的条数升级条甲类生产线需投入金额，可用含的代数式表示出用万元升级甲类生产线的条数； （2）根据用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：升级条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，且升级条乙类生产线需投入万元， 升级条甲类生产线需投入万元， 用万元升级甲类生产线的条数为条． 故答案：，； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 万元． 答：升级条甲类生产线需投入万元，升级条乙类生产线需投入万元． 21. 如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺按要求作图．（注意先用铅笔画，再用水笔描，求作的图形用实线，辅助的线条用虚线） （1）在图1中，画出边上的高； （2）在图2中，画出边上的中线； （3）在图3中，画，使与全等（F不与C重合，画出一个即可）． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图． （1）根据三角形高的定义作图即可． （2）根据三角形中线的定义作图即可． （3）根据全等三角形的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求． ∵,,,, ∴是直角三角形，, 即. 【小问2详解】 解：如图2，取的中点E，连接，则即为所求． 【小问3详解】 解：如图3，即为所求(答案不唯一)． ∵,,. ∴. 22. 对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． （1）下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； （2）若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； （3）若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【答案】（1）② （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，解决本题的关键是按照平方差公式将式子进行因式分解． （1）需要根据“2次幂差数”的定义，分别对和进行分析，看是否能找到满足条件的非负整数和． （2）已知，是两个连续的正整数，即，代入化简后判断其奇偶性． （3）将，，代入，得到关于和的等式，然后通过变形求解关于的表达式，再根据为非负整数求其最小值． 【小问1详解】 解：设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或， 所以， 所以是“2次幂差数”； 设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或 (不合题意，舍去)， 所以不是“2次幂差数”． 故答案为：②． 【小问2详解】 因为，是两个连续的正整数， 所以，则 ，因为是正整数，是偶数， 偶数加为奇数，所以为奇数， 所以为奇数． 【小问3详解】 已知，， 代入得：， 即， ，因为为非负整数，要使最小， 则时， ， ． 23. （1）观察下列命题完成填空： ①若，则有或， ②若，则有或， ③若，则有或， ④若，则有或， … 按规律猜想：若（括号内 ），则有或______； （2）若把（1）中命题改为：“若，则有或”仍然成立，猜想m，n，k应满足的等量关系式为______，并证明该命题成立； （3）对于（2）中的m，n，k，若满足，求的值． 【答案】（1）4052，；（2）；证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的运算，因式分解的应用，数字规律等知识，找规律题是解题的关键． （1）通过观察已知的等式，找出等式中各项的规律，从而得出对应的等式及结论． （2）根据（1）中发现的规律，猜想m、n、k应满足的等量关系式，再通过分式运算进行证明即可． （3）结合（2）中m、n、k的关系式以及已知的，得出，利用因式分解即可求出的值． 【详解】解：（1）对于，等式右边分母为，分子； 对于，等式右边分母为，分子； 对于，等式右边分母为，分子； 对于，等式右边分母为，分子； …．． 若， 故，则有或． 故答案为：4052， （2）证明：由（1）可知， 猜想：， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 则或， 即或 （3）∵且， 将代入中， 得到：， ， 整理得： 即． ∴或． 当时，，则 当时，，则． 综上：或． 24. 综合实践 【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动． 如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况． 周老师和同学们在探究时，有如下交流： 小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即． 小聪：我发现问题可抽象为：如图，在中，，在和延长线上分别取点，，若，则． 小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点是中点． 周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小． 结合上述师生的交流完成下面任务： 【探究论证】 （1）如图2，请你证明小颖发现的结论； （2）如图2，请你证明小聪发现的结论； 【创新应用】 （3）如图3，中，，，，点，，分别在边，，上，若，求最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）作，交于，可证得，从而， （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，得出，在中，，进而得出，当重合时，取得最小值，即可得出结论； （3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，，过点作，交的延长线于点，作关于的对称点，连接，可得，当取得最小值时，取得最小值，由（2）可得时，取得最小值，是等边三角形，进而求得，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1， 作，交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即是的中点； （2）证明：如图2，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴，即 当重合时，取得最小值， 即当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小． （3）解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵中，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 作关于的对称点，连接， ∴， ∴ ∴当取得最小值时，取得最小值， 由（2）可得时，取得最小值， 又∵ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ 设 ∴ 解得： ∴ 的最小值为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省台州市温岭市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（ ） A. 握手 B. 您好 C. 拜托 D. 谢谢 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. 平分 C. D. 5. 如图，在中，点D在上，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形一边长为3，另一边的长为7，则等腰三角形的周长为（ ） A. 17 B. 13 C. 17或13 D. 无法确定 7 点与点关于（ ）对称 A. x轴 B. y轴 C. 原点 D. 直线x=5 8. 如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9. 若实数，，满足，，则值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若分式的值为零，则________． 12. 因式分解：_________． 13. 正九边形一个内角的度数为______． 14. 如图，中，，，过点，点分别作，的垂线相交于点，则________． 15. 如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则________（用含m、n的代数式表示）． 16. 如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 化简： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 20. 为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，设升级条乙类生产线需投入万元． （1）升级条甲类生产线需投入______万元，用万元升级甲类生产线的条数为______条；(用含的式子表示) （2）升级一条甲类、乙类生产线各需投入多少资金？ 21. 如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺按要求作图．（注意先用铅笔画，再用水笔描，求作的图形用实线，辅助的线条用虚线） （1）在图1中，画出边上高； （2）在图2中，画出边上的中线； （3）在图3中，画，使与全等（F不与C重合，画出一个即可）． 22. 对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． （1）下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； （2）若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； （3）若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 23. （1）观察下列命题完成填空： ①若，则有或， ②若，则有或， ③若，则有或， ④若，则有或， … 按规律猜想：若（括号内为 ），则有或______； （2）若把（1）中命题改为：“若，则有或”仍然成立，猜想m，n，k应满足的等量关系式为______，并证明该命题成立； （3）对于（2）中的m，n，k，若满足，求的值． 24. 综合实践 【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动． 如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况． 周老师和同学们在探究时，有如下交流： 小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即． 小聪：我发现问题可抽象为：如图，在中，，在和延长线上分别取点，，若，则． 小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点是中点． 周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小． 结合上述师生的交流完成下面任务： 【探究论证】 （1）如图2，请你证明小颖发现的结论； （2）如图2，请你证明小聪发现的结论； 【创新应用】 （3）如图3，中，，，，点，，分别在边，，上，若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $