第11讲 探索勾股定理讲义（知识点+题型+分层强化）-2025-2026学年浙教版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第11讲 探索勾股定理（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1 .勾股定理 2. 勾股定理的证明 3. 勾股定理的逆定理 题型巩固 一、用勾股定理解三角形 二、勾股树（数）问题 三、以直角三角形三边为边长的图形面积 四、勾股定理与网格问题 五、勾股定理与折叠问题 六、勾股定理的证明方法 七、以弦图为背景的计算题 八、用勾股定理构造图形解决问题 九、勾股定理与无理数 十、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 十一、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 十二、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 十三、解决航海问题(勾股定理的应用) 十四、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 十五、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 十六、判断三边能否构成直角三角形 十七、在网格中判断直角三角形 十八、利用勾股定理的逆定理求解 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（6） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1 .勾股定理 勾股定理 几何语言 变式 应用 图示 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°， ∠A , ∠B , ∠C 的对边分别为 , b , c ，则 ; . ; ; . 注意：（1）勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是在直角三角形中. （2）运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确，则需分类讨论，以免漏解. 知识点2. 勾股定理的证明 勾股定理的证明有很多方法，其中结合图形的切割、拼接，通过面积证明是最常见的一种方法，举例列表如下. 方法 图形 证明 “赵爽弦图” ∵大正方形的边长为 c ，∴大正方形的面积为 .又大正方形的面积 =4×+(−b)²=+ ,∴ += . 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为 S ，则 S= .根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得 S=+,∴ += . 加菲尔德总统拼图 设直角梯形的面积为 S ，则 毕达哥拉斯拼图 由图（1）得大正方形的面积 =+4× , 由图（2）得大正方形的面积 =++4×, 联立两式易得 += . 知识点3. 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 据说古埃及人用等距的结把一根绳子分为等长的12段，然后以3段、4段、5段的长为边长，用木桩钉成一个三角形，他们认为其中一个角为直角，你知道为什么吗？ 2.利用边的关系判定直角三角形的步骤： （1）找：找出三角形三边中的最长边. （2）算：计算其他两边的平方和与最长边的平方. （3）判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 注意： 在推导过程中不能说成“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定此三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°. 在 △ABC 中， 结论 ∠C=90°. 区别 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“ ”，即由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足 ”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”. 联系 两者都与三角形的三边有关系. 题型巩固 题型一、用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一个直角三角形，若三边的平方和为，则斜边长为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则 ． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点处时，测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形，求点处踏板离地的垂直高度的长． 题型二、勾股树（数）问题 4．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，分别以为一边在外面作三个正方形，记三个正方形的面积依次为，，．已知，则为（    ） A．18 B．27 C．36 D．45 5．《九章算术》提供了许多整勾股数，如，，，等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么与这两个整数构成一组勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加l得到两个整数，那么与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为，则 ． 6．阅读下列材料，并回答问题． 画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为5和12，那么我们可以量得直角三角形的斜边长为13，并且52+122=132．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中，两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则a2+b2=c2，这个结论就是著名的勾股定理． 请利用这个结论，完成下面的活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______． （2）满足勾股定理方程a2+b2=c2的正整数组（a，b，c）叫勾股数组．例如（3，4，5）就是一组勾股数组．观察下列几组勾股数 ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41； 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：______． （3）如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．AC=3，DC=1，求BD的长度． （4）如图，点A在数轴上表示的数是______，请用类似的方法在下图数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）． 题型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 7．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）小金同学在学习了课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》之后，进一步探索：如图1，以的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形纸片放置在最大的等边三角形内的和处，如图2所示．若要求的面积，则只需知道（   ）的面积． A． B．四边形 C．四边形 D．四边形 8．（24-25八年级上·浙江金华·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 ． 题型四、勾股定理与网格问题 9．（22-23八年级下·浙江台州·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的格点上，则点A到的距离为（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，请按要求画出图形． (1)已知点A在格点上，画一条线段，使，且点B在格点上； (2)以（1）中线段为腰画一个等腰直角，使点C在格点上． 题型五、勾股定理与折叠问题 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，，，则的长为 ． 题型六、勾股定理的证明方法 13．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 15．（22-23八年级上·浙江衢州·期中）阅读材料，解答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”，这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：______． (2)如图①，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形ABDE，中间部分是一个小正方形CFGH，请结合图①，证明（1）中的数量关系． (3)如图②，以的三条边分别作三个等边三角形，若，，，求出的值． 题型七、以弦图为背景的计算题 16．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 17．（2023八年级上·浙江·专题练习）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．    (1)如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的，求直角三角形的长直角边的长； (2)小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长． 题型八、用勾股定理构造图形解决问题 18．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外等边三角形，再把较小的两张等边三角形纸片按图2的方式放置在最大等边三角形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A．直角三角形的面积 B．最大等边三角形与直角三角形的面积和 C．最大等边三角形的面积 D．较小两个等边三角形重叠部分的面积 19．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”这道题的意思是说：有一个边长为10尺的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的处（如图），则水深是 尺． 题型九、勾股定理与无理数 20．边长为1的正方形在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　）    A．1 B． C． D． 21．图（）和图（）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的长均为1，请分别画出符合要求的图形，所画图形的各顶点必须与方格纸中的小正方形的顶角重合.        （1）请在图（）中画出一个面积为6的等腰三角形.        （2）请在图（）中画出一个边长为的等腰直角三角形. 题型十、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 22．（2023·浙江·模拟预测）如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A．7米 B．9米 C．10米 D．13米 23．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一架的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动 ． 题型十一、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 24．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高5.6米，两树相距4.8米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行（   ）米． A．4.8 B．6 C．5.6 D．8 25．（23-24八年级·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 题型十二、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 26．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（　　） A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 27．如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为 cm．    题型十三、解决航海问题(勾股定理的应用) 28．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，甲船以20千米/时的速度从港口A向正北方向航行，乙船以15千米/时的速度，同时从港口A向正东方向航行，行驶2小时后，两船相距 千米．． 29．如图，两艘轮船M和N分别从港口出发，轮船M以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船N以3海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离多少海里？    题型十四、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 30．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。 31．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方60米处，过了5秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为100米，这辆小汽车超速了吗？    题型十五、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 32．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒． 33．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．    题型十六、判断三边能否构成直角三角形 34．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 35．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若三角形的三边之比为，则此三角形为 三角形． 36．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）的三边长分别是a、b、c．且，，，是直角三角形吗？证明你的结论． 题型十七、在网格中判断直角三角形 37．如图，在的正方形网格中，的度数是（ ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 38．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成 个直角三角形． 39．如图，由若干个大小相同的小正方形组成的网格中．小华按下列要求作图： (1)顶点都在格点上的直角三角形． (2)所画三角形的三边长度至少有两边长度是无理数．小华在左边的网格中已经作出，请你按照同样的要求，在右边的两个网格中各画一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等． 题型十八、利用勾股定理的逆定理求解 40．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A．3 B．6 C．10 D．16 41．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）在中，，，，于点，则的长为 ． 分层强化 一、单选题 1．若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在中，斜边，则的值为（  ） A．6 B．9 C．18 D．36 3．下列各组数是勾股数的是(     ) A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，边长为x的边等于5的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．10米 D．16米 6．已知三角形的三边长a、b、c满足＋ ＋|c－|＝0，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 7．一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，那么这个三角形的形状为（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定形状 8．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米．宽为16厘米的长方形纸板上．剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，剪下的等腰三角形的面积为（　　　） A．50 B．50或40 C．50或40或30 D．50或30或20 9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（    ） A．5 B．3 C．5 D．2 10．勾股定理是历史是第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 12．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米． 13．上图阴影部分是一个等腰直角三角形，则此等腰直角三角形的面积为 cm2． 14．一副三角板中，两块直角三角板的斜边长都是 cm，如图所示，将斜边重叠摆放在一起，则直角顶点A、B之间的距离为 cm． 15．如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 . 16．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点始终落在边AC上，若△MC为直角三角形，则BM的长为 三、解答题 17．如图，在中，，，点D是上一点，，求的长． 18．已知直角三角形的两边长分别为和，求第三条边． 19．若的三边a，b，c满足，求的面积． 20．如图将长方形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点，与边交于点N． (1)尺规作图：求作点N、M（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的长． 21．取两个同样的直角三角板，按如图所示摆放（B，C，D三点在一条直线上）． (1)连接，则是________三角形，四边形是________形； (2)设，，，试用两种不同的方法表示出四边形的面积； (3)由（2）你能得到什么结论？ 22．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． (1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ (2)这片绿地的面积是多少？ 23．如图，在一条东西走向的河，河一侧有村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点机H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)请问是否为从村庄到河边的最近路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 24．如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 探索勾股定理（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1 .勾股定理 2. 勾股定理的证明 3. 勾股定理的逆定理 题型巩固 一、用勾股定理解三角形 二、勾股树（数）问题 三、以直角三角形三边为边长的图形面积 四、勾股定理与网格问题 五、勾股定理与折叠问题 六、勾股定理的证明方法 七、以弦图为背景的计算题 八、用勾股定理构造图形解决问题 九、勾股定理与无理数 十、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 十一、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 十二、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 十三、解决航海问题(勾股定理的应用) 十四、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 十五、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 十六、判断三边能否构成直角三角形 十七、在网格中判断直角三角形 十八、利用勾股定理的逆定理求解 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（6） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1 .勾股定理 勾股定理 几何语言 变式 应用 图示 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°， ∠A , ∠B , ∠C 的对边分别为 , b , c ，则 ; . ; ; . 注意：（1）勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是在直角三角形中. （2）运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确，则需分类讨论，以免漏解. 知识点2. 勾股定理的证明 勾股定理的证明有很多方法，其中结合图形的切割、拼接，通过面积证明是最常见的一种方法，举例列表如下. 方法 图形 证明 “赵爽弦图” ∵大正方形的边长为 c ，∴大正方形的面积为 .又大正方形的面积 =4×+(−b)²=+ ,∴ += . 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为 S ，则 S= .根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得 S=+,∴ += . 加菲尔德总统拼图 设直角梯形的面积为 S ，则 毕达哥拉斯拼图 由图（1）得大正方形的面积 =+4× , 由图（2）得大正方形的面积 =++4×, 联立两式易得 += . 知识点3. 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 据说古埃及人用等距的结把一根绳子分为等长的12段，然后以3段、4段、5段的长为边长，用木桩钉成一个三角形，他们认为其中一个角为直角，你知道为什么吗？ 2.利用边的关系判定直角三角形的步骤： （1）找：找出三角形三边中的最长边. （2）算：计算其他两边的平方和与最长边的平方. （3）判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 注意： 在推导过程中不能说成“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定此三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°. 在 △ABC 中， 结论 ∠C=90°. 区别 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“ ”，即由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足 ”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”. 联系 两者都与三角形的三边有关系. 题型巩固 题型一、用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一个直角三角形，若三边的平方和为，则斜边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的三边长为，为斜边，利用勾股定理可得，据此解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设直角三角形的三边长为，为斜边， 由勾股定理得，， ∵一个直角三角形的三边长的平方和为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即斜边长为， 故选：． 2．在中，，，，则 ． 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点处时，测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形，求点处踏板离地的垂直高度的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，由勾股定理求出，燃弧根据计算即可． 【详解】解：∵，， 在中，由勾股定理，得：， 即，， ∴． 题型二、勾股树（数）问题 4．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，分别以为一边在外面作三个正方形，记三个正方形的面积依次为，，．已知，则为（    ） A．18 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的三边作正方形，则两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积． 5．《九章算术》提供了许多整勾股数，如，，，等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么与这两个整数构成一组勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加l得到两个整数，那么与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为，则 ． 【答案】142 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据题述“由生成的勾股数”的计算方式，分别求得A和B求和即可． 【详解】解：∵92=81，81=40+41 ∴“由9生成的勾股数”的“弦数“记为41，即A=41， ∵， ∴“由20生成的勾股数”的“弦数“记为101，即B=101， ∴． 故答案为：142． 【点睛】本题考查勾股数问题．能理解题中的计算方式，并能依此计算是解决此题的关键．需注意在计算“由生成的勾股数”时，m分奇偶计算方式不同． 6．阅读下列材料，并回答问题． 画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为5和12，那么我们可以量得直角三角形的斜边长为13，并且52+122=132．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中，两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则a2+b2=c2，这个结论就是著名的勾股定理． 请利用这个结论，完成下面的活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______． （2）满足勾股定理方程a2+b2=c2的正整数组（a，b，c）叫勾股数组．例如（3，4，5）就是一组勾股数组．观察下列几组勾股数 ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41； 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：______． （3）如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．AC=3，DC=1，求BD的长度． （4）如图，点A在数轴上表示的数是______，请用类似的方法在下图数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）． 【答案】（1）10；（2）11，60，61；（3），;（4） 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】（1）根据“在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方”，可得出这个直角三角形斜边长； （2）先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和， 如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…，由以上特点我们可第⑤组勾股数：112=121=60+61； （3）根据勾股定理先求得AD，再证明△ACD≌△BED，从而得出BD的长度． （4）由勾股定理得出矩形的对角线的长，再由点A的位置可得出点A所表示的数，再以2，1分别为斜边和直角边，且另一直角边为． 【详解】解：（1）=10…； （2）第5组勾股数为：11，60，61… （3）∵AD⊥BC ∴∠ADC=∠BDE=90° 在Rt△ADC和Rt△BDE中 ∴Rt△ADC≌Rt△BDE… ∴AD=BD ∵AD2+CD2=AC2 ∴AD2=AC2-CD2=9-1=8… ∴ ∴… （4），（正确标出点B） 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的全等，勾股数以及勾股定理的应用． 题型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 7．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）小金同学在学习了课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》之后，进一步探索：如图1，以的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形纸片放置在最大的等边三角形内的和处，如图2所示．若要求的面积，则只需知道（   ）的面积． A． B．四边形 C．四边形 D．四边形 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查的是勾股定理，设、、处面积分别为，，，的面积为，由勾股定理可得，由面积和差关系可求解． 【详解】解：设、、处面积分别为，，，的面积为， ， ， 要求的面积，则只需知道四边形的面积． 故选：B． 8．（24-25八年级上·浙江金华·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 ． 【答案】12 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理以及正方形、长方形的面积进行解答即可． 【详解】解：设的斜边为：，两直角边为：b，c，斜边的正方形面积为：；直角边的正方形面积为：和， 故， 由勾股定理可知， ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 题型四、勾股定理与网格问题 9．（22-23八年级下·浙江台州·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的格点上，则点A到的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】先用割补法求出三角形的面积、边的长，再利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：设点A到边的距离等于h， 的面积， ， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了网格上的计算，勾股定理，熟练掌握网格计算和勾股定理是解题的关键． 10．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，请按要求画出图形． (1)已知点A在格点上，画一条线段，使，且点B在格点上； (2)以（1）中线段为腰画一个等腰直角，使点C在格点上． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识， （1）利用数形结合的思想画出图形即可； （2）根据等腰直角三角形的判定和性质画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如图，即为所求（答案不唯一）． 题型五、勾股定理与折叠问题 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 设， ∵将折叠，使点与边的中点重合，折痕为， ∴， ∵， 在中，，即 解得： 即线段的长为 故选：B． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了图形的折叠问题以及勾股定理，利用勾股定理是解决问题的关键． 利用勾股定理求出，根据折叠的性质求出，，，设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得：， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型六、勾股定理的证明方法 13．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①、②、③、④正确， 故选：D 14．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键． 【详解】解：如图， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（22-23八年级上·浙江衢州·期中）阅读材料，解答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”，这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：______． (2)如图①，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形ABDE，中间部分是一个小正方形CFGH，请结合图①，证明（1）中的数量关系． (3)如图②，以的三条边分别作三个等边三角形，若，，，求出的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3)22 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】（1）根据勾股定理可得； （2）分别计算出小正方形的面积、直角三角形的面积和大正方形的面积，根据大正方形等于小正方形加四个直角三角形建立等式即可得到； （3）分别计算出三个等边三角形的面积，根据建立等式，利用进行化简即可得到答案． 【详解】（1）解：，如果，，，， 那么； （2）证明：如下图所示， 由题意得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如下图所示，设，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形、等边三角形和正方形的性质，解题的关键是根据图形中的面积关系建立等式． 题型七、以弦图为背景的计算题 16．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理的， ∴黄实的面积为． 故选：D． 17．（2023八年级上·浙江·专题练习）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．    (1)如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的，求直角三角形的长直角边的长； (2)小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】（1）将大正方形面积设出来，利用面积占比表示出小正方形面积，从而得到三角形面积，即可得到，从而得出，再利用小正方形面积求解即可； （2）利用求出，再利用勾股定理求出，依次相加即可求解． 【详解】（1）解：如图，    设大正方形面积为， ， 小正方形的面积占总面积的， 小正方形面积为， ， 四个直角三角形全等， ， ， 在中， ， 即， 解得：（舍或， ； （2）解：如图，   四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍， ， ， 在中， ， 这个风车的周长为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是设未知数求出，再依次求出，． 题型八、用勾股定理构造图形解决问题 18．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外等边三角形，再把较小的两张等边三角形纸片按图2的方式放置在最大等边三角形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A．直角三角形的面积 B．最大等边三角形与直角三角形的面积和 C．最大等边三角形的面积 D．较小两个等边三角形重叠部分的面积 【答案】D 【分析】设向外作的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，根据勾股定理得S1+S2=S3，再利用三角形面积的和与差可得结论． 【详解】解：如图，设向外作的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3， 则有：S1+S2=S3， ∵S1+S2+S阴影=S3+S△EFG， ∴S阴影=S△EFG， 即可知若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个等边三角形重叠部分的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明与三角形的面积，直观识图是解答的关键． 19．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”这道题的意思是说：有一个边长为10尺的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的处（如图），则水深是 尺． 【答案】12 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深x尺，芦苇尺， 根据题意：， 由勾股定理：， 解得：， 故答案为：12． 题型九、勾股定理与无理数 20．边长为1的正方形在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】由于正方形的边长为1，可知为等腰直角三角形，可利用勾股定理求出的长，即可得到B点表示的数． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴在等腰直角中， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据四边形为正方形判断出为直角三角形是解题的关键． 21．图（）和图（）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的长均为1，请分别画出符合要求的图形，所画图形的各顶点必须与方格纸中的小正方形的顶角重合.        （1）请在图（）中画出一个面积为6的等腰三角形.        （2）请在图（）中画出一个边长为的等腰直角三角形. 【答案】详见解析. 【知识点】勾股定理与无理数 【详解】试题分析：（1）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质即可画出；（2）利用勾股定理得出当直角边为或斜边为时，任画一种即可． 试题解析： （1）                          （2）   题型十、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 22．（2023·浙江·模拟预测）如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A．7米 B．9米 C．10米 D．13米 【答案】B 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，根据勾股定理可得米，由于梯子的长度不变，在中，根据勾股定理可得米，进而可得答案． 【详解】解：在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 米， 故选：B． 23．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一架的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动 ． 【答案】 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图所示：根据题意得， 根据勾股定理可得，， 如果梯子的顶度端下滑2米， 则． 在直角三角形中，，根据勾股定理得到：， 则梯子滑动的距离就是， 故答案为：． 题型十一、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 24．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高5.6米，两树相距4.8米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行（   ）米． A．4.8 B．6 C．5.6 D．8 【答案】B 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树的高度差为米，间距为米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离米， 故选：B． 25．（23-24八年级·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【答案】小鸟飞行的最短路程为10米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接． ∵米，米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为10米． 题型十二、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 26．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（　　） A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 【答案】C 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．设水深为尺，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设水深尺，则芦苇长度为尺， 由勾股定理，可得， 解得， ∴水深12尺． 故选：C． 27．如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为 cm．    【答案】8.5 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，因为杯子的直径为8cm，可根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm， 由题意得：x2+42＝（x+1）2， 16＝2x+1， x＝7.5， ∴x+1＝8.5， ∴筷子长8.5cm， 故答案为8.5． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 题型十三、解决航海问题(勾股定理的应用) 28．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，甲船以20千米/时的速度从港口A向正北方向航行，乙船以15千米/时的速度，同时从港口A向正东方向航行，行驶2小时后，两船相距 千米．． 【答案】 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，连接，首先求出和的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设行驶小时后，甲船行驶到处，乙船行驶到B处，连接， ∵甲船以20千米/时的速度从港口A向正北方向航行，乙船以15千米/时的速度，同时从港口A向正东方向航行， ∴，千米，千米， ∴（千米）． ∴行驶小时后，两船相距千米， 故答案为：． 29．如图，两艘轮船M和N分别从港口出发，轮船M以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船N以3海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离多少海里？    【答案】25海里 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了20海里，15海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：连接如图，      ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 在中，（海里），（海里）， 根据勾股定理得（海里）． 答：两船的距离是25海里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 题型十四、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 30．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。 【答案】 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案 【详解】解：在Rt中，，，， ∴ 小亮到C所用时间(分); 小亮到D所用时间(分) ∴小明、小亮同时到达C时， 小明、小亮同时到达D时， ∴a的取值范围是： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，以及路程问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键 31．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方60米处，过了5秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为100米，这辆小汽车超速了吗？    【答案】这辆小汽车没有超速 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长，直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案． 【详解】解：在中， 米，米，且为斜边， 米， （米/秒） ， ， 这辆小汽车没有超速． 题型十五、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 32．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒． 【答案】18 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失． 【详解】 如图，过点A作AC⊥ON于N， ∵∠MON＝30°，OA＝80米， ∴AC＝40米， 当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50米， 由勾股定理得：（米）， 第一台拖拉机到D点时噪音消失， 所以CD＝30米， 由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响． 所以影响时间应是：90÷5＝18（秒）． 答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒． 故答案为：18． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 33．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．    【答案】有危险，需要暂时封锁；理由见解析． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作于D，然后根据勾股定理在中即可求出的长度，然后利用三角形的面积公式即可求出，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁． 【详解】解：有危险，需要暂时封锁． 理由：如图，过作于，   米，米，， ∴在中，米， ∵， ∴米． ∵， ∴有危险，段公路需要暂时封锁． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出的长． 题型十六、判断三边能否构成直角三角形 34．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判断即可． 【详解】A．，，不相等，不能构成直角三角形，故不符题意； B．，；不相等，不能构成直角三角形，故不符题意； C．，；相等，能构成直角三角形，故符题意； D．，，不相等，不能构成直角三角形，故不符题意． 故答案为：C 35．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若三角形的三边之比为，则此三角形为 三角形． 【答案】直角 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的内容是解此题的关键． 【详解】解：三角形的三边之比为， ， 此三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 36．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）的三边长分别是a、b、c．且，，，是直角三角形吗？证明你的结论． 【答案】是直角三角形，证明见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方即可． 【详解】解：是直角三角形．证明如下：    ∵ ∴是直角三角形． 题型十七、在网格中判断直角三角形 37．如图，在的正方形网格中，的度数是（ ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】连接AB，求出AB、BM、AM的长，根据勾股定理逆定理即可求证为直角三角形，而AM=BM，即为等腰直角三角形，据此即可求解． 【详解】连接AB ∵，， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明为直角三角形． 38．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成 个直角三角形． 【答案】 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，根据方格的特点准确的数出直角三角形的个数是解题的关键． 根据如图所示的方格图，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，然后数一数直角三角形的个数即可得出答案． 【详解】解：在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，构成的直角三角形有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 故答案为：． 39．如图，由若干个大小相同的小正方形组成的网格中．小华按下列要求作图： (1)顶点都在格点上的直角三角形． (2)所画三角形的三边长度至少有两边长度是无理数．小华在左边的网格中已经作出，请你按照同样的要求，在右边的两个网格中各画一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】（1）按要求画一个直角三角形即可； （2）按要求画出直角三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示： （2）解：即为所求作的三角形，如图所示： 【点睛】本题主要考查了在网格中作直角三角形，解题的关键是熟练掌握在网格中画垂线的方法． 题型十八、利用勾股定理的逆定理求解 40．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A．3 B．6 C．10 D．16 【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．首先求得，利用勾股定理的逆定理证明，，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答． 【详解】解：∵正方形的面积为13， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 41．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）在中，，，，于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】先利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积法求出的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且 ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形面积，得出是直角三角形是解题的关键． 分层强化 一、单选题 1．若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【详解】解：当x为斜边时，x＝＝； 当5为斜边时，x＝＝4． ∴x的可能值有2个：或4； 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 2．在中，斜边，则的值为（  ） A．6 B．9 C．18 D．36 【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据勾股定理即可求解. 【详解】在Rt△ABC中，AB为斜边，∴==9 ∴=2=18 故选C. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质. 3．下列各组数是勾股数的是(     ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，是勾股数，符合题意； B、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、不是正整数，故不是勾股数，不符合题； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数． 4．如图，边长为x的边等于5的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理分别求出各图形中的值，由此即可解答． 【详解】解：图中的值依次为： ； ； ； ． 综上，的直角三角形有2个． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解决问题的关键． 5．如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．10米 D．16米 【答案】D 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长，即可得解． 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴米， （米． 树折断之前有16米． 故选：D． 6．已知三角形的三边长a、b、c满足＋ ＋|c－|＝0，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据非负数的性质可知a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形． 【详解】解： ∴ ， ， ∴ ， ， 又∵ ∴该三角形为直角三角形 故选C． 【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出a，b，c的值，并正确运用勾股定理的逆定理． 7．一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，那么这个三角形的形状为（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定形状 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案． 【详解】∵一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍， ∴扩大后三角形三边长分别为：10，24，26， ∵102+242=676， 262=676， ∴102+242=262， ∴这个三角形的形状为直角三角形． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，正确把握勾股定理的逆定理是解题关键． 8．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米．宽为16厘米的长方形纸板上．剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，剪下的等腰三角形的面积为（　　　） A．50 B．50或40 C．50或40或30 D．50或30或20 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积． 【详解】解：如图四边形是矩形，cm，cm； 本题可分三种情况： ①如图（1）：中，cm； cm2； ②如图（2）：中，cm； 在中，cm； 根据勾股定理有：cm； cm2； ③如图（3）：中，cm； 在中，cm； 根据勾股定理有cm； cm2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论． 9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（    ） A．5 B．3 C．5 D．2 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2=BC2，得∠BAC=90°，再根据，代入计算即可． 【详解】解：由勾股定理得： ∵AB2+AC2=25，BC2=25， ∴AB2+AC2=BC2， ∴∠BAC=90°， ∴ ∴， ∴AD=2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆应用，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC=90°是解题的关键． 10．勾股定理是历史是第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法 【分析】利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断A；利用两个以a和b为直角边的三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a，下底为b，高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断B；利用以a与b为两直角边的四个全等三角形面积与边长为（b-a）的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C；利用以a与b为两直角边的两个全等三角形面积与边长为c的正方形面积和等于以上底为a，下底为(a+b)，高为a的梯形面积+以上底为b，下底为(a+b)，高为b的梯形面积推导勾股定理可判断D． 【详解】解: 由题意可知： A、四个小图形面积和等于大正方形面积， ，根据图形可证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； B、两个以a和b为直角边的三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a，下底为b，高为(a+b)的梯形面积， 故， 整理得：， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、以a与b为两直角边的四个全等三角形面积与边长为（b-a）的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，， 整理得：， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、以a与b为两直角边的两个全等三角形面积与边长为c的正方形面积和等于以上底为a，下底为(a+b)，高为a的梯形面积+以上底为b，下底为(a+b)，高为b的梯形面积， 故， 整理得： ， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是关键． 二、填空题 11．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 【答案】6，8，10 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：设中间的偶数是x，则另外两个是，根据勾股定理，得 ， 解得或0（0不符合题意，应舍去）， 所以它的三边是6，8，10． 故答案为：6，8，10 【点睛】本题考查的是连续偶数的特征和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键 12．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】由水平距离，红叶树离地面的高和坡面正好组成直角三角形，坡路又是45度，故为等腰直角三角形，设这棵红叶树离地面的高度是x米，利用勾股定理列出方程，求出x即可． 【详解】设这棵红叶树离地面的高度是x米，由题意得： ， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意构造出直角三角形是解答本题的关键． 13．上图阴影部分是一个等腰直角三角形，则此等腰直角三角形的面积为 cm2． 【答案】12.5 【知识点】用勾股定理解三角形 【详解】由勾股定理求得另一直角边长为(cm)，则(cm2)． 14．一副三角板中，两块直角三角板的斜边长都是 cm，如图所示，将斜边重叠摆放在一起，则直角顶点A、B之间的距离为 cm． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 延长到点，使，连接、，由题意得，，，，，推出，，由勾股定理求出，再证，得出，，推出，然后由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接、， 由题意得：，，，，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， （负值已舍去）， 故答案为：． 15．如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 . 【答案】 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】根据勾股定理分别表示出、、、的长度，然后研究之间存在的规律， 【详解】由图可知，、、、……分别为直角三角形的斜边 == 、== 、== 、== …… 由上式可以看出，= 故答案是：； 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和数字规律，解决本题的关键是正确将每条线段的长度用式子表示出来. 16．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点始终落在边AC上，若△MC为直角三角形，则BM的长为 【答案】+或1 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】①如图1，当∠MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CM是等腰直角三角形，得到CM=M，列方程即可得到结论． 【详解】解：①如图1， 当∠MC=90°，与A重合，M是BC的中点， ∴BM=BC=+； ②如图2，当∠MC=90°， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴∠C=45°， ∴△CM是等腰直角三角形， ∴CM=M， ∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点， ∴BM=M， ∴CM=BM， ∵BC=+1， ∴CM+BM=BM+BM=+1， ∴BM=1， 综上所述，若△MC为直角三角形，则BM的长为+或1， 故答案为：+或1．       【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 三、解答题 17．如图，在中，，，点D是上一点，，求的长． 【答案】见解析 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设，则，在和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，即和是直角三角形， ∴在中，， 在中，， ∴， 设，则， ∴， 解得， 即的长为． 18．已知直角三角形的两边长分别为和，求第三条边． 【答案】13cm或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即第三条边是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：当第三条边是斜边时，由勾股定理得，第三条边为； 当第三条边是直角边时，第三边长为． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 19．若的三边a，b，c满足，求的面积． 【答案】6． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】利用配方法得到（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，根据非负数的性质解得a＝3，b＝4，c＝5，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，c为斜边，然后计算△ABC的面积． 【详解】解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c， ∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16c2﹣10c+25＝0， 即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， 即a＝3，b＝4，c＝5， ∵32+42＝52， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形，c为斜边， ∴△ABC的面积＝ab＝×3×4＝6． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，结合完全平方公式的逆用是解题的关键． 20．如图将长方形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点，与边交于点N． (1)尺规作图：求作点N、M（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，尺规作图—作垂线： （1）由于点C在折痕上，那么，以点C为圆心，长为半径画弧交于M，再由垂直平分，作线段的垂直平分线交于N，则M、N即为所求； （2）连接，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，则，设，则．在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，点N和点M即为所求； 以点C为圆心，长为半径画弧交于M，作线段的垂直平分线交于N，则M、N即为所求； （2）解：如上图所示，连接， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 21．取两个同样的直角三角板，按如图所示摆放（B，C，D三点在一条直线上）． (1)连接，则是________三角形，四边形是________形； (2)设，，，试用两种不同的方法表示出四边形的面积； (3)由（2）你能得到什么结论？ 【答案】(1)等腰直角，直角梯 (2)或 (3)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【知识点】运用完全平方公式进行运算、全等三角形的性质、勾股定理的证明方法、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了全等三角形和勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，等腰直角三角形的判定，梯形的判定，面积法证明勾股定理，是解决问题的关键． （1）根据两个直角三角板同样大，得到，， ，推出 ，得到，得到为等腰直角三角形；根据 ，得到，根据当时，，得到四边形是矩形，得到四边形不一定是矩形，是直角梯形； (2)设四边形的面积为S，方法一：根据梯形的面积公式，有；方法二：根据四边形是由3个三角形组成得到，； (3)由(2)知，，化简即得．得到结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】（1）∵两个直角三角板同样大， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； ∵ ， ∴， 当时，, ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形不一定是矩形， ∴四边形为直角梯形； 故答案为：等腰直角，直角梯 （2）设四边形的面积为S， 方法一： ∵四边形为直角梯形， ∴ ； 方法二： ； （3）由(2)知， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 22．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． (1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ (2)这片绿地的面积是多少？ 【答案】(1)居民从点A到点C将少走路程 (2)这片绿地的面积是 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）连接，求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程； （2）解：，，， 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 23．如图，在一条东西走向的河，河一侧有村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点机H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)请问是否为从村庄到河边的最近路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是村庄到河边的最近路，理由见解析 (2)千米 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、垂线段最短，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． （1）先根据勾股定理的逆定理可得，再根据垂线段最短即可得； （2）设千米，则千米，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：是村庄到河边的最近路，理由如下： ∵千米，千米，千米， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知，是村庄到河边的最近路． （2）解：设千米，则千米， 由（1）已得：， 在中，，即， 解得， 即千米， 答：原来的路线的长为千米． 24．如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】（1）在中，由勾股定理得：，根据等面积法即可求解； （2）根据题意得出，进而根据，，得出 （3）延长至点，使，连结，证明，，得出，根据，即可得出． 【详解】（1）在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 即， 解得：； （2）证明：点是的中点， ， ， ， ，， ； （3）证明：延长至点，使，连结， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$