专题11.5 平面直角坐标系集合100道计算题专项训练（10大题型）-2025-2026学年沪科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题11.5 平面直角坐标系集合100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 题型二 求点到坐标轴的距离 题型三 已知点所在的象限求参数 题型四 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 题型五 由平移方式确定点的坐标 题型六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型七 已知图形的平移，求点的坐标 题型八 已知平移后的坐标求原坐标 题型九 中点坐标 题型十 点坐标规律探索 【经典计算题一 写出直角坐标系中点的坐标】 1．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图是一个平面直角坐标系，已知三角形的顶点，顶点落在轴正半轴上，且到原点的距离为3． (1)______________，_______________，请在平面直角坐标系中画出三角形； (2)若三角形内任意一点平移后对应点为，在平面直角坐标系中画出平移后的三角形． 【答案】(1)，见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查作图-平移变换，坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据题意，结合y轴上点的坐标特征可得答案；根据点A，B，C的坐标描点再连线即可． （2）由题意可知，平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度，根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：∵点C落在y轴正半轴，且到原点的距离为3， ∴， 如图： ． （2）∵三角形内任意一点平移后对应点为， ∴三角形是向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形， 如图，三角形即为所求； 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形的顶点都在正方形组成的网格的格点上， (1)将三角形先向右平移6个格，再向上平移3个格，画出经过两次平移后的三角形． (2)若点B的坐标是，点C的坐标是，则点A的坐标是 ． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了网格和图形，平移的性质，通过点的坐标确定平面直角坐标系的原点，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）利用平移的性质，找到对应点，然后进行连线即可； （2）根据点的坐标确定平面直角坐标系的原点即可得出点坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示， ∵点B的坐标是，点C的坐标是， ∴点为坐标原点， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在方格纸中建立平面直角坐标系． (1)写出图中点，，的坐标； (2)在图中描出下列各点：． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查直角坐标系中描点和写出直角坐标系中点的坐标，根据点的坐标的概念，在坐标系中描点，根据坐标系中的点的位置，直接写出坐标即可． （1）根据点的坐标的概念，即可解答． （2）通过点的横坐标在横轴上对应的点作轴的垂线，然后通过点的纵坐标，在纵轴上对应的点作轴的垂线，两个垂线的交点，就是这个坐标表示的这个点． 【详解】（1）解：由图可知，，，． （2）解：如图，点，即为所求． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，请以点B为原点建立平面直角坐标系，并写出A，C，D三点的坐标． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了写出坐标系中点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键． 根据题意建立适当的平面直角坐标系，再写出点A，C，D的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，平面直角坐标系即为所求． A，C，D三点的坐标分别为． 5．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)若点B的坐标为，点C的坐标为，请建立适当的平面直角坐标系．这时点A的坐标为 　　 ； (2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的三角形． 【答案】(1)坐标系详见解析， (2)详见解析 【分析】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据点B，C的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案． （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． 由图可得，点A的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图，三角形即为所求． 6．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：对于实数，我们称点为两点的“k”系和点．例如，已知点，，则点的“”系和点的坐标为．已知点，． (1)直接写出点的“2”系和点的坐标：_______； (2)若点A为点的“”系和点，求点C的坐标； (3)若点D为点的“k”系和点，三角形的面积为6，求符合条件的k的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用两点的“”系和点的定义，代入公式求解即可； （2）利用两点的“”系和点的定义，代入公式求解即可； （3）利用三角形的面积公式求得点到的距离为2，推得点的纵坐标，代入公式求解，即可． 【详解】（1）解：由题意可知：点，； 根据“”系和点的定义得：，， 故答案为：； （2）解：设， 则，； ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵三角形的面积为6， ∴点到的距离为2， ∵点为，的“”系和点， 或， 或． 【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，三角形的面积公式，理解掌握两点的“”系和点的定义是解题的关键． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到三角形．（点A，B，C的对应点分别为点）    (1)请在图中作出平移后的三角形． (2)请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换、坐标与图形等知识点，掌握平移变换的性质是解题的关键． （1）先根据平移的性质确定点A，B，C的对应点，然后再顺次连接即可；变换的性质作图； （2）根据图形直接写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求；    （2）解：根据（1）的作图可直接读出的坐标为． 8．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点在网格线交点的三角形）的顶点，坐标分别为． (1)请在网格平面内画出平面直角坐标系； (2)将三角形平移得三角形，已知，请在网格中画出三角形；并在图中标出、的坐标； (3)若点在轴上，且三角形与三角形的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】此题考查了平面直角坐标系，坐标与图形的性质，画平移图形． （1）根据点A，C坐标分别为建立直角坐标系即可； （2）先根据，判断平移的方式，再画出平移后的图形； （3）设点P的坐标为，根据三角形与三角形的面积相等列方程求解． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． （2）解：∵， ∴三角形向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到三角形， 如图，三角形即为所求，， （3）解：设点P的坐标为， 由题意得，点的坐标为， ∵三角形与三角形的面积相等， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 9．（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格格点上，其中点C的坐标为． (1)点A的坐标是________，点B的坐标是________； (2)将先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到．画出平移后的，并写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标是，图见解析 【分析】本题主要考查坐标与图形，图形的平移， 掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）根据图形平移的规律即可作图，根据图示即可写出坐标． 【详解】（1）解：由图可得，点A的坐标是， 点B的坐标是， 故答案为：，； （2）解：如图，即为所求，点的坐标是． 10．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． （1）由轴上的点的纵坐标为进行计算； （2）由平行于轴的点的横坐标相同可得答案． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点的坐标为，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【经典计算题二 求点到坐标轴的距离】 1．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点．线段与轴交于点，若点是轴正半轴上的一个动点，当三角形的面积是的面积的2倍时，求出点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形， 设，根据A、B、M的坐标可求出，进而求出，然后三角形面积公式构建关于a的方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵三角形的面积是的面积的2倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知点， (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点，且轴，求a的值； (3)若点P在第二象限，且点P到两坐标轴的距离之和为8，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点，在y轴上的点的坐标特点． （1）在y轴上的点横坐标为0，据此列出方程求解即可； （2）平行于x轴的直线上的点纵坐标相同，据此求出a的值即可； （3）第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此求出点P到两坐标轴的距离，再根据点P到两坐标轴的距离之和为8建立方程求出a的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在y轴上，横坐标为0， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵轴， ∴点P与点Q的纵坐标相同， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵是第二象限的点， ∴，， ∴点P到x轴的距离为：，点P到y轴的距离为：， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5； (2)点是“角平分线点”．见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）先根据“长距”的定义求解得到，再据“角平分线点”的定义解答即可； 【详解】（1）解：由题意得：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”， ∵， ∴点的“长距”为5， 故答案为：5； （2）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得，∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 4．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)18 (2)，证明见解析 (3)点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了点的坐标和三角形的面积，分类讨论是解决本题的关键思想． （1）由A、B、C三点的坐标求出线段和线段的长度，然后求的面积； （2）设点，然后求的面积，即可得到结论； （3）分情况讨论，点P在x轴上；点P在y轴上，设点P的坐标，然后求出对应的底和高列出与面积有关的方程求点P． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：猜想：．证明如下： ∵过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点， ∴设点， ∴， ∴； （3）解：如图1，当点P在x轴上时，设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 如图2，当点P在y轴上时，设， 则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 综上所述，使得的点P的坐标为或或或． 5．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知点，回答下列问题： (1)点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)点P在第二象限，且它到x轴和y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)2024 【分析】本题主要考查了坐标系内点的特点，熟练掌握象限内点的特点和坐标轴上点的特点，是解题的关键． （1）根据y轴上点的特点进行解答即可； （2）根据第二象限内点的特点及到两坐标轴的距离相等，进行解答即可． 【详解】（1）解：，在y轴上， ，解得：， 点的坐标为，； （2）点P在第二象限， 且。 又点P到x轴和y轴的距离相等， ，可得，即， 解得：， 把代入得：， 答：的值为2024． 6．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，求点A的坐标． 【答案】(1)30 (2) 【分析】本题考查了点到坐标的距离，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把代入式子中进行计算，然后根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答； （2）根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝对值的意义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：当时，，， 点的坐标为， ∵点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n， ，， ； （2）解：， ，， ， ， 解得：， ∴， 点的坐标为． 7．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知：点，过A、B分别作x、y轴的平行线，两平行线交于点H． (1)直接写出的面积_______； (2)如图，点A、B都在第一象限时，若，求m的值； (3)连结，当的面积大于4且不大于7时，直接写出m的取值范围_______． 【答案】(1)3 (2)4 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据点A，B的坐标可得的长，即可求解； （2）延长交x轴于点C，根据，即可求解； （3）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，轴，轴， ∴，， ∴的面积为； 故答案为：3 （2）解：如图，延长交x轴于点C， ∵轴， ∴轴， ∵点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：点A在第一象限或y轴上、点B在第一象限时，， 由（2）得：，，， ∵的面积大于4且不大于7， ∴， 解得：； 如图，点A在第二象限，点B在第一象限时，，延长交x轴于点C， 此时，，， ∵的面积大于4且不大于7， ∴， 解得：， ∴； 如图，点A在第二象限，点B在第二象限或y轴上时，，过点A作轴于点D，延长交x轴于点C， 此时， ∴， ， ∴， ∵的面积大于4且不大于7， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，m的取值范围为或． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点A的坐标为 ①点，，中，与点A为“等距点”的是____； ②若点M的坐标为，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在y轴上有一点，连接，，，．若三角形的面积为三角形的面积的倍时，求出b的值． 【答案】(1)①C，D；②点或 (2)或 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可； ②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：C，D； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或 ∴点或 （2）解：∵点与点两点为“等距点” ∴或 解得： ∴，或，（舍去）或，或，（舍去） ∴，或，， 当，时 分别过点E，F向x轴作垂线，垂足为P，Q，过点F向y轴作垂线，垂足为K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴    当，时 与y轴交于点K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，或    9．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标表示为． (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点到轴和轴的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，在x轴上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． （1）在x轴上的点纵坐标为0，据此求出x的值即可得到答案； （2）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解；∵点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或 解得或， 当时，， 即此时点的坐标为； 当时，， 即此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 10．（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知点，，点B是平面直角坐标系中一点，且． (1)若点B在轴上，求满足条件的点B的坐标； (2)若点B在过点A且平行于坐标轴的直线上，求满足条件的点B的坐标． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】本题考查了点的坐标、三角形的面积表示，与坐标轴平行的直线上点的特征，利用点的坐标表示相应线段的长是解题的关键． （1）根据点B在轴上，可设点B的坐标为，再利用的面积为2，列方程求解； （2）当点B在过点A且平行于坐标轴的直线上时，画出图象，设点B的坐标为，再利用的面积为2，列方程求解；当点B在过点A且平行于坐标轴的直线上时，画出图象，设点B的坐标为，再利用的面积为2，列方程求解，最后综合两种情况，得出所有满足条件的点B的坐标． 【详解】（1）解：如图1，若点在轴上，可设， ， ， ，， 点的坐标或． （2）解：如图2，当点B在过点A且平行于坐标轴的直线上，可设， ， ， ， 或， 解得或， 点B的坐标或． 如图3，当点B在过点A且平行于坐标轴的直线上，可设， ， ， ， 或， 解得或， 点B的坐标或． 综上可得，点B的坐标或或或． 【经典计算题三 已知点所在的象限求参数】 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为_______． (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为；请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)或 (3)点是“角平分线点”． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“角平分线点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为6，到轴的距离为4， ∴点的“长距”为6． 故答案为：6； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 2．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限． (1)求两点的坐标； (2)是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点的坐标为 【分析】本题主要考查了点坐标与图形、点所在的象限，熟练掌握点坐标的应用是解题关键． （1）先根据点在轴的负半轴上，可得；再根据点在第二象限，轴，且，可得； （2）先求出的面积和的面积，再根据使以为顶点的四边形的面积等于可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵点在轴的负半轴上，， ∴； ∵点在第二象限，轴，且，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∴的边上的高为， ∴， ∵以为顶点的四边形的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∴存在，使以为顶点的四边形的面积等于，此时点的坐标为． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在第四象限，则的取值范围是________； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据第四象限内，横坐标为正，纵坐标为负，建立不等式组解答即可； （2）点在第二、四象限的角平分线上，得解答即可． 本题考查了点与象限，第二、四象限的角平分线上的点的坐标互为相反数，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：点在第四象限， 解得． 故答案为：． （2）解：点在第二、四象限的角平分线上， 得， 解得． 故答案为：0． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知是第二象限内的一个点，且点P到两坐标轴的距离之和为5，则点P的坐标是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握每个象限坐标的特征是解题的关键． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的相反数，列方程求出a的值，再求解即可． 【详解】解：因为是第二象限内的一个点，且点到两坐标轴的距离之和为5， 所以， 解得， 所以， 所以点的坐标为． 5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P在y轴上； (3)点P到两坐标轴的距离相等； (4)点P与点的连线平行于x轴． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查求点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键： （1）根据x轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）根据y轴上的点的横坐标为0，进行求解即可； （3）根据点P到两坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可； （4）根据平行于x轴上的点的纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：点P在x轴上， 纵坐标为0，即   ， ； （2）点P在y轴上， 横坐标为0，即， ， ； （3）点P到两坐标轴的距离相等， 横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数 ①，即； ； ②，即， ； 综上：或； （4）点P与点的连线平行于x轴， 点P的纵坐标是3， 即：， ，   ． 6．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知点 (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q满足轴，点Q的横坐标是3，且，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点Q为或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质． （1）根据x轴上点的坐标特征进行计算即可； （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征及进行计算即可． 【详解】（1）解：点P在x轴上，在x轴上的点其纵坐标为0， ， 解得， ， 点P的坐标为； （2）解：轴，Q的横坐标是3， ， 解得， ，即， ， ， 解得或， 点Q为或． 7．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标． (2)若点A在过点且与y轴平行的直线上，求点A的坐标． (3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)点A的坐标为 (3)或 【分析】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面内点的坐标特征，平移的性质是解题的关键． （1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案； （2）根据点A在过点且与y轴平行的直线上，得到A，B两点的横坐标相同，求出x的值，则可得出答案； （3）由题意得出，解方程可得出答案． 【详解】（1）∵点A在x轴上， ∴ ∴， ∴， ∴点A的坐标为． （2）∵点A在过点且与y轴平行的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为 （3）∵将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上， ∴， ∴或． 8．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P的纵坐标比横坐标大3； (2)点P在y轴上； (3)点P在过点且与x轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，点的坐标，一元一次方程的应用，用到的知识点为：y轴上的点的横坐标为0；平行于x轴的直线上的点的横坐标相等． （1）根据点P的纵坐标比横坐标大3列出方程，进而求解即可； （2）根据点P在y轴上列出方程，进而求解即可； （3）根据点P在过且与x轴平行的直线上列出方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， ∴，， ∴P点的坐标为； （2）解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴P点的坐标为； （3）解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴P点的坐标为． 9．（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若轴，且，求的值． 【答案】(1)点坐标为； (2)或． 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟知坐标轴上点的坐标特点是解题的关键． （）根据轴上点的横坐标等于解答即可； （）根据轴可知，求出的值，再由可知，进而可得出的值． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴横坐标为， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）解：∵轴， ∴纵坐标相等， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∵， ∴， ∴或． 10．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知点，解答以下问题： (1)若点在第二象限的角平分线上，求点的坐标． (2)已知直线轴，且点的坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据第二象限角平分线的性质，第二象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，据此列出关于的方程求解，进而得到点坐标． （2）依据平行于轴的直线上的点横坐标相等这一性质，列出关于的方程求解，从而确定点坐标 ． 本题主要考查了平面直角坐标系中象限角平分线的性质以及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，熟练掌握这些性质和特征是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在第二象限的角平分线上， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵轴，且点的坐标为 ∴ ∴． ∴ 【经典计算题四 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标】 1．（24-25八年级下·河北·期中）如图，三角形ABC和三角形DEF在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1． （1）分别写出A，B，C的坐标； （2）若三角形DEF可以看作是三角形ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由三角形ABC得到三角形DEF的过程． 【答案】（1）A (0，-2)，B (3，-3)，C (3，-2)； （2）先作ABC关于y轴对称的， 再将向上平移5个单位长度可得 【分析】（1）根据点坐标的定义解答即可； （2）由轴对称和平移的性质可得． 【详解】解：（1）A，B，C三点的坐标分别为(0，-2)，(3，-3)，(3，-2)； （2）先作△ABC关于y轴对称的△AB′C′， 再将△AB′C′向上平移5个单位长度可得△DEF. 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-轴对称变换和平移，熟知轴对称和平移的性质是解答此题的关键． 2．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)若直线与线段有交点，求的取值范围； (3)若直线与轴，直线围成的封闭图形（不包括边界）有个整点（横、纵坐标均为整数的点），直接写出的取值范围． 【答案】(1)画图见解析，直线的解析式为； (2)； (3)的取值范围是． 【分析】此题考查了一次函数的图象与性质， 根据两条直线的交点求不等式的解集，点的平移， 掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据点的平移得出，然后画出函数图象， 再通过待定系数法即可求出解析式； （）通过直线与线段有交点，列出不等式即可； （）由经过定点， 再结合图象即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点，， ∴， 如图， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）得，直线的解析式为， ∵轴， ∴的横坐标为， ∵直线与线段有交点， ∴， 解得：； （3）解：由， ∴经过定点， 如图， ∵直线围成的封闭图形（不包括边界）有个整点， ∴当时，，当时，， 联立得：， 解得：， ∴的取值范围是． 3．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（﹣2，2）． （1）把△ABC向下平移8个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）画出与△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2； （3）若点P（a，b）是△ABC边上任意一点，P2是△A2B2C2边上与P对应的点，写出P2的坐标为　 　． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（a，b-8）． 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可； （3）利用关于y轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作； （3）点P（a，b）向下平移8个单位得P1（-a,b-8）关于y轴对称的点P2的坐标为（a，b-8）． 故答案为：（a，b-8）． 【点睛】本题考查了作图－轴对称变换、平移变换．作图时要先找到图形的关键点，再找对称点或平移后的对应点位置，再连接即可． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，点A(t+1，t+2)、点B(t+3，t+1)，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． （1）用t表示点C的坐标为_______；用t表示点B到y轴的距离为___________； （2）若t=0时，平移线段AB至MN（点A与点M对应），使点Ｍ落在ｘ轴的负半轴上，三角形MNB的面积为4，试求点M、N的坐标． 【答案】（1）C（t+4，t－2）；；（2）M(－3，0)，N（－1，－1）． 【分析】（1）根据平移规律即可得到结论； （2）当时，，，设，由围矩法求出，得出，由平移的性质即可得出点的坐标． 【详解】解：（1）C（t+4，t－2）； （2）若t=0，则A（1，2），B（3，1） 过作轴的垂线，过作轴的垂线、过作轴的垂线，交轴于，交前面垂线点、，如图所示： 由平移性质知的面积的面积， 设， 则， 解之得：， ， 点向左平移4个单位，再向下平移2个单位到， 点向左平移4个单位，再向下平移2个单位到， 点． 【点睛】本题考查了点的平移和线段的平移．关键是掌握坐标平移的规律：左减右加，上加下减．还考查了用割补法求三角形的面积． 5．（24-25八年级上·广西百色·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于轴对称的； (2)将向左平移4个单位长度，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)和关于直线对称，作图见解析 【分析】题目主要考查坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴． （1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据平移规律，画图即可． （3）根据坐标的特点，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故关于轴对称的坐标为， 如图所示，为所求： （2）解：根据题意，得， 平移后的坐标为， 如图所示，为所求： （3）解：由（1）和（2）知，， ∴， 故和关于直线对称，画图如下： 6．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，函数（为常数，）的图象与函数的图象交于点． (1)求k，m的值； (2)将函数图象上的一点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，点的平移． （1）将代入即可求出m的值，将A点坐标代入即可求出k的值； （2）设点坐标为，则点平移后得到的点坐标为，点代入计算求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）将代入， 得， 将代入， 得， 解得； （2）已知点在函数图象上，设点坐标为， 则点平移后得到的点坐标为， 将点代入， 得， 解得， 所以点坐标为． 7．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将向上平移个单位长度得到，画出，并写出的坐标； (2)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系，坐标系中的平移和轴对称，熟练掌握坐标系中的平移和轴对称的规律，并会用割补法求坐标系中的三角形面积是解题的关键． （1）利用平移作图即可，再根据图象即可得出的坐标； （2）利用轴对称作图即可，再根据图象即可得出的坐标； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 其中； （2）解：如图，即为所求， 其中； （3）解：． 8．（24-25八年级上·浙江·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； （2）解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 9．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知点，把点向上平移个单位得到点． (1)写出点的坐标． (2)如果点和关于轴对称，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查坐标平移变换与轴对称变换，掌握坐标平移变换与轴对称变换规律是解题的关键． （1）根据坐标平移变换规律：“左减右加，上加下减”求解即可； （2）根据关于轴对称的坐标变换规律：横向坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】（1）解：∵点向上平移个单位得到点， ∴． （2）解：∵点和关于轴对称， ∴， ∴． 10．（22-23八年级上·广西百色·期末）已知，在平面直角系中如图所示，请完成下面作图： (1)将向下平移5个单位长度得到，请画出； (2)画出关于y轴的对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图和轴对称作图，熟练掌握和运用平移作图和轴对称作图的方法是解决本题的关键． （1）根据平移的性质，即可画出图形； （2）首先画出各顶点关于轴的对称点，再连线即可画得． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求． 【经典计算题五 由平移方式确定点的坐标】 1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，已知正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度． (1)请在这个正方形网格中，建立一个平面直角坐标系，描出点，，，．画出四边形； (2)直线上的任意一点的纵坐标是___________； (3)若将四边形向左平移三个单位，再向下平移两个单位，则点的对应点的坐标是___________； (4)求四边形的面积是___________平方单位。 【答案】(1)见解析； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及点的坐标、图形的平移作图、网格中图形的面积等知识，准确建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中分别描出点，，，并顺次连接，即可得到四边形； （2）根据点、的纵坐标均为，可知轴，所以直线上的点的纵坐标均为； （3）根据平移的方向和距离求出点的坐标即可； （4）把四边形补充成一个的矩形，利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如下图所示，在网格中建立平面直角坐标系， 在平面直角坐标系中分别描出点，，，并顺次连接， 得到四边形即为所求； （2）解：点、的纵坐标均为， 轴， 直线上的任意一点的纵坐标是， 故答案为：； （3）解：点的坐标是， 把点向左平移三个单位，得到的横坐标是，向下平移两个单位，得到的纵坐标是， 点的坐标是， 故答案为：； （4）解：如下图所示，把四边形补充成一个的矩形， 则四边形的面积为：． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1)________；A点的坐标是________； (2)写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； 【答案】(1)1； (2)； (3)3 【分析】本题考查了坐标与图形变化中的平移、三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标利用三角形的面积公式得出的方程； （1）由点在轴上可求出值，将其代入点的坐标中即可得出点的坐标； （2）依据点的平移可得出点、的坐标； （3）设直线与轴的交点为，则点的坐标为，可求出，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，点在轴上， ， 解得：， 点． 故答案为：1，； （2）解：将点向右平移5个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，将点向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点， 点，点，，即，， 故答案为：，； （3）解：设直线与轴的交点为，如图1，则点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ； 3．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，．将三角形先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到三角形，点，，的对应点分别为点，，． (1)请在图中画出三角形； (2)直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平移规律算出、、平移后对应点、、的坐标，再描点连线得到； （2）依据平移规律直接计算点平移后的坐标 ． 本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移及点的坐标变化规律，熟练掌握“图形平移时，对应点遵循‘左减右加，上加下减’的坐标变化规则”是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，为所求， （2）解：由图可得坐标为 ． 4．（24-25七年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，点是三角形的边上一点，把三角形经过平移后得到三角形点的对应点分别为点，此时点的对应点为点． (1)请直接写出三点的坐标； (2)画出三角形． 【答案】(1)； (2)作图见解析 【分析】本题考查了平移变换． （1）直接利用P点平移变化规律得出答案； （2）直接利用各对应点位置进而得出答案． 【详解】（1）解：点的对应点为点， 的对应点为， 的对应点为， 的对应点为； （2）如图所示，即为所求． 5．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形． (1)画出平移后的三角形，写出的坐标； (2)连接，D为上的动点，求出的最小值． 【答案】(1)详见解析，的坐标为 (2)CD的最小值为 【分析】本题考查作图——平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）过点C作的垂线，交于点D，此时取得最小值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，三角形ABC向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到三角形， 如图，三角形即为所求． 由图可得，的坐标为 （2）解：过点C作的垂线，交于点D，此时取得最小值， 的最小值为． 6．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，已知的顶点分别是点、、 ．将沿轴向左平移个单位长度，得到． (1)若，则点的坐标为______，点的坐标为______； (2)已知四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质即可得到结论； （2）根据平移的性质和梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵将沿轴向左平移个单位长度，得到，点、， ，， 即，、 故答案为：，； （2）解：∵四边形的面积， ． 7．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C三点均在格点上． (1)请建立合适的平面直角坐标系（在图中画出），使点B的坐标为，点C的坐标为；并写出A的坐标______； (2)将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的； (3)在（1），（2）的条件下，若线段AC上有一点，则平移后的对应点的坐标为______． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据点B的坐标为，点C的坐标为，建立平面直角坐标系，进而可得点A的坐标； （2）根据平移的性质即可将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，进而画出平移后的； （3）结合（2）根据点，可得平移后的对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求，点A的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵点， ∴平移后的对应点的坐标为， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为点．平移，使得点A平移到点的位置，点B，C平移后的对应点分别是点，得到． (1)写出点的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据坐标系，直接写出点的坐标即可； （2）由题意得，向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到，根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：由坐标系可得：点的坐标为． 故答案为：． （2）解：由题意得，向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到，则如图：即为所求． 9．（24-25七年级下·四川广元·期末）学校食堂某区域布局如图所示（每个方格边长为），已知餐桌A的坐标为，取餐窗口B位于坐标原点的西北方向． (1)在图中建立平面直角坐标系，并写出回收车 C的坐标； (2)用方向和距离描述洗手池D 相对于回收车 C的位置； (3)因卫生检查，需将A、B、C三点构成的三角形区域，先向左平移1格，再向下平移2格，画出平移后的三角形，并计算该三角形区域的占地面积． 【答案】(1)建立平面直角坐标系见解析，点C坐标为 (2)洗手池D 在回收车 C正东边处 (3)画图见见解析，该三角形区域的占地面积 【分析】本题考查了平面直角坐标系，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）根据点A的坐标确定原点位置，建立平面直角坐标系，即可得出答案； （2）根据C、D的位置即可解答； （3）根据平移的性质描出A、B、C的对应点，然后顺次连接得出，然后根据割补法求的面积即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示， 由图可得，点C坐标为； （2）解：取餐窗口B位于坐标原点的西北方向．则由图可得，洗手池D 在回收车 C正东边处； （3）解：如图， ， 即该三角形区域的占地面积． 10．（24-25七年级下·河南安阳·期末）平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，三角形的面积为_____． (2)如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标_____；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为_____、_____； ②点是一动点，若三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点坐标． 【答案】(1)3 (2)①；②点坐标或 【分析】本题考查平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”，属于中考常考题型． （1）利用三角形面积公式求解即可； （2）①利用平移变换的坐标变换规律求解即可； ②根据两三角形面积相等，构建方程求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ，，， ， 的面积， 故答案为：3； （2）解：①∵将点向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ∴点D的坐标为，即点， 同理：，， ∴点E的坐标为，点F的坐标为 故答案为：； ；． ②，，， ∴ ∴ 解得：或， ∴点坐标或． 【经典计算题六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，三角形的位置如图所示，三角形内任意一点经平移后对应点为．若将三角形作同样的平移得到三角形．（点、、的对应点分别为点、、） (1)画出三角形； (2)写出，的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)， 【分析】本题考查的是由坐标变化确定平移方式，画平移图形； （1）由题意先确定平移方式：三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，再根据平移的性质画图即可． （2）根据，在图中位置可得其坐标． 【详解】（1）解：∵三角形内任意一点经平移后对应点为， ∴三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴如图，即为所求； （2）解：由图形可得：，． 2．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸内将三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)画出三角形，其中点的对应点分别为点； (2)这个平移过程可以看作三角形先向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度； (3)若三角形经过一次平移得到三角形，求线段平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)左，，下， (3)20 【分析】本题考查平移的性质，平移作图，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据点和点的位置，得出平移的方向和距离，据此可解决问题； （2）根据（1）所画图形即可解决问题； （3）根据平移的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：这个平移过程可以看作先向左平移个单位，再向下平移个单位， 故答案为：左，，下，； （3）解：． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，如图所示． (1)分别写出点，的坐标： ， ； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，经过平移后，点在三角形中的对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)，； (2)是由先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； (3)， ． 【分析】本题主要考查了图形的平移、用坐标表示点的位置． 由网格图可知，点的坐标为，点的坐标为； 根据点的坐标为，点的坐标为，可得是由先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； 根据点的坐标和平移的方向、距离，可知平移后点的对应点的坐标为，又因为对应点的坐标为，可以得到关于、的方程，解方程即可求出和的值． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：，， 是由先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； （3）解：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 随着平移后的横坐标为，纵坐标为， 平移后点的坐标为， 又点的坐标为， 可得：， 解得：． 4．（24-25七年级下·广东阳江·期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，距今已有4000多年的历史，如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，． (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系，并写出C、D两颗棋子的坐标：C( ， )，D( ， )． (2)线段AB平移后得到线段，点A的对应点是，说明平移方式，并求出点B的对应点的坐标． 【答案】(1)图见解析，2，1；， (2)向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度，点的坐标为． 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． （1）直接利用，得出原点的位置进而建立坐标系得出答案； （2）利用所建立的平面直角坐标系可得出平移后点的坐标可得答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． 由图可知，，； （2）解：由题意得，平移方式是：向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度． ∴点的坐标为． 5．（24-25七年级下·湖北随州·期末）已知三角形是由三角形经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： 三角形 三角形 (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：先向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度可以得到； (2)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ___________，___________，； (3)在平面直角坐标系中画出三角形和三角形． 【答案】(1)右，4，上 ，1 (2) ，，5； (3)见解析 【分析】本题考查作图—平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．解题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）点向右平移4个单位得到点，点向上平移1个单位得到点； （2）利用点平移的规律可确定、、的值； （3）描点画图即可． 【详解】（1）解：点向右平移4个单位得到点，点向上平移1个单位得到点， 故答案为：右，4，上 ，1． （2）解：∵，，，，，， ∴，，， 故答案为： ，，5； （3）解：如图，三角形及三角形即为所作． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）三角形的三个顶点的坐标分别为．若将三角形平移，使点A平移到点处，写出三角形沿坐标轴方向平移的一种方式，以及点B和点C的对应点的坐标． 【答案】平移方式是先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度；点对应点的坐标，点对应点的坐标． 【分析】本题考查了平移的性质、图形与坐标等知识点．根据点A平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可确定点B和点C的对应点的坐标． 【详解】解：由题可知平移后得到点； ∴平移方式是先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度； ∴点先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到； ∴点先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式，以及点的坐标． 【答案】平移规律为向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度；，，． 【分析】本题考查了作图-平移变换，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离. 利用点P与点P1的坐标特征得到点P向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度得到点P1，然后利用此平移规律写出的坐标． 【详解】解：∵点经平移后对应点为， ∴平移规律为向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度， ∴平移后得到三角形的坐标分别为：，，． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，图形Ⅱ可以由图形I经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ 【答案】见详解 【分析】本题考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是掌握平移的性质． 根据图形的平移变换作答即可． 【详解】解：图（1）将图形I向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到图形Ⅱ．把平移前各点的横坐标都减3，纵坐标都减6，就得到平移后各对应点的坐标； 图（2）将图形I向右平移6个单位长度，再向上平移8个单位长度得到图形Ⅱ．把平移前各点的横坐标都加6，纵坐标都加8，就得到平移后各对应点的坐标． 9．（24-25七年级下·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点和，请解答下列问题： (1)标出点，并连接和； (2)把三角形平移至三角形，且点的对应点为点，点的对应点为点． ①画出三角形； ②三角形的面积为_____； (3)在图中不添加线的情况下，与线段平行且相等的线段是_____． 【答案】(1)图见解析 (2)①图见解析②7 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据要求，描点，连线即可； （2）①根据平移规则画出三角形即可；②分割法求出三角形的面积即可； （3）根据平移的性质作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）①如图，即为所求； ②； （3）由图可知：与线段平行且相等的线段是； 故答案为： 10．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，把三角形平移后，三角形内任意一点对应点为． (1)在图中作出平移后的三角形，直接写出 点的对应点的坐标为________________； 点的对应点的坐标为________________； 点的对应点的坐标为________________； (2)连接，用无刻度直尺在轴上画出点，使． 【答案】(1)图见解析；，， (2)见解析 【分析】本题考查坐标与平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据点的对应点为，得到平移规则为先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，画出三角形，进而写出点的坐标即可； （2）根据平移的性质，利用平移思想，作，即可． 【详解】（1）解：根据题意，平移规则为先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，如图所示：三角形为所求； 由图可知：，，； （2）， 如上图所示：点为所求； 作点P关于的对称点，连接并延长，交y轴于点， 如上图所示：点为所求． 【经典计算题七 已知图形的平移，求点的坐标】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，三角形中，任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到．求的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了平移， 根据点P和点得出平移变换的方式，进而根据同样的平移方式画出平移后图象，继而根据平面直角坐标系求得的坐标即可． 【详解】解∶∵点经平移后对应点， ∴P点向上平移3个单位，向左平移2个单位， ∴向上平移3个单位，向左平移2个单位得到， 如图，即为所求， ∴． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，各顶点A，B，C的坐标分别为，，； (1)若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出、、的坐标，并在图中画出平移后图形． (2)点是上任意一点，它平移后的对应点是，写出的坐标． 【答案】(1)图见解析，、， (2) 【分析】本题考查平移作图，点的坐标，根据平移方式确定平移后点的坐标，熟练掌握平移的性质与平移的点的坐标规律“左减右加、上加下减”是解题的关键． （1）利用平移的性质作出点A、B、C的对应点，再顺次连接起来，然后根据点的位置写出点的坐标即可； （2）根据“左减右加、上加下减”的规律求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， 由图可得：、，． （2）解：点向上平移2个单位，再向左平移1个单位得点， ∴． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，．将三角形先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，可以得到三角形（点A，B，C的对应点分别为点，，）． (1)请在图中画出三角形； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，熟练掌握平移性质并正确作出图形是解答的关键． （1）先利用平移性质得到对应点的位置，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形， （2）根据点的坐标的平移规律，由（1）对应位置写出坐标即可； 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：由图形可知． 4．（24-25七年级下·山东日照·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，将平移后得到，它们的各顶点坐标如下表所示： (1)观察表中各对应点坐标的变化，可由经过怎样的平移得到？ (2)在平面直角坐标系中，画出和； (3)连接，，则四边形的面积为_____． 【答案】(1)先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 (2)见解析 (3)6 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和图形平移的性质，牢记图形平移的性质是解题的关键． （1）平移的方向和距离与的顶点，，移动的方向和距离相同，据此可求得答案． （2）根据向右平移个单位长度，向上平移个单位长度可以得到，点，可得，同理可得，，顺次连接点，，得到即为所求． （3）根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：平移的方向和距离与的顶点，，平移的方向和距离相同． 观察表格可知，点均向右平移个单位长度得到对应点；点向上平移个单位长度即可得到对应点， 所以，向右平移个单位长度，向上平移个单位长度可以得到． （2）解：∵向右平移个单位长度，向上平移个单位长度可以得到，点， ∴， 同理可得，， （3）解：， ∴四边形的面积为． 5．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，点B坐标为，且． (1) ， ，点B的坐标为 ． (2)点C在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接．若的面积为16，求线段的长． 【答案】(1)3，， (2)8 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，坐标和图形的性质，三角形的面积，平移的性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由非负数的性质可求出，，则可得出答案； （2）由（1）可知，由平移可知点B的对应点为点C，点B的纵坐标为，可得点D与点A的纵坐标之差为4，得点D到的距离为4，再结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，且，， ，， ，， 则点B的坐标为， 故答案为：3，，； （2）由（1）可知， ∵轴， ∴点C纵坐标为3， 由平移可知点B的对应点为点C， ∵点B的纵坐标为， ∴点C与点B的纵坐标之差为， ∴点D与点A的纵坐标之差为4， ∵轴， ∴点D到的距离为4， ∵， ∴． 6．（24-25七年级下·江西上饶·期末）如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出． (2)若点是内部的一点，则内部的对应点的坐标为______． (3)经过（1）中的平移，线段扫过的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【分析】本题考查作图-平移变换、平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的规律即可得到结论； （3）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：∵点， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：在平移过程中， 线段扫过的图形的面积为． 故答案为：12． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图，长方形可以由长方形经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ （2）点是长方形上一点，写出点P的对应点的坐标． 【答案】（1）长方形可以由长方形向右平移3个单位，然后向上平移2个单位得到； （2）． 【分析】本题考查了平移与坐标变化． （1）先确定出点A与点的坐标，然后依据点A与点的位置可确定出平移的方向和距离； （2）依据平移与坐标变化的规律求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴点由点A向右平移3个单位，然后向上平移2个单位得到． ∴长方形可以由长方形向右平移3个单位，然后向上平移2个单位得到； （2）点对应点的坐标为． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）对于坐标系中的图形M上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“n型平移”，点称为将点P进行“n型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“n型平移”称为将图形M进行“n型平移”．例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点Q进行“型平移”．已知点． (1)在图中建立平面直角坐标系，并画出线段进行“2型平移”后的对应线段，直接写出，的坐标； (2)将线段进行“n型平移”后与y轴有公共点，直接写出n的取值范围_____； (3)将（1）中四边形进行“n型平移”后与x轴有公共点，请直接写出n的取值范围是____． 【答案】(1)平面直角坐标系和平移见解析，点坐标为，点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的平移变换，属于创新题型．理解“n型平移”的意定义，熟练运用点的平移规律是解题关键． （1）根据题目中“n型平移”的定义得到，的坐标，从而得到线段； （2）当点B向上移到y轴上时，求得n的最小值；继续下移，当A点在y轴上时，n取得最大值． （3）当点向下移到x轴上时，求得n'的最小值；四边形继续下移，当A点在x轴上时，n取得最大值． 【详解】（1）解：平面直角坐标系和平移后的线段如图所示， ∴平移后点坐标为，即，点坐标为，即； （2）解：将线段进行“n型平移”后点坐标为，点坐标为， ∵与y轴有交点， ∴，， 解得， 故答案为：； （3）解：（1）中四边形进行“n型平移”后点的坐标为，，，， ∵与x轴有交点， ∴，， 解得， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，求点D的坐标； (2)动点（不与点B重合）是x轴上一动点，的面积为S，直接写出S与t之间的关系式（即用t表示S），并写出对应的t的取值范围； (3)平移线段到线段，使点A的对应点为F，点B的对应点为E，且点E在y轴的正半轴上，点F在第二象限内，连接，，如图2所示．若（表示的面积），求点E、F的坐标，并直接写出与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】本题考查坐标与平移变换-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）首先根据B，C点的坐标找到点的平移方式，然后根据点的平移规律即可得出答案； （2）分和两种情况结合三角形面积公式求解即可； （3）首先根据B，C点的坐标找到点的平移方式，然后设出点E，F的坐标，利用面积求解即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，平移后的对应点C的坐标为， ∴可设，， ∴， 即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C， ∵点A的坐标为， ∴A点平移后的对应点； （2）解：∵点B的坐标为，且点（不与点B重合）是x轴上一动点，点A的坐标为， ∴当时，，， ∴，即； 当时，，， ∴，即 综上，； （3）如图，连接， 设点E的坐标为， ∵点E在y轴上，点F在第二象限， ∴线段向左平移3个单位，再向上平移y个单位得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 10．（24-25七年级下·新疆省直辖县级单位·期中）如图，在边长为的正方形网格中，． (1)平移线段到线段，使点与点重合，写出点的坐标是_______ (2)直接写出线段平移至线段处所扫过的面积是_______； (3)平移线段，使两端点都在坐标轴上，请画出平移后的线段，并直接写出的坐标为_______． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，或 【分析】本题考查了图形的平移，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． （）根据点和点的坐标可知线段先左平移个单位长度得到线段，据此即可求解； （）由题意可知线段平移至线段处所扫过的面积即为平行四边形的面积，据此解答即可； （）根据题意画出图形，根据图形解答即可求解； 【详解】（1）解：点向左平移个单位长度得到点， ∴点向左平移个单位长度得到点，即， 故答案为：； （2）解：如图，线段平移至线段处所扫过的面积即为平行四边形的面积， ∴面积为， 故答案为：； （3）解：①如图，平移到轴，平移到轴， 则； ②如图，平移到轴，平移到轴，如图， 则； 综上，的坐标为或， 故答案为：或． 【经典计算题八 已知平移后的坐标求原坐标】 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，由平移所得，三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到． (1)请画出平移后的； (2)求的面积； (3)已知点为中任意一点，按照的平移规则平移后的对应点为，若的坐标，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点的坐标为 【分析】本题考查了坐标点的平移、三角形的面积公式，利用平移的性质正确作图是解题的关键． （1）利用平移的性质分别画出顶点的对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用割补法即可求出的面积； （3）设点的坐标为，利用平移的规则和点的坐标表示出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积． （3）解：设点的坐标为， 根据平移规则可得，点向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到点， ， 解得：， 点的坐标为． 2．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）如图，先将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出经过两次平移后的图形，并写出的坐标； (2)已知三角形内部一点P的坐标为，若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，请直接写出的值； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)，图见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查坐标与图形、图形的平移、三角形面积的计算： （1）将的三个顶点按平移方式进行平移得到对应点，顺次连接即可； （2）根据平移方式得出平移前后坐标之间的关系，即可求解； （3）用所在正方形的面积减去周围小三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：两次平移后的图形三角形如下所示，． （2）解：由题意知，向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， ，， ，； （3）解：． 3．（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 【答案】（1）8.5；（2）见解析；（3），平行且相等 【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积； （2）利用点P和P1的特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律作图即可； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M，从而得到M点的坐标，然后根据平移的性质判断线段MM1，PP1之间的关系． 【详解】解：（1）△ABC的面积＝； （2）如图，△A1B1C1为所作； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M点的坐标为(0,6)， 由平移的性质知，MM1与PP1平行且相等． 故答案为：8.5，(0,6)；平行且相等． 【点睛】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是掌握由点的坐标确定平移的方向与平移距离． 4．（2025·安徽淮南·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，给出了格点(顶点是网格线的交点)． （1）将先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到，画出平移后的； （2）以点为位似中心，在点的异侧作，使它与的位似比为2，画出，并求出的周长． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析，． 【分析】（1）先利用平移的性质得到对应点，然后再顺次连接对应点即可； （2）先利用位似性质得到对应点，然后再顺次连接对应点即可得到，然后再求其周长即可． 【详解】解：（1）如解图所示； （2）如解图所示； ，， 的周长， 与的位似比为2， 的周长的周长． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及平移变换，根据位似变换以及平移变换的性质得到对应点　是解答本题的关键． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（1，﹣3），将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△ ,其中点 分别是点A,B,C的对应点. （1）请你在给出的坐标系中画出和写出点A′，C′的坐标； （2）若△ABC内的一点P经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示P点的坐标 ；（直接写出结果即可） （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）图详见解析，A′（1, 2），C′（6， 0）；（2）P（）；（3）8.5. 【分析】（1）根据平移规律，坐标的平移规律与图形的平移规律相同，将三个顶点坐标分别进行平移得到对应点的坐标，然后依次连线，写出点的坐标即可. （2）根据坐标的平移规律，用平移后的点按照相反的方向进行平移，即可找到平移前的对应点. （3）利用割补法，将三角形补成矩形，然后用矩形面积分别减去其它三角形的面积即可得到三角形ABC的面积. 【详解】解：(1)根据坐标平移规律，分别将A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（1，﹣3），向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度,，依次连线即可. 即 （2）△ABC内的一点P经过上述平移后的对应点为，其平移规律为向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所以要求P点坐标，要按照相反的方向平移，即向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，即P点坐标为（） (3)如图，将△ABC补成矩形BEGF, 【点睛】本题考查了坐标平移规律，平移作图，用割补法求图形面积，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规律，能够根据图形进行割补，将非规则图形割补成规则图形以便求解. 6．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，已知△ABC经过平移后得到△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，已知点A（3，3）、D（-2，1），解答下列问题： （1）请在坐标系中画出平移后的△DEF； （2）请直接写出以下点的坐标：B（___，___）、C（___，___）、E（___，___）、F（___，___）； （3）若点P（x，y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为Q（3，5），则P点坐标为（____，____）． 【答案】（1）如图所示，见解析；（2）B（1，2）、C（4，0）、E（-4，0）、F（-1，-2）；（3）P(8,7) 【分析】（1）由A（3，3）的对应点D（-2，1）可得：向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，据此画出图形； （2）由图形直接写出点的坐标； （3）由A（3，3）的对应点D（-2，1）可得：横坐标减5个单位长度，纵坐标减2个单位长度，根据平移方式可得：x-5=3,y-2=5,求得x、y的值即可. 【详解】（1）如图所示， （2）由图可得：B（1，2）、C（4，0）、E（-4，0）、F（-1，-2）； （3）∵A（3，3）的对应点D（-2，1）, ∴横坐标减5个单位长度，纵坐标减2个单位长度, ∴x-5=3,y-2=5, ∴x=8,y=7, ∴点P（8,7）. 【点睛】考查了坐标与图形变化-平移；关键是根据坐标系中点的坐标确定方法，对应点的坐标特征，通过观察发现规律，列方程求解． 7．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，，，．将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．    (1)画出三角形，并写出、、的坐标； (2)已知内部一点P的坐标为，若点P随一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，则______，______． (3)已知点P在坐标轴上，以、、P为顶点的三角形面积为三角形ABC面积的一半，则P点的坐标为______． 【答案】(1)见解析，；； (2)，0 (3)或或或 【分析】本题考查平移作图，平移坐标变换，坐标与图形．熟练掌握利用平移的性质作图和平移的坐标变换规律是解题的关键． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”，得出，，求解即可； （3）分两种情况：点P在y轴上，点P在x轴上，分别 求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所作，；；；    （2）解：由题意，得，， ∴，， 故答案为：，0． （3）解：如图，    ∵， ∴当点P在y轴上时， 解得：， ∴， ∴，； 当点P在x轴上时，， 解得：， ∴， ∴，； 综上，点P的坐标为或或或． 8．（23-24七年级下·云南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点. (1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标：______； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标：P______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见详解， (2) (3)7 【分析】本题考查了作图−平移，点的平移，网格三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用点平移的坐标规律写出点，，的坐标，然后描点即可； （2）把点向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点P，从而确定P点坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作， ∵， ∴将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度后， ∴； （2）解：由题意得点向左平移5个单位，向下平移1个单位得到点P， ∴点； （3）解：． 9．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点的对应点分别是点． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标______________； (2)点是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________________． (3)求出三角形的面积． 【答案】(1)图见解析，； (2) (3) 【分析】本题主要考查了作图——平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出，的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解； （3）先求出所在的长方形的面积，然后减去四周的三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到， 平移后的，如图所示： 点的坐标是； （2）解：由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到， ∵点的对应点的坐标为， ∴点的坐标为； （3）解： 10．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知，，且满足． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求出的度数； (3)如图2，把直线以每秒1个单位的速度向左平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点． 【答案】(1)，， (2) (3)3秒 【分析】本题考查了坐标与图形的平移、与角平分线有关的三角形内角和问题、非负数的性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据非负数的性质求出a、b的值即可解决问题． （2）延长交的延长线于H，设，，设交x轴于F，想办法求出的值即可解决问题． （3）利用图象法，解决问题即可． 【详解】（1）∵． 又∵，，， ∴，， ∴，， （2）延长交的延长线于H．，，设交x轴于F． ∵， ∴，， ∵． ∴， ∴， 在，． （3）如图，观察图象可知，直线向左平移3个单位，经过， 解法二：设直线向左平移后的直线为，过点B作轴交直线于C．设， ∵ ∴， ∴， 所以，即经过3秒后，该直线与y轴交于点． 【经典计算题九 中点坐标】 1．（23-24八年级下·广西河池·期中）材料阅读 小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为． (1)知识运用： 如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________． (2)能力拓展： 在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)5； (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查坐标系内中点坐标公式，勾股定理，平行四边形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由矩形的性质得出点M为的中点，利用中点公式可得点M的坐标； （2）由平行四边形的性质可知，两条对角线中点重合，分，，为对角线三种情况，根据中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：为坐标原点，， 的长为， 矩形的对角线相交于点， 点M为的中点， 点M的坐标为，即， 故答案为：5，； （2）解：设点D的坐标为， 如图，分三种情况： 当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； 当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； ③当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； 综上可知，点的坐标为或或． 2．（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求的值与直线的函数解析式； (2)若点在直线上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，且点的横坐标为，点在直线上，且轴，，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）首先推出点的纵坐标为，再将其代入解析式计算即可解决问题； （3）由题意推出，，进而可得，解方程即可． 本题主要考查一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，一次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【详解】（1）解：把代入中， ∴， ∴， 把代入直线中， ． ， ． （2）解：由题意，∵与轴交于点， ∴当时，， ， ∵与轴交于点， ∴当时，， ， ∵点在直线上，且， 点的纵坐标为． 在中，令，可得，则， ． （3）解：设， ∵轴，点在直线上， ∴， ， ∴， ∴或． 3．（23-24八年级下·山东日照·期中）阅读材料： [阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． [运用] (1)如图，矩形的对角线相交于点M，分别在x轴和y轴上，为坐标原点，点E的坐标为，则点M的坐标为______．    (2)已知，，三点，在平面直角坐标系中存在一点D，与点A、B、C构成平行四边形，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，平行四边形和矩形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形对角线互相平分是解题的关键． （1）根据中点坐标公式计算，即可求解； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵点的坐标为，点O的坐标为， ∴点M的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设点D的坐标为， 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 4．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，和关于某一点中心对称，其中点，，，． (1)对称中心的坐标为 ； (2)将绕点O顺时针旋转得到，在平面直角坐标系中画出． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了图形的变换：中心对称与旋转变换，画旋转图形； （1）根据A、D两点的坐标即可确定对称中心； （2）确定A、B、C三个顶点旋转的对应点，依次连接即可． 【详解】（1）解： 由中点坐标公式得：， 即对称中心的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图，即为所求． 5．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）【预备知识】 （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小明同学经过思考，给出以下解答： 在图1中过作于点. 是的中线，， . 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积. （2）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知，，设点为线段的中点，则点的坐标为. 【理解内化】 如图2，在中，为边中点，连接，若，则_____； 【综合应用】 如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，过点有一条直线将面积平分，求直线的表达式． 【拓展延伸】 如图4，在平面直角坐标系中，四边形为小区的一块花园用地，其中为原点，，，，为了方便人们观赏，现计划过点修一条小路(小路宽度忽略不计)，并且可将四边形分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在，求出直线的函数表达式，若不存在，请说明理由． 【答案】[理解内化]；[综合应用]；[拓展延伸] 直线存在，表达式为： 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，中点坐标公式的应用等，解题的关键是读懂题意，理解三角形的一条中线平分该三角形的面积． [理解内化] 由为边中点，可得，故； [综合应用] 设线段的中点为，求出，根据直线平分面积，知在直线上，再用待定系数法可得直线的解析式，即可求解． [拓展延伸] 延长交轴于，设直线交轴于，求出直线函数表达式，可得，即可得，，从而，得，可求得，，再用待定系数法得直线函数表达式，即可求解． 【详解】[理解内化] 解：为边中点， ， ； 故答案为：； [综合应用] 设线段的中点为，如图： ，， ，即， 直线平分面积， 在直线上， 设直线的表达式为， ， 解得， 直线的表达式为； [拓展延伸] 直线存在，理由如下： 延长交轴于，设直线交轴于，如图： 设直线函数表达式为， 把，代入得：， 解得， 直线函数表达式为， 令得， ， ， ， ，， ， 直线平分四边形面积， ， ， ， ， 设直线函数表达式为 把，代入得：， 解得， 直线函数表达式为． 6．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，点、、都是格点． (1)写出图中点、、的坐标是：___________，B___________，___________ (2)的面积是___________． (3)如果点在边上，平分的面积，那么点的坐标是___________ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，三角形中线三角形面积，坐标与图形． （1）根据点的位置写出坐标即可； （2）用正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可； （3）根据中点坐标公式即可得到答案． 【详解】（1）解：点、、的坐标是， 故答案为： （2）的面积是 故答案为： （3）如图，点即为所求， ∵点为的中点，点、的坐标是， ∴点的坐标是 故答案为： 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点都在方格纸的格点上，坐标分别为：点，，． (1)将绕点顺时针旋转后得到，请画出； (2)将向右移动3个单位后得到，请画出； (3)与是否中心对称，若是中心对称，直接写出对称中心的坐标；若不是中心对称，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是中心对称，对称中心的坐标为 【分析】本题考查了复杂作图——旋转作图，平移作图，中心对称图形的定义，坐标中点，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）连接、、交于一点，则与是中心对称，先根据平移得到点的坐标，再根据中心对称图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，连接、、交于一点，则与是中心对称， ， 向右移动3个单位后点的坐标为， 点的坐标为，即． 8．（2025·广东惠州·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，点A在点B的左侧，连接，点C为的中点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)设平面内一动点P的坐标为，已知，求的值． 【答案】(1)， (2)24 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数，中点坐标，求代数式的值，理解题意是解题关键． （1）将两个函数联立求解即可确定，再由题意即可确定点C坐标； （2）根据题意得出，然后整理，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：联立两个函数 解得：或， ∵点A在点B的左侧， ∴， ∵点C为的中点， ∴即； （2）由（1）得， ∵，P的坐标为， ∴，整理得：， ∴ ∵， ∴原式． 9．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知直线（，为常数）过定点，且交轴于点，交轴于点． (1)①求定点的坐标； ②求面积的最小值； (2)若，点在内都且到各边距离之和为，问：是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在， 【分析】（1）①将解析式整理得出，得出直线过定点，与取值无关，令，求出的值，即可求解； ②分别求用含的代数式表示出点和点的坐标，根据三角形的面积公式求出，即可求解； （3）先求出解析式为，求出点和点的坐标，根据勾股定理求出的长，连结，，，设点的坐标为，根据得出，即可得出，分情况讨论，根据菱形的性质，列出方程求出的值，即可求出点的坐标，根据菱形的对角线互相平分，结合中点坐标即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：① 直线过定点，与取值无关， ， ． ∴直线过定点． ②当定点P为中点时，面积最小 理由：对于，，如图： 令得， 令得， 即点的坐标为，点的坐标为， ， 即面积的最小值为24． （2）解：，直线解析式为， 令得，令得， 即点的坐标为，点的坐标为， 故，， 在中，； 连结，，，设点的坐标为， 则 即 整理得， 即， 故； ∵以、、、四点为顶点的四边形是菱形， 情况一：若为边，点在内部，这样的菱形不存在； 情况二：若为对角线，取中点，则， 如图，四边形是菱形， 则，点是的中点， ∵，，， ∴ 解得：； ， ∵点是的中点，， ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合运用，勾股定理，菱形的性质，中点坐标，完全平方公式等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 10．（24-25八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义： 如果存在点，使得以为对角线的四边形是平行四边形，则称点是点关于线段的“关联点”．已知，，，，，，． (1)在点，，中，点_____是点关于线段的“关联点”； (2)求点关于线段的“关联点”的坐标； (3)若点关于线段的“关联点”在的内部，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，一次函数的应用，理解新定义是解题的关键； （1）在坐标系中描点，根据平行四边形的性质，即可求解； （2）先求得的中点为，根据新定义得出的中点为关于线段的“关联点”的中点，即可求解； （3）当为平行四边形的对角线时，点关于线段的“关联点”在上，进而找到时的临界点，求得直线的解析式，进而令，求得的最小值，进而根据坐标系可得的横坐标为的最大值，排除重合的情形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，       根据定义可得点是点关于线段的“关联点”； 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴的中点为 ∵平行四边形的对角线为， ∴的中点为关于线段的“关联点”的中点， ∵ ∴点关于线段的“关联点”的坐标为 （3）解：如图， ∵在直线上， 当为平行四边形的对角线时， ∴点关于线段的“关联点”在上， 连接， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得， ∴直线的解析式为 当时，，则 设直线的解析式为 代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ 根据坐标系可得的中点为，则 ∴当时，点关于线段的“关联点”在的内部， 当重合不符合题意，此时， 综上所述，且，点关于线段的“关联点”在的内部， 【经典计算题十 点坐标规律探索】 1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若点在x 轴上，正实数m的两个平方根分别为和，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，代数式求值，在x轴上的点的坐标特点，先根据在x轴上的点纵坐标为0，一个正数的两个平方根互为相反数求出a，b的值，进而求出m的值，据此代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵点在x 轴上，正实数m的两个平方根分别为和， 则， 解得 ， ， ， 的算术平方根为． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一点从开始按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示．根据规律，解决下列问题． （1）填写下列各点的坐标： 点（___，___）， 点（___，___）， 点（___，___）， …… 点的坐标为_________． （2）指出从点到点的移动方向：_________． 【答案】（1），  ， ， ；（2）向右 【分析】本题考查同学们在平面直角坐标系中，循环问题的循环规律，通过奇偶性的不同来分别讨论，通过横纵坐标的不通规律分别讨论，最后通过坐标上两点间的距离求解． （1）通过图象，推理可得到的坐标情况，通过分析各个点的坐标，找到对应的规律，通过分别讨论每个点的横、纵坐标来总结规律； （2）根据（1）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得从点到点的移动方向． 【详解】解：（1）由图可知，、、、、、，……，，， 根据各点坐标的规律可知，n为偶数时，的横坐标为，n为奇数时，的横坐标为，n的纵坐标为4次一循环，循环顺序为→→0→0→， 为奇数， 点的横坐标为， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：，  ， ， ； （2）解：因为每四个点一个循环， 所以， 所以从点到点的移动方向是向右． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)或或或3 【分析】本题考查了坐标变换、等距平移点的定义及几何图形的面积计算，解题的关键在于根据定义准确计算坐标，利用绝对值条件分类讨论，以及灵活运用几何公式求解面积． （1）直接应用定义计算坐标； （2）需结合点的位置与坐标关系求解面积； （3）需联立方程并分类讨论绝对值条件． 【详解】（1）解： ①由定义，N的坐标为：， 故N的坐标为； 故答案为：， 根据定义：， ，解得； 检验：当时，，成立， 故答案为：3． （2）设M为，根据定义，N的坐标为：，解得， ， ，解得，， ， 的坐标为， ，即N为， O为原点， ． （3）N的坐标为， ， ， ， 验证：，符合题意， 其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍， |或， 因，分情况讨论： 情况一： 即，分四种情况： ①：且（即）， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） ，此时， 方程为：解得，，符合题意； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 不合题意，舍去； ④：且（即且），矛盾，无解； 综上，情况一所有可能的a值为． 情况二： 即|，分四种情况： ①：且（即） ， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） 此时， 方程为：，解得，不合题意，舍去； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 符合题意； ④：且（矛盾），无解， 综上，情况二解为或． 综上所述，的值为或或或3． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第100次跳动至点的坐标是 ．根据规律，请写出的坐标． 【答案】， 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半； 第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半的相反数，纵坐标是次数加上1的一半，然后写出即可． 【详解】解∶ 观察发现，第1次跳动至点的坐标是， 第2次跳动至点的坐标是， 第3次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第5次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第7次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， … 第次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， ∴第100次跳动至点的坐标是，第2017次跳动至点的坐标是． 5．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题： (1)将表格填写完整： 点P出发时间 可得到整数点的坐标 可得到整数点的个数 1秒 ， 2 2秒 ，， 3 3秒 4 (2)当点P从点O出发11秒时，可得到的整数点的个数是 ． (3)当点P从点O出发 秒时，可得到整数点． 【答案】(1)，，， (2)12 (3)36 【分析】此题考查了平面直角坐标系中的规律问题解决能力，关键是能根据题目要求确定符合条件的点的坐标，并归纳出相关规律． （1）根据点的运动规律求解； （2）根据题意归纳出当点从点出发秒，可得到的整数点的个数是个，据此可求解； （3）由题意可得当点从点出发秒，可得到的整数点都在直线上，将整数点代入计算即可． 【详解】（1）解：（1）∵点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动， ∴点P从点出发1秒，整数点的坐标，， 点P从点出发2秒，整数点的坐标，，， ∴当点从点出发3秒，可得到的整数点为，，，， 故答案为：，，，； （2）解：由表可得：点P从点出发1秒，可得到整数点的个数为2个， 点P从点出发2秒，可得到整数点的个数为3个， 点P从点出发3秒，可得到整数点的个数为4个， … 点从点出发秒，可得到的整数点的个数是个， ∴当时，则， 当点从点出发11秒，可得到的整数点的个数是12， 故答案为：12； （3）解：点P从点出发1秒，整数点的坐标，，都要在直线上， 点P从点出发2秒，整数点的坐标，，，都要在直线上， 点P从点出发3秒，整数点的坐标，，，，都要在直线上， … 当点从点出发秒，可得到的整数点都在直线上， 把代入，得， 解得， 当点从点出发36秒时，可得到整数点， 故答案为：36． 6．（24-25七年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义： 点的“第I类变换”：将点向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； 点的“第II类变换”：将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． (1)①已知点，对点进行1次“第类变换”后得到的点的坐标是_____； ②点为平面内一点，若对点进行1次“第II类变换”后得到点，则点的坐标是_____． (2)已知点，若对点连续进行5次“第I类变换”，再连续进行4次“第II类变换”后得到点，求点的坐标（用含，的式子表示）． (3)已知点的坐标，对点进行“第类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上？如果存在，请求出此时点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）①根据题目新定义再结合坐标平移特点得出结果即可；②根据题目新定义再结合坐标平移特点得出结果即可； （2）对点连续进行5次“第I类变换”后，得到的点的坐标，再进行4次“第II类变换”后，得到的点的坐标是，化简即可； （3）设点P经过m次“第I类变换”，经过n次“第II类变换，得到点Q的坐标为，根据题意得到，解出、为非负整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：①点向左平移2个单位长度，得到；再向上平移1个单位长度得到； ∴点，对点进行1次“第类变换”后得到的点的坐标是； 故答案为：． ②点，向左平移1个单位长度得到，再向上平移3个单位长度得到； ∴对点进行1次“第II类变换”后得到点，则点的坐标； 故答案为：． （2）解：对点连续进行5次“第I类变换”后， 得到的点的坐标是，化简得（，）， 再进行4次“第II类变换”后，得到的点的坐标是， 化简得； ； （3）解：不存在， 理由如下：， 设点P经过m次“第I类变换”，经过n次“第II类变换， 得到点Q的坐标为 点恰好在轴上， ， 解得， 、为非负整数， 不合题意舍去， 不存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点，且轴，点N位于第一象限，求m的值，并确定n的取值范围． 【答案】(1) (2)7， 【分析】本题考查了y轴上点的坐标特点，平行x轴的点的特征，第一象限内点的坐标特点，熟练掌握坐标的特点是解题的关键． （1）根据点在y轴上，其横坐标为零，列式计算即可． （2）根据平行x轴的点的纵坐标相同，列方程求出m的值，根据第一象限内坐标都是正数，列不等式并解不等式求出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意知，解得：， ∴点的坐标为 （2）解：，，且轴， 解得：， ∵点N在第一象限， ∴，解得：． 8．（24-25七年级下·北京·期中）阅读理解： 我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点，的对称中心是点，则点的坐标为________； (2)另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处……求，的坐标； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查点的坐标规律的探索，找到规律是解题的关键． （1 ）根据对称中心的坐标公式代入计算即可； （2 ）利用中心对称的性质依次计算出，然后找到规律，利用规律即可解题； （3）利用（2）中规律即可解答． 【详解】（1）解：∵点，， ∴的坐标为，即； （2）解：由题意可知：，， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ……； ∴六次一个循环， ∵， ∴； （3）解：由（2）知六次一个循环， ∵， ∴． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图为某公园的示意图．    (1)以虎山为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴在图中建立直角坐标系，并写出各景点的坐标； (2)若以猴园为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴建立直角坐标系，并写出各景点的坐标； (3)比较（1）（2）中各景点的坐标，你发现了什么规律？ 【答案】(1)直角坐标系见详解，虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园 (2)直角坐标系见详解，虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园 (3)（2）中各坐标的横坐标都比（1）中的各坐标的横坐标小3， （2）中各坐标的纵坐标都比（1）中的各坐标的纵坐标大1． 【分析】本题主要考查了建立直角坐标系，写出直角坐标系中点的坐标，以及点坐标规律探索． （1）以虎山为原点建立直角坐标系，根据图形可得出景点的坐标 （2）以猴园为原点建立直角坐标系，根据图形可得出景点的坐标 （3）根据（1）（2）中各景点的横、纵坐标的关系得出结果． 【详解】（1）解：按要求建立直角坐标系如下图所示：    由图可得虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园． （2）解：按要求建立直角坐标系如下图所示：    由图可得虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园． （3）解：（1）虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园 （2）虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园． 规律：（2）中各坐标的横坐标都比（1）中的各坐标的横坐标小3， （2）中各坐标的纵坐标都比（1）中的各坐标的纵坐标大1． 10．（24-25七年级下·甘肃金昌·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)当点到轴的距离为1时，点的坐标是多少？ (2)当点的坐标为且轴时，点的坐标是多少？ 【答案】(1)M（-2，1）或M（-3，-1） (2)M（-4，-3） 【分析】（1）根据点M到x轴的距离为1可知点M纵坐标的绝对值为1，求出m即可得到点M的坐标； （2）根据与x轴平行的直线上的所有点纵坐标相等，可知点M的纵坐标为-3，求出m即可得到点M的坐标． 【详解】（1）∵点M到x轴的距离为1， ∴， ∴2m+3=1或2m+3=-1，解得：m=-1或m=-2， 当m=-1时，M（-2，1）； 当m=-2时，M（-3，-1）． （2）∵轴， ∴2m+3=-3，解得：m=-3， ∴M（-4，-3） 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点得坐标特征，熟练掌握“点到x轴距离等于纵坐标绝对值，点到y轴距离等于横坐标绝对值”和“平行于x轴的直线上的点纵坐标相等，平行于y轴的直线上的点横坐标相等”是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.5 平面直角坐标系集合100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 题型二 求点到坐标轴的距离 题型三 已知点所在的象限求参数 题型四 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 题型五 由平移方式确定点的坐标 题型六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型七 已知图形的平移，求点的坐标 题型八 已知平移后的坐标求原坐标 题型九 中点坐标 题型十 点坐标规律探索 【经典计算题一 写出直角坐标系中点的坐标】 1．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图是一个平面直角坐标系，已知三角形的顶点，顶点落在轴正半轴上，且到原点的距离为3． (1)______________，_______________，请在平面直角坐标系中画出三角形； (2)若三角形内任意一点平移后对应点为，在平面直角坐标系中画出平移后的三角形． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形的顶点都在正方形组成的网格的格点上， (1)将三角形先向右平移6个格，再向上平移3个格，画出经过两次平移后的三角形． (2)若点B的坐标是，点C的坐标是，则点A的坐标是 ． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在方格纸中建立平面直角坐标系． (1)写出图中点，，的坐标； (2)在图中描出下列各点：． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，请以点B为原点建立平面直角坐标系，并写出A，C，D三点的坐标． 5．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)若点B的坐标为，点C的坐标为，请建立适当的平面直角坐标系．这时点A的坐标为 　　 ； (2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的三角形． 6．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：对于实数，我们称点为两点的“k”系和点．例如，已知点，，则点的“”系和点的坐标为．已知点，． (1)直接写出点的“2”系和点的坐标：_______； (2)若点A为点的“”系和点，求点C的坐标； (3)若点D为点的“k”系和点，三角形的面积为6，求符合条件的k的值． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到三角形．（点A，B，C的对应点分别为点）    (1)请在图中作出平移后的三角形． (2)请直接写出点的坐标． 8．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点在网格线交点的三角形）的顶点，坐标分别为． (1)请在网格平面内画出平面直角坐标系； (2)将三角形平移得三角形，已知，请在网格中画出三角形；并在图中标出、的坐标； (3)若点在轴上，且三角形与三角形的面积相等，请直接写出点的坐标． 9．（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格格点上，其中点C的坐标为． (1)点A的坐标是________，点B的坐标是________； (2)将先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到．画出平移后的，并写出点的坐标． 10．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求出点的坐标． 【经典计算题二 求点到坐标轴的距离】 1．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点．线段与轴交于点，若点是轴正半轴上的一个动点，当三角形的面积是的面积的2倍时，求出点的坐标． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知点， (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点，且轴，求a的值； (3)若点P在第二象限，且点P到两坐标轴的距离之和为8，求点P的坐标． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 4．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 5．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知点，回答下列问题： (1)点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)点P在第二象限，且它到x轴和y轴的距离相等，求的值． 6．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，求点A的坐标． 7．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知：点，过A、B分别作x、y轴的平行线，两平行线交于点H． (1)直接写出的面积_______； (2)如图，点A、B都在第一象限时，若，求m的值； (3)连结，当的面积大于4且不大于7时，直接写出m的取值范围_______． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点A的坐标为 ①点，，中，与点A为“等距点”的是____； ②若点M的坐标为，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在y轴上有一点，连接，，，．若三角形的面积为三角形的面积的倍时，求出b的值． 9．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标表示为． (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点到轴和轴的距离相等，求出点的坐标． 10．（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知点，，点B是平面直角坐标系中一点，且． (1)若点B在轴上，求满足条件的点B的坐标； (2)若点B在过点A且平行于坐标轴的直线上，求满足条件的点B的坐标． 【经典计算题三 已知点所在的象限求参数】 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为_______． (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为；请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 2．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限． (1)求两点的坐标； (2)是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在第四象限，则的取值范围是________； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求的值． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知是第二象限内的一个点，且点P到两坐标轴的距离之和为5，则点P的坐标是多少？ 5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P在y轴上； (3)点P到两坐标轴的距离相等； (4)点P与点的连线平行于x轴． 6．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知点 (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q满足轴，点Q的横坐标是3，且，求点Q的坐标． 7．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标． (2)若点A在过点且与y轴平行的直线上，求点A的坐标． (3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值． 8．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P的纵坐标比横坐标大3； (2)点P在y轴上； (3)点P在过点且与x轴平行的直线上． 9．（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若轴，且，求的值． 10．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知点，解答以下问题： (1)若点在第二象限的角平分线上，求点的坐标． (2)已知直线轴，且点的坐标为，求点的坐标． 【经典计算题四 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标】 1．（24-25八年级下·河北·期中）如图，三角形ABC和三角形DEF在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1． （1）分别写出A，B，C的坐标； （2）若三角形DEF可以看作是三角形ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由三角形ABC得到三角形DEF的过程． 2．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)若直线与线段有交点，求的取值范围； (3)若直线与轴，直线围成的封闭图形（不包括边界）有个整点（横、纵坐标均为整数的点），直接写出的取值范围． 3．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（﹣2，2）． （1）把△ABC向下平移8个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）画出与△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2； （3）若点P（a，b）是△ABC边上任意一点，P2是△A2B2C2边上与P对应的点，写出P2的坐标为　 　． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，点A(t+1，t+2)、点B(t+3，t+1)，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． （1）用t表示点C的坐标为_______；用t表示点B到y轴的距离为___________； （2）若t=0时，平移线段AB至MN（点A与点M对应），使点Ｍ落在ｘ轴的负半轴上，三角形MNB的面积为4，试求点M、N的坐标． 5．（24-25八年级上·广西百色·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于轴对称的； (2)将向左平移4个单位长度，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴． 6．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，函数（为常数，）的图象与函数的图象交于点． (1)求k，m的值； (2)将函数图象上的一点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 7．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将向上平移个单位长度得到，画出，并写出的坐标； (2)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (3)求出的面积． 8．（24-25八年级上·浙江·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 9．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知点，把点向上平移个单位得到点． (1)写出点的坐标． (2)如果点和关于轴对称，求的值． 10．（22-23八年级上·广西百色·期末）已知，在平面直角系中如图所示，请完成下面作图： (1)将向下平移5个单位长度得到，请画出； (2)画出关于y轴的对称的． 【经典计算题五 由平移方式确定点的坐标】 1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，已知正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度． (1)请在这个正方形网格中，建立一个平面直角坐标系，描出点，，，．画出四边形； (2)直线上的任意一点的纵坐标是___________； (3)若将四边形向左平移三个单位，再向下平移两个单位，则点的对应点的坐标是___________； (4)求四边形的面积是___________平方单位。 2．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1)________；A点的坐标是________； (2)写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； 3．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，．将三角形先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到三角形，点，，的对应点分别为点，，． (1)请在图中画出三角形； (2)直接写出点的坐标． 4．（24-25七年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，点是三角形的边上一点，把三角形经过平移后得到三角形点的对应点分别为点，此时点的对应点为点． (1)请直接写出三点的坐标； (2)画出三角形． 5．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形． (1)画出平移后的三角形，写出的坐标； (2)连接，D为上的动点，求出的最小值． 6．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，已知的顶点分别是点、、 ．将沿轴向左平移个单位长度，得到． (1)若，则点的坐标为______，点的坐标为______； (2)已知四边形的面积为，求的值． 7．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C三点均在格点上． (1)请建立合适的平面直角坐标系（在图中画出），使点B的坐标为，点C的坐标为；并写出A的坐标______； (2)将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的； (3)在（1），（2）的条件下，若线段AC上有一点，则平移后的对应点的坐标为______． 8．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为点．平移，使得点A平移到点的位置，点B，C平移后的对应点分别是点，得到． (1)写出点的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出． 9．（24-25七年级下·四川广元·期末）学校食堂某区域布局如图所示（每个方格边长为），已知餐桌A的坐标为，取餐窗口B位于坐标原点的西北方向． (1)在图中建立平面直角坐标系，并写出回收车 C的坐标； (2)用方向和距离描述洗手池D 相对于回收车 C的位置； (3)因卫生检查，需将A、B、C三点构成的三角形区域，先向左平移1格，再向下平移2格，画出平移后的三角形，并计算该三角形区域的占地面积． 10．（24-25七年级下·河南安阳·期末）平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，三角形的面积为_____． (2)如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标_____；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为_____、_____； ②点是一动点，若三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点坐标． 【经典计算题六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，三角形的位置如图所示，三角形内任意一点经平移后对应点为．若将三角形作同样的平移得到三角形．（点、、的对应点分别为点、、） (1)画出三角形； (2)写出，的坐标． 2．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸内将三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)画出三角形，其中点的对应点分别为点； (2)这个平移过程可以看作三角形先向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度； (3)若三角形经过一次平移得到三角形，求线段平移过程中扫过的面积． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，如图所示． (1)分别写出点，的坐标： ， ； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，经过平移后，点在三角形中的对应点的坐标为，求和的值． 4．（24-25七年级下·广东阳江·期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，距今已有4000多年的历史，如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，． (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系，并写出C、D两颗棋子的坐标：C( ， )，D( ， )． (2)线段AB平移后得到线段，点A的对应点是，说明平移方式，并求出点B的对应点的坐标． 5．（24-25七年级下·湖北随州·期末）已知三角形是由三角形经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： 三角形 三角形 (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：先向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度可以得到； (2)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ___________，___________，； (3)在平面直角坐标系中画出三角形和三角形． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）三角形的三个顶点的坐标分别为．若将三角形平移，使点A平移到点处，写出三角形沿坐标轴方向平移的一种方式，以及点B和点C的对应点的坐标． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式，以及点的坐标． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，图形Ⅱ可以由图形I经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ 9．（24-25七年级下·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点和，请解答下列问题： (1)标出点，并连接和； (2)把三角形平移至三角形，且点的对应点为点，点的对应点为点． ①画出三角形； ②三角形的面积为_____； (3)在图中不添加线的情况下，与线段平行且相等的线段是_____． 10．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，把三角形平移后，三角形内任意一点对应点为． (1)在图中作出平移后的三角形，直接写出 点的对应点的坐标为________________； 点的对应点的坐标为________________； 点的对应点的坐标为________________； (2)连接，用无刻度直尺在轴上画出点，使． 【经典计算题七 已知图形的平移，求点的坐标】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，三角形中，任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到．求的坐标． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，各顶点A，B，C的坐标分别为，，； (1)若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出、、的坐标，并在图中画出平移后图形． (2)点是上任意一点，它平移后的对应点是，写出的坐标． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，．将三角形先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，可以得到三角形（点A，B，C的对应点分别为点，，）． (1)请在图中画出三角形； (2)写出点的坐标． 4．（24-25七年级下·山东日照·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，将平移后得到，它们的各顶点坐标如下表所示： (1)观察表中各对应点坐标的变化，可由经过怎样的平移得到？ (2)在平面直角坐标系中，画出和； (3)连接，，则四边形的面积为_____． 5．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，点B坐标为，且． (1) ， ，点B的坐标为 ． (2)点C在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接．若的面积为16，求线段的长． 6．（24-25七年级下·江西上饶·期末）如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出． (2)若点是内部的一点，则内部的对应点的坐标为______． (3)经过（1）中的平移，线段扫过的面积是______． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图，长方形可以由长方形经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ （2）点是长方形上一点，写出点P的对应点的坐标． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）对于坐标系中的图形M上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“n型平移”，点称为将点P进行“n型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“n型平移”称为将图形M进行“n型平移”．例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点Q进行“型平移”．已知点． (1)在图中建立平面直角坐标系，并画出线段进行“2型平移”后的对应线段，直接写出，的坐标； (2)将线段进行“n型平移”后与y轴有公共点，直接写出n的取值范围_____； (3)将（1）中四边形进行“n型平移”后与x轴有公共点，请直接写出n的取值范围是____． 9．（24-25七年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，求点D的坐标； (2)动点（不与点B重合）是x轴上一动点，的面积为S，直接写出S与t之间的关系式（即用t表示S），并写出对应的t的取值范围； (3)平移线段到线段，使点A的对应点为F，点B的对应点为E，且点E在y轴的正半轴上，点F在第二象限内，连接，，如图2所示．若（表示的面积），求点E、F的坐标，并直接写出与y轴的交点坐标． 10．（24-25七年级下·新疆省直辖县级单位·期中）如图，在边长为的正方形网格中，． (1)平移线段到线段，使点与点重合，写出点的坐标是_______ (2)直接写出线段平移至线段处所扫过的面积是_______； (3)平移线段，使两端点都在坐标轴上，请画出平移后的线段，并直接写出的坐标为_______． 【经典计算题八 已知平移后的坐标求原坐标】 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，由平移所得，三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到． (1)请画出平移后的； (2)求的面积； (3)已知点为中任意一点，按照的平移规则平移后的对应点为，若的坐标，请直接写出点的坐标． 2．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）如图，先将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出经过两次平移后的图形，并写出的坐标； (2)已知三角形内部一点P的坐标为，若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，请直接写出的值； (3)求三角形的面积． 3．（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 4．（2025·安徽淮南·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，给出了格点(顶点是网格线的交点)． （1）将先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到，画出平移后的； （2）以点为位似中心，在点的异侧作，使它与的位似比为2，画出，并求出的周长． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（1，﹣3），将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△ ,其中点 分别是点A,B,C的对应点. （1）请你在给出的坐标系中画出和写出点A′，C′的坐标； （2）若△ABC内的一点P经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示P点的坐标 ；（直接写出结果即可） （3）求△ABC的面积． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，已知△ABC经过平移后得到△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，已知点A（3，3）、D（-2，1），解答下列问题： （1）请在坐标系中画出平移后的△DEF； （2）请直接写出以下点的坐标：B（___，___）、C（___，___）、E（___，___）、F（___，___）； （3）若点P（x，y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为Q（3，5），则P点坐标为（____，____）． 7．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，，，．将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．    (1)画出三角形，并写出、、的坐标； (2)已知内部一点P的坐标为，若点P随一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，则______，______． (3)已知点P在坐标轴上，以、、P为顶点的三角形面积为三角形ABC面积的一半，则P点的坐标为______． 8．（23-24七年级下·云南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点. (1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标：______； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标：P______； (3)求三角形的面积． 9．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点的对应点分别是点． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标______________； (2)点是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________________． (3)求出三角形的面积． 10．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知，，且满足． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求出的度数； (3)如图2，把直线以每秒1个单位的速度向左平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点． 【经典计算题九 中点坐标】 1．（23-24八年级下·广西河池·期中）材料阅读 小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为． (1)知识运用： 如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________． (2)能力拓展： 在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 2．（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求的值与直线的函数解析式； (2)若点在直线上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，且点的横坐标为，点在直线上，且轴，，直接写出的值． 3．（23-24八年级下·山东日照·期中）阅读材料： [阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． [运用] (1)如图，矩形的对角线相交于点M，分别在x轴和y轴上，为坐标原点，点E的坐标为，则点M的坐标为______．    (2)已知，，三点，在平面直角坐标系中存在一点D，与点A、B、C构成平行四边形，求点D的坐标． 4．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，和关于某一点中心对称，其中点，，，． (1)对称中心的坐标为 ； (2)将绕点O顺时针旋转得到，在平面直角坐标系中画出． 5．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）【预备知识】 （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小明同学经过思考，给出以下解答： 在图1中过作于点. 是的中线，， . 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积. （2）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知，，设点为线段的中点，则点的坐标为. 【理解内化】 如图2，在中，为边中点，连接，若，则_____； 【综合应用】 如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，过点有一条直线将面积平分，求直线的表达式． 【拓展延伸】 如图4，在平面直角坐标系中，四边形为小区的一块花园用地，其中为原点，，，，为了方便人们观赏，现计划过点修一条小路(小路宽度忽略不计)，并且可将四边形分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在，求出直线的函数表达式，若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，点、、都是格点． (1)写出图中点、、的坐标是：___________，B___________，___________ (2)的面积是___________． (3)如果点在边上，平分的面积，那么点的坐标是___________ 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点都在方格纸的格点上，坐标分别为：点，，． (1)将绕点顺时针旋转后得到，请画出； (2)将向右移动3个单位后得到，请画出； (3)与是否中心对称，若是中心对称，直接写出对称中心的坐标；若不是中心对称，说明理由． 8．（2025·广东惠州·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，点A在点B的左侧，连接，点C为的中点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)设平面内一动点P的坐标为，已知，求的值． 9．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知直线（，为常数）过定点，且交轴于点，交轴于点． (1)①求定点的坐标； ②求面积的最小值； (2)若，点在内都且到各边距离之和为，问：是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 10．（24-25八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义： 如果存在点，使得以为对角线的四边形是平行四边形，则称点是点关于线段的“关联点”．已知，，，，，，． (1)在点，，中，点_____是点关于线段的“关联点”； (2)求点关于线段的“关联点”的坐标； (3)若点关于线段的“关联点”在的内部，直接写出的取值范围． 【经典计算题十 点坐标规律探索】 1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若点在x 轴上，正实数m的两个平方根分别为和，求的算术平方根． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一点从开始按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示．根据规律，解决下列问题． （1）填写下列各点的坐标： 点（___，___）， 点（___，___）， 点（___，___）， …… 点的坐标为_________． （2）指出从点到点的移动方向：_________． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第100次跳动至点的坐标是 ．根据规律，请写出的坐标． 5．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题： (1)将表格填写完整： 点P出发时间 可得到整数点的坐标 可得到整数点的个数 1秒 ， 2 2秒 ，， 3 3秒 4 (2)当点P从点O出发11秒时，可得到的整数点的个数是 ． (3)当点P从点O出发 秒时，可得到整数点． 6．（24-25七年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义： 点的“第I类变换”：将点向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； 点的“第II类变换”：将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． (1)①已知点，对点进行1次“第类变换”后得到的点的坐标是_____； ②点为平面内一点，若对点进行1次“第II类变换”后得到点，则点的坐标是_____． (2)已知点，若对点连续进行5次“第I类变换”，再连续进行4次“第II类变换”后得到点，求点的坐标（用含，的式子表示）． (3)已知点的坐标，对点进行“第类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上？如果存在，请求出此时点的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点，且轴，点N位于第一象限，求m的值，并确定n的取值范围． 8．（24-25七年级下·北京·期中）阅读理解： 我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点，的对称中心是点，则点的坐标为________； (2)另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处……求，的坐标； (3)求点的坐标． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图为某公园的示意图．    (1)以虎山为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴在图中建立直角坐标系，并写出各景点的坐标； (2)若以猴园为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴建立直角坐标系，并写出各景点的坐标； (3)比较（1）（2）中各景点的坐标，你发现了什么规律？ 10．（24-25七年级下·甘肃金昌·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)当点到轴的距离为1时，点的坐标是多少？ (2)当点的坐标为且轴时，点的坐标是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$