第二章 实数 单元测试卷-2025-2026学年北师大版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第二章 实数 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）在，，，，，，中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的定义． 利用无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：为有理数； 为有理数； 为无理数； 为无理数； 为无理数； 为有理数； 为无理数； 故无理数的个数为4个， 故选：D． 2．（本题3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式被开方数为非负数，列出一元一次不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，， ∴， 故选：D． 3．（本题3分）估计的大小应在（    ） A．7.0至7.5之间 B．7.5至8.0之间 C．8.0至8.5之间 D．8.5至9.0之间 【答案】A 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算能力应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即的大小应在7.0至7.5之间． 故选：A． 4．（本题3分）已知：，则a＝（     ） A．2360 B．－2360 C．23600 D．－23600 【答案】D 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、立方根的实际应用 【分析】由立方根的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴2.868向右移动1位，23.6应向右移动3位得23600， 考虑到符号，则＝－23600； 故选：D． 【点睛】本题考查了立方根的定义，解题的关键是掌握定义进行判断． 5．（本题3分）计算的结果正确的是（    ）． A．1 B． C．5 D．9 【答案】A 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．（本题3分）的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了算术平方根与立方根的定义．熟记定义是解此题的关键．由算术平方根、立方根的定义，即可求得答案，注意的算术平方根就是求9的算术平方根． 【详解】解：的立方根是， ∵， ∴的算术平方根是， ∴的立方根与的算术平方根的和是， 故选：B． 7．（本题3分）下列各数中与的积为有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，有理数和无理数的定义，根据二次根式的乘法法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，不是有理数，故此选项不符合题意； B、，不是有理数，故此选项不符合题意； C、，是有理数，故此选项符合题意； D、，不是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 8．（本题3分）两直角边长分别为和的直角三角形的斜边长是（   ） A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、无理数 【分析】本题考查了勾股定理以及无理数的概念，根据勾股定理求出斜边即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长为， ∴该直角三角形的斜边长是无理数． 故选：D． 9．（本题3分）已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值． 根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：， 根据二次根式性质 ， 即或； ， 根据二次根式性质 ； 当时，； 当时，． 的值为1或11，此结果对应选项． 故选：C． 10．（本题3分）球从空中落到地面所用的时间（秒）和球的起始高度（米）之间有关系式，若球的起始高度为米，则球落地所用时间与下列最接近的是（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，掌握估算的方法是解决问题的关键．将代入公式计算，然后用平方法估算即可． 【详解】解：将代入得：， ∵， ∴， ∴所用时间与4秒最接近． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（本题3分）的平方根是 . 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查的是求一个非负数的平方根，先计算，再根据平方根的含义求解即可. 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故答案为： 12．（本题3分）一个体积为的正方体放在桌子上，则它盖住桌子的面积是 ． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根的计算，解题的关键是读懂题意，掌握立方根的计算. 利用求立方根得出正方体的棱长，进而即可得出答案。 【详解】解：根据题意得：正方体的棱长为， 则它盖住桌子的面积是． 故答案为：． 13．（本题3分）已知，化简二次根式的正确结果是 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：由中被开方数总要大于等于0可知， ∵分母， ∴分子，则， 又，则， ∴， 故答案为：． 14．（本题3分）若已知，则 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值与偶次方的非负性，算术平方根的非负性，正确得出x，y，z的值是解题关键．利用非负数的性质得出x，y，z的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 15．（本题3分）若，且a为整数，则 ． 【答案】2 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可． 【详解】解：，，而， 整数的值为2， 故答案为：2． 16．（本题3分）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、比较二次根式的大小 【分析】通过估算和的取值范围，分别确定与的正负性，进而比较大小．本题主要考查了无理数的估算以及实数大小比较，熟练掌握无理数的估算方法和倒数法比较正数大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 又∵，， ∴，则． ∵；，， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：． 17．（本题3分）已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 先求出的取值范围，再求出，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，. 18．（本题3分）如图，为原点，，，以点圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，利用数形结合的思想解答，根据圆的性质即可得，进而求出的值． 【详解】解：∵以点为圆心，为半径画弧， ∴， ∵，， ∴， ∵交数轴负半轴于点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 三.解答题（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用立方根和平方根的定义解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）利用平方根的定义解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 20．（本题6分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序和根式的约分是解题的关键． （1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简； （2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 21．（本题6分）某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 【答案】待建的三面墙的总长度是． 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：长方体池塘长、宽、高， 长方体池塘的体积为， 建造后等体积的正方体池塘的长为， 待建的三面墙的总长度是． 22．（本题8分）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）代入和到，即可求解； （2）根据题意，分别求出广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径，两者相比即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， 答：广州塔发射节目信号的传播半径为； （2）解：∵广州塔的高度是，另一座塔高为， ∴广州塔发射节目信号的传播半径为，另外一塔发射节目信号的传播半径为， ∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为， 答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为． 23．（本题8分）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)3， (2) 【知识点】求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算，求平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，求出a，b的值，然后代入求值，再根据平方根定义解答即可． 【详解】（1）解：， ∴ ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∵16的平方根是， ∴的平方根是． 24．（本题10分）阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题： (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)已知，且，若，试比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数以及整式比较大小，解题的关键是掌握作差法比较大小的方法和依据． （1）运用作差法进行比较大小即可，即计算，再比较和的大小； （2）运用作差法进行比较大小即可，计算，然后发现的符号即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：< （2），， ， ， ， ， ． 25．（本题10分）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 26．（本题12分）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； (2)你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； (3)按此规律，若（，为正整数），则的值为_____． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，证明见解析 (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：有“穿墙”现象的数为，验证如下： ； （2）解： ∴； （3）解：∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）在，，，，，，中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）估计的大小应在（    ） A．7.0至7.5之间 B．7.5至8.0之间 C．8.0至8.5之间 D．8.5至9.0之间 4．（本题3分）已知：，则a＝（     ） A．2360 B．－2360 C．23600 D．－23600 5．（本题3分）计算的结果正确的是（    ）． A．1 B． C．5 D．9 6．（本题3分）的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B．0 C．3 D．6 7．（本题3分）下列各数中与的积为有理数的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）两直角边长分别为和的直角三角形的斜边长是（   ） A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 9．（本题3分）已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 10．（本题3分）球从空中落到地面所用的时间（秒）和球的起始高度（米）之间有关系式，若球的起始高度为米，则球落地所用时间与下列最接近的是（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（本题3分）的平方根是 . 12．（本题3分）一个体积为的正方体放在桌子上，则它盖住桌子的面积是 ． 13．（本题3分）已知，化简二次根式的正确结果是 ． 14．（本题3分）若已知，则 ． 15．（本题3分）若，且a为整数，则 ． 16．（本题3分）比较大小： （填“”、“”或“”）． 17．（本题3分）已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 18．（本题3分）如图，为原点，，，以点圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是 ． 三.解答题（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）解方程： (1)； (2)． 20．（本题6分）计算： (1)． (2)． 21．（本题6分）某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 22．（本题8分）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 23．（本题8分）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 24．（本题10分）阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题： (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)已知，且，若，试比较和的大小． 25．（本题10分）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 26．（本题12分）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； (2)你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； (3)按此规律，若（，为正整数），则的值为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $$