精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025－2026学年九年级上学期开学考数学试题

重庆市鲁能巴蜀中学校2025－2026学年九年级 上学期开学考数学试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币，正面朝上 B. 任意买一张电影票，座位号是单号 C. 三角形一边上的中线，把这个三角形分割成面积相等的两部分 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 4. 已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 估算的结果应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 如图，是用棋子摆成的“上”字，第①个“上”字是由6枚棋子摆成，第②个“上”字是由10枚棋子摆成，第③个“上”字是由14枚棋子摆成，按照这一规律，第⑩个“上”字需用棋子的数量为 A. 36 B. 38 C. 42 D. 50 7. 如图，已知双曲线经过等腰三角形顶角的顶点，过轴上一点作轴的垂线交双曲线于点，连接，若的面积为12，则的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 21 8. 抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且． ①满足条件的整式中单项式有3个． ②当时，满足条件的所有整式的和为． ③满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为0.000021米．数据“0.000021”用科学记数法表示为___________． 12. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为________． 13. 如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________． 15. 如图，矩形纸片中，，点在边上．将沿翻折得到，若，则的长度为__________． 16. 对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小（为正整数），则称该数为“元数”．对“元数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若四位数是一个“8元数”，则的值为____．若是一个“3元数”，且能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为____． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分) 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 在学习正方形的过程中，小明遇到了一个问题：在正方形中，E是边上的一点，过点D作的垂线，分别交，于点G和点F．求证：．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： （1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，分别与、交于点G、F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请完成下面的证明过程 证明：∵四边形是正方形， ①， ， 又 ∴② 在和中， 通过上面的操作，我们还可以把和沿着正方形的边平移，进一步得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且互相垂直的两条线段④ 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 近来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有200人对A款聊天机器人进行评分、160人对B款聊天机器人进行评分，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：25000元 花费：22500元 单价：x元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多10个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过24000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 22. 如图，中，，，．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向点运动，到达点后，又以每秒1个单位长度的速度返回点，点回到点时停止运动．连接，设点运动时间为秒，的面积为，的长度与的比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 23. 为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正西方向20千米的处，乙无人机位于的南偏东方向40千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏东方向上．（参考数据：，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿，往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．请问甲无人机飞离处多少千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，抛物线的图象与一次函数的图象交于A，B两点，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，作交轴于点，点M，N是轴上的两动点（在上方），且满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）当（2）中取得最小值时，将点向下平移1个单位得到点，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线为新拋物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，S为顶点的三角形和全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，中，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，点是的中点． （1）如图1，若，点正好在上，连接，，求的长度； （2）如图2，点是上一点，连接，，若，，求证：； （3）如图3，，，，点是直线上一动点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得线段，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接和，当取最小值时，若是等腰直角三角形，请直接写出点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市鲁能巴蜀中学校2025－2026学年九年级 上学期开学考数学试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币，正面朝上 B. 任意买一张电影票，座位号是单号 C. 三角形一边上的中线，把这个三角形分割成面积相等的两部分 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，进行判断即可． 【详解】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，不符合题意； C、三角形一边上的中线，把这个三角形分割成面积相等的两部分，是必然事件，符合题意； D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意． 故选：C． 4. 已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断点坐标是否在反比例函数图象上．根据反比例函数图象上点的横纵坐标的乘积等于逐一分析即可． 【详解】解：∵反比例函数，即， A选项：，即A选项符合题意， B选项：，即B选项不符合题意， C选项：，即C选项不符合题意， D选项：，即D选项不符合题意， 故选：A． 5. 估算的结果应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，无理数的估算，熟练掌握这些知识点是解题关键．先根据二次根式加减运算法则计算，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：． ∵， ∴，即． 故选：B． 6. 如图，是用棋子摆成的“上”字，第①个“上”字是由6枚棋子摆成，第②个“上”字是由10枚棋子摆成，第③个“上”字是由14枚棋子摆成，按照这一规律，第⑩个“上”字需用棋子的数量为 A. 36 B. 38 C. 42 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，按照什么规律变化是解题的关键．根据题意得：第一个“上”字是由枚棋子摆成，第二个“上”字是由枚棋子摆成，第三个“上”字是由枚棋子摆成，，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得：第一个“上”字是由枚棋子摆成， 第二个“上”字是由枚棋子摆成， 第三个“上”字是由枚棋子摆成， ……， 由此发现，第n个“上”字需用枚棋子． 当时，． 故选：C 7. 如图，已知双曲线经过等腰三角形顶角的顶点，过轴上一点作轴的垂线交双曲线于点，连接，若的面积为12，则的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、等腰三角形的性质等知识．证明，可得，再根据反比例函数k的几何意义得出答案． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为D， ∵的面积为12，， ∴， ∴， ∵， ∴. 故选：A． 8. 抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．通过观察抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等特征，来判断各项结论的正确性． 【详解】解：A、根据二次函数的性质，由抛物线开口向下，可得； ∵抛物线对称轴为， ∴根据对称轴公式，得到， 又∵抛物线与y轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故A选项不符合题意； B、∵从图象可以看到抛物线与轴有两个不同的交点， ∴在一元二次方程()中，判别式， 故：，(这里不能取等号，因为是两个不同交点)，故B选项不符合题意； C、∵观察图象可知，当时，， 即：，故C选项符合题意； D、由图可知：对称轴公式，得到，移项可得，而不是，故D选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴， ∴. 故选D． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且． ①满足条件的整式中单项式有3个． ②当时，满足条件的所有整式的和为． ③满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了整式的定义，整式的加减运算，新定义，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出每个整式是解题的关键． 【详解】解：当时，，即，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时，，即，， 当时，，整式为， 同理：当时，，整式为， 当时，，，不符合题意； 满足条件的所有整式M中有3个单项式，①正确； 当时，，其中， ∴当时，有，，， 当时，有，， 当时，， ∴这6个整式的和为：，故②错误； 当时，则，且， 此时整式有4种，即，，，， 当时，则，且， 由②可得此时整式有6种， 当时，则，且， 此时整式有4种，即，，，， 当或时，此时整式不存在， ∴整式一共有（个），故③正确， 综上正确的个数是2个． 故选：B． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为0.000021米．数据“0.000021”用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为，其中，为整数；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值大于时，是正数；当原数绝对值小于时，是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设《周髀算经》用A表示、《算学启蒙》用B表示、《测圆海镜》用C表示、《四元玉鉴》用D表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A”和B的有2种， ∴恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率． 故答案为：． 13. 如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 【答案】47 【解析】 【分析】根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可． 【详解】解：在△ABC和△ADE中，， ∴（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， ∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2， ∵， ∴， ∴． 故答案为：47． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查对于一元二次方程，其判别式；当时，方程有两个不相等的实数根，通过判别式大于来确定的取值范围． 【详解】解：∵关于的方程中，，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即： ∴实数的取值范围为． 故答案为：． 15. 如图，矩形纸片中，，点在边上．将沿翻折得到，若，则的长度为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先由勾股定理在中，求得．延长至点G，使得，连接，设，证明，得到，从而，进而得到，从而，得到，根据等角对等边得到，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴在中，． 延长至点G，使得，连接， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，正确作出辅助线，证明等腰三角形是解题的关键． 16. 对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小（为正整数），则称该数为“元数”．对“元数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若四位数是一个“8元数”，则的值为____．若是一个“3元数”，且能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了数字问题，新定义，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“元数”定义可得，根据题意表示出，，利用即可得到，设，则，根据“3元数”定义可得，，根据能被的各个数位上的数字之和整除，得到为整数，结合各个数位上的数字互不相等且均不为0 且取最大，求出、、、的值，即可解题． 【详解】解：四位数是一个“8元数”， ，解得， ， ， ， ； 设，则， 是一个“3元数”， ， ， ， ， 能被的各个数位上的数字之和整除， 为整数， ， ， ， 为整数， 各个数位上的数字互不相等且均不为0， ， 为的因数，且最大为， 即， 解得， 若要最大，即，， ， 若要最大，即，， 满足条件的的最大值为； 故答案为：，． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分) 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为0，1，2 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集， 原不等式组的解集是， ∴整数解为0，1，2． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 18. 在学习正方形的过程中，小明遇到了一个问题：在正方形中，E是边上的一点，过点D作的垂线，分别交，于点G和点F．求证：．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： （1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，分别与、交于点G、F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请完成下面的证明过程 证明：∵四边形是正方形， ①， ， 又 ∴② 在和中， 通过上面的操作，我们还可以把和沿着正方形的边平移，进一步得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且互相垂直的两条线段④ 【答案】（1） 如图 （2）①；②；③；④相等 【解析】 【分析】本题考查了作图—作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判断和性质是解题的关键． （1）根据要求作垂线即可； （2）根据正方形的性质可以证明，从而得出结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形， ， ， 又 在和中， ， 把和沿着正方形的边平移，进一步得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且互相垂直的两条线段相等， 故答案为：①；②；③；④相等． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 近来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有200人对A款聊天机器人进行评分、160人对B款聊天机器人进行评分，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1） （2） 4款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（理由不唯一）； （3）44人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：款“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵“满意”的数据：，“不满意”和“比较满意”总人数人， ∴把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是、， ∴， 在款的评分数据中，98出现的次数最多， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有44人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂的含义，分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法运算，整式的乘法运算，再计算分式的除法运算，最后计算加减运算，再化简，最后代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴原式． 21. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：25000元 花费：22500元 单价：x元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多10个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过24000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 （2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩12个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键； （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多10个，列出分式方程，即可求解； （2）设再次购进单枪新能源允电社a个，则购进双枪新能源允电社个，根据此次加购小区预备支出不超过24000元，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个）， 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个； 【小问2详解】 解：∵单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， ∴现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， ∵双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了， ∴现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源允电社a个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为元， ∵此次加购小区预备支出不超过24000元， ∴， 解得：， ∴a的最小值为12， 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩12个． 22. 如图，中，，，．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向点运动，到达点后，又以每秒1个单位长度的速度返回点，点回到点时停止运动．连接，设点运动时间为秒，的面积为，的长度与的比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1）； （2） 如图，，的图象如下： ； 当，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，画函数图象，利用函数图象解决问题； （1）分，，结合三角形的面积公式可得的解析式，由的长度与的比为，可得的图象． （2）根据反比例函数图象与一次函数的性质画图即可，再根据图象可得函数的性质； （3）直接利用函数图象得到的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， 当时，，， ∵的面积为， ∴， 当时，则，， ∴， 综上：； ∵的长度与的比为． ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可得：当时，图象在之间； ∴； 23. 为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正西方向20千米的处，乙无人机位于的南偏东方向40千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏东方向上．（参考数据：，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿，往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．请问甲无人机飞离处多少千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）的长度为千米 （2）甲无人机飞离处千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长. （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足，求解，，，设，则，可得，解方程即可得到答案. 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得，， 在中，（千米）， （千米）， ∵无人机甲位于A的正西方向20千米的B处，C位于D的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（千米），（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， 答：的长度为千米. 【小问2详解】 解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足， 由（1）得：，而， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， 答：甲无人机飞离处千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，抛物线的图象与一次函数的图象交于A，B两点，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，作交轴于点，点M，N是轴上的两动点（在上方），且满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）当（2）中取得最小值时，将点向下平移1个单位得到点，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线为新拋物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，S为顶点的三角形和全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）设，则，求出，根据题意求出直线的解析式为，进而求出，再求出，即可求出，列出，利用二次函数的性质即可求出的最大值，得到；此时，将点沿y轴向下平移3个单位得到，作点关于y轴的对称点，连接，交轴于点，易证四边形是平行四边形，可得，再根据对称的性质可得，进而得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，此时重合，最小值为的长，利用两点间距离公式即可求解； （3）由（2）知取得最小值时，，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，进而得到，设点为抛物线的顶点，即，由抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线，为新拋物线的顶点，可得直线与直线平行，求出直线的解析式为，设，再根据在与中为公共边，分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入，可得， 解得， 则抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∵，直线的解析式为， ∴设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得为， ∴， 令，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 则， ∴； 此时，将点沿y轴向下平移3个单位得到，作点关于y轴的对称点，连接，交轴于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称的性质可得， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时重合，最小值为的长， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：存在， 由（2）知取得最小值时，，且， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴， ∵点向下平移1个单位得到点， ∴， 设点为抛物线的顶点，即， ∵抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线，为新拋物线的顶点， ∴直线与直线平行， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵在与中为公共边， 当时，则，如图， 此时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，解得（符合题意）， 则，即； 当时，则，如图， 则且， ∴且， 解得：或且或， ∴，则，即； 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与线段周长问题、一次函数图象的平移、二次函数图象的平移、平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，综合运用相关知识是解题关键． 25. 如图，中，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，点是的中点． （1）如图1，若，点正好在上，连接，，求的长度； （2）如图2，点是上一点，连接，，若，，求证：； （3）如图3，，，，点是直线上一动点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得线段，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接和，当取最小值时，若是等腰直角三角形，请直接写出点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 证明：延长至，使得，连接，， ， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 作交于， 则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）点到直线的距离为或 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，从而得出，再由直角三角形的性质可得，由勾股定理计算可得，由等腰三角形的性质可得，最后再由直角三角形的性质即可得解； （2）延长至，使得，连接，，证明是的中位线，得出，由旋转的性质可得，，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，证明，得出，求出，，作交于，则，，从而得出，证明，得出，结合，即可得证； （3）过点作交于，连接，则，证明为等腰直角三角形，得出，，由旋转的性质可得，，证明得出，求出，得出点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，，则，即，当、、三点共线时取等号，当时，取最小值，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，求出，得出点、、在同一直线上，求出，过点作于点，连接，延长交于点，过点作于，证明出，设，则，，，结合，求出，由轴对称的性质可得，求出，令交于，则，则，，证明，得出，求出，得出，证明为等腰直角三角形，得出，当是等腰直角三角形时，为与的交点，为关于的对称点， ，，，证明为等腰直角三角形，求出，，即可得解． 【小问1详解】 解：∵在中，，点是的中点， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作交于，连接， ， 则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵将线段绕着点逆时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，， ∴， ∴，当、、三点共线时取等号， ∴当时，取最小值， ∵将线段绕点逆时针旋转得线段， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴点、、在同一直线上， ∴， ∴， 过点作于点，连接，延长交于点，过点作于， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 令交于，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当是等腰直角三角形时，为与的交点，为关于的对称点， ， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即到的距离为， ∴，即到的距离为， 综上所述，点到直线的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、轴对称的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $