第07讲 有理数的乘方和混合运算（知识点+题型+强化训练）2025-2026学年苏科版七年级数学上册同步讲义与测试

第07讲 有理数的乘方和混合运算（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数乘方的意义 2.有理数乘方的性质 3.科学记数法 4.用计算器计算乘方 5.有理数的混合运算 6.用计算器计算 题型巩固 一、有理数幂的概念理解 二、有理数的乘方运算 三、有理数乘方逆运算 四、乘方运算的符号规律 五、乘方的应用 六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 七、程序流程图与有理数计算 八、算“24”点 九、含乘方的有理数混合运算 十、计算器——有理数 强化训练 单选题（9） 填空题（7） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.有理数乘方的意义 乘方的意义 求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂， 个记作，读作“的次方”，其中是底数，是指数. 当看成的次方的运算结果时，也可读作“的次幂”. 乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式. 知识点2.有理数乘方的性质 1. 有理数乘方的运算法则 (1)正数的任何次幂都是正数； (2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； (3)0的任何正整数次幂都是0 . 特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方，任意一个数的平方都是非负数；一个数的三次方，也称为这个数的立方，正数的立方是正数，负数的立方是负数. 2. 有理数乘方的运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 特别地，当底数较大时，可借助计算器计算. 知识点3.科学记数法 1. 科学记数法 一般地，一个绝对值大于10的数可以写成×的形式，其中1 ≤||＜10，是正整数. 这种记数法称为科学记数法. 当＝1时，可简写成. 2. 科学记数法中的和(1)将原数的小数点移到从右到左最高数位的数字的后边即可得到的取值. (2)确定的两种方法：①根据原数的整数位数来确定，等于原数的整数位数减1. 例如2 023是一个四位数，用科学记数法表示为2.023×，其中＝4－1＝3 .②按小数点移动的位数来确定，小数点向左移动了几位，就等于几. 知识点4.用计算器计算乘方 对于平方运算，在输入底数后，按平方键 ，再按等号键 = ，即得运算结果. 对于高于2 次的乘方运算，输入底数后，按乘幂键 ，然后输入指数，再按等号键 = ，即得运算结果. 知识点5.有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算的顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按照从左至右的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，一般按小括号、中括号、大括号依次进行. 2. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把这六种基本的代数运算分为三级：加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算；乘方与开方是第三级运算. 3. 有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活运用运算律，从而简化计算. 知识点6.用计算器计算 各种类型的计算器在使用时，按键的方法不尽相同，但在进行加、减、乘、除、乘方几种运算时按键方法通常是一样的. 下面以课本中所示的计算器为例： 使用步骤：(1)按开启键 ON ；(2)按照算式的书写顺序输入，看显示器上的显示是否正确；(3)按 = 键执行运算，此时显示出计算结果. 题型巩固 题型一、有理数幂的概念理解 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的底数是 B．的幂是3 C．一定是正数 D．的指数是4 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1）将写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ． （2）表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ；表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ． 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 题型二、有理数的乘方运算 4．（22-23七年级上·江苏盐城·期中）下列计算结果相等为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（23-24七年级上·江苏无锡·期中） ． ． 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）直接写出得数： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 题型三、有理数乘方逆运算 7．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 8．平方等于36的数 ． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：　 ，　 ； (2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ①　 　（为正数）， ②若，则　 　，　 　，　 　． 题型四、乘方运算的符号规律 10．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 11．若，则 ． 12．判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五、乘方的应用 13．1米长的小棒，第一次截去，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 14．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： ． 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 题型六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 16．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）某市前三季度，全市的总额累计约为14000亿元，将数字14000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）据资料显示，截至2024年6月，我国公路总里程达到5440000公里，其中高速公路通车里程万公里，稳居世界第一，5440000用科学记数法可以表示为 . 18．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）华同学在学习第七章时发现“数学探究”中有错误，具体内容如下： 成人的大脑约有个细胞，婴幼儿的脑细胞以每分钟约个的惊人速度递增，一般到8岁可达到成人脑细胞数量．一年约有你能估测出儿童7岁时大脑的脑细胞数量吗？ 张华通过调阅资料发现以下资料 人大脑发育有三个高峰时间段，其中第一个高峰为怀孕三到六个月，胎儿的脑细胞以每分钟约个的惊人速度递增；在出生时就已经具备与成年人脑细胞相接近的数量，约100亿到180亿个脑细胞数，重量约为成人的． 根据以上信息解决下列问题 (1)请用已学知识说明“数学探究”中的错误； (2)请根据调查资料相关数据估算胎儿时期，脑细胞达到成年人脑细胞数所用天数；（一天约分钟）根据你的计算请写出一个关于胎儿脑细胞发育速度的结论． 题型七、程序流程图与有理数计算 19．（22-23七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 21．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果． (1)当输入的数为3时，直接写出输出结果为______； (2)设输入的数记作，且，求出输出的结果． 题型八、算“24”点 22．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ． 23．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字和最大，最大值是　　； (2)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是　　； (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子． 题型九、含乘方的有理数混合运算 24．（23-24七年级上·江苏常州·期中）的值是（　　） A．2 B． C． D． 25．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义一种运算：，如：，那么当，，，时，则的值是 ． 26．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）计算： (1) (2) 题型十、计算器——有理数 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）用计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）使用计算器时，在储存另一个数前，需要按 （选填“”、“”或“”）键把已知的数清除掉． 29．用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 强化训练 一、单选题 1．一个整数81550…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．10 2．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度米，则数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．定义一种新运算：对于任何有理数和，规定：．如，则的值为（    ） A． B．8 C．4 D． 4．如图，按下面的程序计算，当输入时，则输出y的值是（    ） A．14 B． C．18 D． 5．一根长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 6．下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 7．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 8．的意义是（    ） A．乘以3 B．的相反数 C．3个相乘 D．3个相加 9．下面各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 二、填空题 10． 的平方等于9，立方得的数是 ，立方等于本身的数是 ． 11．计算： ． 12．已知是一个7位数，则 ，原数为 ． 13．已知，那么 ； 的立方等于． 14．若与互为相反数，则 ． 15．《庄子天下》中有这样一段话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”意思是：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完．照这样推算，前7天截取的长度总和占最初木棒长度的，分子为 ，分母为 ． 16．如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则输出的值为 ． 三、解答题 17．（1）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，． （2）将上列各数用“”号连接起来：_________． 18．光在真空中的传播速度约是，光在真空中传播一年的距离称为光年． (1)1光年约是多少千米？（一年以计算） (2)银河系的直径达10万光年，约是多少千米？ (3)如果一架飞机的飞行速度为，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（） 19．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是 ； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．则这个最小的商为 ； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 20．（1）填表：     　 　   　 　 　 　 （2）通过填表，小明发现：当为正整数时，无论、取何值，代数式和的值总相等，并写出了如下说理过程，请你将它补充完整． （_______________________） =_______________________（乘法交换律、___________） =． 21．为了求的值，可令，则，因此．所以：．即． 请依照此法，求：的值． 22．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1；        B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．                        D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： (4)当取得最小值时，写出x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 有理数的乘方和混合运算（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数乘方的意义 2.有理数乘方的性质 3.科学记数法 4.用计算器计算乘方 5.有理数的混合运算 6.用计算器计算 题型巩固 一、有理数幂的概念理解 二、有理数的乘方运算 三、有理数乘方逆运算 四、乘方运算的符号规律 五、乘方的应用 六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 七、程序流程图与有理数计算 八、算“24”点 九、含乘方的有理数混合运算 十、计算器——有理数 强化训练 单选题（9） 填空题（7） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.有理数乘方的意义 乘方的意义 求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂， 个记作，读作“的次方”，其中是底数，是指数. 当看成的次方的运算结果时，也可读作“的次幂”. 乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式. 知识点2.有理数乘方的性质 1. 有理数乘方的运算法则 (1)正数的任何次幂都是正数； (2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； (3)0的任何正整数次幂都是0 . 特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方，任意一个数的平方都是非负数；一个数的三次方，也称为这个数的立方，正数的立方是正数，负数的立方是负数. 2. 有理数乘方的运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 特别地，当底数较大时，可借助计算器计算. 知识点3.科学记数法 1. 科学记数法 一般地，一个绝对值大于10的数可以写成×的形式，其中1 ≤||＜10，是正整数. 这种记数法称为科学记数法. 当＝1时，可简写成. 2. 科学记数法中的和(1)将原数的小数点移到从右到左最高数位的数字的后边即可得到的取值. (2)确定的两种方法：①根据原数的整数位数来确定，等于原数的整数位数减1. 例如2 023是一个四位数，用科学记数法表示为2.023×，其中＝4－1＝3 .②按小数点移动的位数来确定，小数点向左移动了几位，就等于几. 知识点4.用计算器计算乘方 对于平方运算，在输入底数后，按平方键 ，再按等号键 = ，即得运算结果. 对于高于2 次的乘方运算，输入底数后，按乘幂键 ，然后输入指数，再按等号键 = ，即得运算结果. 知识点5.有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算的顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按照从左至右的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，一般按小括号、中括号、大括号依次进行. 2. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把这六种基本的代数运算分为三级：加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算；乘方与开方是第三级运算. 3. 有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活运用运算律，从而简化计算. 知识点6.用计算器计算 各种类型的计算器在使用时，按键的方法不尽相同，但在进行加、减、乘、除、乘方几种运算时按键方法通常是一样的. 下面以课本中所示的计算器为例： 使用步骤：(1)按开启键 ON ；(2)按照算式的书写顺序输入，看显示器上的显示是否正确；(3)按 = 键执行运算，此时显示出计算结果. 题型巩固 题型一、有理数幂的概念理解 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的底数是 B．的幂是3 C．一定是正数 D．的指数是4 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查有理数乘方的知识，解题的关键是掌握，a叫做底数，n叫做指数，叫做幂． 根据幂的相关定义逐个判断即可即可． 【详解】解：A、的底数是6，故A不正确，不符合题意； B、的指数是3，故B不正确，不符合题意； C、是非负数，故C不正确，不符合题意； D、的指数是4，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1）将写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ． （2）表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ；表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ． 【答案】 4 4个相乘 4 4个2相乘的相反数 2 4 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的知识是解答本题的关键． （1 ）根据题意，可以将题目中的数据写成幂的形式，再写出相应的底数和指数即可； （2 ）根据题意，可以将题目中的数据表示的意义、底数及指数即可． 【详解】解：（1 ），底数是，指数是4， 故答案为：，，4； （2）表示的意义是4个相乘，底数是，指数是4； 表示的意义是4个2相乘的相反数，底数是2，指数是4， 故答案为：4个相乘，，4；4个2相乘的相反数，2，4． 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 【答案】(1)底数是，指数是5 (2)底数是，指数是6 (3)底数是m，指数是 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：， 其中底数是，指数是5； （2）解： 其中底数是，指数是6； （3）解：（个m）， 其中底数是m，指数是． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． 题型二、有理数的乘方运算 4．（22-23七年级上·江苏盐城·期中）下列计算结果相等为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则和绝对值的意义，准确进行计算． 根据乘方运算法则和绝对值的意义逐项进行计算即可． 【详解】A： ，， ， 故该选项不符合题意； B：，， ， 故该选项不符合题意； C：，，， ， 故该选项符合题意； D：，，， ， 故该选项不符合题意； 故选：C． 5．（23-24七年级上·江苏无锡·期中） ． ． 【答案】 1 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，掌握“负数的偶数次方为正数，负数的奇数次方为负数”是本题的关键． 负数的偶数次方为正数，负数的奇数次方为负数，据此计算即可． 【详解】解：，． 故答案为：1，． 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）直接写出得数： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) (5)1 (6) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的运算，要熟练掌握，注意明确有理数相关运算法则． （1）先去括号，再计算加减即可； （2）先去括号，再计算加减即可； （3）直接利用有理数的乘法法则可以解答本题； （4）直接利用有理数的除法法则可以解答本题； （4）直接利用有理数的乘方法则可以解答本题； （5）直接利用有理数的乘方法则可以解答本题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 题型三、有理数乘方逆运算 7．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 8．平方等于36的数 ． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】根据乘方运算的概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴平方等于36的数是． 故答案为：． 【点睛】掌握本题考查了乘方，熟练掌握乘方运算的法则，是解题的关键． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：　 ，　 ； (2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ①　 　（为正数）， ②若，则　 　，　 　，　 　． 【答案】(1)1,2 (2)①②，， 【知识点】数字类规律探索、有理数乘方逆运算 【分析】（1）根据定义可知，和就是指10的指数，据此即可求解； （2）①根据即可，②根据，，即可得出结果． 【详解】（1）解： 依题意，得，， ，； 故答案为：1，； （2）解：① ， 故答案为：； ②， ， ， ． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了新定义运算，整式的运算，正确理解新定义运算的法则是关键． 题型四、乘方运算的符号规律 10．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 11．若，则 ． 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出x和y的值，再根据有理数的乘方运算得出结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，，即，， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查绝对值和平方式的非负性，以及有理数的乘方运算，解题的关键是掌握这些知识点进行求解． 12．判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 题型五、乘方的应用 13．1米长的小棒，第一次截去，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【分析】根据题意可以得到第五次后剩下的小棒的长度，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 第五次后剩下的小棒的长度是： 故选A． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解答本题的关键是明确题意，求出第五次后剩下的小棒的长度． 14．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，先提公因数，再计算括号内的式子，然后算乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 题型六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 16．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）某市前三季度，全市的总额累计约为14000亿元，将数字14000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：． 故选：A． 17．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）据资料显示，截至2024年6月，我国公路总里程达到5440000公里，其中高速公路通车里程万公里，稳居世界第一，5440000用科学记数法可以表示为 . 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法中”的形式为整数）的确定方法． 确定a的值为（满足；数出原数的整数位数为7，确定；从而得到科学记数法的表示形式． 【详解】解：． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）华同学在学习第七章时发现“数学探究”中有错误，具体内容如下： 成人的大脑约有个细胞，婴幼儿的脑细胞以每分钟约个的惊人速度递增，一般到8岁可达到成人脑细胞数量．一年约有你能估测出儿童7岁时大脑的脑细胞数量吗？ 张华通过调阅资料发现以下资料 人大脑发育有三个高峰时间段，其中第一个高峰为怀孕三到六个月，胎儿的脑细胞以每分钟约个的惊人速度递增；在出生时就已经具备与成年人脑细胞相接近的数量，约100亿到180亿个脑细胞数，重量约为成人的． 根据以上信息解决下列问题 (1)请用已学知识说明“数学探究”中的错误； (2)请根据调查资料相关数据估算胎儿时期，脑细胞达到成年人脑细胞数所用天数；（一天约分钟）根据你的计算请写出一个关于胎儿脑细胞发育速度的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的运算及应用，解题的关键是掌握科学记数法的乘法、除法运算法则． （1）通过计算按“数学探究”中速度增长到8岁的脑细胞数量，与成人脑细胞数量比较说明错误； （2）利用科学记数法运算，结合已知数据算出胎儿脑细胞达到成人数量的天数，进而得出结论． 【详解】（1）解：， 而“数学探究”中说成人大脑约有个细胞，增长的数量远大于成人脑细胞数量，这与实际（出生时已接近成人脑细胞数量）矛盾，所以“数学探究”存在错误； （2）解：（天）， 根据计算，在个月的时间里，不是每天都按照这个速度快速递增；6个月以后脑细胞发育速度可能会明显变慢（言之有理即可）． 题型七、程序流程图与有理数计算 19．（22-23七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了流程图与有理数的运算，根据题目所给出的运算程序进行计算得出规律即可．熟练掌握有理数的相关运算法则，根据运算结果得出数字的变化规律是解本题的关键． 【详解】解：输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出 依次类推，输出分别以、、、、、循环． ． 故第次输出的结果是． 故选：B． 20．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了与程序框图有关的有理数的混合运算．理解运算规则是解题的关键． 输入，则，由，输入，则，由，输出即可． 【详解】解：输入，则， ∵， ∴输入，则， ∵， ∴输出， 故答案为：． 21．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果． (1)当输入的数为3时，直接写出输出结果为______； (2)设输入的数记作，且，求出输出的结果． 【答案】(1) (2)或 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）将3代入，根据题中的程序框计算即可； （2）分别将和分别代入计算，即可求解． 【详解】（1）解： ∴输出 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 当时， 继续计算： ∴输出 当时， ∴输出 综上所述，，输出结果为或． 题型八、算“24”点 22．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数混合运算的式子解答即可． 【详解】解： ； ． 故答案为：或（答案不唯一）． 23．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字和最大，最大值是　　； (2)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是　　； (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】算“24”点、有理数加法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出和最大值即可； （2）根据题意列出算式，找出积最小值即可； （3）利用“点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴最大值为； （2）解：， ∴最小值为； （3）解：根据题意得：；， 即符合题意的式子为：；． 题型九、含乘方的有理数混合运算 24．（23-24七年级上·江苏常州·期中）的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算；把转化成，再根据乘法分配律的逆运算求解即可． 【详解】解： 故选：C． 25．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义一种运算：，如：，那么当，，，时，则的值是 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．先根据题意求得的值，然后根据新定义可得，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴． 故答案为： 26．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算； （1）先计算乘方，再计算乘法运算，最后计算加法运算即可； （2）先计算乘方，绝对值，除法运算，再计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 题型十、计算器——有理数 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）用计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题主要考查了用计算器计算有理数的乘方，熟知计算器的按键步骤是解题的关键． 【详解】解：根据计算器计算乘方的步骤得出，只有D选项符合题意． 故选D． 28．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）使用计算器时，在储存另一个数前，需要按 （选填“”、“”或“”）键把已知的数清除掉． 【答案】 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题考查了计算器的使用，熟练掌握计算机的使用方法是解题关键； 在计算器的使用时，在储存另一个数前，需要按键把已知的数清除掉． 【详解】解：在计算器的使用时，在储存另一个数前，需要按键把已知的数清除掉． 故答案为： ． 29．用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算器——有理数 【分析】直接利用计算器计算求解各数即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题考查利用计算器计算有理数的乘方运算，熟悉计算器的应用是解答的关键，注意运算中的符号． 强化训练 一、单选题 1．一个整数81550…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．10 【答案】C 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【详解】解：∵8.155×1010表示的原数为81550000000， ∴原数中“0”的个数为7， 故选：C． 【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位． 2．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度米，则数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．科学记数法的形式是：，其中，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到的后面，所以． 【详解】解：． 故选：C． 3．定义一种新运算：对于任何有理数和，规定：．如，则的值为（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题中的新定义是解此类题的关键．根据新定义规定，列式计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 4．如图，按下面的程序计算，当输入时，则输出y的值是（    ） A．14 B． C．18 D． 【答案】A 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，将代入列式求解即可． 【详解】解：当输入时，． 故选：A． 5．一根长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了乘方的应用，每剪一次，剩下的长度就为原来长度的一半，再根据一共剪了6次即可得到答案． 【详解】解：， ∴剪第六次后，剩下的绳子的长度为， 故选：C． 6．下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、，，不相等，故A选项错误； B、，，不相等，故B选项错误； C、，，相等，故C选项正确； D、，，不相等，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查有理数的乘方，解题的关键在于掌握运算法则． 7．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 8．的意义是（    ） A．乘以3 B．的相反数 C．3个相乘 D．3个相加 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数的乘方和有理数的乘法，相反数，解题的关键是掌握有理数的乘方和有理数的乘法，相反数的定义．利用有理数的乘方，有理数的乘法，相反数的定义判断． 【详解】解：的意义是的相反数， 只有选项B符合题意， 故选：B． 9．下面各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】化简多重符号、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，以及多重符号的化简，根据相关运算法则计算各项，并进行比较判断，即可解题． 【详解】解：A、，，，不符合题意； B、，，与相等，符合题意； C、，，不符合题意； D、，，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 10． 的平方等于9，立方得的数是 ，立方等于本身的数是 ． 【答案】 0和 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题关键是理解有理数的乘方． 利用有理数的乘方即可求解． 【详解】解：的平方等于9，立方得的数是，立方等于本身的数是0和， 故答案为：，，0和． 11．计算： ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据负数的偶次方为正数，奇次方为负数进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．已知是一个7位数，则 ，原数为 ． 【答案】 6 2730000 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】此题主要考查了科学记数法．熟练掌握利用科学记数法表示的数与原数的关系，是解题关键． 用科学记数法表示绝对值较大数，的原数的整数位数是 ． 结合题中原数的整数位数是7，以及n与原数整数位数的关系，即可得出n的值，则原数即可得出． 【详解】∵是一个7位数， ∴，原数为 2730000． 故答案为：6，2730000． 13．已知，那么 ； 的立方等于． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查的是乘方运算的逆运算，由平方与立方的逆运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的立方等于； 故答案为：， 14．若与互为相反数，则 ． 【答案】3 【知识点】绝对值非负性、乘方运算的符号规律 【分析】由题意得知：|a-2|+（b+1）2=0，根据非负数的性质得出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：|a-2|+（b+1）2=0， ∵|a-2|≥0，（b+1）2≥0， ∴a-2=0，b+1=0， ∴a=2，b=-1， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质．解题的关键是掌握相反数定义，利用只有符号不同的两个数互为相反数得出a、b的值是解题的关键． 15．《庄子天下》中有这样一段话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”意思是：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完．照这样推算，前7天截取的长度总和占最初木棒长度的，分子为 ，分母为 ． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键．根据题意依次求出每一天剩余木棍的长度，得到第n天截取后木棍剩余的长度，即可解答． 【详解】解：第1天截取后剩：（尺）； 第2天截取后剩：（尺）； 第3天截取后剩：（尺）； 第4天截取后剩：（尺）； …… ∴第n天截取后剩余尺； ∴第7天截取后剩余（尺）； ∴前7天截取的长度总和为：（尺）， ∴前7天截取的长度总和占最初木棒长度的，分子为，分母为． 故答案为：，． 16．如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则输出的值为 ． 【答案】34 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数的混合运算，输入，根据题意列式计算，直至结果不小于16即可． 【详解】解：若输入，则，返回继续运算； ，输出结果； 故答案为：34． 三、解答题 17．（1）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，． （2）将上列各数用“”号连接起来：_________． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】（1）根据绝对值，有理数的乘方，多重符号的化简整理各数，再利用有理数与数轴对应的关系在数轴上表示各有理数； （2）根据各有理数在数轴上的位置比较大小，即可解题． 【详解】解：（1）因为，，， 则在数轴上表示有理数如下图所示： （2）由数轴可知：． 故答案为：． 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的乘方，多重符号的化简，在数轴上表示有理数，以及利用数轴比较大小，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 18．光在真空中的传播速度约是，光在真空中传播一年的距离称为光年． (1)1光年约是多少千米？（一年以计算） (2)银河系的直径达10万光年，约是多少千米？ (3)如果一架飞机的飞行速度为，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（） 【答案】(1)1光年约是千米； (2)银河系的直径约是千米； (3)倍 【知识点】有理数的乘方运算、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式，求出即可； （3）先化单位，再根据题意列出算式，求出即可． 【详解】（1）解：（米）， 米千米， 答：1光年约是千米； （2）（千米）， 答：银河系的直径约是千米； （3）， ， 答：光的速度是这架飞机速度的倍． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解此题的关键是能根据题意列出算式． 19．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是 ； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．则这个最小的商为 ； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一），运算过程见解析． 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、算“24”点 【分析】（1）找出两个数字，要使其积最大，必须是同号相乘，即可作答； （2）找出两个数字，要使其商最小，必须是异号，即可作答； （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：，， ∵， ∴这个最小的商为； 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 20．（1）填表：     　 　   　 　 　 　 （2）通过填表，小明发现：当为正整数时，无论、取何值，代数式和的值总相等，并写出了如下说理过程，请你将它补充完整． （_______________________） =_______________________（乘法交换律、___________） =． 【答案】（1），，；（2）乘方的定义，，结合律. 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】（1）将，的值代入计算即可求解； （2）根据乘方的定义以及乘法运算律完成填空即可． 【详解】（1）， ， ． 故答案为：，，． （2） （乘方的定义） （乘法交换律、结合律） ． 故答案为：乘方的定义，，结合律． 【点睛】本题考查了乘方的定义，乘法运算律，掌握乘方的意义是解题的关键． 21．为了求的值，可令，则，因此．所以：．即． 请依照此法，求：的值． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】设，表示出，然后求解即可． 【详解】解：设， 则， ， ， 故． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求解方法是解题的关键． 22．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1；        B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．                        D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： (4)当取得最小值时，写出x的取值范围． 【答案】(1)1， (2)D (3)12 (4) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算、有理数乘方逆运算 【分析】（1）根据规定运算，直接计算即可； （2）根据新定义逐项判断； （3）先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可； （4）分，，，，四种情况分别讨论，再合并结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ；； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，， 且， 则，故正确； D．1和的圈n次方都等于它本身，，或1，故错误； 故选D； （3） ； （4）， 1、当时， ， 当时，， 最小值为； 2、当时， ； 3、当时， ， ； 4、当时， ， 当时，， 最小值为； 综上：的最小值为，的取值范围是． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． 学科网（北京）股份有限公司 $$