5.2算术平方根（题型专练）数学青岛版2024八年级上册

5.2算术平方根 （6大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 求一个数的算术平方根 题型二 算术平方根的非负性的应用 题型三 的化简 题型四 根据算术平方根的定义求字母的值 题型五 涉及算术平方根的混合运算 题型六 算术平方根的实际运算 题型一 求一个数的算术平方根 1．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的计算方程求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：A． 2．计算的结果是（   ） A．6 B． C． D．36 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，熟记算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 3．的算术平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．根据，求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴的算术平方根是2， 故选：C． 4．一个自然数的算术平方根是a，则与其相邻的后一个自然数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是a， ∴这个自然数是， ∴与其相邻的下一个自然数是， ∴与其相邻的下一个自然数的算术平方根是， 故选：A． 5．下列说法正确的是（    ） A．0.1是0.01的算术平方根 B．0.6是3.6的算术平方根 C．3是的算术平方根 D．是的算术平方根 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义，是解题的关键，根据算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、0.1是0.01的算术平方根，正确，符合题意； B、，故0.6不是3.6的算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； D、的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意； 故选A． 6．若一个数的算术平方根是它本身，则这个数为 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：根据算术平方根的定义，一个数的算术平方根是它本身，则这个数是0或1． 故答案为：0或1． 题型二 算术平方根的非负性的应用 1．若，则的算术平方根是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质，算术平方根，根据算术平方根与平方数的非负性求出x，y的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 的算术平方根是， 故选A． 2．若，则的值为（   ） A．3 B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式、算术平方根的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式可得，再根据偶次方和算术平方根的非负性可得，则可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根，代数式求值，根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， 则， 故答案为：1． 4．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查非负性，等腰三角形的定义，根据非负性求出的值，再分的值为腰长和的值为腰长两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当3为腰长时，，不能构成三角形，不符合题意； 当7为腰长时，，符合题意，等腰三角形的周长为：； 故答案为：17 题型三 的化简 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．计算的结果是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义，乘方，先运算乘方，再运算算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 3．计算正确的是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求算术平方根，先计算被开方数的值，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：， 故选：B 4．下列说法中不正确的有（    ） ①一个数的算术平方根一定是正数；    ②100的算术平方根是10，记作； ③的算术平方根是；    ④的算术平方根为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的概念理解以及求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 根据算术平方根的概念分别判断每一个选项即可． 【详解】解： 说法①错误，0的算术平方根是0，不是正数，因此“一定是正数”不正确； 说法②正确，100的算术平方根是10，记作，符合定义； 说法③正确，，故，其平方的算术平方根为（非负）； 说法④错误，的算术平方根为，而非，当为负数时结果应为，因此说法不成立， 故选：B． 5．实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，绝对值，数轴，有理数的加减， 根据数轴上点的位置可得，且，再根据有理数的加减法法则计算判断，然后去掉绝对值计算即可． 【详解】解：根据题意，得，且， 原式． 故选：A． 题型四 根据算术平方根的定义求字母的值 1．若与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质．根据相反数的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选：C 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根．根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 3．已知是的算术平方根，3是的算术平方根，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的定义； 先根据算术平方根的定义求出a，b，然后计算出的值，再根据算术平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵是的算术平方根，3是的算术平方根， ∴，， ∴，， ∴， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 4．已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了二次根式的意义与化简以及绝对值，根据绝对值的意义及二次根式的性质正确得出a，b的值是解题关键． 直接利用绝对值的意义以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴； 当时，，符合题意； ∴； 综上可得：的值为或， 故答案为：或． 题型五 涉及算术平方根的混合运算 1．计算： 【答案】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方和算术平方根，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方和算术平方根，然后计算加减． 【详解】解； ． 2．计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，解题关键是注意运算的顺序． 先求出绝对值，负整数指数幂，算术平方根，零指数幂，再计算加减． 【详解】解：原式 ． 3．计算：． 【答案】10 【分析】本题考查的是乘方运算，算术平方根，有理数的加减，掌握知识点是解题的关键． 先进行乘方算术平方根运算，再进行有理数的加减即可． 【详解】解：原式． 4．计算题：． 【答案】5 【分析】本题考查了乘方运算，算术平方根，绝对值运算，零指数幂．熟练掌握乘方运算，算术平方根，绝对值运算，零指数幂的运算法则是解题的关键． 根据乘方运算，算术平方根，绝对值运算，零指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型六 算术平方根的实际应用 1．二十五宝玺为清代乾隆皇帝指定的代表国家政权的二十五方御用国宝的总称，其中大清受命之宝，白玉质，面是正方形．已知玉玺面的面积为，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，已知正方形面积为，求边长，根据正方形面积公式，边长等于面积的算术平方根即可得出结论． 【详解】解：设正方形边长为，则面积为， ， 综上，边长为， 故选：B． 2．小鹿有一块长方形的彩色卡纸，卡纸的长宽之比为，其面积为，则卡纸的周长是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了算术平方根，设长方形纸片的长为，宽为，依题意得出方程，求出长方形的长和宽，即可求出周长． 【详解】解：设卡纸的长为，宽为， ∴，得， ∴（负值不符合题意，已舍去）， ∴，， ∴卡纸的周长是（）． 故答案为：70． 3．一个正常工作的灯泡其电阻为R，消耗的电功率为P，它两端的电压为U，满足关系式．现有一个能正常工作并标注电功率为的灯泡，其电阻为，则能使其正常使用的电压U为 ． 【答案】220 【分析】根据公式变形计算解答即可． 本题考查了跨学科计算，正确进行估算变形计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴（舍去）， 故答案为：220． 4．如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． (1)大正方形的边长是_____________． (2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为，且面积为？ 【答案】(1)30 (2)能 【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长是； 故答案为：30； （2）解：能 设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为 5．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、图2所示的图形，拼成的图1是一个长方形，图2是一个面积为的正方形． (1)求图2的边长； (2)求每个小长方形的长与宽． 【答案】(1) (2)每个小长方形的长为，宽为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由算术平方根的定义即可得出结论； （2）设每个小长方形的长为，宽为，根据图1和图2中的数量关系，列出二元二次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设图2的边长为． 根据题意，得． 所以，． 答：图2的边长为． （2）解：设每个小长方形的长为，宽为． 根据题意，得 解得，． 答：每个小长方形的长为，宽为． 1．若关于、的方程组和有相同的解，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，算术平方根，掌握解二元一次方程组的方法，二元一次方程组解的定义是解题的关键．由题意可组成新的方程组为：，利用加减消元法解方程组求出，的值，然后把，的值代入方程和方程，求出，的值，最后再把，的值代入进行计算即可． 【详解】解：由题意，可得方程组， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 把，代入方程和方程，得，， 解得：，， ． 故选：A． 2．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式规律探索、算术平方根，通过已知式子分析得出单项式系数及次数的变化规律，即可求解． 【详解】解：该组单项式可变形为： 因此第n个单项式的系数为，次数为n， 故第n个单项式是， 故选：B． 3．已知，，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，算术平方根；根据代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：D． 4．已知关于x、y的方程组，由于甲看错了方程（1）中的a得到方程组的解为，乙看错了方程（2）中的b得到方程组的解为，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把代入(2)得出，求出，把代入(1)得出，求出，进而求得的算术平方根． 【详解】 解：， 把 代入(2)，得， 解得：， 把代入(1)，得， 解得：， 所以． 的算术平方根为． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值、因式分解、平方差公式、完全平方公式、零指数幂、算术平方根，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键． 先将括号里通分化简，再将除法变为乘法，同时分子、分母因式分解，然后约分化简，再求出值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 1．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数阵的排列规律，需确定第八行第十五个数对应的被开方数．通过观察数阵，每行末尾数的被开方数为行数与的乘积，且每行有个数．利用此规律推导第八行的起始和末尾数，进而定位第十五个数的位置． 【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数：， 则第行的末尾数为． 故第八行末尾数为． 根据题中规律每行数的个数是：， 则第行有个数， 故第八行共有个数． 定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为，倒数第二个数的被开方数为，故该数为． 综上，第八行第十五个数为， 故选：B． 2．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ___________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则___________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）∵，， ； （3）∵， ∴ （4）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得， ， 即，， ， ， ，， ， 即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2算术平方根 （6大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 求一个数的算术平方根 题型二 算术平方根的非负性的应用 题型三 的化简 题型四 根据算术平方根的定义求字母的值 题型五 涉及算术平方根的混合运算 题型六 算术平方根的实际运算 题型一 求一个数的算术平方根 1．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A．6 B． C． D．36 3．的算术平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 4．一个自然数的算术平方根是a，则与其相邻的后一个自然数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．0.1是0.01的算术平方根 B．0.6是3.6的算术平方根 C．3是的算术平方根 D．是的算术平方根 6．若一个数的算术平方根是它本身，则这个数为 ． 题型二 算术平方根的非负性的应用 1．若，则的算术平方根是（　　） A．4 B． C．2 D． 2．若，则的值为（   ） A．3 B．1 C．2 D．0 3．若，则 ． 4．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 题型三 的化简 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B．6 C． D． 3．计算正确的是（    ） A．4 B．2 C． D． 4．下列说法中不正确的有（    ） ①一个数的算术平方根一定是正数；    ②100的算术平方根是10，记作； ③的算术平方根是；    ④的算术平方根为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A． B．2 C． D． 题型四 根据算术平方根的定义求字母的值 1．若与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．5 D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是的算术平方根，3是的算术平方根，则的算术平方根是 ． 4．已知，，且，则的值为 ． 题型五 涉及算术平方根的混合运算 1．计算： 2．计算：． 3．计算：． 4．计算题：． 题型六 算术平方根的实际应用 1．二十五宝玺为清代乾隆皇帝指定的代表国家政权的二十五方御用国宝的总称，其中大清受命之宝，白玉质，面是正方形．已知玉玺面的面积为，则其边长为（   ） A． B． C． D． 2．小鹿有一块长方形的彩色卡纸，卡纸的长宽之比为，其面积为，则卡纸的周长是 ． 3．一个正常工作的灯泡其电阻为R，消耗的电功率为P，它两端的电压为U，满足关系式．现有一个能正常工作并标注电功率为的灯泡，其电阻为，则能使其正常使用的电压U为 ． 4．如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． (1)大正方形的边长是_____________． (2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为，且面积为？ 5．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、图2所示的图形，拼成的图1是一个长方形，图2是一个面积为的正方形． (1)求图2的边长； (2)求每个小长方形的长与宽． 1．若关于、的方程组和有相同的解，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．已知关于x、y的方程组，由于甲看错了方程（1）中的a得到方程组的解为，乙看错了方程（2）中的b得到方程组的解为，求的算术平方根． 5．先化简，再求值：，其中． 1．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 2．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ___________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则___________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$