1.1.1空间向量及其线性运算导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本文围绕高二数学空间向量及其线性运算、数量积运算展开，承接向量基础，为后续立体几何学习奠基。通过各类题型练习，培养学生数学眼光、思维与语言表达素养，如在概念辨析中发展抽象能力，计算中强化运算能力。 该设计亮点在于以题型为导向，特色教法助力学生理解。从学生层面看，能提升其数学应用与逻辑思维；对教师而言，提供高效备课资源；课堂效果上，可有效突破教学难点。

安康市高新中学2025-2026学年高二数学导学案 1.1.1空间向量及其线性运算 题型一：空间向量相关概念辨析 1．判断正误． （1）零向量没有方向( ) （2）两个有公共终点的向量，一定是共线向量( ) （3）空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向( ) （4）若， 则( ) （5）若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同( ) 2．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 3．给出下列命题：其中假命题的个数是（    ）. ①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足，则；③若空间向量，，满足，，则；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向. A．1 B．2 C．3 D．4 4．下面关于空间向量的说法正确的是（    ） A．若向量平行，则所在直线平行 B．若向量所在直线是异面直线，则不共面 C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 题型二：空间向量的线性运算 1．（多选）已知正方体，则下列各式运算结果是的为（    ） A． B． C． D． 2．已知、、、为空间中任意四点，化简 . 3．化简 . 4．如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 6．已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 题型三：空间向量共线求参 1．若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 2．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3． 已知是空间的一个基底，若，，若， 则（    ） A． B． C．3 D． 题型四：空间向量共面定理及推论求参 1．已知点在平面内，并且对空间任一点，，则 ． 2．若空间四点､､､共面且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知三点不共线，为平面外一点，若由确定的点与共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 题型一：线性运算的线性表示 1．如图，在平行六面体中，M为与的交点．记，，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点满足，设，，，则（     ） A． B． C． D． 4．在平行六面体中，若，则（     ） A． B． C． D． 5．如图所示,在平行六面体中,,,,是的中点,点是上的点,且,用表示向量的结果是(     ) A． B． C． D． 题型二：判断空间向量共面 1．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型三：共面定理证明四点共面 1．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 2．图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 1．如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）给出下列命题，其中正确的命题为（　　） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则可知 C．若Q为的重心，则 D．非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面 3．已知空间5个点A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若且，，则的最小值为 ． 1.1.2 空间向量的数量积运算 题型一：空间向量数量积的概念辨析 1．给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 C． D． 3．设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知非零向量，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：求空间向量数量积 1．已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直．若，，则的值为（    ） A．7 B． C．28 D．11 2．若，，为空间中两两夹角为的单位向量，，，则 . 3．如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 5．设正方体的棱长为a，与相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 题型三：求空间向量的投影 1．已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为 . 2．已知，在方向上的投影为，则 ． 题型四：利用数量积求线长度、夹角 1．已知空间向量，，，，，则 ． 2．已知空间向量，，设，，与垂直，，，则 ． 3．已知，且与垂直，则与的夹角为（   ） A．60° B．30° C．135° D．45° 4．如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B． C．1 D． 5．已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（    ） A． B． C． D．2 6．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型五：利用数量积证垂直（求参） 1．已知空间中四点A，B，E，C，若，则 .（填“”“ //”或“”） 2．已知a，b是异面直线，，分别为取自直线a，b上的单位向量，且 ， ，⊥，则实数k的值为（    ） A． B．6 C．3 D． 3．已知，且，则实数等于 . 题型一：基底法求空间向量数量积 1．在三棱锥中，为的中点，则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 2．如图，各棱长都为的四面体中 ， ，则向量（    ） A． B． C． D． 3．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 题型二：空间向量数量积的应用 1．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ） A． B．133 C． D．61 2．已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则 ． 3．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ． 4．在棱长为1的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为的中点．（1）求EF，所成角的余弦值；（2）求FH的长． 5．（多选）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 6．（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是60° D．与所成角的余弦值为 1．已知点P为棱长等于1的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值为 ． 2．已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$