3.2抛物线的简单几何性质（8大题型）（题型专练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

3.2抛物线的简单几何性质 题型一：抛物线的焦半径坐标式 1．已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为，所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D 2．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（ ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】根据焦点可得抛物线方程，进而由面积公式可得点的坐标，即可根据焦半径公式求解. 【详解】由，得，即，故抛物线的方程为. 设，则的面积为，得， 将代入，得， 由焦半径公式. 故选：D. 3．已知抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线交C于A，B两点（A在第一象限），交C的准线于点P，若，且，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设C的准线与x轴交于点M，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，再结合，及抛物线定义知识即可求解. 【详解】设C的准线与x轴交于点M，如图，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，， 又，所以． 又，所以，则，所以，又， 由可得，解得， 故C的方程为． 故选：C. 4．已知抛物线C：的焦点为F，斜率为且不过原点O的直线l与C交于A，B两点，若，则（ ） A．16 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】设直线l：，，，将直线与抛物线联立，结合韦达定理与，可得，据此可得答案. 【详解】易知焦点，设直线l：，，， 联立，消去x得， 则，，． 因为，所以，又， 所以， 解得或（舍），所以l的方程为． 此时，，, 故． 故选：B 5．已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦半径公式算出A，B的坐标，求出直线AB的方程，进而证明A，B，F三点共线，最后利用计算即可． 【详解】由题意可知，，不妨设点，，且点A在第一象限，如图， 则，， 则，，故， 所以直线的方程为， 令得，即A，B，F三点共线， 所以． 故选：C． 6．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，利用代入数据可得的值，进而利用抛物线的定义可求解. 【详解】依题意，，准线的方程为， 因为点是上一点，所以设点，， 则，， 因为，所以， 所以，解得， 又是上一点，所以由抛物线的定义可得. 故选：D. 题型二：中点弦公式 1．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先求出抛物线方程为：，再与直线联立，由根与系数的关系进行求解． 【详解】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为． 由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3， 则线段的中点到准线的距离为． 故选：B 2．已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 3．已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为，再利用点差法，即可求解. 【详解】由抛物线的准线为，可得，可得，所以， 设，可得，且， 两式相减，可得， 可得，所以直线的方程为， 即. 故选：A． 4．中心在原点，焦点在轴上的双曲线C的离心率为2，直线与双曲线C交于A、B两点，线段AB的中点M在第一象限，并且在抛物线上，且M到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质求出点M的坐标，可设直线方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理和中点坐标公式列出方程，解之即可. 【详解】设双曲线的方程为，则， 得，即双曲线的方程为. 抛物线的准线方程为， 因为点M到抛物线焦点的距离为p，所以， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 有，消去y， 得， 设，则， 由AB的中点为，得， 即，解得. 故选：A. 题型三：抛物线焦点弦长性质 1．已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】首先得，然后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦长公式列方程即可求解. 【详解】因为直线经过点，则，由得， 则，故，所以． 故选：D． 2．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则p=（ ）. A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义有，结合已知即可求参数的值. 【详解】设， 由抛物线定义知：，而的中点横坐标为4，即， 所以，即. 故选：A. 3．已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且F是抛物线C的焦点，则的面积为（ ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】联立直线和抛物线求出关于的方程，设，，求出，求出F到直线l的距离即可求解. 【详解】联立得， 设，， 不妨取，， 则， 易知F到直线l的距离为， 所以． 故选：B. 4．已知抛物线，若斜率为的直线经过点与交于两点，且，则的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，消去得. 根据韦达定理及焦点弦公式，即可求解出的值与抛物线的准线方程. 【详解】由题意可得，直线的方程为， 代入得，. 则，设，， 则. 根据抛物线的定义可知，4，所以， 故抛物线的准线方程为. 故选：B. 5．已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线与交于两点，在准线上的投影分别为，线段分别交轴于点．若，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作出几何图形，利用几何性质可得分别为线段的中点，再利用直线与抛物线方程联立求解即可. 【详解】抛物线的焦点，准线，令与轴的交点分别为， 由，，得是线段的中点，同理是的中点， 则，直线：，设， 由消去得，则， 因此， 所以. 故选：B 题型四：抛物线焦点弦倾斜式 1．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（ ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，写出韦达定理得到，进而得到，再利用焦半径公式得到，求解出，最后再利用焦半径公式求值即可. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，设直线的方程为， 将直线的方程与抛物线的方程联立，设，且， ，消去x得， 由韦达定理得，则， 由焦半径公式得，， 因为，所以， 联立方程组，解得或（舍去）， 则，故D正确. 故选：D 2．已知抛物线（）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线相交于点P，Q（点P在第一象限），若，则直线l的斜率为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】作出准线，过作准线的垂线，垂足分别为，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率． 【详解】设是准线，过作于，过作于，过作于，如图， 则，又，所以， 所以，所以， 所以 直线斜率为. 故选：D. 3．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，则（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据焦点弦的性质结合，得出，根据图形特征得出即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设直线的倾斜角为，作垂直于点，作垂直于点，过作的垂线交于点， 因为， 所以， 同理， 因为，那么，解得， 所以，， 所以是的中位线，所以. 故选：C. 4．已知抛物线C：的焦点为F，且C的准线与x轴的交点为M．若直线l与C交于D，E两点，且，，则的面积为（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】根据题意，设l的倾斜角为，根据焦半径公式可推焦比公式，解出倾斜角，再回代可得，再利用求解即可. 【详解】由得直线l过焦点F，且． 由对称性可设点D在第一象限，则l的倾斜角为． 过点D，E作准线的垂线，垂足分别为H，I，过点D，E作x轴的垂线，垂足分别为G，K， 则，解得；，解得． 故由得，解得，所以． 又，解得， 所以． 故选：D. 5．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线交l于P，Q两点，若，且的面积为，则（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】如图，过点B作交直线AP于点M，交x轴于点N，设点，，由题意可得，，进而根据，可求. 【详解】如图，过点B作交直线AP于点M，交x轴于点N， 设点，，因为， 所以，即①． 又因为，所以，所以， 所以②， 由①②可解得，． 当时，；当时，． 所以，解得． 故选：D. 6．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于P，Q两点，则当取最小值时，直线l的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用抛物线的定义易得，结合基本不等式求取最小值时对应P，Q坐标，利用P，Q坐标求直线l的斜率，即可求解. 【详解】设直线l的倾斜角为，不妨设P在Q的上方， 过两点作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为， 结合抛物线的定义知，， 得，， 则，则 ， 当且仅当，即时等号成立， 设，，则，设l：， 联立，得，则， 故，，解得，， 此时l的斜率为， 结合抛物线的对称性可知，当P在Q的下方时，l的斜率为， 所以直线l的斜率为. 故选：D. 题型五：抛物线的光学性质 1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ） A． B． C．13 D．15 【答案】D 【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得， 由抛物线的光学性质，得点共线，设，则， 解得，点，于是，，， 所以的周长为. 故选：D 2．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线的方程为，平行于轴的光线从点射出，经过上的点反射后，再从上的另一点射出，则（ ） A．6 B．8 C． D．29 【答案】C 【分析】依题意设，代入抛物线方程，求出，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程求出点坐标，即可求出. 【详解】由，可得的纵坐标为，设，则，解得， 由题意反射光线经过抛物线的焦点， 所以直线的方程为，整理可得， 由消去整理得，解得，， 则，所以，所以. 故选：C 3．抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点（不同于顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的轴．现有抛物线：，一平行于轴的光线射向抛物线，经抛物线两次反射之后，又沿着轴方向射出，若两平行线间的距离的最小值为8，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，消去得到关于的方程，利用韦达定理得到的值，然后表示两平行线间的距离，并求出其最小值为，而由题意可知最小值为，从而得到，抛物线方程得解. 【详解】设，设两平行线间的距离为， 由题意可知，， 因为，而直线过点，则设直线方程为：，， 因为，消去得， 由韦达定理可得， 则， 所以两平行线间的最小距离为， 故抛物线方程为， 故选：C 4．根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点发射平行于轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出A点的坐标，由于直线AB过焦点，利用点斜式方程求出直线AB为，联立抛物线方程，得，根据韦达定理求出B点坐标，利用两点间距离公式可求出. 【详解】由条件可知与轴平行，令，可得，故A点坐标为， 因为经过抛物线焦点， 所以为，整理得， 联立，得，， 所以，又， 所以，， 所以， 故选：A. 5．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点，平行于对称轴的光线经过点A反射后，反射光线交抛物线于点B，则线段AB的中点到准线的距离为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】设抛物线的方程为，将点的坐标代入可求出，则可得抛物线方程，求出焦点和准线，从而可求出直线AB的方程，代入抛物线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可求出AB的中点，从而可求得结果. 【详解】设抛物线的方程为，将A的坐标代入可得，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点为，准线方程为， 由题意可得，反射光线过焦点， 所以直线AB的方程为，整理可得， 联立整理可得，解得，， 代入直线方程可得，， 所以反射光线与抛物线的两个交点为，， 所以线段AB的中点坐标为， 所以线段AB的中点到准线的距离， 故选：B. 题型六：抛物线焦点弦的综合性质 1．（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点（在第四象限），为的准线，则（ ） A．的方程为 B． C．以为直径的圆与相交 D．为钝角三角形 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标，进而求得抛物线方程，再与直线方程联立求出点的坐标，结合抛物线定义及数量积的坐标表示逐项判断得解. 【详解】由直线过点，得抛物线的焦点，方程为， 对于A，抛物线的准线的方程为，A正确； 由消去并整理得，解得， 对于B，点，，B错误； 对于C，，线段中点到准线的距离， 因此以为直径的圆与相切，C错误； 对于D，，则是钝角，D正确. 故选：AD. 2．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A；通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B；结合B，及焦半径公式可判断C；通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设， 当直线垂直于轴，可得， 所以，得； 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B错误； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ， 又， 所以，C错误； 对于D， 不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以，可得：， 所以，D正确； 故选：D 3．（多选）已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（ ） A． B． C． D．以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点 【答案】BCD 【分析】对于A，由焦点坐标可确定抛物线方程；对于B，将直线与抛物线方程联立，由韦达定理可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合抛物线定义可得答案；对于D，由抛物线定义及梯形中位线定理可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由是抛物线：的焦点，知，解得，所以选项A错误； 对于B，由可得抛物线方程为.过点且倾斜角为135°的直线的斜率，根据点斜式可得直线的方程为，即. 将代入，可得，即. 因为，是直线与抛物线C的交点，根据韦达定理，，所以选项B正确； 对于C，由抛物线的焦点弦长公式. 因为，，所以，，则. 又因为，所以，所以选项C正确； 对于D，设的中点为P，分别过M，N，P作抛物线C的准线的垂线， 垂足分别为，，， 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 则，. 所以. 这说明以为直径的圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径， 所以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点，所以选项D正确. 故选：BCD. 4．（多选）已知直线与抛物线交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则下列选项正确的是（ ） A．若，则 B． C．过点B作的垂线，垂足为D，则A，O，D三点共线 D．以为直径的圆与相切 【答案】ACD 【分析】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，即可根据焦点弦的公式求解A，根据锐角三角函数，结合抛物线的性质可得，，即可求解B,联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合斜率公式即可求解C，利用抛物线的定义，结合相切的性质即可求解D. 【详解】对于A：设．当时，由，得，故， 由于直线过点，故，A正确； 对于B：如图，不妨设位于第一象限，设直线倾斜角为， 由，故， 同理，故，B错误； 对于C：，联立，得， 所以，则． 因为，所以，所以三点共线，所以C正确； 对于D：由题意知是抛物线的准线，过点A作垂直于点， 过点B作垂直于点，取的中点M， 过点M作垂直于点，所以， 所以以为直径的圆与准线相切，D正确， 故选：ACD． 5．（多选）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，自两点向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．以为直径的圆与直线相切 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据题目条件和抛物线的性质，逐一判断选项，即可得出结果. 【详解】根据题意抛物线为开口向右的抛物线，，焦点，准线为，设. 对于A，直线过最短的弦为通径，所以A错误； 对于B，以为直径的圆，圆心为的中点，半径， 圆心到准线的距离，又，即， 故圆与直线相切，所以B正确； 设直线的方程为，且有， ，联立得， 则， ，所以，所以C正确； 设直线的倾斜角为，若， 因为，所以，所以， 同理若，则， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 题型一：抛物线的综合性质 1．已知抛物线，过点的直线与抛物线C交于，两点，则的最小值是（ ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，再结合韦达定理及不等式性质求解即可. 【详解】设直线的方程为， 联立，得， 则，且， 由，则， 当且仅当，即或时等号成立， 则的最小值是64. 故选：C. 2．已知为抛物线上一点，过焦点的直线与抛物线交于两点，且直线与的斜率互为相反数，则直线的斜率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，由斜率公式结合韦达定理化简可得解. 【详解】因为是抛物线上一点， 所以，得，所以抛物线方程为， 由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为， 由，得， 所以，所以， 因为直线，的斜率互为相反数， 所以直线的方程为， 同理可得， 所以， 所以直线的斜率为定值， 故选：D. 3．（多选）已知抛物线的焦点为，点关于坐标原点的对称点为，在第一象限内的点均在上，且，则下列说法正确的是（ ） A．点的坐标为 B． C．直线的斜率为 D．直线关于轴对称 【答案】BD 【分析】利用抛物线的定义求出焦点坐标，即可判断选项A；根据可得点为线段的中点,再根据抛物线的定义可判断选项B；设，由点为线段的中点，可得，故，再根据因为，所以，即可求得点的坐标即可判断选项C,D. 【详解】 易知，则点的坐标为，故A错误； 由，可得点为线段的中点, 点为的准线与轴的交点，所以点到准线的距离是点到准线距离的， 故由抛物线的定义可知，故B正确； 设， 由点为线段的中点，可得，故， 所以， 又因为，所以， 联立解得， 又点在第一象限内，所以，， 所以，故C错误； ， 所以，故D正确. 故选：BD. 题型一：抛物线中阿基米德三角形 1．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征： ①点必在抛物线的准线上；②． 若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，得到点，进而得到直线的斜率，再由，得到直线的斜率即可. 【详解】设抛物线的焦点为， 由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点， 所以点必在抛物线的准线上， 所以点， 直线的斜率为． 又因为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故选：A． 2．（多选）抛物线的焦点，点在直线上，直线为抛物线的切线，设，，则下列选项正确的是（ ） A．抛物线 B．直线恒过定点 C． D．当时，直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的焦点坐标确定抛物线方程即可判断A；利用导数的几何意义求导，确定切线方程从而验证直线是否过定点，即可判断B；联立直线与抛物线结合韦达定理确定交点坐标关系即可判断C；根据抛物线的定义结合直角三角形的几何性质求解直线的斜率，即可判断D. 【详解】对于A，由抛物线的焦点，得抛物线，A正确； 对于B，设，由，求导得，直线的方程为， 即为，同理得直线的方程为， 又，则，，因此直线的方程为， 直线恒过点，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，设直线的斜率为，由，得． 如图，分别作垂直于直线，垂足分别为， 设，则，，，过点作，垂足为， 则，，，，此时， 根据对称性得还可以是，D正确. 故选：ABD 3．（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（ ） A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 【答案】ACD 【分析】设，由导数的几何意义得切线斜率，利用焦点弦性质得，A正确；写出切线方程，联立求出点坐标，得B错误；用两点坐标表示出，写出直线方程，并化简可得C正确；设为抛物线弦的中点，立即得D正确. 【详解】由题意设， 由，得，则， 所以， 若弦过焦点，显然直线斜率存在，设所在直线为，联立， 得， 则， 所以， 所以，故A正确； 以点A为切点的切线方程为，以点B为切点的切线方程为， 联立消去y得， 将代入， 得， 所以，故B错误； 设N为抛物线弦的中点，N的横坐标为，因此直线平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确； 设直线的斜率为， 故直线的方程为， 化简得，故C正确. 故选：ACD. 4．（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设A，B是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于P点.若弦AB过，则下列说法正确的有（ ） A．点P在直线y＝－1上 B．存在点P，使得 C．AB⊥PF D．△PAB面积的最小值为4 【答案】ACD 【分析】由导数的几何意义可求得过点和过点的切线方程，由直线与抛物线方程联立，结合韦达定理可得两切线的交点坐标，从而可判断A，由韦达定理可得，从而可判断B，由直线垂直的斜率关系可判断C，由韦达定理表示出三角形的面积，结合函数性质可判断D. 【详解】对于A，由题意，设直线 联立，消去整理得： 设，则， 由抛物线可得，则， 则过点的切线斜率为，易知，即， 则切线方程为:，即， 同理可得：过点的切线方程为：， 联立，解得，即， 所以点在定直线上，A正确； 对于B，由选项A可知，直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，即，B错误； 对于C，由选项A可知，，则直线的斜率 由，则AB⊥PF，C正确； 对于D，由选项C可知： ， ， 则，当时，有最小值为4，D正确. 故选：ACD 5．（多选）过抛物线的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线，相交于点P，又常被称作阿基米德三角形．下面关于的描述其中正确的是（ ） A．P点必在抛物线的准线上； B．设，，则的面积S的最小值为； C． D．PM平行于x轴． 【答案】AC 【分析】利用抛物线的性质及几何意义和直线与抛物线的位置关系逐项判断即可； 【详解】解：设，， 由，得 则过A，B的切线方程分别为，， 所以，， 设直线AB为，与抛物线联立得， 所以， 直线AB过焦点，即 所以， 所以， 所以P点必在抛物线的准线上，且PM平行于x轴或与x轴重合，所以A正确，D不正确； 设A，B在准线上的投影为， ， 则 ， 则， 当轴时，取等号，所以B错误； 当AB斜率不存在时，易知； 当AB斜率存在时，， 所以，C正确， 故选：AC． 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2抛物线的简单几何性质 题型一：抛物线的焦半径坐标式 1．已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则（ ） A． B．2 C． D．4 2．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（ ） A．2 B．3 C． D．4 3．已知抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线交C于A，B两点（A在第一象限），交C的准线于点P，若，且，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知抛物线C：的焦点为F，斜率为且不过原点O的直线l与C交于A，B两点，若，则（ ） A．16 B． C．8 D． 5．已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 题型二：中点弦公式 1．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．中心在原点，焦点在轴上的双曲线C的离心率为2，直线与双曲线C交于A、B两点，线段AB的中点M在第一象限，并且在抛物线上，且M到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 题型三：抛物线焦点弦长性质 1．已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 2．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则p=（ ） A．2 B． C．4 D． 3．已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且F是抛物线C的焦点，则的面积为（ ） A．16 B．8 C． D．4 4．已知抛物线，若斜率为的直线经过点与交于两点，且，则的准线方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线与交于两点，在准线上的投影分别为，线段分别交轴于点．若，则（ ） A． B．2 C． D． 题型四：抛物线焦点弦倾斜式 1．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（ ） A． B．3 C．4 D． 2．已知抛物线（）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线相交于点P，Q（点P在第一象限），若，则直线l的斜率为（ ） A．1 B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，则（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．已知抛物线C：的焦点为F，且C的准线与x轴的交点为M．若直线l与C交于D，E两点，且，，则的面积为（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 5．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线交l于P，Q两点，若，且的面积为，则（ ） A． B．4 C． D．6 6．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于P，Q两点，则当取最小值时，直线l的斜率为（ ） A． B． C． D． 题型五：抛物线的光学性质 1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ） A． B． C．13 D．15 2．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线的方程为，平行于轴的光线从点射出，经过上的点反射后，再从上的另一点射出，则（ ） A．6 B．8 C． D．29 3．抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点（不同于顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的轴．现有抛物线：，一平行于轴的光线射向抛物线，经抛物线两次反射之后，又沿着轴方向射出，若两平行线间的距离的最小值为8，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点发射平行于轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于点，则（ ） A． B． C． D． 5．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点，平行于对称轴的光线经过点A反射后，反射光线交抛物线于点B，则线段AB的中点到准线的距离为（ ） A． B． C． D．2 题型六：抛物线焦点弦的综合性质 1．（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点（在第四象限），为的准线，则（ ） A．的方程为 B． C．以为直径的圆与相交 D．为钝角三角形 2．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 3．（多选）已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（ ） A． B． C． D．以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点 4．（多选）已知直线与抛物线交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则下列选项正确的是（ ） A．若，则 B． C．过点B作的垂线，垂足为D，则A，O，D三点共线 D．以为直径的圆与相切 5．（多选）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，自两点向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．以为直径的圆与直线相切 C． D．若，则 题型一：抛物线的综合性质 1．已知抛物线，过点的直线与抛物线C交于，两点，则的最小值是（ ） A．16 B．32 C．64 D．128 2．已知为抛物线上一点，过焦点的直线与抛物线交于两点，且直线与的斜率互为相反数，则直线的斜率为（ ） A． B． C．2 D． 3．（多选）已知抛物线的焦点为，点关于坐标原点的对称点为，在第一象限内的点均在上，且，则下列说法正确的是（ ） A．点的坐标为 B． C．直线的斜率为 D．直线关于轴对称 题型一：抛物线中阿基米德三角形 1．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征： ①点必在抛物线的准线上；②． 若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 2．（多选）抛物线的焦点，点在直线上，直线为抛物线的切线，设，，则下列选项正确的是（ ） A．抛物线 B．直线恒过定点 C． D．当时，直线的斜率为 3．（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（ ） A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 4．（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设A，B是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于P点.若弦AB过，则下列说法正确的有（ ） A．点P在直线y＝－1上 B．存在点P，使得 C．AB⊥PF D．△PAB面积的最小值为4 5．（多选）过抛物线的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线，相交于点P，又常被称作阿基米德三角形．下面关于的描述其中正确的是（ ） A．P点必在抛物线的准线上； B．设，，则的面积S的最小值为； C． D．PM平行于x轴． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$