2.3.2两点间的距离公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两点间距离公式与点到直线距离公式，以“公路同侧小区建公交站点”现实情境导入，通过代数法（解方程组求交点）与向量法（单位法向量数量积）推导公式，构建从具体到抽象的知识支架。 其亮点在于双推导路径培养数学思维，实例丰富（如判断三角形形状、直线上求等距点）强化应用意识，“坐标法”步骤总结提升结构化思考。学生能提升运算与建模能力，教师可高效落实核心素养教学。

2.3.2两点间的距离公式 1. 会用向量工具推导点到直线的距离公式． 2. 掌握点到直线的距离公式，能应用点到直线的距离公式解决有关距离问题． 3. 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 导语 思考一下 结论 可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立 点到直线的距离公式 几点说明： 思考一下 上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大，反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗?由此能否给出简化运算的方法? 结论 探究一下 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离? 思考一下 如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？ 结论 例1　已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状. ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形. ∴kAC·kAB＝－1， ∴AC⊥AB. ∴|AC|＝|AB|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 反思感悟　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解. 探究 两点间距离公式的应用 【例2】 在直线l:3x-y+1=0上求一点P,使点P 到A(1,-1),B(2,0)两点的距离相等. 分析:解答本题有两种思路:(1)设点P坐标(x,y),由点P在直线上和|PA|=|PB|,根据两点间距离公式建立关于x,y的方程,解方程组得点P的坐标.(2)由|PA|=|PB|知点P 在线段AB的垂直平分线上,再解由两条直线的方程组成的方程组得交点P的坐标. 16 解法一:设点P的坐标为(x,y). 由点P在直线l上和点P到A,B两点的距离相等建立方程组 解法二:设点P的坐标为(x,y). A(1,-1),B(2,0)两点连线所得线段的垂直平分线方程为x+y-1=0,① 已知3x-y+1=0,② 所以点P的坐标为(0,1). 17 反思感悟 利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来,已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标. 18 【变式训练2】 已知点A(4,12),P为x轴上的一点,且点P与点A的距离等于13,则点P的坐标为　　　　　.  解得x=-1或x=9. 所以点P的坐标为(-1,0)或(9,0). 答案:(-1,0)或(9,0) 19 【思想方法】 【典例】 如图,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是边BC上异于点B,C的任意一点,求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|. 审题视角:建立适当的平面直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明. 20 证明:以边BC的中点为原点O,边BC所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系. 设A(0,a),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b). 由题意知,B(-b,0). 由两点间的距离公式,得|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2, |AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2, |BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2. ∵|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2, ∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|. 21 方法点睛 1.用“坐标法”解决平面几何问题时,关键要结合图形的特征,建立适当的平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点: (1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算; (2)如果条件中有互相垂直的两条直线,可考虑将它们作为两坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果图形为轴对称图形,可考虑将对称轴作为坐标轴. 2.利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤: 第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量; 第二步:进行有关代数运算; 第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 22 2 4 5 1 3 【答案】 A 2 4 5 1 3 【答案】 D 2.到直线3x－4y－1＝0的距离为2的点的轨迹方程是(　　) A. 3x－4y－11＝0 B. 3x－4y＋9＝0 C. 3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0 D. 3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0 2 4 5 3 1 【答案】 ABC 3. (多选)已知两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕点P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能为 (　　) A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 2 4 5 3 1 【答案】 12x＋8y－15＝0 4. 与两条平行直线l1：3x＋2y－6＝0，l2：6x＋4y－3＝0等距离的平行直线的方程为_____________________________________________． 2 4 5 3 1 5. 已知平面直角坐标系内两点A(4,0)，B(0,3)． (1) 求直线AB的方程； (2) 若直线l平行于直线AB，且到直线AB的距离为2，求直线l的方程． 如图，已知点 ，直线 ，如何求点P到直线l的距离？ 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂 线段PQ的长度，其中Q是垂足.因此，求出垂足Q 的坐标，利用两点间的距离公式求出 ，就可以 得到点P到直线l的距离. 解方程组 ① 得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为 . 设 ， .由 ，以及直线l的斜率为 ，可得l的垂线PQ的斜率为 ，因此，垂线PQ的方程为 ，即 . 于是 . 因此，点 到直线 的距离 （1）无论点 是否在直线 上，点到直线的距离公式 都适用.若点 在直线上,则点 到直线的距离为0. 点到直线的距离是直线上的点与直线外的一点的连线的最短距离. 若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再代入公式求距离. 若设垂足Q的坐标为（x，y），则 如图，点P到直线l的距离，就是向量 的模. 设 是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则 是 在n上的投影向量， . 设 ， 是直线 上的任意两点，则 是直线l的方向向量，把 ， 两式相减，得 .由平面向量的数量积运算可知，向量 与向量 垂直. . 因为点 在直线l上，所以 .所以 .代入上式，得 .因此 . 向量 就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量.我们取 ，从而 |AC|＝＝＝2， 又|BC|＝＝＝2， 解　方法一　∵|AB|＝＝＝2， 又|AC|＝＝＝2， |AB|＝＝＝2， 方法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－， . 1. 两条平行直线3x－2y－1＝0和6x－4y＋3＝0间的距离是　(　　) A. B. C. D. 【解析】 直线3x－2y－1＝0即为6x－4y－2＝0，所以两平行直线6x－4y－2＝0和6x－4y＋3＝0间的距离d＝＝. 【解析】 根据题意可设所求轨迹方程为3x－4y＋C＝0(C≠－1)．根据两条平行直线间的距离公式，得＝＝2，解得C＝－11或C＝9，所以所求轨迹方程为3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0. 【解析】 当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的距离最大，最大距离为PQ＝＝5，所以l1，l2之间的距离的取值范围是(0,5]．故选ABC. 【解析】 设所求直线的方程为3x＋2y＋b＝0.l2：6x＋4y－3＝0可化为3x＋2y－＝0，则有|b－(－6)|＝|b－|，解得b＝－，则所求直线方程是3x＋2y－＝0，即12x＋8y－15＝0. 【解析】 (1) 由两点式，得直线AB的方程为＝，即3x＋4y－12＝0. (2) 由(1)可设直线l：3x＋4y＋C＝0， 所以＝2，解得C＝－2或C＝－22， 所以直线l的方程为3x＋4y－2＝0或3x＋4y－22＝0. $$