专题04 函数的概念及其表示、幂函数与二次函数（10大考点47题）（期中真题汇编，湖北专用）高一数学上学期

专题04 函数的概念及其表示、幂函数与二次函数 10大高频考点概览 考点01 判断函数关系 考点02 求函数值 考点03 具体函数定义域 考点04 抽象函数及复合函数定义域 考点05 函数相等 考点06 求函数解析式 考点07 分段函数单调性求参数 考点08 幂函数 考点09 二次函数的图象与性质 考点10 实际应用 地 城 考点01 判断函数关系 一、单选题 1．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．已知圆周率，如果记圆周率π小数点后第n位数字为，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．，是一个函数 C． D． 二、多选题 2．(23-24高一上·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)下列能够表示集合到集合的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 求函数值 三、单选题 3．(24-25高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)已知函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 4．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数则 . 5．(24-25高一上·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)已知，则 6．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数，若，则 . 地 城 考点03 具体函数定义域 一、填空题 7．(24-25高一上·湖北部分普通高中联盟·期中)函数的定义域为 8．(24-25高一上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)函数的定义域为 . 9．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)函数的定义域为 . 10．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)写出一个定义域为，值域为的函数 ． 地 城 考点04 抽象函数及复合函数定义域 一、单选题 11．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数的定义域为[1，2]，则函数的定义域为（    ） A． B． C．[1，2] D．[1，4] 12．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知函数，则函数的定义域为 ． 二、多选题 13．(24-25高一上·湖北荆州中学·期中)下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数且的图象恒过定点 C．函数的最小值为6 D．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 14．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围 15．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)下列命题正确的是（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若，则函数的最小值为2 D．若，则 16．(24-25高一上·湖北部分普通高中联盟·期中)下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数在单调递减区间为 D．函数的单调递增区间为 17．(24-25高一上·湖北恩施高中、夷陵中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 地 城 考点05 函数相等 一、单选题 18．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)不存在函数，满足（    ） A．定义域相同，值域相同，但对应关系不同 B．值域相同，对应关系相同，但定义域不同 C．定义域相同，对应关系相同，但值域不同 D．定义域不同，对应关系不同，但值域相同 19．(24-25高一上·湖北荆州沙第一中学·期中)下列选项中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 二、多选题 20．(23-24高一上·湖北A9高中联盟·期中)下列函数中，与不是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 21．(23-24高一上·湖北部分普通高中联盟·期中)下列各组函数与的图象相同的是（        ） A．， B．， C．， D．， 地 城 考点06 求函数解析式 一、单选题 22．(23-24高一上·湖北部分普通高中联盟·期中)已知，则函数的解析式为（        ） A． B．（） C．（） D．（） 二、解答题 23．(24-25高一上·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； 24．(24-25高一上·湖北四校（襄州二中、宜城二中、枣阳二中、枣阳师苑）·期中)求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知，求的解析式 (3)已知奇函数的定义域为，当时，，求函数的解析式 25．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)已知定义在R上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 地 城 考点07 分段函数单调性求参数 一、单选题 26．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)若函数在R上单调递增，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．(24-25高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)函数若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 30．(24-25高一上·湖北四校（襄州二中、宜城二中、枣阳二中、枣阳师苑）·期中)函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 . 地 城 考点08 幂函数 一、单选题 1．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)下列关于幂函数的判断：①定义域为；②值域为R；③是偶函数；④在上单调递减.其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 2．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．在区间单调递增 C．的值域为 D． 三、解答题 3．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若正实数，满足，求的最小值. 地 城 考点09 二次函数的图象与性质 一、填空题 4．(23-24高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)若函数的值域是，则 . 5．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)已知函数，其中，则的值域是 ，若，且对，总，使得成立，则实数m的取值范围为 . 二、解答题 6．(23-24高一上·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)已知二次函数的图象关于直线对称，且经过原点与点． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，其中，求实数m的取值范围． 7．(23-24高一上·湖北孝感·期中)已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的值域． 8．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数． (1)若函数的图象与x轴有两个不同的交点，求实数m的取值范围； (2)若函数在区间单调递减，且对任意的，，都有，求实数m的取值范围． 9．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数，． (1)对任意，，求实数x的取值范围； (2)设，记的最小值为，求的最小值． 10．(23-24高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)已知函数（）． (1)若的定义域和值域均是，求实数a的值； (2)若在区间上是减函数，且对任意的，都有．求实数a的取值范围； (3)若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数a的取值范围． 11．(24-25高一上·湖北四校（襄州二中、宜城二中、枣阳二中、枣阳师苑）·期中)已知函数，（） (1)若为奇函数，①求函数的解析式 ②证明函数在区间上的单调性，并指出函数在区间上的值域. (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值. 12．(24-25高一上·湖北恩施高中、夷陵中学·期中)已知为实数，函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (2)设函数，为在区间上的最大值，求的解析式； (3)对于（2）中的，若对及上恒成立，求实数的取值范围. 13．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知，其中 (1)若函数为偶函数，求的值 (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围 (3)若函数的最小值为，求的取值范围． 14．(24-25高一上·湖北宜昌协作体·期中)若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 地 城 考点10 实际应用 15．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)随着一年一度的双十一网络购物节促销活动的临近，某男装店推出两款不同颜色的格子衬衫，分别为白色立领衬衫和灰色方领衬衫，已知白色立领衬衫单价为x元，灰色方领衬衫单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：白色立领衬衫购买数量为a件，灰色方领衬衫购买数量为b件，共消费记为元； 方案二：白色立领衬衫购买数量为b件，灰色方领衬衫购买数量为a件，共消费记为元.其中，且a， (1)试问哪种购买方案花费更少?请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，，求这两种购买方案消费差值S的最小值注：差值消费较大值-消费较小值 16．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)在日常生活中，经济学家们通常将函数的边际函数定义为.现已知某高科技企业每月生产某种特殊设备最多11台，根据以往经验：生产台这种特殊设备的月收入函数为（单位：千万元），其月成本函数为（单位：千万元）.求： (1)月收入函数的最小值及此时x的值; (2)月成本函数的边际函数的定义域及最大值（精确到0.01千万元）； (3)生产台这种特殊设备的月利润的最小值.（月利润=月收入-月成本） 17．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. (1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； (2)若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; (3)已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数的概念及其表示、幂函数与二次函数 10大高频考点概览 考点01 判断函数关系 考点02 求函数值 考点03 具体函数定义域 考点04 抽象函数及复合函数定义域 考点05 函数相等 考点06 求函数解析式 考点07 分段函数单调性求参数 考点08 幂函数 考点09 二次函数的图象与性质 考点10 实际应用 地 城 考点01 判断函数关系 一、单选题 1．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．已知圆周率，如果记圆周率π小数点后第n位数字为，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．，是一个函数 C． D． 【答案】A 【分析】由题意，结合圆周率小数点后的数字，依次判断选项即可. 【详解】A：当时，，故A错误； B：由题意可知圆周率小数点后第n位上的数字y是唯一确定的， 即任取一个正整数n都有唯一确定的y与之对应，因此y是n的函数，故B正确； C：，所以，故C正确； D：由题意知，函数的定义域为，值域为，故D正确. 故选：A 二、多选题 2．(23-24高一上·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)下列能够表示集合到集合的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故A正确； 对于B，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故B正确； 对于C，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故C错误； 对于D，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故D正确. 故选：ABD. 地 城 考点02 求函数值 三、单选题 3．(24-25高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)已知函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】代入求解得到，结合，，求出答案. 【详解】由， 则， 又，，所以. 故选：C 二、填空题 4．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数则 . 【答案】 【分析】利用分段函数的性质依次计算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为： 5．(24-25高一上·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)已知，则 【答案】/ 【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】. 故答案为：. 6．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【详解】易知，即为奇函数， 所以. 故答案为：. 地 城 考点03 具体函数定义域 一、填空题 7．(24-25高一上·湖北部分普通高中联盟·期中)函数的定义域为 【答案】 【分析】使式子有意义可列得不等式组，求解即可. 【详解】由题可得，解得且， 所以定义域为， 故答案为：. 8．(24-25高一上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据每个式子有意义的条件分别求出自变量的取值范围，再求交集即可. 【详解】因为 所以 解得且， 所以函数的定义域为( . 故答案为：. 9．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】解：要使函数有意义，则， 解得且，故函数的定义域为 故答案为： . 10．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)写出一个定义域为，值域为的函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合反比例函数模型得到定义域为，值域为的函数解析式. 【详解】因为定义域为，值域为，关于对称， 所以函数定义域为，值域为， 结合反比例函数模型可得， 故答案为：（答案不唯一） 地 城 考点04 抽象函数及复合函数定义域 一、单选题 11．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数的定义域为[1，2]，则函数的定义域为（    ） A． B． C．[1，2] D．[1，4] 【答案】B 【分析】由的范围得到的范围，即可求解. 【详解】因为的定义域为[1，2]， 所以，所以， 则，解得， 故选：B 12．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知函数，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据被开方数非负，列出不等式求得的定义域，进而可求的定义域. 【详解】要使函数，有意义，必须，解得， 函数的定义域为； 由函数，令，解得， 函数的定义域是． 故答案为：. 二、多选题 13．(24-25高一上·湖北荆州中学·期中)下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数且的图象恒过定点 C．函数的最小值为6 D．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 【答案】AD 【分析】A.利用抽象函数的定义域求解；B.由指数函数过定点问题求解；C. 令，利用对勾函数的性质求解；D.由判断. 【详解】A. 因为的定义域为，所以，解得，所以的定义域为，故正确； B. 令，得此时，所以函数且的图象恒过定点，故错误； C. 令，由对勾函数的性质得 在 上递增，所以 ，故错误； D. 若方程有一正根和一负根，则方程两根，解得，当时，，故正确； 故选：AD 14．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围 【答案】AD 【分析】由抽象函数的定义域即可判断A，由一元二次不等式恒成立即可判断B，由换元法求函数值域即可判断C，由二次函数的单调性即可判断D 【详解】对于A，因为的定义域为，则，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B，当时，不等式，符合要求； 当时，关于x的不等式恒成立， 则满足，解得， 综上，实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，令，则，即， 所以， 因为，所以函数在上单调递减， 当时，，所以，则函数的值域为，故C错误； 对于D，由函数在区间上单调递减， 可得，解得，故D正确； 故选：AD 15．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)下列命题正确的是（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若，则函数的最小值为2 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据函数的定义域不同判断A；由抽象函数定义域求法可判断B；利用基本不等式求函数最值，由等号取得条件判断C；利用不等式性质计算D. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不相同，故不是相同的函数，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，由于无实数根，故取不到最小值2，故C错误； 对于D，由题意 ，所以，又因为，所以，又，则，故D正确. 故选：BD 16．(24-25高一上·湖北部分普通高中联盟·期中)下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数在单调递减区间为 D．函数的单调递增区间为 【答案】AD 【分析】根据分式不等式的解法可得A，根据函数的定义域可得B，根据函数的单调性的定义可得C，根据复合函数单调性可判断D. 【详解】对于A，不等式化简为，可得， 即，解集为，A正确； 对于B，函数的定义域为，则， 所以函数中，解得， 所以函数定义域为，B错误； 对于C，单调区间不可用“”符号连接，可用“和”或“，”连接，C错误； 对于D，因为，所以，解得， 设，则， 在上为增函数，在区间上为减函数， 在上为增函数， 故函数的单调递增区间为，D正确； 故选：AD. 17．(24-25高一上·湖北恩施高中、夷陵中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】对A：求出两函数定义域即可得；对B：由题意可得，解出即可得；对C：分与，结合所给值域进行讨论即可得；对D：分与，结合所给定义域进行讨论即可得. 【详解】对A：定义域为，定义域为， 故函数与 不是同一个函数，故A错误； 对B：由的定义域为，则对有， 解得，故函数的定义域为，故B正确； 对C：当时，，不符； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故C正确； 对D：当时，，其定义域为，符合要求； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 地 城 考点05 函数相等 一、单选题 18．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)不存在函数，满足（    ） A．定义域相同，值域相同，但对应关系不同 B．值域相同，对应关系相同，但定义域不同 C．定义域相同，对应关系相同，但值域不同 D．定义域不同，对应关系不同，但值域相同 【答案】C 【分析】对于ABD，举例判断，对于C，由两函数相等的条件分析判断. 【详解】对于A，如，满足定义域相同，值域相同，但对应关系不同，所以A错误， 对于B，如，满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同，所以B错误， 对于C，当两函数的定义域相同，对应关系相同时，这两函数为相同的函数，所以值域必相同， 所以不存在函数，满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同，所以C正确， 对于D，如，满足定义域不同，对应关系不同，但值域相同，所以D错误， 故选：C 19．(24-25高一上·湖北荆州沙第一中学·期中)下列选项中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由定义域及解析式判断即可. 【详解】对于A：中，不能取0，而，显然两函数定义域不同，不符合题意； 对于B：，不能取0，而，显然两函数定义域不同，不符合题意； 对于C：，显然两函数解析式不同，不符合题意； 对于D： ，与的定义域，解析式一样，符合题意. 故选：D 二、多选题 20．(23-24高一上·湖北A9高中联盟·期中)下列函数中，与不是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的解析式和定义域是否相同，依次判断即可. 【详解】函数的定义域为， 对选项A：定义域为，不是同一函数； 对选项B：，解析式不同，不是同一函数； 对选项C：，定义域为，是同一函数； 对选项D：定义域为，不是同一函数； 故选：ABD. 21．(23-24高一上·湖北部分普通高中联盟·期中)下列各组函数与的图象相同的是（        ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据相等函数的概念，分析函数的定义域、值域和解析式，依次判断选项即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，值域为， 而的定义域为，值域为，故A不合题意； 对于B，函数的定义域为，值域为， 而，则与的定义域、值域均相同，解析式相同，故B符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为，且值都为1，故C符合题意； 对于D，两个函数的解析式不同，故D不合题意； 故选：BC． 地 城 考点06 求函数解析式 一、单选题 22．(23-24高一上·湖北部分普通高中联盟·期中)已知，则函数的解析式为（        ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】令（），采用换元法求函数的解析式. 【详解】设（），则， ， 所以（）， 故选：C. 二、解答题 23．(24-25高一上·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由换元法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设，则. ，解得，或， 或. （2）令，则，， 即. 24．(24-25高一上·湖北四校（襄州二中、宜城二中、枣阳二中、枣阳师苑）·期中)求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知，求的解析式 (3)已知奇函数的定义域为，当时，，求函数的解析式 【答案】(1) (2)（） (3) 【分析】（1）由已知设函数（），代入列方程组求解即可； （2）利用换元法令，代入求解即可； （3）利用奇函数的定义求解析式，即当时，有，利用求即可. 【详解】（1）由已知是一次函数，设函数（）， 则， 因为， 所以， 所以 解得， 所以； （2）令，，则，即， 因为， 则， 所以（）. （3）奇函数的定义域为，所以， 当时，， 又当时，， 所以， 所以， 故. 25．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)已知定义在R上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可； （2）整理不等式为，再根据含参一元二次不等式的解法求解即可； （3）转化问题为在上恒成立，即，进而结合函数单调性求解即可. 【详解】（1）由， 得， 两式联立解得，. （2）由（1）知，， 则不等式，即为， 整理得，，即， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式解得； 当时，不等式解得. 综上所述，当时，不等式的解集， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （3）由（1）知，， 由不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以时，，即，解得， 所以实数a的取值范围为． 地 城 考点07 分段函数单调性求参数 一、单选题 26．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由分段函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是R上的增函数， 则，解得. 故选：D 27．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)若函数在R上单调递增，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两段都递增，结合分段点处的函数值的特征，列出不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在R上单调递增， 所以，于是 故选：D 28．(24-25高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)函数若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调性的定义判断单调性，由分段函数单调增的条件，列出不等式组，求得结果 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递增的， 则. 故选：C 29．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求分段函数的两段均递增，且端点处的左侧函数值不大于右侧函数值． 【详解】因为函数在上为增函数，所以，解得. 故选：D． 二、填空题 30．(24-25高一上·湖北四校（襄州二中、宜城二中、枣阳二中、枣阳师苑）·期中)函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】因为在R上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 地 城 考点08 幂函数 一、单选题 1．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)下列关于幂函数的判断：①定义域为；②值域为R；③是偶函数；④在上单调递减.其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由幂函数的定义域，值域，单调性可得①②④，由函数的奇偶性可得③. 【详解】， 对于①，定义域为，故①错误； 对于②，由幂函数的性质可得值域为，故②错误； 对于③，，且定义域关于原点对称，所以是偶函数，故③正确； 对于④，由幂函数图象的性质可得在上单调递减，故④正确； 所以正确的个数为2个， 故选：C. 二、多选题 2．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．在区间单调递增 C．的值域为 D． 【答案】ACD 【分析】根据函数奇偶性定义可判断；根据函数奇偶性性质结合单调性可判断；根据偶函数和幂函数性质可判断. 【详解】对于，因为函数的定义域为，且，所以是偶函数，故正确； 对于，因为是定义在上的偶函数，所以在上单调性与在上单调性相反， 当时，，而在单调递增，所以在单调递减，故错误； 对于，，当时，的值域为， 因为函数为偶函数，所以的值域为，故正确； 对于，因为函数是偶函数，所以， 因为，所以，所以, 因为在单调递增，所以，故正确. 故选：. 三、解答题 3．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若正实数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式； （2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性求解； （3）由基本不等式求得最小值． 【详解】（1）由为幂函数得：， 且在上单调递增， 所以， 又，所以或， 当时，为奇函数，不满足题意， 当时，为偶函数，满足题意， 所以. （2）由函数为偶函数， 所以 且在上单调递增， 所以， 即， 所以的取值范围为：， （3）因为且， 所以， 所以 ， 当且仅当 且，即时取等号， 所以的最小值为. 地 城 考点09 二次函数的图象与性质 一、填空题 4．(23-24高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)若函数的值域是，则 . 【答案】 【分析】由二次函数图象可知，解方程计算可得. 【详解】根据二次函数性质可知，的最小值为， 所以可得，解得； 故答案为： 5．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)已知函数，其中，则的值域是 ，若，且对，总，使得成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次函数的性质可求的值域；分别求出当时，当，，再由题意可得，可求m的范围. 【详解】因为，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 故的值域是： 当时， 当，， 因为对，总，使得成立，即， 则，解得， 故实数m的取值范围为： 故答案为：； 二、解答题 6．(23-24高一上·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)已知二次函数的图象关于直线对称，且经过原点与点． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，其中，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式； （2）由函数在区间上取到函数的最小值，得对称轴与区间的关系，建不等式求解即可. 【详解】（1）由二次函数的图象关于直线对称， 可设，， 则解得 ∴的解析式为． （2）由题知，的对称轴为，且． ∵在区间上的最小值为， ∴，又，解得， 即实数m的取值范围为． 7．(23-24高一上·湖北孝感·期中)已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的函数值求解析式； （2）利用二次函数在给定区间的单调性分类讨论最小值即可求解. 【详解】（1）由题可得，，所以， 又因为， 所以二次函数的对称轴为，解得， 所以. （2）由（1）知，，对称轴， 当，即时， 函数在上单调递减， 则函数的最小值； 当，即时， 函数在上单调递减，单调递增， 则函数的最小值； 当时， 函数在上单调递增， 则函数的最小值； 所以， （i）当时，单调递减，所以； （ii）当时，； （iii）当时，单调递增，所以； 综上，的值域为. 8．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数． (1)若函数的图象与x轴有两个不同的交点，求实数m的取值范围； (2)若函数在区间单调递减，且对任意的，，都有，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由二次函数性质首先求得，然后求得在上的最大值和最小值，由得结论． 【详解】（1）由题意可知方程有两个不相等的实数根，， 所以，解得或， 所以m的取值范围是或； （2）因为函数在是减函数，其对称轴为， 所以，即． 因为对任意的，，总有， 所以要使成立，则必有． 因为在单调递减，在单调递增， 且，所以， ， 所以，即，解得． 所以，实数m的取值范围是． 9．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数，． (1)对任意，，求实数x的取值范围； (2)设，记的最小值为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法1：由已知可得恒成立．分，，三种情况，分离常数，结合的范围，列出不等式求解，即可得出答案；解法2：由，可将函数看为关于的一次函数，列出不等式组，求解即可得出答案； （2）代入可得．分，，三种情况，去绝对值，结合二次函数的性质，得出的单调性，进而得出最小值，求出的表达式.分段求解得出范围，即可得出答案. 【详解】（1）解法1：因为，对任意，， 所以恒成立． 当时，恒成立，即， 解得，所以； 当时，，显然成立； 当时，恒成立，即， 解得，所以． 综上所述，x的取值范围为． 解法2：因为对任意，， 所以，解得； 且，解得． 所以x的取值范围为． （2）由题意可知，． ①当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减， 在上单调递增. 函数的最小值为； ②当时， 根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增. 所以，函数的最小值为； ③当时， 根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增. 故函数的最小值为. 综上所述，. 所以，当时，函数的最小值为，此时； 当时，函数的最小值为，此时； 当时，函数的最小值为，此时． 综上所述，的最小值为． 10．(23-24高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)已知函数（）． (1)若的定义域和值域均是，求实数a的值； (2)若在区间上是减函数，且对任意的，都有．求实数a的取值范围； (3)若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）先确定单调性，根据单调性列方程组求解； （2）根据函数单调性求出在区间上的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题列不等式求解； （3）求出函数和的值域，根据题意得到值域之间的包含关系，进而可列不等式求解. 【详解】（1） 在上单调递减，又， 在上单调递减， ，即， 解得； （2）在区间上是减函数， ， ， ， 时，， 又对任意的，都有， ， ； （3）∵，明显其在上单调递增， 当时， 又在上单调递减， ∵对任意的，都存在，使得成立 ∴ ∴ ∴ 即. 11．(24-25高一上·湖北四校（襄州二中、宜城二中、枣阳二中、枣阳师苑）·期中)已知函数，（） (1)若为奇函数，①求函数的解析式 ②证明函数在区间上的单调性，并指出函数在区间上的值域. (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值. 【答案】(1)①；②证明见解析， (2) 【分析】（1）①利用奇函数定义即可求得答案；②利用单调性定义可证明函数单调性，根据函数单调性，即可求得函数值域； （2）分类讨论a的取值范围，确定函数在给定区间上的单调性，结合函数最小值列式计算，即可求得答案. 【详解】（1）①由题意知函数，其定义域为R， 为奇函数，∴； ∴，经检验符合题意； ②设，则：， ∵ ∴且， 又，， ∴， ∴在上单调递增， 所以当时，．当时，， ∴在上的值域为； （2），其对称轴为，分4种情况讨论： 当时，此时的对称轴，函数在区间上单调递减，，得，不符合题意； 当时，此时的对称轴，函数在区间上单调递减， 此时，得，符合题意； 当时，此时的对称轴满足， 此时，解得，不符合题意； 当时，此时的对称轴满足，函数在区间上单调递增， ，不符合题意． 综合可得：． 12．(24-25高一上·湖北恩施高中、夷陵中学·期中)已知为实数，函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (2)设函数，为在区间上的最大值，求的解析式； (3)对于（2）中的，若对及上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由二次函数的性质可得在上的单调性，再讨论与区间的关系即可得解； （2）分、、及进行讨论，结合函数在上的单调性及其正负即可得； （3）由（2）中所得可求出的最小值，从而得到与、有关的不等式，再结合的范围计算即可得到的范围. 【详解】（1）由，故在上单调递减，在上单调递增， 若函数在区间上具有单调性，则有或； （2）当时，则在区间上单调递增，又， 则当时，，故， 则； 当时，则在区间上单调递减，又， 则当时，，故， 则； 当，时，， 在、上单调递增，在上单调递减， 有，， 当，即或时， 即时，， 当时，； 当，时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故； 综上所述，； （3）由， 则当时，， 当时，， 当时，， 故， 即有对恒成立， 即，则有， 即，解得. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于求出的最小值，从而得到与、有关的不等式，再结合的范围得到的范围. 13．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知，其中 (1)若函数为偶函数，求的值 (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围 (3)若函数的最小值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）函数为偶函数根据定义列方程计算即可； （2）分三种情况讨论函数在区间上单调性即可求参； （3）令，把函数最值转化为即可解题. 【详解】（1）为偶函数，即，，； （2） 时，对称轴，在上单调递增，符合题意； 时，只需即可，； 时，时，而不满足题意． 综上的取值范围 （3）， 令， ，， 函数，当时，，只要即可， ，综上的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点为令，则，可以把函数最小值为转化为计算即可求解. 14．(24-25高一上·湖北宜昌协作体·期中)若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）根据奇函数的性质，取相反数，利用已知的函数解析式，整理可得答案； （2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案； （3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案. 【详解】（1）当时，则， 由奇函数的定义可得， 所以. （2）方程即，设， 由题意知，解得. （3）因为在区间上的值域恰为， 其中且，所以，则， 所以或. ①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，则，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为. 综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和. 地 城 考点10 实际应用 15．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)随着一年一度的双十一网络购物节促销活动的临近，某男装店推出两款不同颜色的格子衬衫，分别为白色立领衬衫和灰色方领衬衫，已知白色立领衬衫单价为x元，灰色方领衬衫单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：白色立领衬衫购买数量为a件，灰色方领衬衫购买数量为b件，共消费记为元； 方案二：白色立领衬衫购买数量为b件，灰色方领衬衫购买数量为a件，共消费记为元.其中，且a， (1)试问哪种购买方案花费更少?请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，，求这两种购买方案消费差值S的最小值注：差值消费较大值-消费较小值 【答案】(1)方案二，理由见解析 (2)24 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解 【详解】（1）方案一的总费用为元， 方案二的总费用为元， 则， 因为，，所以，即， 所以采用方案二，花费更少. （2）由（1）可知：， ，，，，， 令，即， ， 当时，时，上式等号成立， ，可得， ， 当且仅当，时，等号成立， 所以两种方案花费的差值S的最小值为24元， 当且仅当，，，时，等号成立. 16．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)在日常生活中，经济学家们通常将函数的边际函数定义为.现已知某高科技企业每月生产某种特殊设备最多11台，根据以往经验：生产台这种特殊设备的月收入函数为（单位：千万元），其月成本函数为（单位：千万元）.求： (1)月收入函数的最小值及此时x的值; (2)月成本函数的边际函数的定义域及最大值（精确到0.01千万元）； (3)生产台这种特殊设备的月利润的最小值.（月利润=月收入-月成本） 【答案】(1)当时，（千万元） (2)定义域为，最大值为（千万元） (3)当时，（千万元） 【分析】（1）利用基本不等式求函数的最小值即可得到结果. （2）求出边际函数的解析式，然后利用函数的单调性求解最值. （3）求出利润函数的解析式，换元后运用二次函数的图象性质求解最值． 【详解】（1）∵， ∴，当且仅当即时等号成立， ∴当时，（千万元）. （2）∵, ∴, 由得函数定义域为. 由题意得，在上单调递增， 当时，有最大值，最大值为（千万元）. （3）由题意得，， 令，则函数可化为，对称轴为直线， 当时，， 由可知当时，，（千万元）. 17．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. (1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； (2)若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; (3)已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 【答案】(1)最小值，最大值为；是 (2) (3)8 【分析】（1）结合二次函数的图象即可求得； （2）根据题意，讨论对称轴和区间的位置关系，，，，分别求得即可； （3）根据题意，在对称轴取得最小值，讨论对称轴和区间的最大值，再根据和，分别求得. 【详解】（1）根据题意：，则， 因为，则当时，， 当时，，且， 即函数为上的“聚集函数”. （2） ①若，则，， 根据题意：，无解； ②若，则，， 根据题意：，解得：； ③若，则，， 根据题意：，解得：； ④若，则，， 根据题意：，解得：无解； 综上：实数的取值范围为：. （3） 因为，则， ①若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. ②若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. 综上：的最大值为，当且仅当时取等号， 即或时取等号. 因此的最大值为. 【点睛】含参数的二次函数在给定区间上求最值问题主要有三种类型： 轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考虑对称轴和区间的关系，当含有参数时，要根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，当确定了对称轴和区间的关系，就明确了函数的单调性，从而确定了函数的最值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$