专题06 期中压轴题精选（3大考点21题）（期中真题汇编，湖北专用）高一数学上学期

专题06 期中压轴题精选 3大高频考点概览 考点01 集合压轴题 考点02 基本不等式及一元二次不等式压轴题 考点03 函数的概念及其性质压轴题 地 城 考点01 集合压轴题 一、单选题 1．(24-25高一上·湖北新高考联考协作体·期中)已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，、不同在集合或中，、不同在集合或中，而、无限制，列举出满足条件的集合，即可得解. 【详解】因为，， 由题意可知，若，则，若，则， 若，则，若，则，、没有限制， 综上所述，满足条件的集合可为：、、、、、 、、、、、、、、 、、，共个， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出元素与集合的关系，然后利用列举法求解. 2．(24-25高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ② ③； ④ 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】利用定义结合集合间的基本关系与运算计算即可. 【详解】① 故①不是集合X上的拓扑的集合； ③， 故③不是集合X上的拓扑的集合； 对于选项②④ 满足：（1）X属于，属于； （2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于， 综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②④ 故选：C 【点睛】思路点睛：新定义问题关键在于理解题意，将问题转化为集合间的基本关系即可. 地 城 考点02 基本不等式及一元二次不等式压轴题 一、单选题 3．(23-24高一下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用立方和公式及换元法，结合基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 设，则，解得， 因为，，， 所以，解得或， 又因为， 所以，整理得，解得， 当且仅当时，等号成立. 因此，即， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用立方和公式和换元法，根据建立关于的不等式即可. 二、多选题 4．(23-24高一上·湖北荆州荆州中学·期中)已知不等式对恒成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意先对不等式左边变形并不断利用基本不等式求出它的最小值，注意取等条件是否成立，然后将恒成立问题等价转换，即可求出参数的范围，最后对比选项即可求解. 【详解】由题意 ， 第一个等号成立当且仅当，第二个等号成立当且仅当， 综上所述：，当且仅当时成立； 又不等式对恒成立，等价于， 解得，对比选项可知的值可以是或或. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是将不等式左边变形，利用基本不等式求最小值，从而可将恒成立问题等价转换，进而顺利求解，灵活的变形技巧是必不可少的，当然利用基本不等式求最小值时，要注意验证取等条件. 三、解答题 5．(23-24高一上·湖北黄冈普通高中·)小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由? 【答案】存在，时，取最大面积 【分析】先用边长通过几何关系表示出所求面积，再用基本不等式即可求解，注意检验等号是否能取得 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 设，则 设，则，，而为直角三角形， ， 当且仅当，即时取等，此时，满足， 故时，取最大面积 6．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. (1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； (2)若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; (3)已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 【答案】(1)最小值，最大值为；是 (2) (3)8 【分析】（1）结合二次函数的图象即可求得； （2）根据题意，讨论对称轴和区间的位置关系，，，，分别求得即可； （3）根据题意，在对称轴取得最小值，讨论对称轴和区间的最大值，再根据和，分别求得. 【详解】（1）根据题意：，则， 因为，则当时，， 当时，，且， 即函数为上的“聚集函数”. （2） ①若，则，， 根据题意：，无解； ②若，则，， 根据题意：，解得：； ③若，则，， 根据题意：，解得：； ④若，则，， 根据题意：，解得：无解； 综上：实数的取值范围为：. （3） 因为，则， ①若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. ②若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. 综上：的最大值为，当且仅当时取等号， 即或时取等号. 因此的最大值为. 【点睛】含参数的二次函数在给定区间上求最值问题主要有三种类型： 轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考虑对称轴和区间的关系，当含有参数时，要根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，当确定了对称轴和区间的关系，就明确了函数的单调性，从而确定了函数的最值. 地 城 考点03 函数的概念及其性质压轴题 一、单选题 7．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)定义函数为实数x的小数部分，为不超过x的最大整数，则（    ） A．的最小值为0，最大值为1 B．在为增函数 C．是奇函数 D．满足 【答案】D 【分析】首先注意到，使得，结合函数新定义先得到是周期为1的周期函数，由此可以依次判断DBC选项，最后研究在上的最值情况即可. 【详解】对于D，因为，使得，此时， ，这表明了，故D正确； 对于B，首先，由D选项分析可知，，故B错误； 对于C，由D选项分析可知，是周期为1的周期函数，所以，故C错误； 对于A，由D选项分析得知，是周期为1的周期函数，所以只需研究它在上的最值情况即可， 而当时，，即的最小值为0，没有最大值，故A错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是注意到，使得，结合函数新定义得出是周期函数. 8．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程的根看为两个函数定区间内交点的问题，分别由反比例函数与二次函数的单调性计算即可. 【详解】关于的方程在上有实数解， 即函数在上有交点， 因为，所以在上单调递增， 易知在上单调递减， 所以要满足题意需，即， 解之得. 故选：B 【点睛】思路点睛：将方程有解看为两函数有交点，利用单调性列不等式组计算即可. 二、多选题 9．(23-24高一上·湖北黄冈普通高中·)已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据奇函数的性质求值判断A，根据奇偶性得函数的周期，利用周期性求值判断B，根据函数单调性比较大小判断CD. 【详解】因为为奇函数，所以，即，故A错误； 因为为偶函数，所以， 则有，， 又由为奇函数，得， 即，， 所以，，， 所以，B正确； 由可知当得， 由知，当得， 所以，所以， 又，都有即， 所以在上单调递增，且，所以， 所以，所以C正确； 由及 得，， 所以， 因为在上单调递增，且，所以， 所以，即，所以D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：有关函数的奇偶性、周期性的题目，关键是要掌握抽象函数运算，还要记忆一些常用的结论.如等等，这些都是与周期性有关；如等等，这些都是与对称性有关. 10．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)已知函数的定义域为，对任意的，都满足，且，当时，，下列结论正确的是（    ） A． B．是上的增函数 C．的图象关于点对称 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用赋值计算即得；对于B，通过赋值，推得（*），再由题设条件，利用函数单调性定义即可证明其单调性；对于C，由（*）即可排除；对于D，通过拼凑将不等式化成，再利用函数单调性即得. 【详解】对于A，因为对任意的，都满足，所以令，可得，故A正确； 对于B，首先令，可得，故，即（*）， 设并且，则，因为当时，，故， 由， 可得，即，所以是上的增函数，故B正确； 对于C，由（*）得，，故的图象关于点对称，故C错误； 对于D，因，且，所以， 不等式可化为：，由题意，有， 因是上的增函数，所以，解得：，即不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．(24-25高一上·湖北新高考联考协作体·期中)已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，求出方程的解，由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，确定满足不等式的整数解，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得. 因为，作出函数的图象如下图所示： 当时，， 当时，由， 即，解得或（舍）. 若，则有，且， 若使得满足不等式恰有一个整数解， 由图可知，则该整数解为，且不是不等式的解， 则，即； 若，则，无解； 若，则有， 由图可知，则满足不等式的整数解为， 且与都不是不等式的解，且， 所以，即. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； . 附注：. 【答案】 【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期，结合已知条件和周期即可求和. 【详解】因为，所以函数的图象关于点对称，且； 又的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称， 即为偶函数，所以，所以以4为周期， 所以，，， ，所以， 因为，所以，同理，，，，， 所以. 所以. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：根据函数的对称性得函数的周期，从而利用周期和对称性求和是解决本题的关键. 四、解答题 13．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知，其中 (1)若函数为偶函数，求的值 (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围 (3)若函数的最小值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）函数为偶函数根据定义列方程计算即可； （2）分三种情况讨论函数在区间上单调性即可求参； （3）令，把函数最值转化为即可解题. 【详解】（1）为偶函数，即，，； （2） 时，对称轴，在上单调递增，符合题意； 时，只需即可，； 时，时，而不满足题意． 综上的取值范围 （3）， 令， ，， 函数，当时，，只要即可， ，综上的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点为令，则，可以把函数最小值为转化为计算即可求解. 14．(23-24高一上·湖北荆州沙中学·期中)函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：. 取，则由得， ∴，即， ∴函数是奇函数. （2）证明：任取，且，则， ∵当时，，∴， 由得， ∴， ∴， ∴是上的减函数. （3）解：由得， 由得， 则， ∴不等式可化为， ∵是上的减函数， ∴，即………①. （i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】方法点睛： 1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用. 15．(24-25高一上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知函数为上的奇函数，且. (1)求实数的值； (2)试判断函数在区间的单调性，并说明理由； (3)求函数（其中）的值域. 【答案】(1)，； (2)函数在区间单调递增，理由见解析； (3)答案见解析 【分析】（1）根据奇偶性定义以及函数值解方程可得结果； （2）利用单调性定义按照步骤即可证明在区间单调递增； （3）由换元法得出函数的表达式，再由（2）中的结论得出其在上的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果. 【详解】（1）根据题意可得，即，可得； 再由可得，解得； 当，可得， 经检验此时满足，为奇函数， 所以， （2）取任意，且， 则 ; 由，可得，； 所以，即可得， 即函数在区间的单调递增； （3）由， 由(2)得当  时，， 所以，即， 所以函数在上单调递减； 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为上的奇函数，所以函数的减区间为，递增区间为, 当时，, 令，有 ①当时，即，, 此时函数的值域为; ②当时，即时， 可得 此时函数的值域为 ③当时，即时， ， 此时函数的值域为 ④当时， 即， ， 此时函数的值域为， 综上所述，时，其值域为; 当时，值域为 当时，值域为； 当时，值域为 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法得出函数的表达式，再证明得出函数的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果函数的值域. 16．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)在日常生活中，经济学家们通常将函数的边际函数定义为.现已知某高科技企业每月生产某种特殊设备最多11台，根据以往经验：生产台这种特殊设备的月收入函数为（单位：千万元），其月成本函数为（单位：千万元）.求： (1)月收入函数的最小值及此时x的值; (2)月成本函数的边际函数的定义域及最大值（精确到0.01千万元）； (3)生产台这种特殊设备的月利润的最小值.（月利润=月收入-月成本） 【答案】(1)当时，（千万元） (2)定义域为，最大值为（千万元） (3)当时，（千万元） 【分析】（1）利用基本不等式求函数的最小值即可得到结果. （2）求出边际函数的解析式，然后利用函数的单调性求解最值. （3）求出利润函数的解析式，换元后运用二次函数的图象性质求解最值． 【详解】（1）∵， ∴，当且仅当即时等号成立， ∴当时，（千万元）. （2）∵, ∴, 由得函数定义域为. 由题意得，在上单调递增， 当时，有最大值，最大值为（千万元）. （3）由题意得，， 令，则函数可化为，对称轴为直线， 当时，， 由可知当时，，（千万元）. 17．(23-24高一上·湖北孝感大悟一中等学校·期中)“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得； （2）（ⅰ）证明即可；（ⅱ）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数的图像关于点对称， 则， 令，可得． （2）（ⅰ）证明：由， 得， 所以函数的图像关于对称． （ⅱ）， 则在上单调递增， 所以的值域为， 设在上的值域为A， 对任意，总存在，使得成立， 则， 当时，， 函数图象开口向上，对称轴为，且， 当，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，， 所以， 所以，由，可得，解得． 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得或， 因为，所以，， 又，， 所以，， 所以当时，成立． 当，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知在上单调递减，因为，， 所以，所以，由， 可得，解得． 综上所述，实数a的取值范围为． 18．(24-25高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）在区间上单调递增，又，满足“优美区间”的定义； （2）根据的定义域，可设或，由单调性得到，两式相减，化简得到，代入方程组，得到，原方程无解，故函数不存在“优美区间”； （3）根据函数定义域得到或，分离常数得到在上单调递增，故，是方程，即的两个同号且不等的实数根，根据，求出或，由韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，当时，取得最大值. 【详解】（1）在区间上单调递增，又， 当时，， 根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”； （2），设， 可设或， 则函数在上单调递减. 若是的“优美区间”，则 两式相减可得：， 又，所以，即， 代入方程组，得到，原方程无解. 函数不存在“优美区间”. （3），设. 有“优美区间”， 或， 在上单调递增. 若是函数的“优美区间”，则， 是方程， 即（*）的两个同号且不等的实数根. ， 或， 由（*）式得. ， 或， 当时，取得最大值. . 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 19．(24-25高一上·湖北恩施高中、夷陵中学·期中)已知为实数，函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (2)设函数，为在区间上的最大值，求的解析式； (3)对于（2）中的，若对及上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由二次函数的性质可得在上的单调性，再讨论与区间的关系即可得解； （2）分、、及进行讨论，结合函数在上的单调性及其正负即可得； （3）由（2）中所得可求出的最小值，从而得到与、有关的不等式，再结合的范围计算即可得到的范围. 【详解】（1）由，故在上单调递减，在上单调递增， 若函数在区间上具有单调性，则有或； （2）当时，则在区间上单调递增，又， 则当时，，故， 则； 当时，则在区间上单调递减，又， 则当时，，故， 则； 当，时，， 在、上单调递增，在上单调递减， 有，， 当，即或时， 即时，， 当时，； 当，时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故； 综上所述，； （3）由， 则当时，， 当时，， 当时，， 故， 即有对恒成立， 即，则有， 即，解得. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于求出的最小值，从而得到与、有关的不等式，再结合的范围得到的范围. 20．(24-25高一上·湖北新高考联考协作体·期中)教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. (1)利用上述材料，求函数图象的对称中心； (2)利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数.类比推理的单调性（不需要证明）；附立方差公式：. (3)也有同学发现可以将其推广为：若函数的图象关于点成中心对称，则，请根据该结论求不等式的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析，在上是增函数 (3) 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据题中定义可得出，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数图象的对称中心坐标； （2）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；然后类比函数的单调性可得出函数的单调性； （3）由已知可得出，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数， 则，即，即， 因为 ， 所以，，解得，所以，函数图象的对称中心为. （2）任取、且， 则， 若，则，可得，不合乎题意， 所以，所以，， 则，故函数在区间上是增函数. 因为 ， 则，则， 即将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 故函数在上是增函数. （3）因为函数的图象关于点对称，且该函数的定义域为， 对任意的，， 由可得，即， 因为函数在上是增函数，则，即，解得或， 故不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 21．(23-24高一上·湖北十堰示范高中教联体测评联盟·)已知函数，其中为常数. (1)当时，解不等式的解集； (2)当时，写出函数的单调区间； (3)若在上存在个不同的实数，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)的严格增区间为和，严格减区间为 (3) 【分析】（1）当时，，然后分、、三种情况解不等式，即可得出原不等式的解集； （2）时，，再利用二次函数的单调性可得出函数的增区间和减区间； （3）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合已知条件可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得，所以， 当时，成立， 当时，，解得， 综上，不等式的解集为； （2）解：当时，， 所以由二次函数的单调性知，的严格增区间为和，严格减区间为. （3）解：①当时，在上单调递增， 所以 ， 所以，解得； ②当时，，在上单调递增， 所以 所以，解得； ③当时，则，在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，不满足条件， ④当时，， 在、上单调递增，在上单调递减， 所以 ，不满足条件， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解决本题第三问的关键在于对参数的取值进行分类讨论，去绝对值，将问题转化为含参数的不等式求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 期中压轴题精选 3大高频考点概览 考点01 集合压轴题 考点02 基本不等式及一元二次不等式压轴题 考点03 函数的概念及其性质压轴题 地 城 考点01 集合压轴题 一、单选题 1．(24-25高一上·湖北新高考联考协作体·期中)已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ② ③； ④ 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 地 城 考点02 基本不等式及一元二次不等式压轴题 一、单选题 3．(23-24高一下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(23-24高一上·湖北荆州荆州中学·期中)已知不等式对恒成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 5．(23-24高一上·湖北黄冈普通高中·)小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由? 6．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. (1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； (2)若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; (3)已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 地 城 考点03 函数的概念及其性质压轴题 一、单选题 7．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)定义函数为实数x的小数部分，为不超过x的最大整数，则（    ） A．的最小值为0，最大值为1 B．在为增函数 C．是奇函数 D．满足 8．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．(23-24高一上·湖北黄冈普通高中·)已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)已知函数的定义域为，对任意的，都满足，且，当时，，下列结论正确的是（    ） A． B．是上的增函数 C．的图象关于点对称 D．不等式的解集为 三、填空题 11．(24-25高一上·湖北新高考联考协作体·期中)已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 12．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； . 附注：. 四、解答题 13．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知，其中 (1)若函数为偶函数，求的值 (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围 (3)若函数的最小值为，求的取值范围． 14．(23-24高一上·湖北荆州沙中学·期中)函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 15．(24-25高一上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知函数为上的奇函数，且. (1)求实数的值； (2)试判断函数在区间的单调性，并说明理由； (3)求函数（其中）的值域. 16．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)在日常生活中，经济学家们通常将函数的边际函数定义为.现已知某高科技企业每月生产某种特殊设备最多11台，根据以往经验：生产台这种特殊设备的月收入函数为（单位：千万元），其月成本函数为（单位：千万元）.求： (1)月收入函数的最小值及此时x的值; (2)月成本函数的边际函数的定义域及最大值（精确到0.01千万元）； (3)生产台这种特殊设备的月利润的最小值.（月利润=月收入-月成本） 17．(23-24高一上·湖北孝感大悟一中等学校·期中)“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 18．(24-25高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值. 19．(24-25高一上·湖北恩施高中、夷陵中学·期中)已知为实数，函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (2)设函数，为在区间上的最大值，求的解析式； (3)对于（2）中的，若对及上恒成立，求实数的取值范围. 20．(24-25高一上·湖北新高考联考协作体·期中)教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. (1)利用上述材料，求函数图象的对称中心； (2)利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数.类比推理的单调性（不需要证明）；附立方差公式：. (3)也有同学发现可以将其推广为：若函数的图象关于点成中心对称，则，请根据该结论求不等式的解集. 21．(23-24高一上·湖北十堰示范高中教联体测评联盟·)已知函数，其中为常数. (1)当时，解不等式的解集； (2)当时，写出函数的单调区间； (3)若在上存在个不同的实数，，使得，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$