专题05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（12大考点55题）（期中真题汇编，湖北专用）高一数学上学期

专题05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 12大高频考点概览 考点01 根据解析式直接判断函数的单调性 考点02 复合函数的单调性 考点03 用定义法证明具体函数的单调性 考点04 用定义法证明抽象函数的单调性 考点05 根据单调性求参数值 考点06 最值问题 考点07 由函数的奇偶性求值及参数值 考点08 由函数的奇偶性求解析式 考点09 用定义法证明函数的奇偶性 考点10 由单调性、奇偶性解不等式及比大小 考点11 函数周期性的简单应用 考点12 函数对称性的应用 地 城 考点01 根据解析式直接判断函数的单调性 一、单选题 1．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．(22-23高一上·湖北宜昌夷陵中学·期中)下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 复合函数的单调性 一、多选题 4．(24-25高一上·湖北部分普通高中联盟·期中)下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数在单调递减区间为 D．函数的单调递增区间为 二、填空题 5．(24-25高一上·湖北襄阳第四中学·期中)函数的单调递减区间为 . 地 城 考点03 用定义法证明具体函数的单调性 一、解答题 6．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数． (1)证明：函数在区间单调递减； (2)若是奇函数，其定义域为，当时，，求时，的解析式，并求的最大值和最小值． 7．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)讨论函数在区间上的单调性并证明. 8．(24-25高一上·湖北黄冈黄梅县育才高级中学·期中)已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最值. 9．(23-24高一上·湖北A9高中联盟·期中)已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并证明. (2)若，根据函数单调性的定义证明函数在区间的单调性. 10．(23-24高一上·湖北部分学校·期末)已知，函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 11．(24-25高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)已知函数是奇函数，且. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)当时，解关于的不等式. 12．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知函数，其中 (1)用定义证明：函数，在上单调递增 (2)若函数的图象不经过第四象限，求的取值范围 (3)已知，当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 13．(24-25高一上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知函数为上的奇函数，且. (1)求实数的值； (2)试判断函数在区间的单调性，并说明理由； (3)求函数（其中）的值域. 地 城 考点04 用定义法证明抽象函数的单调性 14．(23-24高一上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，. (1)判断并证明函数在上的单调性： (2)若，求不等式的解集. 15．(23-24高一上·湖北孝感一般高中联考协作体·期中)已知函数对任意实数都有，并且当时. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数： (3)，求关于的不等式的解集. 16．(23-24高一上·湖北孝感·期中)设定义在上的函数，对任意，恒有．若时，． (1)判断的奇偶性和单调性，并加以证明； (2)若对于任意和任意，都有不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．(23-24高一上·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 地 城 考点05 根据单调性求参数值 一、多选题 18．(23-24高一上·湖北A9高中联盟·期中)已知函数在上具有单调性，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的图象过定点 D．若函数在内单调递增，则实数的取值范围是 二、解答题 20．(24-25高一上·湖北恩施高中、夷陵中学·期中)已知为实数，函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (2)设函数，为在区间上的最大值，求的解析式； (3)对于（2）中的，若对及上恒成立，求实数的取值范围. 地 城 考点06 最值问题 一、解答题 21．(24-25高一上·湖北新高考联考协作体·期中)定义在R上的单调函数满足对任意，均有，且. (1)求的值，判断并证明的奇偶性； (2)判断函数单调性，求在区间上的最小值. 22．(24-25高一上·湖北四校（襄州二中、宜城二中、枣阳二中、枣阳师苑）·期中)已知函数，（） (1)若为奇函数，①求函数的解析式 ②证明函数在区间上的单调性，并指出函数在区间上的值域. (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值. 地 城 考点07 由函数的奇偶性求值及参数值 一、单选题 23．(23-24高一上·湖北A9高中联盟·期中)已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 二、填空题 24．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数，若，则 . 25．(24-25高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)已知是定义在上的奇函数，若，则 . 三、解答题 26．(22-23高一上·湖北十堰·期末)已知是定义在上的奇函数，其中，且. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数的取值范围. 27．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知，其中 (1)若函数为偶函数，求的值 (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围 (3)若函数的最小值为，求的取值范围． 地 城 考点08 由函数的奇偶性求解析式 一、单选题 28．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 二、填空题 29．(24-25高一上·湖北部分普通高中联盟·期中)已知函数是定义在上的奇函数，时，，则函数在上的解析式为 三、解答题 30．(24-25高一上·湖北恩施高中、夷陵中学·期中)设是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 地 城 考点09 用定义法证明函数的奇偶性 31．(23-24高一上·湖北宜昌长阳土家族自治县第一高级中学·期中)已知函数， (1)判断的奇偶性并予以证明； (2)若函数的定义域为，且满足，求实数的取值范围. 32．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)已知函数. (1)判断函数的奇偶性与单调性，并加以证明； (2)设函数，，，利用（1）中的结论求函数的最小值. 33．(24-25高一上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)函数的定义域为，且满足对于任意，有，当时，. (1)证明：是偶函数； (2)如果，解不等式. 地 城 考点10 由单调性、奇偶性解不等式及比大小 一、单选题 34．(24-25高一上·湖北荆州沙第一中学·期中)已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 35．(24-25高一上·湖北恩施高中、夷陵中学·期中)已知偶函数在区间上单调递减，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 36．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 37．(24-25高一上·湖北新高考联考协作体·期中)已知函数是定义域在R上的偶函数，且在区间上单调递减，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 38．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．(24-25高一上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的x取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 42．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（    ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 三、填空题 43．(24-25高一上·湖北荆州中学·期中)已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为 . 四、解答题 44．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)已知函数是定义在上的奇函数. (1)当时，求，的值： (2)若函数在上单调递减. （i）求实数的取值范围： （ii）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 45．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若正实数，满足，求的最小值. 46．(23-24高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)设函数是定义在R上的奇函数． (1)若对任意的，，且，满足，，求满足的实数x的取值范围； (2)若对任意的，，且，满足，解关于m的不等式． 地 城 考点11 函数周期性的简单应用 一、多选题 47．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如，．设函数，则下列说法正确的是（    ） A．在R上是增函数 B．的最小值为0，无最大值 C． D．当时， 二、填空题 48．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； . 附注：. 地 城 考点12 函数对称性的应用 一、单选题 49．(23-24高一上·湖北十堰示范高中教联体测评联盟·)已知函数为奇函数，，且与图象的交点分别为，，…，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 二、多选题 50．(23-24高一上·湖北宜昌协作体·期中)若，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的单调递增区间是 C．的最小值为－4 D．方程的解集为 51．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)已知函数的定义域为，对任意的，都满足，且，当时，，下列结论正确的是（    ） A． B．是上的增函数 C．的图象关于点对称 D．不等式的解集为 三、解答题 52．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称的图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义证明在区间上的单调性，并求在上的值域； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 53．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； (2)已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. (3)若函数具有以下性质： ①定义域为， ②在其定义域内单调递增， ③，都有 当函数，求使不等式成立的实数的取值范围. 54．(23-24高一上·湖北孝感大悟一中等学校·期中)“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 55．(24-25高一上·湖北新高考联考协作体·期中)教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. (1)利用上述材料，求函数图象的对称中心； (2)利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数.类比推理的单调性（不需要证明）；附立方差公式：. (3)也有同学发现可以将其推广为：若函数的图象关于点成中心对称，则，请根据该结论求不等式的解集. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 12大高频考点概览 考点01 根据解析式直接判断函数的单调性 考点02 复合函数的单调性 考点03 用定义法证明具体函数的单调性 考点04 用定义法证明抽象函数的单调性 考点05 根据单调性求参数值 考点06 最值问题 考点07 由函数的奇偶性求值及参数值 考点08 由函数的奇偶性求解析式 考点09 用定义法证明函数的奇偶性 考点10 由单调性、奇偶性解不等式及比大小 考点11 函数周期性的简单应用 考点12 函数对称性的应用 地 城 考点01 根据解析式直接判断函数的单调性 一、单选题 1．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数和增函数的性质一一分析即可. 【详解】对于A，在上单调递减，故A错误； 对于B，在上单调递增，但在定义域内不是增函数，故B错误； 对于C，，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，由，可知在定义域内是奇函数， 又，在上是增函数，在上单调递增，且在上连续不断， 故在定义域内既是奇函数又是增函数，故D正确； 故选：D 2．(22-23高一上·湖北宜昌夷陵中学·期中)下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的定义判断，结合分式型函数、复合函数的单调性判断各函数是否符合要求即可. 【详解】A：函数定义域为R，且，故为奇函数， 当时，而在上递减，上递增， 故在上递增，上递减，易知：定义域上不是增函数，不符合； B：函数定义域为，显然不关于原点对称，不为奇函数，不符合； C：函数定义域为R，且，故为奇函数，函数单调递增，符合； D：函数定义域为，且，故为奇函数，函数分别在、上递增，整个定义域不递增，不符合. 故选：C 3．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先检验函数的定义域是否关于原点对称，再考查是否为奇函数，结合函数解析式，分析函数在上的单调性即得. 【详解】对于A，函数定义域为， ， 则函数 为奇函数，但 在上单调递减，故A错误； 对于B，函数定义域为，， 则函数 为偶函数，故B错误； 对于C，函数定义域为，，所以函数为奇函数， 当时，，函数在单调递增，故C正确； 对于D，函数定义域为，，所以为奇函数， 由双钩函数的性质可得函数在单调递减，在单调递增，故D错误. 故选：C 地 城 考点02 复合函数的单调性 一、多选题 4．(24-25高一上·湖北部分普通高中联盟·期中)下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数在单调递减区间为 D．函数的单调递增区间为 【答案】AD 【分析】根据分式不等式的解法可得A，根据函数的定义域可得B，根据函数的单调性的定义可得C，根据复合函数单调性可判断D. 【详解】对于A，不等式化简为，可得， 即，解集为，A正确； 对于B，函数的定义域为，则， 所以函数中，解得， 所以函数定义域为，B错误； 对于C，单调区间不可用“”符号连接，可用“和”或“，”连接，C错误； 对于D，因为，所以，解得， 设，则， 在上为增函数，在区间上为减函数， 在上为增函数， 故函数的单调递增区间为，D正确； 故选：AD. 二、填空题 5．(24-25高一上·湖北襄阳第四中学·期中)函数的单调递减区间为 . 【答案】(端点开闭都正确) 【分析】首先求出函数的定义域为，利用复合函数单调性，同增异减的原则，先确定外层函数的单调性，再确定内层函数的单调性即可得到答案. 【详解】由，可得，解得， 所以函数的定义域为， 设，， 外层函数为上的增函数，则复合函数的减区间即为内层函数的减区间， 函数的对称轴为，其开口向下， 故其减区间为. 故答案为：. 地 城 考点03 用定义法证明具体函数的单调性 一、解答题 6．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数． (1)证明：函数在区间单调递减； (2)若是奇函数，其定义域为，当时，，求时，的解析式，并求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据结合函数是奇函数，结合题意，求得函数的解析式，利用函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】（1）证明：任取，且， 则， 因为，可得，， 所以，即．所以在上单调递减． （2）解：当时，，因为是奇函数， 额的，所以， 由（1）知，当时，单调递减，所以，， 又因为是奇函数，则且当时，单调递减，所以． 综上可知，的最大值为2，最小值为． 7．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)讨论函数在区间上的单调性并证明. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)单调递增，证明见解析. 【分析】（1）直接利用奇偶性的定义证明即可； （2）利用单调性的定义证明即可. 【详解】（1）函数是奇函数， 由知其定义域为， 而，则为奇函数； （2）单调递增， 设，则 ，所以， 即函数在区间上单调递增. 8．(24-25高一上·湖北黄冈黄梅县育才高级中学·期中)已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最值. 【答案】(1)单调递减，证明见解析. (2)最大值、最小值分别为. 【分析】（1）借助反比例函数判断单调性，再利用函数单调性定义推理得证. （2）由（1）的结论，利用单调性求出最值. 【详解】（1）函数在上单调递减， ，， 由，得，则，即， 所以函数在上的单调递减. （2）由（1）知函数在上的单调递减，， 所以函数在区间上的最大值、最小值分别为. 9．(23-24高一上·湖北A9高中联盟·期中)已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并证明. (2)若，根据函数单调性的定义证明函数在区间的单调性. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）确定函数定义域，计算得到证明. （2）根据得到，设，计算得到证明. 【详解】（1）函数为奇函数， 函数的定义域为，， 所以函数为奇函数. （2）函数在区间上单调递增， ，所以，， 设，则 ，所以，，， 于是，故， 所以函数在区间上单调递增. 10．(23-24高一上·湖北部分学校·期末)已知，函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，证明见解析 (2). 【分析】（1）求出的定义域，并证明为偶函数，再用定义法判断在单调性，利用偶函数的性质判断在上的单调性即可； （2）结合（1）将等价于，分别求出的最大值以及的最小值即可得到答案. 【详解】（1）. 令，解得：，则的定义域为，关于原点对称， 当时，，所以为偶函数. 任取，且， 则 因为，所以，则， 又因为，则，所以，所以在上单调递减. 由偶函数的性质知在上单调递增，在上单调递减. （2）不等式等价于. 由（1）得，当时，在时取得最大值0. 又，当且仅当时，取得最小值2， 所以当时，取得最大值， 所以实数的取值范围为. 11．(24-25高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)已知函数是奇函数，且. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)当时，解关于的不等式. 【答案】(1)，. (2)在上单调递增；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数性质得到，求出，代入得到； （2）定义法求解函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）在（2）基础上，由的奇偶性得到在上单调递增，又时，，从而得到不等式，求出解集. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 所以， 即，， 所以，解得， 所以， 因为， 所以，解得. （2）在上单调递增，理由如下： 由（1）可知 任取，且，则 ， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）当时，， 因为在上单调递增且为奇函数，所以在上单调递增， 因为， 所以，即， 解得，或，综合得或 所以不等式的解集为 12．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知函数，其中 (1)用定义证明：函数，在上单调递增 (2)若函数的图象不经过第四象限，求的取值范围 (3)已知，当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用单调性的定义可证明； （2）作出示意图，数形结合可求得的取值范围； （3）作出示意图，数形结合可求得的取值范围； 【详解】（1），，且， ， ，， 故， 即， 在上单调增． （2）如图：只要即可， 的取值范围为；    （3）当时， 要使函数的图象与的图象有且只有一个交点， 也就是方程有一个解，如图可知，    只要， 即， 的取值范围为 13．(24-25高一上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知函数为上的奇函数，且. (1)求实数的值； (2)试判断函数在区间的单调性，并说明理由； (3)求函数（其中）的值域. 【答案】(1)，； (2)函数在区间单调递增，理由见解析； (3)答案见解析 【分析】（1）根据奇偶性定义以及函数值解方程可得结果； （2）利用单调性定义按照步骤即可证明在区间单调递增； （3）由换元法得出函数的表达式，再由（2）中的结论得出其在上的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果. 【详解】（1）根据题意可得，即，可得； 再由可得，解得； 当，可得， 经检验此时满足，为奇函数， 所以， （2）取任意，且， 则 ; 由，可得，； 所以，即可得， 即函数在区间的单调递增； （3）由， 由(2)得当  时，， 所以，即， 所以函数在上单调递减； 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为上的奇函数，所以函数的减区间为，递增区间为, 当时，, 令，有 ①当时，即，, 此时函数的值域为; ②当时，即时， 可得 此时函数的值域为 ③当时，即时， ， 此时函数的值域为 ④当时， 即， ， 此时函数的值域为， 综上所述，时，其值域为; 当时，值域为 当时，值域为； 当时，值域为 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法得出函数的表达式，再证明得出函数的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果函数的值域. 地 城 考点04 用定义法证明抽象函数的单调性 14．(23-24高一上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，. (1)判断并证明函数在上的单调性： (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)在上为增函数，证明见解析 (2)或 【分析】（1）已知条件结合函数单调性的证明方法即可得解. （2）通过适当变形，把已知不等式转化为方便运用单调性的形式即可. 【详解】（1）在上为增函数. 设，则即， ，故，即， 故在上为增函数； （2）由得：， ， 所以， 解得或， 所以不等式的解集为：或. 15．(23-24高一上·湖北孝感一般高中联考协作体·期中)已知函数对任意实数都有，并且当时. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数： (3)，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解； （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，分类讨论计算即可得解. 【详解】（1）取，则，∴． 取，则， 即对任意恒成立， ∴为奇函数． （2）任取，且， 则，， ∴， 又为奇函数，则， ∴，即， ∴是上的减函数. （3）为奇函数，则， 不等式可化为 ， 即， ∵是上的减函数，∴， 即，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16．(23-24高一上·湖北孝感·期中)设定义在上的函数，对任意，恒有．若时，． (1)判断的奇偶性和单调性，并加以证明； (2)若对于任意和任意，都有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)是奇函数，在上单调递减,证明见解析. (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性的定义证明； （2）利用函数的单调性和奇偶性解抽象函数不等式，再利用双勾函数的性质解决恒成立问题. 【详解】（1）是奇函数，在上单调递减，证明如下： 因为对任意，恒有， 所以令，可得， 令，可得，即， 又因为函数的定义域为，所以是奇函数； 设，则，所以， 则，即， 所以在上单调递减. （2）, 所以， 即， 所以，即， 所以问题转化为，对任意和任意恒成立， 所以恒成立， 因为，所以，所以恒成立， 设函数 （其中，令）， 又由对勾函数在单调递减，单调递增， 所以， 所以， 所以函数， 所以由恒成立可得，，即， 所以实数的取值范围是. 17．(23-24高一上·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函数的奇偶性和单调性，由求解. 【详解】（1）解：函数是奇函数，证明如下： 令，则，解得， 令，则，令，则. 为定义在上的奇函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则， ， . 又， ， 又当时，， ，即，即， 在上单调递减； （3）由得， 的定义域为且在上是单调递减的， ，解得， 不等式的解集为. 地 城 考点05 根据单调性求参数值 一、多选题 18．(23-24高一上·湖北A9高中联盟·期中)已知函数在上具有单调性，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数单调性得到或，解得答案. 【详解】函数在上具有单调性，则或， 解得或. 故选：BC 19．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的图象过定点 D．若函数在内单调递增，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】选项A根据所给条件化简根式即可，B选项利用完全平方公式计算即可，C选项利用指数型函数过定点判断即可，D选项根据指数（型）函数单调性求参数的取值范围. 【详解】选项A，因为， 所以，故A错误， 选项B，因为，所以， 由 ， 所以，故B选项正确， 选项C，当时，， 所以函数恒过，故选项C正确， 选项D，由函数是由复合而成， 由在上单调递增， 故由函数在内单调递增， 则可知函数在内单调递增， 所以，即，故D正确， 故选：BCD. 二、解答题 20．(24-25高一上·湖北恩施高中、夷陵中学·期中)已知为实数，函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (2)设函数，为在区间上的最大值，求的解析式； (3)对于（2）中的，若对及上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由二次函数的性质可得在上的单调性，再讨论与区间的关系即可得解； （2）分、、及进行讨论，结合函数在上的单调性及其正负即可得； （3）由（2）中所得可求出的最小值，从而得到与、有关的不等式，再结合的范围计算即可得到的范围. 【详解】（1）由，故在上单调递减，在上单调递增， 若函数在区间上具有单调性，则有或； （2）当时，则在区间上单调递增，又， 则当时，，故， 则； 当时，则在区间上单调递减，又， 则当时，，故， 则； 当，时，， 在、上单调递增，在上单调递减， 有，， 当，即或时， 即时，， 当时，； 当，时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故； 综上所述，； （3）由， 则当时，， 当时，， 当时，， 故， 即有对恒成立， 即，则有， 即，解得. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于求出的最小值，从而得到与、有关的不等式，再结合的范围得到的范围. 地 城 考点06 最值问题 一、解答题 21．(24-25高一上·湖北新高考联考协作体·期中)定义在R上的单调函数满足对任意，均有，且. (1)求的值，判断并证明的奇偶性； (2)判断函数单调性，求在区间上的最小值. 【答案】(1)，为奇函数，理由见解析 (2)单调递增，理由见解析，最小值为. 【分析】（1）令得，令得，得到函数的奇偶性； （2）根据得到单调递增，的最小值为，赋值法得到答案. 【详解】（1）中，令得，， 解得， 中，令得，且的定义域为R， 故为奇函数； （2），为单调函数，故只能单调递增， 在区间上的最小值为， 中，令得， 故， 令得， 令得， 故在区间上的最小值为. 22．(24-25高一上·湖北四校（襄州二中、宜城二中、枣阳二中、枣阳师苑）·期中)已知函数，（） (1)若为奇函数，①求函数的解析式 ②证明函数在区间上的单调性，并指出函数在区间上的值域. (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值. 【答案】(1)①；②证明见解析， (2) 【分析】（1）①利用奇函数定义即可求得答案；②利用单调性定义可证明函数单调性，根据函数单调性，即可求得函数值域； （2）分类讨论a的取值范围，确定函数在给定区间上的单调性，结合函数最小值列式计算，即可求得答案. 【详解】（1）①由题意知函数，其定义域为R， 为奇函数，∴； ∴，经检验符合题意； ②设，则：， ∵ ∴且， 又，， ∴， ∴在上单调递增， 所以当时，．当时，， ∴在上的值域为； （2），其对称轴为，分4种情况讨论： 当时，此时的对称轴，函数在区间上单调递减，，得，不符合题意； 当时，此时的对称轴，函数在区间上单调递减， 此时，得，符合题意； 当时，此时的对称轴满足， 此时，解得，不符合题意； 当时，此时的对称轴满足，函数在区间上单调递增， ，不符合题意． 综合可得：． 地 城 考点07 由函数的奇偶性求值及参数值 一、单选题 23．(23-24高一上·湖北A9高中联盟·期中)已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可. 【详解】函数是定义在区间上的奇函数， 则，解得，定义域为，，则， ，定义域为，，函数为奇函数，满足， 故. 故选：C 二、填空题 24．(24-25高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【详解】易知，即为奇函数， 所以. 故答案为：. 25．(24-25高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)已知是定义在上的奇函数，若，则 . 【答案】4 【分析】通过函数奇偶性得到，再令即可求解. 【详解】为奇函数，即 令有 故答案为：4 三、解答题 26．(22-23高一上·湖北十堰·期末)已知是定义在上的奇函数，其中，且. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合，求得到的值，检验即可； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可； （3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求非负实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分，，和四种情况讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 又因为，所以，解得， 所以，，则为奇函数， 所以，. （2）在上单调递减. 证明如下： 设，则， 因为，则，所以， 所以在上单调递减. （3）由（2）可知在上单调递减，所以， 记在区间内的值域为. 当时，在上单调递减， 则，得在区间内的值域为. 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. 当时，在上单调递减， 则，得在区间内的值域为， 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为，所以无解， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为，不符合题意. 综上，非负实数的取值范围为. 27．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知，其中 (1)若函数为偶函数，求的值 (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围 (3)若函数的最小值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）函数为偶函数根据定义列方程计算即可； （2）分三种情况讨论函数在区间上单调性即可求参； （3）令，把函数最值转化为即可解题. 【详解】（1）为偶函数，即，，； （2） 时，对称轴，在上单调递增，符合题意； 时，只需即可，； 时，时，而不满足题意． 综上的取值范围 （3）， 令， ，， 函数，当时，，只要即可， ，综上的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点为令，则，可以把函数最小值为转化为计算即可求解. 地 城 考点08 由函数的奇偶性求解析式 一、单选题 28．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设时，代入再结合函数是奇函数得出函数的解析式即可. 【详解】当时，， 又． 故选:C． 二、填空题 29．(24-25高一上·湖北部分普通高中联盟·期中)已知函数是定义在上的奇函数，时，，则函数在上的解析式为 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性分别求出和时的解析式即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 设，则， 则， 所以， 所以， 故答案为：. 三、解答题 30．(24-25高一上·湖北恩施高中、夷陵中学·期中)设是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数定义，设，代入即可得时解析式，结合即可得解； （2）结合奇函数性质与函数单调性计算即可得. 【详解】（1）当时，，又是定义在上的奇函数， 故， 即，又， 故； （2）当时，， 故在上单调递增， 又，是定义在上的奇函数， 故在上单调递增， 则有， 即有，解得. 地 城 考点09 用定义法证明函数的奇偶性 31．(23-24高一上·湖北宜昌长阳土家族自治县第一高级中学·期中)已知函数， (1)判断的奇偶性并予以证明； (2)若函数的定义域为，且满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）由题知定义域为，判断与是否相等即可证明. （2）根据在上的奇偶性，单调性，化简整理即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题知定义域为， 因为， 所以为奇函数. （2）为奇函数， ， 可化为. ， 在上单调递增， 则由 可得，解得， 的取值范围是. 32．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)已知函数. (1)判断函数的奇偶性与单调性，并加以证明； (2)设函数，，，利用（1）中的结论求函数的最小值. 【答案】(1)奇函数；在，上皆为增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义即可判断的奇偶性，利用单调性定义判断在上的单调性，再结合其奇偶性即可判断上的单调性； （2）化简，并换元，确定t的范围，将化为，讨论二次函数对称轴和给定区间的位置关系，即可求得答案. 【详解】（1）判断为奇函数，在，上皆为增函数， 证明如下： 由题意知函数的定义域为，关于原点对称， ，故为奇函数； 任取，则， 因为，，所以， 则，所以， 即在上为增函数， 又为奇函数，故在上也为增函数. （2）， 设，由（1）知在上单调递增，故， 故即为，其图象对称轴为， 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 当时，在上单调递减，则； 故. 33．(24-25高一上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)函数的定义域为，且满足对于任意，有，当时，. (1)证明：是偶函数； (2)如果，解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，从而得到，即可证明； （2）通过赋值代换得，再证明其单调性，从而得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得，再令，得， 从而，于是有， 所以是偶函数. （2）由于，所以， 于是不等式可化为， 由（1）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数， 所以可得， 解得，所以不等式的解集为. 地 城 考点10 由单调性、奇偶性解不等式及比大小 一、单选题 34．(24-25高一上·湖北荆州沙第一中学·期中)已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可判断函数在上的单调性，进而可解不等式. 【详解】由已知为上的偶函数，且在上单调递增， 则函数在上单调递减， 所以不等式， 即，解得， 故选：A. 35．(24-25高一上·湖北恩施高中、夷陵中学·期中)已知偶函数在区间上单调递减，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在区间上单调递增，再结合偶函数的性质结合其单调性判断即可得. 【详解】由偶函数在区间上单调递减，故在区间上单调递增， 且，， 由，故. 故选：A. 36．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知可得在上递减，，然后画出的简图，结合图象求解不等式即可. 【点睛】因为函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数， 所以在上递减， 因为，所以， 所以的简图如图所示，    由，得 或， 所以，或， 解得，或， 综上， 所以不等式的解集为， 故选：A 37．(24-25高一上·湖北新高考联考协作体·期中)已知函数是定义域在R上的偶函数，且在区间上单调递减，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性，得到在区间上单调递增，，得到时，，当时，，分和两种情况，求出不等式解集. 【详解】因为是定义域在R上的偶函数，且在区间上单调递减，， 所以在区间上单调递增，， 故当时，，当时，， ，当时，，故， 当时，，， 故不等式的解集为. 故选：D 38．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的奇偶性，确定和的解集，进而可求解. 【详解】因为奇函数在上单调递减，且， 可得：在上单调递减，且，同时， 所以当时，的解集为：， 当，的解集为：， 又时，满足， 综上可知：的解集为：， 故选：B 39．(24-25高一上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的定义域以及单调性可得，满足的条件，由此即可解得的范围． 【详解】由题意，函数是定义在上的减函数，因为 得 ，解得， 所以x的取值范围是 . 故选：A. 40．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的x取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得函数在上单调递增，原不等式可化为，则，即可求解. 【详解】解：由题意可得在上单调递增， 又为偶函数，则不等式等价于， 所以，解得， 即满足题意的x取值范围为： 故选：C 41．(24-25高一上·湖北部分重点高中·)已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】由条件得，，，在上递增. 由得， 则或． 故选：B． 二、多选题 42．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（    ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 【答案】BD 【分析】令可判断A；不妨设，可得，即，即可判断B；结合选项B，可取判断C；结合选项B及不等式的性质判断D. 【详解】令，则有，即，故A错误； 不妨设，由，可得， ∴，∴函数在区间为增函数，故B正确； 由选项B可知，函数在区间为增函数， 可取，此时在区间为增函数， 而，可知函数在上为减函数，在上为增函数，故C错误； ∵函数在区间为增函数，， ∴， ∴， ∴，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 43．(24-25高一上·湖北荆州中学·期中)已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，并判断函数的单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】对，， 令，则，， 函数在上单调递增，， 不等式 ，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 44．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)已知函数是定义在上的奇函数. (1)当时，求，的值： (2)若函数在上单调递减. （i）求实数的取值范围： （ii）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到时的解析式，求出，的值； （2）（i）根据函数开口方向，对称轴，得到不等式，求出；（ii）根据函数的奇偶性和单调性得到不等式，转化为恒成立，求出答案. 【详解】（1）当时，， 当时，，， 因为为定义在上的奇函数， 所以，故，所以， 所以； （2）（i）在上单调递减， ，开口向下，对称轴为， 所以，解得， （ii）为定义在上的奇函数， 故， 又在上单调递减，故在R上单调递减， 故，即恒成立， 由于，故， 实数的取值范围为. 45．(23-24高一上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若正实数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式； （2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性求解； （3）由基本不等式求得最小值． 【详解】（1）由为幂函数得：， 且在上单调递增， 所以， 又，所以或， 当时，为奇函数，不满足题意， 当时，为偶函数，满足题意， 所以. （2）由函数为偶函数， 所以 且在上单调递增， 所以， 即， 所以的取值范围为：， （3）因为且， 所以， 所以 ， 当且仅当 且，即时取等号， 所以的最小值为. 46．(23-24高一上·湖北部分高中联考协作体·期中)设函数是定义在R上的奇函数． (1)若对任意的，，且，满足，，求满足的实数x的取值范围； (2)若对任意的，，且，满足，解关于m的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先判断函数的单调性，再求解不等式； （2）首先设函数，并判断函数的单调性，并结合函数是偶函数，以及单调性，求解不等式. 【详解】（1）由题意奇函数满足， ∴变为， 又，即当时，， ∴在上单调递减， ∴， 解得， 故实数x的取值范围为； （2）∵函数是定义在R上的奇函数， ∴为定义在R上的偶函数， 又∵， 即，， ∴在上递减， 则在上递增， ， 即， 则， 则，整理为， 解得：. 地 城 考点11 函数周期性的简单应用 一、多选题 47．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如，．设函数，则下列说法正确的是（    ） A．在R上是增函数 B．的最小值为0，无最大值 C． D．当时， 【答案】BD 【分析】，使得，即可运算判断；由结合函数单调性即可判断，根据高斯函数定义及周期函数计算可判断；根据高斯函数定义计算可判断. 【详解】，使得，此时， 从而，即，故错误； 对于，有，故错误， 由，可知是以1为周期的周期函数， 故只需讨论在上的值域即可， 当时，， 即函数的值域为，故正确； 当时，，故正确； 故选：. 二、填空题 48．(23-24高一上·湖北武汉部分学校·期中)已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； . 附注：. 【答案】 【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期，结合已知条件和周期即可求和. 【详解】因为，所以函数的图象关于点对称，且； 又的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称， 即为偶函数，所以，所以以4为周期， 所以，，， ，所以， 因为，所以，同理，，，，， 所以. 所以. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：根据函数的对称性得函数的周期，从而利用周期和对称性求和是解决本题的关键. 地 城 考点12 函数对称性的应用 一、单选题 49．(23-24高一上·湖北十堰示范高中教联体测评联盟·)已知函数为奇函数，，且与图象的交点分别为，，…，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】利用函数的对称性即可得解. 【详解】令，由题意可知为奇函数. 故，即， 则，所以函数的图象关于点对称， 又， 所以的图象也关于点对称， 故与图象的交点两两关于点对称， 则. 故选：C. 二、多选题 50．(23-24高一上·湖北宜昌协作体·期中)若，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的单调递增区间是 C．的最小值为－4 D．方程的解集为 【答案】AC 【分析】利用函数的对称性和单调性求解即可. 【详解】因为，， 所以关于直线轴对称，故A正确； 当时，，所以的单调递增区间为， 又因为关于直线轴对称，所以的单调递增区间为和， 两区间中间不可用并，所以B不正确； 当时，所以的最小值为-4，故C正确； 当时，方程的解为，因为关于直线轴对称， 所以方程的解集为，所以D错误； 故选：AC 51．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)已知函数的定义域为，对任意的，都满足，且，当时，，下列结论正确的是（    ） A． B．是上的增函数 C．的图象关于点对称 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用赋值计算即得；对于B，通过赋值，推得（*），再由题设条件，利用函数单调性定义即可证明其单调性；对于C，由（*）即可排除；对于D，通过拼凑将不等式化成，再利用函数单调性即得. 【详解】对于A，因为对任意的，都满足，所以令，可得，故A正确； 对于B，首先令，可得，故，即（*）， 设并且，则，因为当时，，故， 由， 可得，即，所以是上的增函数，故B正确； 对于C，由（*）得，，故的图象关于点对称，故C错误； 对于D，因，且，所以， 不等式可化为：，由题意，有， 因是上的增函数，所以，解得：，即不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD. 三、解答题 52．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称的图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义证明在区间上的单调性，并求在上的值域； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析；值域为； (3). 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心； （2）根据单调性定义证明，再根据所得单调性结合定义域求值域即可； （3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）可知的值域，的值域可对二次函数分析得到，最终整合得到实数m的取值范围. 【详解】（1）设函数图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. （2）任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. 所以在上单调递增，故的值域为. （3）由于对任意，总存在，使得， 于是问题转化为在上的值域是值域的子集， 在单调递增，图象又关于点对称且经过点， 可知在上也单调递增，故在上单调递增，又；， 所以在的值域为，在的值域为， ，，解得，则的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求出两函数的值域，再利用两函数值域的包含关系即可得到不等式组，解出即可. 53．(24-25高一上·湖北黄冈十五校·期中)我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； (2)已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. (3)若函数具有以下性质： ①定义域为， ②在其定义域内单调递增， ③，都有 当函数，求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)对称中心为，8092 (3) 【分析】根据，即，然后换元，即可证明结论； 根据，求出a、b，然后发现规律：，，，累加即可求解； 根据，得到，然后将代入并整理得到，根据单调性得到，求解k的取值范围即可. 【详解】（1）由已知得：，即， 设，则， 整理，得：，即证； （2）， ， 因为为奇函数，可得：，， 故函数的对称中心为， 由发现规律：，，， 问题中累加求和式子； （3）因为，都有， 令，则有，解得， 所以图象关于点中心对称， 由问题中不等式可得：， ， 所以， 整理得：， 则：， 定义域为，定义域为， 又且在其定义域内单调递增， 在其定义域内单调递增， ， 解得： 【点睛】方法点睛：抽象函数求解不等式，一般通过构造函数，确定函数奇偶性和单调性，通过去“”处理. 54．(23-24高一上·湖北孝感大悟一中等学校·期中)“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得； （2）（ⅰ）证明即可；（ⅱ）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数的图像关于点对称， 则， 令，可得． （2）（ⅰ）证明：由， 得， 所以函数的图像关于对称． （ⅱ）， 则在上单调递增， 所以的值域为， 设在上的值域为A， 对任意，总存在，使得成立， 则， 当时，， 函数图象开口向上，对称轴为，且， 当，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，， 所以， 所以，由，可得，解得． 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得或， 因为，所以，， 又，， 所以，， 所以当时，成立． 当，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知在上单调递减，因为，， 所以，所以，由， 可得，解得． 综上所述，实数a的取值范围为． 55．(24-25高一上·湖北新高考联考协作体·期中)教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. (1)利用上述材料，求函数图象的对称中心； (2)利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数.类比推理的单调性（不需要证明）；附立方差公式：. (3)也有同学发现可以将其推广为：若函数的图象关于点成中心对称，则，请根据该结论求不等式的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析，在上是增函数 (3) 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据题中定义可得出，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数图象的对称中心坐标； （2）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；然后类比函数的单调性可得出函数的单调性； （3）由已知可得出，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数， 则，即，即， 因为 ， 所以，，解得，所以，函数图象的对称中心为. （2）任取、且， 则， 若，则，可得，不合乎题意， 所以，所以，， 则，故函数在区间上是增函数. 因为 ， 则，则， 即将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 故函数在上是增函数. （3）因为函数的图象关于点对称，且该函数的定义域为， 对任意的，， 由可得，即， 因为函数在上是增函数，则，即，解得或， 故不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$