专题04 基本不等式（3大考点36题）（期中真题汇编，福建专用）高一数学上学期

专题04 基本不等式 3大高频考点概览 考点01 利用基本不等式求最值 考点02 利用基本不等式求参数范围 考点03 基本不等式的实际应用 地 城 考点01 利用基本不等式求最值 一、单选题 1．(24-25高一上·福建泉州现代中学·期中)已知，，，则的最小值为（    ） A． B．0 C．3 D． 2．(24-25高一上·福建厦门一中集美分校·期中)已知且，则的最小值是（   ） A． B．25 C．5 D． 3．(24-25高一上·福建龙岩侨育中学·期中)已知实数，则的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．(24-25高一上·福建福州八县（）协作校·期中)已知，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·福建宁德·期中)已知，，且，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 7．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 8．(24-25高一上·福建福州第二中学·)已知函数，下列说法正确的是（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 9．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·福建厦门一中集美分校·期中)已知，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 二、多选题 11．(24-25高一上·福建漳州十校联盟·期中)若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·福建漳州乙丙校联盟·期中)下列说法错误的是（ ） A．函数的最小值为2 B．若，则的最大值为 C．的最小值为2 D．若，则 13．(24-25高一上·福建南安华侨中学、石狮八中、泉州外国语学校、泉州城东中学·期中)已知且，则下列不等式恒成立的是（   ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最大值为2 14．(24-25高一上·福建厦门双十中学·期中)设正数，满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 15．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)设，，，下列说法正确的有（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为 C．最小值为 D．的最小值为 16．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)已知，都有.下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)已知正数、满足，则 （        ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 18．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期中)已知，则下列选项一定正确的是（   ） A． B．的最小值为 C． D． 19．(24-25高一上·福建三明永安九中等四校联考·期中)下列说法中正确的是（   ） A．若，则函数的最小值为3 B．若，则的最小值为4 C．若，，，则的最大值为1 D．若，满足，则的最大值为 三、填空题 20．(24-25高一上·福建莆田第九中学·期中)已知点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为 . 21．(24-25高一上·福建泉州第七中学·期中)已知，则的最小值为 ． 22．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)已知，且，的最小值为 . 23．(24-25高一上·福建泉州安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学·期中)已知正数满足，，则的最小值为 . 24．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中)已知，则的最大值 . 四、解答题 25．(24-25高一上·福建福州福清·期中)已知，. (1)比较与的大小； (2)若，求ab的最小值. 26．(24-25高一上·福建宁德·期中)（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 27．(24-25高一上·福建莆田第十五中学·期中)（1）若，，且满足，求的最大值； （2）求函数的最小值； （3）已知，，且，求的最小值. 28．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 地 城 考点02 利用基本不等式求参数范围 29．(24-25高一上·福建南安华侨中学、石狮八中、泉州外国语学校、泉州城东中学·期中)已知命题满足，且恒成立，命题 “，使”，若命题与命题都为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)（1）已知，，证明：，当且仅当时等号成立； （2）若，，且，求的最小值； （3）当时，，求的取值范围. 31．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)回答下列问题 (1)已知，求的取值范围 (2)若，求的最小值 (3)已知，且，若恒成立，求的取值范围 地 城 考点03 基本不等式的实际应用 32．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 33．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)如图，已知矩形的周长为16，以为折痕将向翻折，翻折后边交于点.则当的面积取最大值时， .    34．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 35．(24-25高一上·福建泉州安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学·期中)某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总收益为（单位：万元）． (1)求的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？ 36．(24-25高一上·福建福州福清·期中)若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为. (1)请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 基本不等式 3大高频考点概览 考点01 利用基本不等式求最值 考点02 利用基本不等式求参数范围 考点03 基本不等式的实际应用 地 城 考点01 利用基本不等式求最值 一、单选题 1．(24-25高一上·福建泉州现代中学·期中)已知，，，则的最小值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，配凑并利用基本不等式求解即得. 【详解】由，，，得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为3. 故选：C 2．(24-25高一上·福建厦门一中集美分校·期中)已知且，则的最小值是（   ） A． B．25 C．5 D． 【答案】A 【分析】，展开，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为且， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选:A. 3．(24-25高一上·福建龙岩侨育中学·期中)已知实数，则的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】将变形为，再利用基本不等式即可计算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是7. 故选：B. 4．(24-25高一上·福建福州八县（）协作校·期中)已知，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解． 【详解】因为，则， 则 ， 当且仅当，即时取等． 故选：A． 5．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为知、，且满足， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 6．(24-25高一上·福建宁德·期中)已知，，且，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由乘“1”法即可求解. 【详解】因为，所以， 所以． 因为，，所以，， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 则，即的最小值是1． 故选：A 7．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 【答案】A 【分析】分析可得，利用基本不等式运算求解最值即可. 【详解】因为当，时，，可得， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为9. 故选：A. 8．(24-25高一上·福建福州第二中学·)已知函数，下列说法正确的是（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】C 【分析】化简函数解析式，再结合基本不等式求出函数最值即可. 【详解】由题意得，， 因为，所以， 则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 即函数有最大值，没有最小值. 故答案选：C. 9．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，利用“”的代换和基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 10．(24-25高一上·福建厦门一中集美分校·期中)已知，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】作差可得，利用基本不等式即可证明. 【详解】 . 因为， 所以. 因为， 所以，即. 故选：B. 二、多选题 11．(24-25高一上·福建漳州十校联盟·期中)若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，，利用基本不等式求出最大值；B选项，由基本不等式得，求出；C选项，，得到，C错误；D选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】A选项，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； B选项，，故， 当且仅当时，等号成立，B正确； C选项，，故， 当且仅当时，等号成立，C错误； D选项，， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 12．(24-25高一上·福建漳州乙丙校联盟·期中)下列说法错误的是（ ） A．函数的最小值为2 B．若，则的最大值为 C．的最小值为2 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对A，举反例判断即可；对B，根据基本不等式求解；对C，换元令，结合对勾函数的单调性求解；对D，根据，，可得再化简即可. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为，故B正确； 对于C，令， 因为在上单调递增， 则当时，函数取得最小值， 即的最小值为，故C错误； 对于D，因为，所以，，所以，即，故D错误. 故选：ACD 13．(24-25高一上·福建南安华侨中学、石狮八中、泉州外国语学校、泉州城东中学·期中)已知且，则下列不等式恒成立的是（   ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最大值为2 【答案】ACD 【分析】对于A，结合基本不等式分析判断；对于B，由化简后利用基本不等式判断；对于C，利用基本不等式分析判断，对于D，对平方后利用基本不等式分析判断. 【详解】对于A，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于B， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故B错误； 对于C，，故，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1，故C正确； 对于D，，故， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为2，故D正确. 故选：ACD. 14．(24-25高一上·福建厦门双十中学·期中)设正数，满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 【答案】ABD 【分析】借助基本不等式中“1”的活用可得A；由构造出后利用基本不等式计算可得B；直接运用基本不等式可得C；结合基本不等式与同底数幂的乘法运算可得D. 【详解】由，为正数，且满足，则有： 对A：， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对B：， 则， 当且仅当时，等号成立， 即，则，故B正确； 对C：，当且仅当时，等号成立， 即，故C错误； 对D：， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 15．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)设，，，下列说法正确的有（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为 C．最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式即可求解A,根据，即可利用乘“1”法求解B，利用，即可求解CD. 【详解】对于A，由，，，故，当且仅当取等号，故A正确， 对于B，由得，故，当且仅当，即等号成立，故B正确， 对于C，由可得，故，由可知，当时，则，故C错误， 对于D，由可得，故，当时取到等号，故D正确， 故选：ABD 16．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)已知，都有.下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用特殊值判断A，利用重要不等式判断B、C、D即可. 【详解】因为，都有， 对于A，令，则，故A错误； 对于B，因为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，则， 因为，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故C正确； 对于D，因为，又， 所以，则，故D正确. 故选：BCD. 17．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)已知正数、满足，则 （        ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式逐项判断，求出各选项中代数式的最值，可得出合适的选项. 【详解】因为正数、满足， 对于A选项，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，A对； 对于B选项，由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，B错； 对于C选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C错； 对于D选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ，D对. 故选：AD. 18．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期中)已知，则下列选项一定正确的是（   ） A． B．的最小值为 C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，利用基本不等式，判断选项中的命题是否正确即可. 【详解】对于A，，，，所以，即， 当且仅当时，即当时取等号，选项A正确； 对于B，， 当且仅当时，即当时取等号， 又时，不满足题意，选项B错误； 对于C，，则， 当且仅当时，即当时取等号，选项C错误； 对于D，因为，则，所以， 所以， 当且仅当时，上述两个等号同时成立，显然等号不成立， 故，选项D正确. 故选：AD. 19．(24-25高一上·福建三明永安九中等四校联考·期中)下列说法中正确的是（   ） A．若，则函数的最小值为3 B．若，则的最小值为4 C．若，，，则的最大值为1 D．若，满足，则的最大值为 【答案】AC 【分析】利用基本不等式逐项分析各选项，注意取等条件以及最大最小值的判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为，故正确； 对于B：因为， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误； 对于C：因为，所以， 所以，所以，解得， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，故正确； 对于D：因为，所以，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误； 故选：AC. 三、填空题 20．(24-25高一上·福建莆田第九中学·期中)已知点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为 . 【答案】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取等条件. 【详解】由点在一次函数的图象上， 可得，又， 则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 21．(24-25高一上·福建泉州第七中学·期中)已知，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 22．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)已知，且，的最小值为 . 【答案】35 【分析】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】因为，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为35. 故答案为：35 23．(24-25高一上·福建泉州安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学·期中)已知正数满足，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即时，等号成立； ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上可得的最小值为. 故答案为：. 24．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中)已知，则的最大值 . 【答案】0 【分析】将式子构造成可以使用均值不等式的形式，然后求出最大值. 【详解】因为，所以，那么. 将变形为. 对于，这里，因为，， 所以，当且仅当时取等号. 则. 故答案为：0. 四、解答题 25．(24-25高一上·福建福州福清·期中)已知，. (1)比较与的大小； (2)若，求ab的最小值. 【答案】(1) (2)最小值为9 【分析】（1）根据题意利用作差法分析证明即可； （2）根据题意利用基本不等式可得，解不等式即可得结果. 【详解】（1）因为， 因为，，则， 可得， 所以. （2）由，得， 因为，即，整理可得， 且，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 故ab的最小值为9． 26．(24-25高一上·福建宁德·期中)（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值； （2）利用基本不等式可证得所求不等式成立. 【详解】（1）因为，，且， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为、、都是正数， 由基本不等式可得，，， 由不等式的基本性质可得， 当且仅当时，等号成立. 故. 27．(24-25高一上·福建莆田第十五中学·期中)（1）若，，且满足，求的最大值； （2）求函数的最小值； （3）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因为，，且满足， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为； （3）因为，，且， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 28．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由已知可得，然后利用基本不等式即可求解最大值； （2）由已知可得，然后利用基本不等式可得，又，即可求解，； （3）由已知可得，将原式变形可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为； （2）， 当且仅当时等号成立， 因为的最小值为，所以，所以，即， 又因为，解得或； （3）因为，，， 所以， 所以， 当且仅当，且，即，时等号成立， 所以的最小值为. 地 城 考点02 利用基本不等式求参数范围 29．(24-25高一上·福建南安华侨中学、石狮八中、泉州外国语学校、泉州城东中学·期中)已知命题满足，且恒成立，命题 “，使”，若命题与命题都为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式中1的妙用，结合全称量词命题求出P，再由存在量词命题求出Q，进而求得结论. 【详解】由，， 得， 当且仅当，即时取等号， 即当时，，依题意，，解得， 即命题， 又，当时，， 依题意，命题， 由命题P与命题Q都为真命题，得，所以实数的取值范围是. 故选：A 30．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)（1）已知，，证明：，当且仅当时等号成立； （2）若，，且，求的最小值； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1）证明见详解；（2）4；（3） 【分析】（1）根据化简整理即可证明； （2）整理可得，结合基本不等式分析求解； （3）利用乘“1”法，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】（1）因为，，则，当且仅当，即时等号成立， 整理可得，即， 所以，当且仅当时等号成立； （2）因为，，且，即，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4； （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 由题意可得：，即，解得， 所以的取值范围为. 31．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)回答下列问题 (1)已知，求的取值范围 (2)若，求的最小值 (3)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用不等式的性质求解取值范围即可. （2）对原式合理变形，利用基本不等式求最值即可. （3）对原式合理变形，将其变为，再利用基本不等式得到最值，进而求解参数范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 得到，则. （2）由题意得， ， 而，由基本不等式得， 当且仅当，此时解得， 则，故，得到的最小值是. （3）因为，所以， 得到，即， 则， ， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，而 此时解得，， 则， 而恒成立，得到. 地 城 考点03 基本不等式的实际应用 32．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】设矩形菜园的宽为，长，则，且，. 因为（当且仅当，时取“”）. 故选：D 33．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)如图，已知矩形的周长为16，以为折痕将向翻折，翻折后边交于点.则当的面积取最大值时， .    【答案】 【分析】画出示意图，设且，则，由全等三角形及勾股定理求得，用表示出的面积，应用基本不等式求最值并确定取值条件，即可得结果． 【详解】如图，设且，则，， 由，，，故， 令，，故， 所以，整理得， 则， 当且仅当时等号成立， 所以的面积取最大值时，的长为． 故答案为：．    34．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】(1) (2)当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 【分析】（1）分和两种情况，写出相应的解析式，得到答案； （2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求最值，比较后得到结论. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故； （2）当时， ，故当百台时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 35．(24-25高一上·福建泉州安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学·期中)某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总收益为（单位：万元）． (1)求的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？ 【答案】(1)，88万元 (2)在甲产品投入39万元，在乙产品投入33万元 【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可；（2）分情况求出各段的最大值，结合换元，基本不等式，二次函数知识求解即可. 【详解】（1）甲产品的投入为万元，则乙产品的投入为万元， 当时， 当时， 综上： , 即当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为88万元. （2）当时,令， 则总收益为 显然当时，（万元）. 当时, , 当且仅当.. , 该公司在甲产品投入39万元，在乙产品投入33万元，总收益最大，最大总收益为89.5万元. 36．(24-25高一上·福建福州福清·期中)若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为. (1)请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（答案不唯一，满足均可）． (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“复活集”； （2）利用基本不等式证得结论成立； （3）根据题意可得，根据整数性分析判断即可. 【详解】（1）因为， 所以2元“完美集”可以为（答案不唯一，满足均可）． （2）设2元“完美集”为，其中，则， 由得，， 因为，所以． （3）若为2元“完美集”，x，，且， 则， 由x，得，或， 即或这与矛盾， 故不存在满足题意的2元“完美集”． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$