专题05 指数与对数（4大考点31题）（期中真题汇编，江苏专用）高一数学上学期

专题05 指数与对数 4大高频考点概览 考点01 根式的运算 考点02 指数幂的运算 考点03 指数对数的综合运算 考点04 模型及其实际应用 地 城 考点01 根式的运算 1．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 地 城 考点02 指数幂的运算 3．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)若，则 ． 【答案】47 【分析】对等式进行配方即可求解. 【详解】因为,所以， 即， 所以， 所以， 即， 所以， 故答案为：47. 4．(24-25高一上·江苏南京六校·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 5．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)设，若，则的值是 . 【答案】 【分析】根据的关系先求解出的值，由此可求的值. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 故答案为：. 6．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据指数的运算性质化简运算得解. 【详解】，， 又，则， 所以，，解得. 故选：C. 7．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)（1）求值：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1），（2）1，（3） 【分析】（1）根据指数幂的运算化简求解；（2）将指数式化成对数式得，再根据对数的运算求解；（3）将平方求得，再利用立方和公式化简求解. 【详解】（1） ． （2）依题意有， 所以， 所以． （3）因为， 设， 平方得， 即． ． 地 城 考点03 指数对数的综合运算 8．(24-25高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)计算（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂运算以及对数的定义分析求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 9．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数幂的运算性质，根据对数运算性质直接计算即可. 【详解】原式. 故选：B. 10．(24-25高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)计算： ． 【答案】3 【分析】根据对数的运算性质计算直接得出结果. 【详解】原式. 故答案为：3 11．(24-25高一上·江苏南京六校·期中)= ． 【答案】 【分析】由同底数的对数的计算法则先化简小括号里面的值，再得出结果. 【详解】 故答案为： 12．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．（） 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算性质计算可判断ABD；利用对数的运算性质计算可判断C. 【详解】对于A，当时，，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，当时，，故C错误； 对于D，因为，，故D错误. 故选：B. 13．(23-24高一上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)若，，则的值约为（    ） A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699 【答案】B 【分析】借助指数与对数的关系及对数运算法则计算即可得. 【详解】由，则. 故选：B. 14．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)已知，，则 .（用数字作答） 【答案】45 【分析】利用指对数互化和指数幂的运算法则计算即得. 【详解】由，可得， 又，则. 故答案为：45. 15．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)计算： . 【答案】 【分析】根据指数幂运算性质以及对数运算性质求解出结果. 【详解】原式 ， 故答案为：. 16．(24-25高一上·江苏扬州中学·期中)设为正实数，，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据题意可得，进一步变形为，再利用基本不等式得，从而得，解出的值，代入即可求解. 【详解】因为为正实数，，则，即， ，故， 因为，所以， 又，，则由基本不等式得，当且仅当时，等号成立. 综上，，则，解得，则. 故答案为：. 17．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)计算： (1)； (2) 【答案】(1)4 (2)49 【分析】（1）由指数幂的运算即可得解； （2）由对数运算法则即可得解. 【详解】（1）； （2） . 18．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质计算即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 19．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)化简求值： (1)求值：. (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数的运算法则求解即可； （2）利用分数指数幂的运算性质计算可得结果. 【详解】（1） ； （2）因为，两边平方得，所以， 因为，所以，所以， 所以， 又， 所以. 20．(24-25高一上·江苏扬州邗江区·期中)求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质以及换底公式求解即可. 【详解】（1） ； （2） . 21．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)（1）计算：； （2）因式分解：； （3）已知，，，，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用分数指数幂，及分母有理化与根式的化简可求值； （2）利用十字相乘法可因式分解； （3）由已知可求得，利用立方和因式分解可求值. 【详解】（1） （2） ； （3）由，可得，又，所以， 由. 22．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）11；（2） 【分析】（1）根据指数幂以及对数的运算性质即可求解， （2）根据指数幂的性质可得，即可利用立方差公式求解. 【详解】（1）原式= . （2）因为，两边平方得， 所以. 23．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分数指数幂运算规则可得答案； （2）由对数运算规则可得答案. 【详解】（1） ； （2） ； 24．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)77 (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即可； （2）利用对数的运算性质计算即可. 【详解】（1） . （2） . 25．(24-25高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)（1）解不等式组：， （2）计算：． 【答案】（1）或；（2）19 【分析】（1）利用一次与二次不等式的解法即可得解. （2）根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】（1）由，得，解得； 由，得，解得或， 所以原不等式组的解集为或． （2） ． 26．(24-25高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)（1）已知，求的值； （2）计算的值． 【答案】（1）；（2）1. 【分析】（1）利用指数运算化简求出给定式子的值. （2）利用对数运算法则计算得解. 【详解】（1）由，得，则，两边平方得， 所以. （2） . 27．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)83 (2)10 【分析】（1）运用指数幂的运算和根式的化简求值； （2）运用对数的运算和换底公式化简求值. 【详解】（1） . （2） . 28．(24-25高一上·江苏南京第一中学·期中)求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质和对数的运算性质可得结果. （2）利用对数的运算性质化简可得结果. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 地 城 考点04 模型及其实际应用 29．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是（   ）位数（参考数据：，） A．14 B．15 C．55 D．56 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】， 所以是15位数. 故选：B 30．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)某机构研究某地区的流感暴发趋势，发现从确诊第一名患者开始累计时间(单位：天)与病情暴发系数之间满足函数关系为常数)，当时，标志着疫情将要大面积暴发，若不进行任何干预，第50天时，病情暴发系数为0.5.则从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为（    ）（参考数据：） A．37 B．40 C．43 D．46 【答案】B 【分析】先利用，求得，再解不等式，即可得结论. 【详解】因为， 又第50天时，病情暴发系数为0.5. 所 以，所以， 所以，解得，所以， 由，可得，所以， 所以，，所以， 所以，解得， 所以从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为天. 故选：B. 31．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)我们知道，任何一个正实数都可以表示成．当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如． (1)求，，并写出的表达式（不必写出过程）； (2)若，且取，求以及； (3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)3，1， (2)30，，31 (3)猜想，证明见解析 【分析】（1）由新定义得解； （2）利用对数化简，把表示，根据新定义得解； （3）猜想，利用新定义证明即可. 【详解】（1），， 由题意，当时，整数部分的位数为， 当时，的非有效数字的位数为， 所以 （2）由，则， 所以， 故，，. （3）猜想：， 当时，为正整数且不可能是10的倍数， 所以存在，使得，此时， 而，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：理解所给新的定义，运用所给定义是此类拓展型题目的解题关键，对能力要求较高. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 指数与对数 4大高频考点概览 考点01 根式的运算 考点02 指数幂的运算 考点03 指数对数的综合运算 考点04 模型及其实际应用 地 城 考点01 根式的运算 1．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知，则（   ） A． B．1 C． D． 2．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 地 城 考点02 指数幂的运算 3．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)若，则 ． 4．(24-25高一上·江苏南京六校·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)设，若，则的值是 . 6．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 7．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)（1）求值：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 地 城 考点03 指数对数的综合运算 8．(24-25高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)计算（   ） A． B．7 C． D． 9．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)计算的结果是（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)计算： ． 11．(24-25高一上·江苏南京六校·期中)= ． 12．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．（） 13．(23-24高一上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)若，，则的值约为（    ） A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699 14．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)已知，，则 .（用数字作答） 15．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)计算： . 16．(24-25高一上·江苏扬州中学·期中)设为正实数，，，则 ． 17．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)计算： (1)； (2) 18．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)计算： (1)； (2). 19．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)化简求值： (1)求值：. (2)已知，，求的值. 20．(24-25高一上·江苏扬州邗江区·期中)求下列各式的值： (1)； (2). 21．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)（1）计算：； （2）因式分解：； （3）已知，，，，求的值. 22．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 23．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)化简求值： (1)； (2). 24．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)计算下列各式的值： (1)； (2). 25．(24-25高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)（1）解不等式组：， （2）计算：． 26．(24-25高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)（1）已知，求的值； （2）计算的值． 27．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)求下列各式的值： (1)； (2). 28．(24-25高一上·江苏南京第一中学·期中)求下列各式的值． (1) (2) 地 城 考点04 模型及其实际应用 29．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是（   ）位数（参考数据：，） A．14 B．15 C．55 D．56 30．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)某机构研究某地区的流感暴发趋势，发现从确诊第一名患者开始累计时间(单位：天)与病情暴发系数之间满足函数关系为常数)，当时，标志着疫情将要大面积暴发，若不进行任何干预，第50天时，病情暴发系数为0.5.则从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为（    ）（参考数据：） A．37 B．40 C．43 D．46 31．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)我们知道，任何一个正实数都可以表示成．当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如． (1)求，，并写出的表达式（不必写出过程）； (2)若，且取，求以及； (3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$