专题03 不等式的基本性质及一元二次不等式（13大考点72题）（期中真题汇编，江苏专用）高一数学上学期

专题03 不等式的基本性质及一元二次不等式 13大高频考点概览 考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确 考点02 利用不等式求取值范围 考点03 用不等式表示不等关系 考点04 作差法比较不等式大小关系 考点05 新定义最大最小值的计算 考点06 解不等式 考点07 解含参的一元二次不等式 考点08 最值问题 考点09 根据真假命题求参数范围 考点10 恒成立与有解问题 考点11 整数解问题 考点12 实际应用 考点13 新定义问题 地 城 考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)如果，那么下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，.则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．(24-25高一上·江苏徐州铜山区·期中)已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)对于任意实数，，，，下列四个命题中为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 9．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)若，，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)若非零实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若且，则 12．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)设，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高一上·江苏泰州泰兴、兴化两校·期中)设，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)若、、为实数，则下列命题错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 地 城 考点02 利用不等式求取值范围 15．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 用不等式表示不等关系 16．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 地 城 考点04 作差法比较不等式大小关系 17．(23-24高一上·江苏泰兴、兴化·期中)比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 18．(24-25高一上·江苏苏州·期中)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（    ） A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好 C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差 地 城 考点05 新定义最大最小值的计算 19．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)若，则的最小值是 . 地 城 考点06 解不等式 20．(24-25高一上·江苏马坝高级中学·期中)解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3). 21．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)设为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 22．(23-24高一上·江苏常州高级中学·期中)设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 24．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 25．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 26．(24-25高一上·江苏锡山高级中学锡西分校·期中)若关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A． B．的解集为 C． D．的最大值为 27．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知关于x的不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 28．(24-25高一上·江苏宜兴·期中)已知关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 29．(24-25高一上·江苏无锡江阴六校·期中)若关于的不等式的解集为且非空，则的值为 . 30．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)已知关于x的不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集. 31．(24-25高一上·江苏苏州·期中)已知函数，其中. (1)若不等式的解集为，解关于的不等式； (2)解关于的不等式. 32．(24-25高一上·江苏无锡·期中)已知不等式的解集为，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 33．(24-25高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)已知函数，． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)解关于的不等式． 34．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中)已知函数，其中． (1)若关于方程的两个实数根，满足，求的值； (2)求关于的不等式的解集． 35．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 36．(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)已知集合，集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 地 城 考点07 解含参的一元二次不等式 37．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 38．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)已知函数. (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若时，解关于的不等式，. 39．(24-25高一上·江苏西交大附中·期中)已知函数． (1)当不等式的解集为时，求实数的值； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围， (3)设为常数，解关于的不等式． 40．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)已知二次函数的两个零点为和，且. (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值； (3)解关于的不等式. 41．(24-25高一上·江苏无锡江阴六校·期中)（1）已知，且，求的取值范围. （2）解关于的不等式. 42．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)已知集合是不等式的解集，集合是不等式的解集，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 43．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)设是实数，函数． (1)若，函数的两个零点都在区间内，求的取值范围； (2)若函数的图象与轴交于两点，求关于的不等式的解集． 44．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)设函数 (1)若，当时，求的最小值； (2)求关于的不等式解集； (3)若且，求的最小值． 地 城 考点08 最值问题 45．(24-25高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)二次函数的图象顶点为，且图象在轴上截得线段长为． (1)求函数的解析式： (2)令 ①求不等式的解集； ②求函数在的最大值． 46．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)已知函数，的解集为. (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值. 地 城 考点09 根据真假命题求参数范围 47．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中)命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)若命题“”是假命题，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 49．(24-25高一上·江苏徐州铜山区·期中)若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 50．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)若命题：，为真命题，则实数的取值范围为 . 51．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)设命题：，不等式有解，命题：关于实数的方程有两个不相等的实数根、，其中，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 52．(24-25高一上·江苏徐州·期中)设命题，使得不等式恒成立；命题，使得一次函数的图象不在轴下方. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，中恰有一个为假命题，求实数的取值范围. 53．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知命题p：存在，不等式成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. (1)若命题p真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 54．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)命题p：“关于的方程有实根”，命题q：“，”. (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p为假命题且命题q是真命题，求实数a的取值范围. 地 城 考点10 恒成立与有解问题 55．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)对，使恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 56．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 57．(24-25高一上·江苏西交大附中·期中)若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 58．(24-25高一上·江苏无锡江阴六校·期中)一元二次不等式则对一切实数 都成立，则的取值范围为（      ） A． B． C． D． 59．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)设为实数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 60．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 61．(24-25高一上·江苏扬州第一中学·期中)已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 62．(24-25高一上·江苏南京中华中学·期中)已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 63．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. (1)求此二次函数的解析式； (2)关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 64．(24-25高一上·江苏南京六校·期中)已知一次函数和二次函数的图像都过点和，且. (1)求和的解析式； (2)设关于的不等式的解集为. ①若，求实数的取值范围； ②是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 地 城 考点11 整数解问题 65．(24-25高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 66．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 67．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为 . 68．(24-25高一上·江苏无锡·期中)关于的一元二次方程恰有两个整数解，则实数的取值范围为 . 69．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 地 城 考点12 实际应用 70．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 地 城 考点13 新定义问题 71．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 72．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为，其中. (1)设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围； (2)不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； (3)已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 不等式的基本性质及一元二次不等式 13大高频考点概览 考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确 考点02 利用不等式求取值范围 考点03 用不等式表示不等关系 考点04 作差法比较不等式大小关系 考点05 新定义最大最小值的计算 考点06 解不等式 考点07 解含参的一元二次不等式 考点08 最值问题 考点09 根据真假命题求参数范围 考点10 恒成立与有解问题 考点11 整数解问题 考点12 实际应用 考点13 新定义问题 地 城 考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质逐项分析得解. 【详解】由不等式性质，，故A错误， 由，故B错误； 由，故C正确； 由，故D错误. 故选：C 2．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)如果，那么下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：利用作差法分析判断即可. 【详解】因为，则， 对于选项ACD：例如，则满足， ，即，故A错误； ，即，故C错误； ，故D错误； 对于选项B：因为，即，故B正确； 故选：B. 3．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，.则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用作差法可判断A；举反例可判断B，C，D. 【详解】对A，根据不等式的性质，若，则， 即，故A正确； 对于B，当时，由，故B错误； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，取，则，故D错误； 故选：A. 4．(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A：若，，满足，但是，故A错误； 对于B：若，，满足，但是，故B错误； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：因为，则，所以， 所以，即，故D正确. 故选：D 5．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举反例可说明选项A，B 错误；令可知选项C错误；由不等式的性质可得选项D正确. 【详解】A.令，满足，但，选项A错误. B.令，满足，但，选项B错误. C.当时，，选项C错误. D.由可知，由不等式的性质得，选项D正确. 故选：D. 6．(24-25高一上·江苏徐州铜山区·期中)已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】赋值法可判断AD；利用不等式性质可判断B，作差法比较数的大小判断C. 【详解】对于A，，但，故A错误； 对于B，由，可得，不等式两边同乘以， 得，即，故B错误； 对于C，， 因为，，所以，故C正确； 对于D，，当时，，故D错误. 故选：C. 7．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由必要不充分条件定义可判断选项正误. 【详解】A选项，当，取，此时无意义，故由不能得到，故A错误； B选项，当，取，则，故由不能得到，故B错误； C选项，因，则，则由可得； 取，满足则，但是， 为的必要不充分条件，故C正确； D选项，当，取，则，故由不能得到，故D错误. 故选：C 二、多选题 8．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)对于任意实数，，，，下列四个命题中为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】由不等式的基本性质即可判断选项中的命题是否为真命题. 【详解】∵，∴，A选项真命题； ∵，∴，∴，∴，∴，B选项真命题； ∵，，∴，，∴，C选项假命题； ∵，，∴，，∴，即，D选项真命题. 故选：ABD 9．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)若，，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，若，由，可得，故A错误， 对于B，若，则，故B正确； 对于C，取，满足，但，此时，故C错误； 对于D，，所以，所以，所以，故D正确. 故选：BD. 10．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)若非零实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】取特殊值法可判断AD错误，利用不等式性质可得BC正确. 【详解】根据题意，不妨取满足，此时不成立，即A错误； 易知，可知，即，可得B正确； 同理可得，即，所以C正确； 若，满足，此时，即D错误. 故选：BC 11．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若且，则 【答案】BCD 【分析】取特殊值判断A，根据不等式的性质，逐项判断BCD即可. 【详解】当时，显然不等式不成立，故A错误； 由，，综上可得，故B正确； 因为，又，所以，故C正确； 由，又， 所以，故D正确. 故选：BCD 12．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)设，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由作差法代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确； 故选：ABD 13．(24-25高一上·江苏泰州泰兴、兴化两校·期中)设，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】对于A，B，C利用不等式的性质即可判断，对于D利用反例进行判断， 【详解】对于A，若，则不等式两边同时乘以，由，则，故A正确； 对于B，若，则不等式两边同时乘以，由，则，故B错误； 对于C，若，则，利用不等式的可乘方性，则，故C正确； 对于D，若，，则，，则，故D错误； 故选：AC. 14．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)若、、为实数，则下列命题错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】AC 【分析】由不等式的性质、作差法及特殊值逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B：因为 ，则， 所以，， 所以，故B正确， 对于C，取，满足，显然不成立，故C错误； 对于D: ， 因为，得，又， 所以， 所以，故D正确. 故选：AC 地 城 考点02 利用不等式求取值范围 15．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】∵，∴， 又，∴， 即的取值范围是. 故选：C. 地 城 考点03 用不等式表示不等关系 16．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)答案见详解 (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 地 城 考点04 作差法比较不等式大小关系 17．(23-24高一上·江苏泰兴、兴化·期中)比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 【答案】 【分析】将两数都平方，然后作差法比较大小即可. 【详解】由，则， 所以. 故答案为： 18．(24-25高一上·江苏苏州·期中)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（    ） A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好 C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差 【答案】C 【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据BCD设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断BCD. 【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意，， 解得，因此这所公寓的窗户面积至少为，A错误； 对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为，地板增加的面积为， 而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，公寓采光效果不变，B错误； 对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，， 增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 则，而， 于是，即，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，C正确； 对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为c，地板增加的面积为， 而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 则， 若，则；若，则；若，则， 因此无法判断公寓的采光效果是否变差了，D错误. 故选：C 地 城 考点05 新定义最大最小值的计算 19．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)若，则的最小值是 . 【答案】 【分析】用反证法证明的最小值不小于，再确定能等于，即可得． 【详解】由题意， 若存在使得，则， 因此，但， 因此假设错误，不存在使得， 所以的最小值不小于， 又时，， 所以的最小值为， 故答案为：． 地 城 考点06 解不等式 20．(24-25高一上·江苏马坝高级中学·期中)解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）解一元二次不等式可得结果. （2）分式型不等式等价转化为一元二次不等式可得结果. （3）讨论的取值范围，去绝对值，解不等式可得结果. 【详解】（1）由得， 即， 解得或， 故不等式的解集为或. （2）由得，即， 等价于， 解得或， 故不等式的解集为或. （3）当时，原不等式可以化为，解得. 当时，原不等式可以化为，即，恒成立. 当时，原不等式可以化为.解得. 综上，原不等式的解集为. 21．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)设为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解分式不等式，根据充分性和必要性可得结论. 【详解】由，可得，所以，所以， 所以，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 22．(23-24高一上·江苏常州高级中学·期中)设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以或，解得或， 所以不等式的解集为或； 因为，所以，解得或， 所以不等式的解集为或； 因为或是或的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 23．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量的关系，可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用一次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A错； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为，即， 解得或， 因此，不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此，不等式的解集为，D对. 故选：D. 24．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式解集的性质求出，再由分式不等式的解法求出解集即可； 【详解】由题意可得，即， 所以即，等价于， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 25．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据解集以及根与系数之间的关系可得到的值，即可求得结果. 【详解】根据不等式的解集可得到，解得， 所以， 故选：D. 26．(24-25高一上·江苏锡山高级中学锡西分校·期中)若关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A． B．的解集为 C． D．的最大值为 【答案】D 【分析】题意说明的两根为,代入法1得的值，从而可逐项判断. 【详解】根据题意，关于的不等式的解集为， 所以的两根为， 则，解得， 所以，即A正确，C正确； 且为，解得或， 所以的解集为，B正确； ， 所以的最大值为，D错误. 故选：D 27．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知关于x的不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元一次不等式的解集可得，将所求的不等式转化为，解之即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以且，即. 不等式转化为， 解得，即不等式的解集为. 故选：A 28．(24-25高一上·江苏宜兴·期中)已知关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 【答案】3 【分析】由题意转化为一元二次不等式的解集，由“三个二次”的关系可得答案. 【详解】解：不等式可化为， 可得，平方可得， 即 由不等式解集是可知和0是方程的两根， 故，且，解得 故答案为：3. 29．(24-25高一上·江苏无锡江阴六校·期中)若关于的不等式的解集为且非空，则的值为 . 【答案】或/或 【分析】由题意可得，且方程的实数解为，再利用韦达定理求出即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为且非空， 所以，且方程的实数解为， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或. 30．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)已知关于x的不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程的根之间的关系可得，，进而解一元一次不等式即可； （2）由（1），原不等式可化为，解之即可求解. 【详解】（1）关于的的不等式的解集为， 且和2是方程的两个根， ， 不等式可化为 ，解得， 不等式的解集为 （2）由（1）知， 不等式可化为， ，即，解得， 不等式的解集为. 31．(24-25高一上·江苏苏州·期中)已知函数，其中. (1)若不等式的解集为，解关于的不等式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用给定的解集求出，再解分式不等式即得. （2）分类讨论求解含参的不等式. 【详解】（1）依题意，是不等式的解集，则是方程的二根， 于是，解得，不等式为， 因此，解得或， 所以所求不等式的解集为. （2）不等式， 当时，，解得； 当时，，不等式无解； 当时，，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 32．(24-25高一上·江苏无锡·期中)已知不等式的解集为，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）明确集合、，根据交集的运算求即可. （2）由，再根据集合的包含关系求实数的取值范围. 【详解】（1）由，所以. 当时，. 所以. （2）由，， 所以.故实数的取值范围为. 33．(24-25高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)已知函数，． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分类讨论和，当时直接分析即可，当时根据解集列出对应韦达定理形式，由此可求的值； （2）分类讨论和，当时直接求出解集，当时先将不等式因式分解，然后根据与的大小关系进行讨论即可. 【详解】（1）当时，，解集为，不符合； 当时，的解集为， 所以，解得. （2）当时，，解得； 当时，， 若，，且，解得或， 若，， （ⅰ）若，则，无解， （ⅱ）若，则，解得， （ⅲ）若，则，解得； 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 34．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中)已知函数，其中． (1)若关于方程的两个实数根，满足，求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）由韦达定理代入即可求解； （2）因式分解，分，，三类讨论即可. 【详解】（1）， 可得：， 由，可得： 即：， 解得：或 （2）由， 可得： 当时，即，不等式的解集为， 当，即，不等式的解集为：， 当，即，不等式的解集为：. 35．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解出集合，当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合； （2）分析可知，分、两种情况讨论，在时，可得出关于实数的不等式；在时，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 当时，， 所以. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以，. ①当时，，解得，成立； ②当时，即时，即时， 则有，解得，此时，. 综上，实数的取值范围为. 36．(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)已知集合，集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用补集和并集的定义可得出集合； （2）分析可知，，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 当时，，则或， 所以，或. （2）解：因为是的充分不必要条件，则， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 地 城 考点07 解含参的一元二次不等式 37．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【详解】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 38．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)已知函数. (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若时，解关于的不等式，. 【答案】(1) (2)当时，解集为 ， 当时，解集为， 当时，解集为. 【分析】（1）分离参数，转化为求解即可； （2）分，，三种情况，分解求出所对应一元二次不等式的解集即可. 【详解】（1）由已知得， 对，恒成立，即, 令, 则，当且仅当，即时取等号， ∴， ∴， ∴实数的取值范围为； （2）由已知得， 即， ， ， 当时，即，不等式的解集为， 当时，即，不等式的解集为， 当时，即，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 39．(24-25高一上·江苏西交大附中·期中)已知函数． (1)当不等式的解集为时，求实数的值； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围， (3)设为常数，解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）一元二次不等式解集的分界点为所对应方程的根，所以的根为.即，列方程可解出； （2）恒成立，即恒成立，转化为关于的一元二次不等式大于解集为，所以恒成立，可解得的范围； （3）由，得，，所以分三种情况，再利用一元二次不等式解法，即可求解． 【详解】（1）由的解集为，所以是方程的两根， 所以，即，解得或． （2）因为恒成立，即恒成立， 则，整理得到，所以． （3）由，得， ①当，即，解集为R ②当，即，解集为 ③当，即，由，得到或，解集为或， 综上，①当，原不等式的解集为R ②当，原不等式的解集为 ③当，原不等式的解集为或， 40．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)已知二次函数的两个零点为和，且. (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由函数的零点性质可设，代入求解即可； （2）由二次函数的性质讨论对称轴与区间的关系即可； （3）讨论与零和的关系，结合一元二次不等式解法求解即可； 【详解】（1）因为二次函数的两个零点为和， 可设， 又， 所以，解得， 所以. （2）因为的对称轴为， 当时，在上单调递增，； 当，即时，； 当，即时，在上单调递减，； 综上，. （3）由题意可得，即， ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式可化为， 不等式的解集为或. ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 41．(24-25高一上·江苏无锡江阴六校·期中)（1）已知，且，求的取值范围. （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）运用基本不等式，换元结合一元二次不等式解法求解；（2）进行分类讨论解二次不等式即可. 【详解】（1）因为，且， 所以,令， 则，所以,因为，所以，所以. （2）由题意得， 得， 当，即时，由，得， 当，即时，无解， 当，即时，由，得， 综上，当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为; 当时，该不等式的解集为. 42．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)已知集合是不等式的解集，集合是不等式的解集，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式不等式与二次不等式解法，分别求得集合，再利用集合交集的结果得到关于的不等式组，解之即可得解； （2）先由（1）求得，再利用集合与充分必要条件关系得到对应集合的关系，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）解，得，则， 因为，所以， 显然，解得或，则或， 因为，则或， 解得或，故， 所以a的取值范围为； （2）由，可得：或， 因为是的充分不必要条件， 所以或是或的真子集， 则且等号不同时成立，解得， 所以的取值范围为. 43．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)设是实数，函数． (1)若，函数的两个零点都在区间内，求的取值范围； (2)若函数的图象与轴交于两点，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）由是方程的两根，进而可得的关系，进而分类讨论可求的解集. 【详解】（1）当时，， 因为的两个零点都在区间，由于， 所以， 即，故的取值范围． （2）因为函数的图象与轴交于两点． 所以且是方程的两根，则：， 当时，由得：， ，解得或， 故不等式的解集为； 当时，由得：， ，解得， 故不等式的解集为． 综上所述：当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． 44．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)设函数 (1)若，当时，求的最小值； (2)求关于的不等式解集； (3)若且，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）代入，再根据基本不等式求解最小值即可； （2）因式分解后分情况讨论求解即可； （3）根据可得，再拼凑利用基本不等式求解的最小值即可. 【详解】（1）当时，，且， 故， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值为. （2）即，故： ①当时，解得； ②当时，无解； ③当时，解得. （3），即，故. 则， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 地 城 考点08 最值问题 45．(24-25高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)二次函数的图象顶点为，且图象在轴上截得线段长为． (1)求函数的解析式： (2)令 ①求不等式的解集； ②求函数在的最大值． 【答案】(1) (2)详见解析； 【分析】（1）根据二次函数的图象顶点为，设，再根据函数图象在轴上截得线段长为，由求解； （2）①由（1）得到，利用一元二次不等式的解法求解； ②由，根据其对称轴方程为：，分，，求解. 【详解】（1）解：因为二次函数的图象顶点为， 所以设， 令，即， 则， 由题意得， 解得， 所以； （2）①由（1）得， 即，即， 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得， 所以当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是， ②，对称轴方程为：， 当，即时，的最大值为； 当，即时，的最大值为； 当，即，的最大值为. 46．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)已知函数，的解集为. (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据不等式解集确定对应方程的根，再利用韦达定理求得参数，即得结果； （2）先化简函数，再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）因为函数的解集为， 那么方程的两个根是，且， 由韦达定理有， 所以． （2） ， 由，则， 根据基本不等式有：， 当且仅当，即时取等号， 当时，. 地 城 考点09 根据真假命题求参数范围 47．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中)命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，命题“，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为， 所以. 故选：A 48．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)若命题“”是假命题，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据命题的真假，可转化为不等式恒成立问题，分情况讨论可得参数范围. 【详解】命题“”是假命题，则有， 当时，恒成立，满足题意； 当时，有，解得， 综上可得的取值范围为. 故选：A. 49．(24-25高一上·江苏徐州铜山区·期中)若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分，两种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为显然不成立，故， 当时，命题“，”为真命题， 只需，解得或， 又，实数的取值范围是或. 故选：C. 50．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)若命题：，为真命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，分与讨论，结合一元二次不等式恒成立代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，不等式为，满足题意； 当时，，为真命题， 则，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 51．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)设命题：，不等式有解，命题：关于实数的方程有两个不相等的实数根、，其中，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式有解的解法，得出关于的一元二次不等式，求解即可； （2）若命题是真命题，设，根据一元二次方程根的情况列出不等式组，得出的范围，然后分为p真q假，p假q真两种情况求解即可． 【详解】（1）若命题是真命题，即，不等式有解， ∴，不等式有解， ∴，即， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是． （2）若命题是真命题，设， 则得，解得， 若p真q假，则，解得或； 若p假q真，则，无解． 综上，实数a的取值范围是． 52．(24-25高一上·江苏徐州·期中)设命题，使得不等式恒成立；命题，使得一次函数的图象不在轴下方. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，中恰有一个为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）问题转化成恒成立，进而可求解. （2）由真假，和假真两类情况讨论即可； 【详解】（1）当命题为真命题时，,，. 因为的对称轴为：，，所以当时，取得最小值为， 所以.解得：. （2）当命题为真命题时，则有，. 因为当，的最大值为. 所以.解得：，或. 当真假时， ，解得. 当假真时， ，解得. 综上所述：. 53．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知命题p：存在，不等式成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. (1)若命题p真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据命题为真命题，转化为求的最大值，解不等式即可求解； （2）首先根据命题为真命题，结合基本不等式求的取值范围，再根据两个命题一真一假，求实数的取值范围. 【详解】（1）∵p为真命题，∴， ∵，∴当时，， ，解得 所以. （2）若q为真，则， ∵，，， ∴， ， 当且仅当，即时取等号. 所以. ①若p为真，q为假，则且，无解； ②若p为假，q为真，则且，或且， 解得或. 综上，或. 54．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)命题p：“关于的方程有实根”，命题q：“，”. (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p为假命题且命题q是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据判别式计算出结果； （2）先根据二次函数图象特点求解出为真命题时的范围，结合（1）中的范围可求结果. 【详解】（1）由题意可知，关于的方程有实根， 所以，解得或， 所以的取值范围是或. （2）因为为真命题，所以，， 由二次函数图象可知，当和时，函数值小于等于零即可， 所以，解得， 又因为为假命题，所以， 且， 所以当为假命题且为真命题时，的取值范围是. 地 城 考点10 恒成立与有解问题 55．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)对，使恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称命题为真求出参数的取值范围，再利用区间的包含关系可得出结果. 【详解】，使恒成立，则，解得， 因为，，， 因此，对，使恒成立的一个充分不必要条件是. 故选：D. 56．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 57．(24-25高一上·江苏西交大附中·期中)若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用基本不等式，求得最小值为，从而得到，即可求解. 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时，取等号， 又不等式有解，所以，解得或， 故选：D. 58．(24-25高一上·江苏无锡江阴六校·期中)一元二次不等式则对一切实数 都成立，则的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质及二次不等式的解法列式可得. 【详解】由一元二次不等式对一切实数x都成立， 则，解得. 满足一元二次不等式对一切实数x都成立的k的取值范围是. 故选：C. 59．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)设为实数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，两种情况讨论可求得的取值范围. 【详解】当时，不等式为，解得，所以不等式不恒成立， 当时，由不等式恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 60．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次不等式解集得到，从而利用基本不等式求得的范围，再利用换元法将不等式转化可得，进而利用二次函数性质解决恒成立问题，由此得解. 【详解】因为不等式，的解集为， 所以是方程，的两根， 所以，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 而不等式可化为， 所以， 则在上恒成立，即， 因为， 当且仅当时，即，等号成立， 所以，此时，，满足题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用参变分离法将问题化为求的最值问题，从而得解. 61．(24-25高一上·江苏扬州第一中学·期中)已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，再解关于的一元二次不等式即可. 【详解】由，故可得，则， 当且仅当，且，时，也即时取得等号，故的最小值为； 根据题意可得，即，，解得. 故实数的取值范围为：. 故答案为：. 62．(24-25高一上·江苏南京中华中学·期中)已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法及题目所给条件即可求解求的解析式； （2）恒成立问题常用分离参数的方法，分离参数后转化为求函数在区间上的最值即可. 【详解】（1）由是二次函数，设， 因为， 所以, 所以, 又,所以解得 所以. （2）当时，恒成立，即恒成立， 令，则， 当时,单调递减;当,4]时,单调递增， 所以,所以， 所以的取值范围为. 63．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. (1)求此二次函数的解析式； (2)关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，可得，是方程的两个根，写出解析式，再结合顶点坐标求解即得. （2）由（1）的结论，分类求解不等式，进而确定的范围. （3）依题意可得对，不等式恒成立，令，，则，解得即可. 【详解】（1）由不等式的解集为，得且是关于的方程的两个根， 因此， 所以函数的图象开口向上，其对称轴为， 而该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为， 于是，解得， 所以此二次函数的表达式为，即. （2）由（1）知不等式为， 整理得，即， 依题意，不等式的解集中恰有一个正整数，则， 当时，解得，即不等式的解集为，此时解集中不含正整数，故舍去； 当时，解得，不等式的解集为，要使解集中恰有一个正整数， 则， 所以实数的取值范围是. （3）对，不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， 令，，则，解得， 即实数的取值范围为. 64．(24-25高一上·江苏南京六校·期中)已知一次函数和二次函数的图像都过点和，且. (1)求和的解析式； (2)设关于的不等式的解集为. ①若，求实数的取值范围； ②是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)① ；②存在； 【分析】（1）利用待定系数法可求函数解析式； （2）① 就的不同取值分类讨论后结合判别式的正负可求其范围；②就二次项系数是否为零分类讨论后可求参数的值. 【详解】（1）设，由得，所以； 由题意设 由 得； 又因为，所以，得； 所以，所以； （2）①原不等式化为恒成立. （ⅰ）当时，解得，或， 当时，不等式化为，时，解集为； 当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立； （ⅱ）当时，则； 综上所述，实数k的取值范围为． ②根据题意，得出解集，， 当时，解得，或， 时，不等式的解集为，满足条件， 时，恒成立，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 综上，存在满足条件的的值为． 地 城 考点11 整数解问题 65．(24-25高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数的取值范围. 【详解】不等式可化为， 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得； 当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍． 66．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合题意分析可知不等式解集为，且，运算求解即可. 【详解】因为， 若不等式有5个负整数解， 则不等式解集为，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 67．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求得集合，分类讨论解出集合，并根据中恰有两个整数，求出参数的取值范围即可. 【详解】由，可得，解得，所以， 当时，由，可得，， 因为中恰有两个整数，所以，解得， 当，由，可得，， 此时，不符合题意， 综上所述：若中恰有两个整数，实数的取值范围为. 故答案为：. 68．(24-25高一上·江苏无锡·期中)关于的一元二次方程恰有两个整数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，方程有两个不同的实数根，进而求解出方程的两个解，再根据的不同取值范围，讨论两根的分布情况，从而得出结果. 【详解】恰有两个整数解   方程有两个不相等的实数根 ，解得，，且方程的两根可写为 时，，，此时不等式至少有4个整数解，不合题意； 时，，，此时不等式有两个整数解1和2，符合题意； 时，，. 当时，，即，解得，; 当时，不等式最多一个整数解，不合题意. 综上，. 故答案为：. 69．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式解集中有且只有个连续整数，确定解集的区间长度， 得出的取值范围，再由对称轴判断出即可. 【详解】由题意，，即， 设不等式的解集为，则，， 则， 因为不等式解集中有且仅有个整数，所以， 即，解得， 所以的对称轴满足， 而，即离对称轴距离最近的整数只有， 所以，所以三个整数解为， 所以，解得. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题入手较难，关键是不等式解集中有个整数如何表示，利用解集的区间长度建立不等式是解题关键. 地 城 考点12 实际应用 70．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 地 城 考点13 新定义问题 71．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由解得，则不等式对任意恒成立，得，解之即可； （2）分类讨论当或、时，结合新定义解出对应的一元二次不等式即可. 【详解】（1）由解得：， 不等式组解集构成的各区间的长度和等于， 不等式对任意恒成立， 令，， 则， 解得：， 实数的范围为 （2）①当或时，原不等式等价于， 整理得：， 令， ，，设的两根为，， 此时原不等式的解集为，，解集的区间长度为； ②当时， 同理可得原不等式的解集为，，此时解集的区间长度为．   综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为， 又由韦达定理可知：， 原不等式的解集的区间长度之和为2. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 72．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为，其中. (1)设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围； (2)不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； (3)已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得（等号不能同时成立）.根据新定义可得，解之即可求解； （2）首先解出第一个不等式范围为，再根据各区间长度和为6，得到不等式在恒成立，再构建新函数，转换主元即可得到范围； （3）分类讨论对称轴与区间的位置关系，求出函数对应的最值，建立方程组，解之即可求解. 【详解】（1）由（等号不能同时成立），解得（等号不能同时成立）， 所以（等号不能同时成立）.又，所以， 因为的区间的长度为4，则，得， 所以，解得，即实数的取值范围为. （2），解不等式得， 解不等式得，所以不等式的解集为. ∵不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6， ∴不等式在上恒成立， 令，， 则，解得， ∴实数t的范围为． （3）二次函数，图象为开口向上的抛物线，且对称轴为，顶点坐标为. 要使最大，则应尽量大，尽量小，即， 此时在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 所以，且，即为方程的两根， 得，所以，得， 即的最大值为； 要使最小，则应在对称轴的同侧，不放设m，n在抛物线对称轴右侧， 即，此时，得， 由，解得， 由，解得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，又，故等号取不到， 所以. 同理当时，可得. 综上，函数的定义域区间的长度的取值范围为. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$