专题08 幂函数、指数函数和对数函数（9大考点34题）（期中真题汇编，江苏专用）高一数学上学期

专题08 幂函数、指数函数和对数函数 9大高频考点概览 考点01 幂函数的定义及图象与性质 考点02 幂函数单调性 考点03 幂函数奇偶性 考点04 指数型函数横过定点 考点05 指数型复合函数单调性问题 考点06 比较指数幂大小关系 考点07 对数函数定义域 考点08 对数（型）函数单调性 考点09 指对大小比较 地 城 考点01 幂函数的定义及图象与性质 1．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D． 2．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 3．(24-25高一上·江苏苏州·期中)已知幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)已知函数. (1)若，求的值; (2)若，求函数的最小值. 5．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)已知点在幂函数的图象上． (1)求的表达式； (2)画出函数的图象，并根据函数图象写出的单调区间与最小值． 地 城 考点02 幂函数单调性 6．(24-25高一上·江苏锡山高级中学锡西分校·期中)幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 7．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)若函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 9．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中)已知幂函数在定义域内是单调函数，则实数 ． 10．(24-25高一上·江苏常州前黄高级中学国际分校·期中)已知幂函数在单调增，. (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式解集(其中). 地 城 考点03 幂函数奇偶性 11．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知幂函数的图像关于轴对称，则 ． 12．(24-25高一上·江苏宜兴·期中)已知幂函数经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是减函数 13．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是.甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是错误的，则的取值为（    ） A． B．1 C．2 D．或2 地 城 考点04 指数型函数横过定点 14．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)函数（且），的图象恒过定点，则点的坐标 ． 地 城 考点05 指数型复合函数单调性问题 15．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 16．(24-25高一上·江苏响水中学，清源高中·期中)已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)恒成立，求的取值范围． 17．(24-25高一上·江苏苏大附中·期中)已知函数，则 ；若，关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 18．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)已知函数，则满足不等式的的范围是（    ） A． B． C． D． 19．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)（多选）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．若是奇函数，则 C．是上的减函数 D．不等式的解集 地 城 考点06 比较指数幂大小关系 20．(24-25高一上·江苏响水中学，清源高中·期中)设，则（   ） A． B． C． D． 21．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)设，，，则它们的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 22．(24-25高一上·江苏宜兴·期中)若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 23．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)已知函数，，且，则（   ） A．，， B．，， C． D． 地 城 考点07 对数函数定义域 24．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 25．(23-24高一上·江苏常州溧阳·期末)函数的定义域为 . 26．(24-25高一上·江苏西交大附中纳米班·期中)下列各组中，函数与表示同一函数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 27．(24-25高一上·江苏西交大附中纳米班·期中)已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)求不等式的解集． 28．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)设函数的定义域为，函数的定义域为． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 地 城 考点08 对数（型）函数单调性 29．(24-25高一上·江苏西交大附中纳米班·期中)函数的增区间为 ． 30．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知函数且． (1)若在区间上的最大值是2，求实数的值； (2)若函数且在上是增函数，求实数的取值范围： 地 城 考点09 指对大小比较 31．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知，，，则有（   ） A． B． C． D． 32．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 33．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 34．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 幂函数、指数函数和对数函数 9大高频考点概览 考点01 幂函数的定义及图象与性质 考点02 幂函数单调性 考点03 幂函数奇偶性 考点04 指数型函数横过定点 考点05 指数型复合函数单调性问题 考点06 比较指数幂大小关系 考点07 对数函数定义域 考点08 对数（型）函数单调性 考点09 指对大小比较 地 城 考点01 幂函数的定义及图象与性质 1．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数经过定点，将此点代入幂函数中即可求出表达式，进而求出. 【详解】∵幂函数的图象过点，∴，解得，∴，所以， 故选：A. 2．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及性质得解. 【详解】由题意可知，，解得或， 故选：C 3．(24-25高一上·江苏苏州·期中)已知幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用配方法可求得函数的值域. 【详解】因为函数为幂函数，设，其中为常数， 则，可得，则， 所以，，当且仅当时，等号成立， 故函数的值域为. 故选：A. 4．(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)已知函数. (1)若，求的值; (2)若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将式子两边同时平方即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得的解析式，从而可得的解析式，然后换元，结合二次函数的单调性，即可得到函数的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 两边平方可得，所以 （2）因为， 所以， 令，则，当且仅当时， 即时，等号成立，即， 所以，对称轴为， 所以函数在上单调递增， 即时，， 所以函数的最小值为. 5．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)已知点在幂函数的图象上． (1)求的表达式； (2)画出函数的图象，并根据函数图象写出的单调区间与最小值． 【答案】(1)； (2)作图见解析，递减区间是，递增区间是，最小值. 【分析】（1）把点的坐标代入求出即可. （2）求出并化成分段函数，借助二次函数图象作出函数的图象，利用图象求出单调区间及最小值. 【详解】（1）由点在幂函数的图象上，得，即，解得， 所以的表达式为. （2）由（1）知，， 因此函数的图象是抛物线在或上的部分 与抛物线在上的部分组成，如图： 观察图象，得函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 当时，函数取得最小值. 地 城 考点02 幂函数单调性 6．(24-25高一上·江苏锡山高级中学锡西分校·期中)幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】因为函数是幂函数且在上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 7．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数定义及其单调性可得符合题意，可得结论. 【详解】由是幂函数可得，解得或； 当时，在上是减函数， 当时，在上是增函数,不合题意， 即可得“幂函数在上是减函数”的等价条件为“”； 而“”仅是“或”的一部分， 因此“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：C 8．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)若函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数为幂函数，可得，求解验证即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，函数，在上单调递减，符合题意， 当时，函数，在上单调递增，不符合题意. 综上所述：实数的值为. 故选：A. 9．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中)已知幂函数在定义域内是单调函数，则实数 ． 【答案】 【分析】对于函数要满足系数为。再根据幂函数的单调性与指数的关系来确定的值。 【详解】因为幂函数的系数为，所以，解得或。 当时，，此函数在定义域上单调递增。 当时，，此函数在和上单调递减。 此时定义域内不是单调函数.所以. 故答案为：. 10．(24-25高一上·江苏常州前黄高级中学国际分校·期中)已知幂函数在单调增，. (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式解集(其中). 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质计算可得； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，或， 又因为在单调增，，， 所以. （2）由（1）知，函数在区间上是增函数， ，，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得，即不等式的解集为. 综上可得当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 地 城 考点03 幂函数奇偶性 11．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知幂函数的图像关于轴对称，则 ． 【答案】9 【分析】首先，根据幂函数的定义，系数应为，可求出的值.然后根据函数图像关于轴对称确定的具体取值，得到函数表达式，最后将代入函数求值. 【详解】因为是幂函数，所以，即. 解得或. 当时，，，函数是奇函数，其图像关于原点对称，不符合题意. 当时，，，函数是偶函数，其图像关于轴对称，符合题意. 所以，. 将代入，可得. 故答案为：9. 12．(24-25高一上·江苏宜兴·期中)已知幂函数经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】A 【分析】根据函数过点，可得函数解析式，根据解析式即可得其奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】依题意，设，将点代入上式，得到，即， 所以该函数为偶函数，且在上是增函数． 故选: 13．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是.甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是错误的，则的取值为（    ） A． B．1 C．2 D．或2 【答案】C 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，分类讨论可求得符合条件的的值. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，此时是偶函数，在上单调递增，定义域是. 此时只有甲是错误，乙、丙是正确的，故符合题意， 当时，，此时是奇函数，在上单调递减，定义域是， 此时只有甲是正确，乙、丙是错误的，故不符合题意. 故选：C. 地 城 考点04 指数型函数横过定点 14．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)函数（且），的图象恒过定点，则点的坐标 ． 【答案】 【分析】根据指数的性质令即可求解. 【详解】（且）， 令，解得，，故定点为， 故答案为： 地 城 考点05 指数型复合函数单调性问题 15．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出复合过程，根据复合函数单调性同增异减得出结论. 【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为. 故选：C 16．(24-25高一上·江苏响水中学，清源高中·期中)已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为； (2) 【分析】（1）根据复合函数的单调性结合指数函数的单调性判断单调区间； （2）根据指数函数单调性得出二次不等式恒成立，再结合判别式得出参数范围. 【详解】（1）当时，， 令，则， 的增区间为，减区间为， 又为减函数， 根据“同增异减”法则：的增区间为，减区间为； （2）恒成立， ，即恒成立， ，解得：. 17．(24-25高一上·江苏苏大附中·期中)已知函数，则 ；若，关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 3 【分析】先根据解析式结合指数幂的运算律计算可得；再由结合可将不等式转化为,然后结合函数的单调性可得恒成立,最后应用基本不等式可求出实数的取值范围; 【详解】因为，所以； ∵不等式,, 可化为, 即恒成立, 由题意,且的定义域为, 任取,且, 则, ∵,且,∴,,, 故,所以函数是上的增函数. ∵函数是上的增函数且, ∴，恒成立, 即恒成立, ， 当且仅当时，取得，所以. 故答案为：. 18．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)已知函数，则满足不等式的的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别用定义判断函数的单调性和奇偶性，然后将转换为求解即可. 【详解】函数定义域为关于原点对称， ，所以为奇函数， 在定义域为内任意选取两个自变量，且， ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 因为，即，即， 结合单调性知，即，解得， 所以的范围是， 故选：A. 19．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)（多选）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．若是奇函数，则 C．是上的减函数 D．不等式的解集 【答案】BCD 【分析】利用函数单调性的定义可判断C选项；利用函数的对称性可判断AB选项；将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的定义域为， 则， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称，A错； 对于B选项，因为函数是奇函数，即函数的图象关于原点对称， 由A选项可知，函数的图象关于点对称，则，解得，B对； 对于C选项，任取、，且，则， 则 ，所以，， 所以，函数是上的减函数，C对； 对于D选项，由，可得， 因为函数是上的减函数，则，解得， 故不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 地 城 考点06 比较指数幂大小关系 20．(24-25高一上·江苏响水中学，清源高中·期中)设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式的形式，构造幂函数、指数函数，利用幂函数和指数函数的单调性，运用中间值比较法进行判断即可. 【详解】因为幂函数是正实数集上的增函数， 所以有，即， 又因为指数函数是实数集上的增函数， 所以有，即，于是有， 故选：C 21．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)设，，，则它们的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函函数与，利用指数函数的单调性可比较大小. 【详解】，，， 因为在上单调递增，又，所以， 所以， 又在上单调递减，又，所以， 所以. 故选：D. 22．(24-25高一上·江苏宜兴·期中)若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知变形为，作出，，直线l图象，由指数函数性质结合图象可得解. 【详解】由已知得，易知， 设直线l：，作出，，直线l图象， 如图：当时，，， 当时，，， 所以不可能成立， 故选: 23．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)已知函数，，且，则（   ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】先作出函数的图象，再逐一分析每一个选项即得解. 【详解】由题得，解得， 所以函数的图象如下图所示： 对于A、B：由图可知若，且， 则，的值可正，可负，也可以为零，故A、B错误； 对于C：当时，， 满足， ，故C错误； 对于D：， 由可得，即，故D正确； 故选：D. 地 城 考点07 对数函数定义域 24．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解指数不等式化简集合，求出不等式的定义域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】由，得，则， 由，得，解得，则， 所以. 故选：C 25．(23-24高一上·江苏常州溧阳·期末)函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据给定的函数，列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，，解得， 所以所求函数的定义域为. 故答案为： 26．(24-25高一上·江苏西交大附中纳米班·期中)下列各组中，函数与表示同一函数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据函数的定义域相同，解析式一致即可判断. 【详解】对于A：函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两函数的定义域不相同，不是同一函数，故B错误； 对于C：函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不相同，不是同一函数，故C错误； 对于D：函数的定义域为，且， 函数的定义域为，且， 两函数的定义域相同，解析式一致，所以是同一函数，故D正确. 故选：D 27．(24-25高一上·江苏西交大附中纳米班·期中)已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）首先求出的定义域，再令，解得即可； （2）利用奇偶性的定义证明即可； （3）首先表示出，再根据对数函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以的定义域为， 对于函数，令，解得或， 所以的定义域为； （2）为奇函数，证明如下： 因为的定义域为， 且， 所以为奇函数； （3）因为，， 所以，则，即， 所以，即，即， 解得或， 所以不等式的解集为. 28．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)设函数的定义域为，函数的定义域为． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求出集合，再求交集可得答案； （2）由题意可得，根据包含关系列不等式组可得答案. 【详解】（1）由得，所以， 若，由得， 解得，所以， 所以； （2）， 若“”是“”的充分不必要条件，则， 因为，所以， 由可得， 所以， 因为，所以，解得. 所以实数的取值范围是． 地 城 考点08 对数（型）函数单调性 29．(24-25高一上·江苏西交大附中纳米班·期中)函数的增区间为 ． 【答案】（或） 【分析】首先求出函数的定义域，再根据对数型复合函数的单调性计算可得. 【详解】对于函数，令，解得， 所以的定义域为， 又函数在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以的单调递增区间为. 故答案为：（或） 30．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知函数且． (1)若在区间上的最大值是2，求实数的值； (2)若函数且在上是增函数，求实数的取值范围： 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程，解得即可； （2）根据函数在各段单调递增且断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）当时在上单调递增， 则，即，解得或（舍去）； 当时在上单调递减， 则，即，解得或（舍去）； 综上可得或； （2）因为且在上是增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 地 城 考点09 指对大小比较 31．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数、均为上的增函数， 则，即. 故选：B. 32．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小. 【详解】由函数在上单调递减， 则，即， 又函数在上单调递减， 则， 综上所述， 故选：A. 33．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，， ， 所以. 故选：B 34．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简求值可比较大小. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：C. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$