专题01 勾股定理 6大高频考点（期中真题汇编，河南专用北师大版2024）八年级数学上学期

专题01 勾股定理 6大高频考点概览 考点01 用勾股定理解三角形 考点02 勾股树问题 考点03 以直角三角形三边为边长的图形面积 考点04 勾股定理的证明方法 考点05 以弦图为背景的计算 考点06 勾股定理的应用 地 城 考点01 用勾股定理解三角形 1．(24-25八上·河南郑州桐柏一中·期中)桐桐早晨从家出发去上学，先向正南方向走了，接着向正东方向走了到达学校，桐桐家到学校的距离为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)如图，在中，已知，，，在平面内有一点，，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 3．(24-25八上·河南郑州新郑·期中)如图是一块长方形草坪，是一条被踩踏的小路，已知米，米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是（） A．3 B．4 C．5 D．6 4．(24-25八上·河南平顶山宝丰县·期中)如图，在长方形中，，，点是长方形内一点，且，点为的中点，连接、、，则的最小值为 ． 5．(24-25八上·河南郑州金水区七校联考·期中)如图，在中，，，，射线与边交于点，分别为、的中点，设点到射线的距离分别为，则线段的最小值为 ，的最大值为 ． 6．(24-25八上·河南郑州枫杨、朗悦慧等九校联考·期中)问题情境：已知的周长为56，斜边长，求的面积． 解法展示： 设的两直角边长分别为a，b，则， ∵，∴，∴______（填式子） ∵在中，，∴______（填式子），∴，∴ ∴（第1步），∴的面积（第2步） 合作探究： （1）填空：填写题目中横线处的内容． （2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是______（填序号）． ①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想． 方法迁移： （3）已知一直角三角形的面积为6，斜边长为5，求这个直角三角形的周长． 7．(24-25八上·河南郑州枫杨、朗悦慧等九校联考·期中)如图，中，，，，点为线段上一个动点，连接，将沿直线翻折得到，线段交直线于点．若为直角三角形，则的长是 ． 8．(24-25八上·河南郑州外国语中学·期中)《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田的面积有多少？设该长方形的对角线为步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 勾股树问题 9．(24-25八上·河南郑州郑东新区玉溪初级中学·期中)下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15 10．(24-25八上·河南郑州九十六中学·期中)下列各组数中不是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．(24-25八上·河南商丘夏邑县城北五乡联考·期中)有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 12．(24-25八上·河南郑州金水区第八中学·期中)下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①9，40，41；②，，（a为正整数）；③13，14，15；④，1，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 13．(24-25八上·河南郑州八校联考·期中)下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10 14．下列各组数能构成勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 地 城 考点03 以直角三角形三边为边长的图形面积 15．(24-25八上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)如图，是腰长为1的等腰直角三角形，以它的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，依次作下去，则的面积为（    ） A． B． C． D． 16．(24-25八上·河南平顶山宝丰县·期中)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（   ） A．25 B．49 C．85 D．100 17．(24-25八上·河南郑州外国语中学·期中)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是4、6、2、4，则最大正方形的面积是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 18．(23-24八下·河南开封东北校区联考·期中)如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ． 19．(23-24八上·河南南阳镇平县·期末)如图，在中，，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则的长为（    ） A．14 B．4 C．3 D．2 地 城 考点04 勾股定理的证明方法 20．(24-25八上·河南郑州九十六中学·期中)背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀： 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，． （1）请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，请验证； 知识运用： （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移： （4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 21．(24-25八上·河南郑州某校·期中)在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（   ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 22．(24-25八上·河南郑州冠军中学·期中)将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看． (1)大正方形的面积可以表示为______，又可以表示为______，从而可得到______． (2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？ 23．(24-25八上·河南南阳南召县·期中)如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．(24-25八上·河南平顶山宝丰县·期中)同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． (1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____； (2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接） (3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____． 25．(24-25八上·河南郑州枫杨、朗悦慧等九校联考·期中)为验证勾股定理，小明进行了如下的思考：如图，在中，，在边上截取，延长到点D，使得，连接，，并延长交于点F，已知，，． (1)在验证之前小明发现和存在着一定的数量关系和位置关系，猜想和的数量关系和位置关系，并证明； (2)通过以上条件验证勾股定理． 26．（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边与斜边c满足关系式，称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴． ∴______ 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证过程． （3）如图3所示，，请你添加适当的辅助线，证明结论． 27．(23-24八下·河南平顶山宝丰县·期中)数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 地 城 考点05 以弦图为背景的计算 28．(24-25八上·河南郑州金水区七校联考·期中)如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．若图中的直角三角形的长直角边为，大正方形的面积为，连接图中四条线段得到如图的新图案，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 29．(24-25八上·河南郑州七校联考·期中)“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 30．(23-24八下·河南商丘永城第五初级中学·期中)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的，如果小正方形的面积为6，大正方形的面积为14，直角三角形中较短直角边的长为a，较长直角边的长为b，那么的值为（    ） A．4 B．6 C． D． 31．(23-24八下·河南新乡红旗区第一中学·期中)【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简使得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式可方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若蝥，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理：（提示：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，是边上的高，，求的值． 32．(23-24八上·河南郑州中原区·期中)如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，那么的值为（    ）      A．36 B．25 C．16 D．49 地 城 考点06 勾股定理的应用 33．(24-25八上·河南郑州桐柏一中·期中)与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 34．(24-25八上·河南郑州外国语中学·期中)我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米． (1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？ (2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？ 35．(24-25八上·河南郑州创新实验学校·期中)（1）勾股定理是一个古老的数学定理，有很多种证明方法，善于思考的小亮利用若干个全等的直角三角形构造出如图②所示的两种方法证明了勾股定理，请你选择其中一种进行证明． （2）如图③，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请设法求出旗杆的高度． 由题意知：， ∵， ∴， 解得， 故旗杆的高度为12米． 36．(24-25八上·河南舞钢·期中)如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 37．(23-24八下·河北唐山丰润区·期中)《醉翁亭记》中写道：“射者中”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（    ）    A． B． C． D． 38．(23-24八下·河南商丘永城第五初级中学·期中)如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ． 39．(24-25八上·河南郑州经开区外国语学校·期中)在一个长米，宽为5米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块从正面看到的高是米的等腰直角三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 40．(24-25八上·河南焦作焦作城乡一体化示范区·期中)如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ． 41．(24-25八上·河南郑州外国语中学·期中)如图，一长方体盒子长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子表面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬的最短路程是 ；    42．(24-25八上·河南郑州八校联考·期中)如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 43．(23-24八下·河南新乡长垣第一初级中学·期中)《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理 6大高频考点概览 考点01 用勾股定理解三角形 考点02 勾股树问题 考点03 以直角三角形三边为边长的图形面积 考点04 勾股定理的证明方法 考点05 以弦图为背景的计算 考点06 勾股定理的应用 地 城 考点01 用勾股定理解三角形 1．(24-25八上·河南郑州桐柏一中·期中)桐桐早晨从家出发去上学，先向正南方向走了，接着向正东方向走了到达学校，桐桐家到学校的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据题意和为直角边构成的直角三角形的斜边长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，根据勾股定理得， 桐桐家到学校的距离． 故选：B． 2．(24-25八上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)如图，在中，已知，，，在平面内有一点，，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了勾股定理，注意分类讨论的思想： 利用勾股定理求出，再分类讨论，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： ∵， ∴； ∵， ∴ 综上所述，当是直角三角形时，的长为或， 故答案为：或． 3．(24-25八上·河南郑州新郑·期中)如图是一块长方形草坪，是一条被踩踏的小路，已知米，米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：米，米， （米）， （米）， 故选：D． 4．(24-25八上·河南平顶山宝丰县·期中)如图，在长方形中，，，点是长方形内一点，且，点为的中点，连接、、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，取的中点，连接，，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵，为的中点 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在长方形中，，， ∴， ∴； ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 5．(24-25八上·河南郑州金水区七校联考·期中)如图，在中，，，，射线与边交于点，分别为、的中点，设点到射线的距离分别为，则线段的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查与三角形中线有关的面积的计算，勾股定理的应用，垂线段最短，连接，根据面积关系可以求得，得到，当最小为边上高时，即可求出的最大值，熟练掌握等面积法的应用是解题的关键 ． 【详解】解：如图，连接， 过作垂线，垂足为点，过作垂线，垂足为点，即，， 则，， ∵分别为、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设边上的高为，则， ∴， 当最小时，即，此时时，的值最大，最大值为， 故答案为：，． 6．(24-25八上·河南郑州枫杨、朗悦慧等九校联考·期中)问题情境：已知的周长为56，斜边长，求的面积． 解法展示： 设的两直角边长分别为a，b，则， ∵，∴，∴______（填式子） ∵在中，，∴______（填式子），∴，∴ ∴（第1步），∴的面积（第2步） 合作探究： （1）填空：填写题目中横线处的内容． （2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是______（填序号）． ①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想． 方法迁移： （3）已知一直角三角形的面积为6，斜边长为5，求这个直角三角形的周长． 【答案】（1）；；（2）①；（3）12 【分析】（1）由完全平方公式和勾股定理求出，即可解决问题； （2）体现整体思想，即可得出结论； （3）由勾股定理和三角形的面积公式列出二元二次方程组，利用整体思想求出，即可解决问题． 本题考查了二元二次方程组的应用、勾股定理、完全平方公式以及三角形的面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理和三角形面积公式是解题的关键，属于中考常考题型． 【详解】解：（1）设的两直角边长分别为，， 则， ， ， ， 在中，， ， ， ， （第1步）， 的面积（第2步）， 故答案为：，； （2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是整体思想， 故答案为：①； （3）设直角三角形的两直角边分别是、，且、均为正数）， 由题意得：， 解得：， ∵斜边长为， 这个直角三角形的周长． 7．(24-25八上·河南郑州枫杨、朗悦慧等九校联考·期中)如图，中，，，，点为线段上一个动点，连接，将沿直线翻折得到，线段交直线于点．若为直角三角形，则的长是 ． 【答案】1或 【分析】根据题意可分三种情况：当时，当时，利用勾股定理来求解． 【详解】解：当时，过点作，交的延长线于点，如图 ， ， 四边形是矩形， ，。 将沿直线翻折得到， ，． 在中 ． 设， 则，， ， 整理得， 解得，（舍去）， 所以． 当时，此时点与点重合， 将沿直线翻折得到， ，， 设， 则，， ， 整理得， 解得， 即． 当时， 因为在中，， 所以，翻折后，不可能为，此种情况不存在． 综上所述，的长是或． 【点晴】本题考查了翻折的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握分类思想是解答关键． 8．(24-25八上·河南郑州外国语中学·期中)《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田的面积有多少？设该长方形的对角线为步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设该长方形的对角线为步，则该长方形的宽为步，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设该长方形的对角线为步，则该长方形的宽为步， 由勾股定理得， 故选：B． 地 城 考点02 勾股树问题 9．(24-25八上·河南郑州郑东新区玉溪初级中学·期中)下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C，，不是勾股数，不符合题意； D，因为，所以是勾股数，符合题意． 故选：D． 10．(24-25八上·河南郑州九十六中学·期中)下列各组数中不是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股数，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合题意； B、，但不是整数，不是勾股数，符合题意； C、，是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，不符合题意， 故选：B． 11．(24-25八上·河南商丘夏邑县城北五乡联考·期中)有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及规律型：图形的变化类，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， 以此类推，“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故选A． 12．(24-25八上·河南郑州金水区第八中学·期中)下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①9，40，41；②，，（a为正整数）；③13，14，15；④，1，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数进行解答即可． 【详解】解：①，且9，40，41都是正整数，是勾股数，符合题意； ②，且，，（a为正整数）都是正整数，是勾股数，符合题意； ③，不是勾股数，不符合题意； ④，1，不都是正整数，不是勾股数，不符合题意． 综上所述，有2组符合题意． 故选：B． 13．(24-25八上·河南郑州八校联考·期中)下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，首先勾股数要满足都是正整数，其次勾股数中两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，2，3不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵， ∴4，2，3不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵0.3，0.4，0.5不是整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，故此选项不符合题意； D、∵， ∴6，8，10是勾股数，故此选项符合题意； 故选：D． 14．下列各组数能构成勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．判断一组数是否为勾股数时，必须满足勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，但不是正整数，故选项不合题意； B、，不能构成直角三角形，故选项不合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项不合题意； D、，能构成直角三角形，是整数，故选项符合题意； 故选：D． 地 城 考点03 以直角三角形三边为边长的图形面积 15．(24-25八上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)如图，是腰长为1的等腰直角三角形，以它的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，依次作下去，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，勾股定理，根据勾股定理总结出规律是解题的关键． 根据勾股定理，得出三角形的面积变化规律为，计算即可得到答案． 【详解】解：∵是腰长为的等腰直角三角形， ∴ ； ∵以为直角边作第二个等腰直角三角形， ∴， ； 同理可得第三个等腰直角三角形的面积为：， 以此类推，第n个三角形的面积为：； ∴的面积为：， 故选： A． 16．(24-25八上·河南平顶山宝丰县·期中)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（   ） A．25 B．49 C．85 D．100 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 故选：D． 17．(24-25八上·河南郑州外国语中学·期中)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是4、6、2、4，则最大正方形的面积是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，由勾股定理得出，，，即最大正方形E的面积为． 【详解】解：如图，分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，    则由勾股定理得：，，， 即最大正方形E的面积为：． 故选：C． 18．(23-24八下·河南开封东北校区联考·期中)如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ， ． 故答案为：12 19．(23-24八上·河南南阳镇平县·期末)如图，在中，，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则的长为（    ） A．14 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．直接根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ 故选：D． 地 城 考点04 勾股定理的证明方法 20．(24-25八上·河南郑州九十六中学·期中)背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀： 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，． （1）请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，请验证； 知识运用： （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移： （4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）41；（3）图见解析；16千米．（4）20 【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可得出答案． （2）连接，作于点E，根据得到，从而得到千米，利用勾股定理求得两地之间的距离． （3）连接，作的垂直平分线交于P，P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． （4）根据轴对称﹣最短路线的求法即可求出． 【详解】解：（1） ，，， 它们满足的关系式为：， ∴； （2）如图2①，连接，作于点E， ∵， ∴， ∴（千米）， ∴（千米）， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41； （3）如图2所示： 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米． （4）如图3， 先作出点C关于的对称点F，连接，过点F作与E，即：就是代数式的最小值． 代数式的几何意义是线段上一点到点D，C的距离之和， 而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线段的长，连线段与线段的交点就是它取最小值时的点， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值， ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 21．(24-25八上·河南郑州某校·期中)在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（   ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想是解答本题的关键． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 22．(24-25八上·河南郑州冠军中学·期中)将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看． (1)大正方形的面积可以表示为______，又可以表示为______，从而可得到______． (2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？ 【答案】(1)，， (2)能，见解析 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，勾股定理的证明： （1）利用正方形的面积公式和分割法求面积，两种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）根据两个大正方形的面积相等，得到图1中的小正方形的面积，等于图2中两个小正方形面积之和，即可得证． 【详解】（1）解：大正方形的边长为：， ∴大正方形的面积为：， ∵大正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为：， ∴， ∴，即：； 故答案为：，，； （2）解：能； 由图（2）可知：大正方形的面积等于2个长方形的面积加上两个小正方形的面积，则：， 由（1）可知：， ∴， ∴． 23．(24-25八上·河南南阳南召县·期中)如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、勾股定理的证明、平行线的性质、完全平方公式、梯形和三角形的面积等知识，证明三角形全等以及发现图形中的边角关系是解答的关键．根据全等三角形的判定可判断①正确；再根据全等三角形的性质和平角定义可判断②正确；根据梯形的面积公式可判断③正确；根据可判断④正确，综合即可作出选择． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，，，， ∴四边形的面积是，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故④正确， 综上，正确的结论有4个， 故选：C． 24．(24-25八上·河南平顶山宝丰县·期中)同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． (1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____； (2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接） (3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)76 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，然后根据线段的和差求解即可； （2）连接，根据正方形的面积与四边形的面积相等即可证明； （3）根据外延部分的4个三角形全等,且,由勾股定理求得,根据风车的外围周长是，计算求解即可， 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 小正方形的边长为：， 故答案为：3； （2）（答案不唯一） 证明：如图，连接， ， 正方形的面积为， ，，， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 四边形的面积为：， 正方形的面积与四边形的面积相等， ， ， ， ． （3）解：如图，以为边的正方形面积为61, , 由题意知，外延部分的4个三角形全等，图1中较短的直角边长为5， ， ， ， 这个风车的外围周长是： 故答案为：76 25．(24-25八上·河南郑州枫杨、朗悦慧等九校联考·期中)为验证勾股定理，小明进行了如下的思考：如图，在中，，在边上截取，延长到点D，使得，连接，，并延长交于点F，已知，，． (1)在验证之前小明发现和存在着一定的数量关系和位置关系，猜想和的数量关系和位置关系，并证明； (2)通过以上条件验证勾股定理． 【答案】(1)，，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的证明等知识， （1）先证明，得，则∠，进而即可得解； （2）由面积公式可得，化简整理即可得解； 证明是解题的关键． 【详解】（1），．理由如下： ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． （2）∵ ， 又∵， ∴， ∴． 26．（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边与斜边c满足关系式，称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴． ∴______ 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证过程． （3）如图3所示，，请你添加适当的辅助线，证明结论． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了用数形结合来证明勾股定理，三角形全等的判定和性质，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． （1）化简可得结论； （2）根据四个全等的直角三角形的面积中间小正方形的面积大正方形的面积，即可证明； （3）延长，过E作于F，证明，得出，，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴， ∴， ∴， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）证明：由图得，大正方形面积， 整理得，， 即； （3）如图，延长，过E作于F， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．(23-24八下·河南平顶山宝丰县·期中)数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键． （）先证明，得出，然后利用面积法证明即可； （）利用面积法计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴梯形的面积， 梯形的面积， ∴， 化简可得：； ； （2）解：如图所示： 大正方形的面积； 大正方形的面积， ∴． 地 城 考点05 以弦图为背景的计算 28．(24-25八上·河南郑州金水区七校联考·期中)如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．若图中的直角三角形的长直角边为，大正方形的面积为，连接图中四条线段得到如图的新图案，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得，，，，进而由勾股定理可得，即得，可得，最后用大正方形的面积减去个空白部分三角形的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：． 29．(24-25八上·河南郑州七校联考·期中)“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 【答案】(1)①见解析；②； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． ①用两种不同的方法去求正方形的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． 设，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①证明：中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 又四个直角三角形的面积为：， 大正方形的面积为： 又大正方形的边长为c， 大正方形的面积还可以表示为， ； ②解：由①可知， ， ， ， ， ， 舍负， 即直角三角形两直角边之和为； （2）解：设， ， 外围轮廓实线的周长为48， ， 则 在中， ， 解得， 即， ． 30．(23-24八下·河南商丘永城第五初级中学·期中)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的，如果小正方形的面积为6，大正方形的面积为14，直角三角形中较短直角边的长为a，较长直角边的长为b，那么的值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式及其变形，由四个全等的直角三角形，大正方形，小正方形之间的面积关系得出，，进而得出，即可求出答案． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 故选：A． 31．(23-24八下·河南新乡红旗区第一中学·期中)【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简使得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式可方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若蝥，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理：（提示：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，是边上的高，，求的值． 【答案】（1），，，，证明见解析；（2） 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）根据是边上的高，，代入数值进行计算，即可作答． 本题考查了证明勾股定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 化简得：； （2）设 ∵是边上的高， ∴ ∴ 即 解得． ∴． 32．(23-24八上·河南郑州中原区·期中)如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，那么的值为（    ）      A．36 B．25 C．16 D．49 【答案】B 【分析】注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和之间的关系．先求出四个直角三角形的面积，再根据直角三角形的边长求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积13，小正方形的面积是1， ∴四个直角三角形的面积和是，即， 即，， ∴． 故选：B． 地 城 考点06 勾股定理的应用 33．(24-25八上·河南郑州桐柏一中·期中)与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 米，米， 米 （米）． 答：处与地面的距离是米； （2）在中， 米，（米）， 米 （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 34．(24-25八上·河南郑州外国语中学·期中)我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米． (1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？ (2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？ 【答案】(1)教学楼墙面破损处距离地面的高度为； (2)梯子底部需要向左移动． 【分析】（）利用勾股定理求出的长度，则即可求解； （）由题意得梯子顶端离地面，利用勾股定理求出梯子底部离墙角处的距离，再相减即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 由勾股定理得：， ∴教学楼墙面破损处距离地面的高度， 答：教学楼墙面破损处距离地面的高度为； （2）解：由题意得，梯子顶端离地面， ∴梯子底部离墙角处为， ∴梯子底部需要向左移动， 答：梯子底部需要向左移动． 35．(24-25八上·河南郑州创新实验学校·期中)（1）勾股定理是一个古老的数学定理，有很多种证明方法，善于思考的小亮利用若干个全等的直角三角形构造出如图②所示的两种方法证明了勾股定理，请你选择其中一种进行证明． （2）如图③，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请设法求出旗杆的高度． 【答案】（1）见解析；（2）12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的证明，正确运用勾股定理是解题关键． （1）证明：方法一：连接，利用梯形面积计算即可．方法二：利用正方形面积计算即可； （2）由题意知：，由勾股定理得，再计算即可． 【详解】（1）证明：方法一：如图②，连接， 梯形的面积的面积的面积，又梯形的面积， ∴， ∴． 方法二： 正方形的面积=正方形的面积的面积，又正方形的面积， ∴． （2）如图③： 由题意知：， ∵， ∴， 解得， 故旗杆的高度为12米． 36．(24-25八上·河南舞钢·期中)如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝砸不到小车 【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】如下图所示， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， 树枝砸不到小车． 37．(23-24八下·河北唐山丰润区·期中)《醉翁亭记》中写道：“射者中”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，箭在投壶外面部分的最大长度为， 最小长度为， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能是， 故选：． 38．(23-24八下·河南商丘永城第五初级中学·期中)如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了勾股定理的应用和方位角，根据题意，可得，利用路程速度时间，分别算出的长度，在直角中，利用勾股定理计算出． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：26． 39．(24-25八上·河南郑州经开区外国语学校·期中)在一个长米，宽为5米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块从正面看到的高是米的等腰直角三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 【答案】 【分析】根据几何体的展开图，利用两点之间线段最短计算．本题考查了几何体的展开图中计算最短距离，熟练掌握几何展开图是解题的关键． 【详解】解：∵木块的主视图的高是米的等腰直角三角形， ∴等腰直角三角形的腰为2，斜边长为， 将木块展开如下， ∴（米），， ∴（米）， 故答案为：． 40．(24-25八上·河南焦作焦作城乡一体化示范区·期中)如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是； 故答案为： 41．(24-25八上·河南郑州外国语中学·期中)如图，一长方体盒子长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子表面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬的最短路程是 ；    【答案】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【详解】解：设定字母如图所示：    ①如图1，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离，    在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离，    在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，    在中，由勾股定理得：． ∵ ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：． 42．(24-25八上·河南郑州八校联考·期中)如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可直接进行求解 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D 43．(23-24八下·河南新乡长垣第一初级中学·期中)《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意利用勾股定理可直接进行列式求解． 【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高为尺， 由题意得：； 故选：A． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$