专题03 轴对称 10大高频考点（期中真题汇编，河南专用人教版2024）八年级数学上学期

专题03 全等三角形 10大高频考点概览 考点01 轴对称图形的识别 考点02 折叠问题 考点03 线段垂直平分线的性质 考点04 画轴对称图形 考点05 坐标与轴对称 考点06 等腰三角形的性质 考点07 等腰三角形的性质和判定 考点08 利用等边三角形的性质求解 考点09 等边三角形的判定和性质 考点10 含30度角的直角三角形 地 城 考点01 轴对称图形的识别 1．(24-25八上·河南漯河召陵区·期中)第九届亚洲冬季运动会是继北京冬奥会后我国举办的又一重大综合性国际冰雪运动盛会，也是自1996年后哈尔滨第二次承办亚冬会．目前已有34个国家和地区奥委会报名参加第九届亚冬会，有望创历届之最．其中单板滑雪大跳台是比赛项目之一，下面的比赛项目图标组成的四个图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)在每一年秋季开学后，各个学校都要组织学生参加常规体测，在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（   ） A．坐位体前屈 B．立定跳远 C．仰卧起坐 D．引体向上 3．(24-25八上·河南商丘虞城县·期中)在下列交通标志中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一，历史悠久，在长期发展过程中形成了粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色．下列剪纸是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)下列图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25八上·河南商丘虞城县·期中)在下列交通标志中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25八上·河南驻马店汝南县·期中)下面四个艺术字中，是轴对称图形的是（   ） A．最 B．美 C．汝 D．南 地 城 考点02 折叠问题 9．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图，四边形中，，，点E、F分别在、上，将沿翻折，得，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25八上·河南许昌建安区第三中学·期中)如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（   ）． A． B． C． D． 11．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？ 【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系：________； 【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点，连接．发现：由于，……，根据发现，请证明（1）中所猜想的结论； 【应用结论】（3）在中，已知，那么、、有怎样的大小关系？________（用“”表示出来） 【类比探究】（4）如图3，在中，．小洛同学运用类似的操作进行探究：折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接．请证明：． 12．(24-25八上·河南驻马店西平县·期中)如图，将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为 ． 13．(24-25八上·河南洛阳地矿双语中学·期中)在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解． 如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）． (2)性质探究． 如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． (3)拓展应用． 如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为 ． 14．(24-25八上·河南三门峡灵宝·期中)如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．(24-25八上·河南南阳西峡县·期中)如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（   ） A．1.9 B． C． D．2 16．(24-25八上·河南鹤壁·期中)如图所示，一个直角三角形纸片，，，，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在边上的点处，为折痕，则三角形的周长为 ． 地 城 考点03 线段垂直平分线的性质 17．(24-25八上·河南济源轵城镇联合中学·)已知（）， 用尺规作图的方法在上取一点， 使，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 18．(24-25八上·河南许昌建安区第三中学·期中)如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（   ）    A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 19．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图，中，，的垂直平分线交于点D，若，．则的周长为（   ） A．6 B．10 C．12 D．8 20．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，则的周长是（   ） A． B． C． D． 21．(24-25八上·河南驻马店平舆县·期中)尺规作图：按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知，求作射线，使它平分； (2)如图2，已知，用尺规在上确定一点P，使． 22．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图，的边在数轴上，的垂直平分线分别交，于点，，点与重合，点与1重合，连接．若的周长为24，则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 23．(24-25八上·河南漯河实验中学·期中)如图，等腰的底边，面积为18，直线是腰的垂直平分线，若点D在上运动，点F在边上运动，则的最小值为 ． 24．(24-25七上·河南商丘·期中)如图，在中，，垂直平分交于点．若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 画轴对称图形 25．(24-25八上·河南郑州桐柏一中·期中)如图，的三个顶点的坐标分别为、、． (1)在图中作出关于轴对称的，并写出点、、的坐标（点、、的对应点分别是点、、）； (2)求的面积． 26．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积：________； (2)在网格图中画出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上找到点，使的周长最小，画出此时． 27．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． (1)画出关于轴对称的； (2)点的坐标为______，点的坐标为_______； (3)求的面积． 28．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，分别在格点上，，．    (1)在网格中画出平面直角坐标系，顶点的坐标为_________； (2)连接，，，作出关于轴对称的图形（点，，的对应点分别为，，）； (3)在轴上找出一点，使得最小，请在图中标出点的位置． 29．(24-25八上·河南周口西华县·期中)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，A，B的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格图中作出平面直角坐标系； (2)请作出关于x轴对称的； (3)请画一条直线m，使直线上各点纵坐标都是． 30．(24-25八上·河南漯河郾城区·期中)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)作出关于轴对称的，再作出关于轴对称的； (3)将内一点按照（2）中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 ． 31．(24-25八上·河南洛阳·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：______； (3)在（2）中的直线上求一点，使得周长最小．（保留作图痕迹） 32．(24-25八上·河南驻马店西平县·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)作出与关于x轴对称的图形； (2)作出与关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的图形，并写出点，，的坐标． 地 城 考点05 坐标与轴对称 33．(24-25八上·河南驻马店新蔡县·期中)在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则 ． 34．(24-25八上·河南郑州经开区外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则 ． 35．(24-25八上·河南郑州桐柏一中·期中)在解放军建军90周年朱日和阅兵中，仰望广袤苍穹，17架直-19直升机组成“八一”标识，12架直-19直升机和12架直-10直升机排出“90”字样列阵长空，象征人民军队走过了90年的光辉历程．如图，以飞机，所在直线为轴、队形的对称轴为轴，建立平面直角坐标系．若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（   ） A． B． C． D． 36．(24-25八上·河南商丘民权县·期中)在平面直角坐标系中，如果点和关于轴对称，则： ． 37．(24-25八上·河南郑州冠军中学·期中)在下图直角坐标系中，已知点A坐标． (1)画出关于y轴对称的，并写出，，的坐标； (2)求． 38．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)已知点，，则下列叙述：①轴；②关于y轴对称；③关于x轴对称；④；正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 39．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知的顶点坐标分别为，，，点D为点A关于y轴的对称点，在格点上取点F，使且，写出符合要求的点F的坐标 ． 40．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第2025次变换后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点06 等腰三角形的性质 41．(24-25八上·河南开封集英中学·期中)如图，在中，，，则的度数为 ． 42．(24-25八上·河南安阳第五中学·期中)如图，若，，在上，，在上，且，，则 ． 43．(24-25八上·河南新乡辉县第一初级中学·期中)等腰三角形的一个外角等于，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为（  ） A． B． C． D．或 44．(24-25八上·河南新乡辉县第一民族学校·期中)如图所示，在中，已知，，下列结论正确的是 （    ） A． B． C． D． 45．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 46．(24-25八上·河南商丘民权县民权县双塔乡第二初级中学·期中)如图，在中， 的垂直平分线交于N，交于M． (1)若求的度数． (2)连接，若 ①求的周长； ②在直线上是否有在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由． 47．(24-25八上·河南商丘民权县民权县双塔乡第二初级中学·期中)如图，在中，点在边上运动（不与重合），连接，作，交边于点． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点的运动过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 48．(24-25八上·河南驻马店平舆县·期中)如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，且．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 49．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图，在中，，，分别是，上的点，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，连接．若，求证：． 50．(24-25八上·河南洛阳地矿双语中学·期中)如图，在中，，于点D，在上取一点E，使，连接．若，求的度数．    51．(24-25八上·河南许昌第一中学·期中)下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整．已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：（ 1 ）． 证明：， （ 2 ）． ∵，分别是，的角平分线， ，（ 3 ）． 即． 在和中， ． （ 4 ）． 52．(24-25八上·河南洛阳伊川县·期中)如图，等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 地 城 考点07 等腰三角形的性质和判定 53．(24-25八上·河南濮阳油田第十八中学·期中)（1）情境观察： 如图①，中，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你直接写出的长 ． 54．(24-25八上·河南辉县太行中学·期中)如图，在同一直线上有四个点B、F、C、E，点A、D在直线同一侧，如果垂足为B，垂足为E，且，．连接、相交于点G． 求证： (1)． (2)； 55．(24-25八上·河南安阳林州·期中)已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），且满足． (1)如图2，若，且，则 ， ； (2)求证：． 56．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)在中，，在上截取，连接．在的外部作，且交的延长线于点． (1)小明画出图1，并猜想．他证明的简要过程如下： 小明的证明： 在和中， 可得．（ASA） 请你判断小明的证明是否正确并说明理由； (2)借助图1，求证：； (3)小华画出图2，并猜想．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：_________．”你写出小亮所说的条件，并证明：． 57．(24-25七上·河南商丘·期中)八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中一组全等三角形________； 【理解与应用】 （2）如图2，在中，为中线，为上一点，、交于点，且．求证：； （3）如图3，是的中线，且，求证；． 58．(24-25八上·河南漯河实验中学·期中)如图①，中，，的平分线交于点，过点作交于． (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：与之间有怎样的关系． (2)如图②，若，其他条件不变，在第（）问中与间的关系还存在吗？ (3)如图③，若中的平分线与平分线交于，过点作，交于，交于，这时与关系又如何？请直接写出结果． 59．(24-25八上·河南商丘多校联考·期中)如图，中，，，，，垂足为A，那么 ． 60．(24-25八上·河南南阳·期中)综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．       图1 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________； A．　B．　C．　D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （4）如图3，若在（3）的基础上，增加平分，，，则________．              　图3 地 城 考点08 利用等边三角形的性质求解 61．(24-25八上·河南安阳第五中学·期中)（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、，则、、的数量关系为______ （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点（、、三点互不重合）点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，求的度数． 62．(24-25八上·河南新乡辉县城北中学·期中)如图，已知点、、在同一条直线上， 和 均为等边三角形，连结、，与交于点，与交于点． (1)求证： (2)求的大小． 63．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图，是等边三角形，点D、E、F分别在、、上，若，，则（   ） A． B． C． D． 64．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在等边三角形中，是的中线，点E为的中点，，P是上一个动点，则的最小值是（） A． B．2 C． D．3 65．(24-25八上·河南驻马店平舆县·期中)如图，已知是等边三角形，D是上一点，E是上一点，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)过点C作于点G，求证：． 66．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图，某公园的入口可以抽象成一个等边三角形，立柱的端点在上，立柱的端点在上，且两立柱均与地面垂直．若，米，米，求的长度． 67．(24-25八上·河南漯河郾城区·期中)是高为，面积为的等边三角形，点P是过点A的对称轴上一动点，当点D为边中点时．则的最大值是 ；的最小值是 ． 68．(24-25八上·河南漯河郾城区·期中)如图，和均为等边三角形，与，分别交于点，点，与交 于点，连接，则下列结论中不正确的是(    ) A． B． C．平分 D． 69．(24-25八上·河南洛阳·期中)如图，，及都是等边三角形，，分别为，的中点．若，则多边形外围的周长是(   ) A．12 B．14 C．15 D．16 70．(24-25八上·河南济源济水一中·期中)如图，是周长为的等边三角形，D是上一点，，交于点E，则线段 ． 地 城 考点09 等边三角形的判定和性质 71．(24-25八上·河南信阳淮滨县台头乡初级中学·期中)如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 72．(24-25八上·河南许昌建安区第三中学·期中)如图，中，，，在的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设与的交点为F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)小蚂蚁在爬行过程中，与所成的的大小有无变化？请说明理由． 73．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)数学活动课上，张老师带领同学们研究动点问题中线段长度的变化规律．如图1，△是边长为8的等边三角形，，分别是边和边延长线上的动点，且，连接交边于点 (1)如图2，过点作交边于点，洛洛说：“在点，运动的过程中，线段和的长度也随之变化，但始终有．”你同意洛洛的说法吗？若同意，请证明；若不同意，请说明理由； (2)如图3，过点作于点，阳阳提出了一个新的问题：“在点，运动的过程中，线段的长度是否发生变化？”请你结合（1）中的结论帮阳阳解决这个问题，如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 74．(24-25八上·河南安阳第八中学·期中)已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 75．(24-25八上·河南濮阳范县·期中)在等边中，点在上，点在的延长线上，且． (1)如图①，若为的中点，求证：． (2)如图②，若为上任一点（端点除外），是否仍然成立？试说明理由． (3)等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，求的长． 76．(24-25八上·河南濮阳范县·期中)如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从,两点出发，分别沿，方向匀速移动． (1)若点的运动速度是，点的运动速度是，当点到达点时，，两点都停止运动，设运动时间为，当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，且当点到达点时，，两点停止运动，设点的运动时间为，则当为何值时，是直角三角形？ 77．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为．过点作于点，连接交于点． (1)________，________．（用含t的式子表示） (2)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 78．(24-25八上·河南南阳社旗县·期中)【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材第页的数学活动中有这样一段描述： 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 （1）如图，四边形中，，．      如图，四边形中，，． 如图、图所示的四边形中，其中是筝形的有________（填序号）． 【性质探究】 （2）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等；关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整； 已知：如图，在筝形中，，． 求证：________． 证明： 由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等． （3）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：有一条对角线平分一组对角． 结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）： 【拓展应用】 （4）如图，在中，，，点分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 79．(24-25八上·河南漯河郾城区·期中)如图，中， ，P为直线上一点，E为直线上一点，连接，使得． (1)当，填空： ①如图1，点P为线段的中点时，线段与的数量关系 ； ②如图2，点P为直线上任一点时，线段与的数量关系是 ； (2)当时，如图3，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 地 城 考点10 含30度角的直角三角形 80．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在中，，交于点D，，则长为（   ） A．7.5 B．8 C． D．9 81．(24-25八上·河南信阳平桥区·期中)如图，有一块土地形状是三角形，其中 (1)要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请用无刻度直尺和圆规画出分法．（保留作图痕迹，不写作法） (2)请说明你分得的这三块地大小、形状都相同的理由． 82．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图，在四边形中，是它的一条对角线，，， (1)写出图中相等的角，并说明理由； (2)已知，，求点到的距离． 83．(24-25八上·河南南阳桐柏县·期中)如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 84．(24-25八上·河南信阳罗山县·期中)过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”． (1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 （只填写序号）； ①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形 (2)如图，中，，为边上的高，若为的“友好分割线”，求长度； (3)在中，，，直接写出被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数． 85．(24-25八上·河南洛阳地矿双语中学·期中)如图，在中，，． (1)在内找一点D，使得点D到、两边的距离相等，且；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)若交于点E，，求点E到的距离． 86．(24-25八上·河南安阳五中教育集团·期中)已知，如图，在中，，，，交于点，，求线段的长． 87．(24-25八上·河南商丘永城实验中学·期中)如图，是等边三角形，于点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形 10大高频考点概览 考点01 轴对称图形的识别 考点02 折叠问题 考点03 线段垂直平分线的性质 考点04 画轴对称图形 考点05 坐标与轴对称 考点06 等腰三角形的性质 考点07 等腰三角形的性质和判定 考点08 利用等边三角形的性质求解 考点09 等边三角形的判定和性质 考点10 含30度角的直角三角形 地 城 考点01 轴对称图形的识别 1．(24-25八上·河南漯河召陵区·期中)第九届亚洲冬季运动会是继北京冬奥会后我国举办的又一重大综合性国际冰雪运动盛会，也是自1996年后哈尔滨第二次承办亚冬会．目前已有34个国家和地区奥委会报名参加第九届亚冬会，有望创历届之最．其中单板滑雪大跳台是比赛项目之一，下面的比赛项目图标组成的四个图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)在每一年秋季开学后，各个学校都要组织学生参加常规体测，在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（   ） A．坐位体前屈 B．立定跳远 C．仰卧起坐 D．引体向上 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、C的图形均不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项D的图形能找到一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形． 故选：D． 3．(24-25八上·河南商丘虞城县·期中)在下列交通标志中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 4．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 5．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一，历史悠久，在长期发展过程中形成了粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色．下列剪纸是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 6．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)下列图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各个图形分析判断即可得解． 【详解】解：A、此图形不是轴对称图形，不符合题意； B、此图形不是轴对称图形，不符合题意； C、此图形是轴对称图形，符合题意； D、此图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 7．(24-25八上·河南商丘虞城县·期中)在下列交通标志中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论，熟练掌握其概念并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．(24-25八上·河南驻马店汝南县·期中)下面四个艺术字中，是轴对称图形的是（   ） A．最 B．美 C．汝 D．南 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的概念“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线是它的对称轴”，逐项判定即可，解题关键是熟记轴对称图形的概念． 【详解】解：A、不存在一条直线，使得图形沿这一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿图形中的一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； C、不存在一条直线，使得图形沿这一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、不存在一条直线，使得图形沿这一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 地 城 考点02 折叠问题 9．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图，四边形中，，，点E、F分别在、上，将沿翻折，得，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质及折叠的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．依据平行线的性质，即可得到，，再根据折叠的性质，即可得到． 【详解】解：如图，延长交于点M， ，， ， ， ， 由折叠性质可得， 故选：A． 10．(24-25八上·河南许昌建安区第三中学·期中)如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理， 根据折叠的性质和平角的定义可知，再根据三角形内角和定理得，将三个式子结合可得答案． 【详解】解：根据折叠可知， 即． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 11．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？ 【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系：________； 【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点，连接．发现：由于，……，根据发现，请证明（1）中所猜想的结论； 【应用结论】（3）在中，已知，那么、、有怎样的大小关系？________（用“”表示出来） 【类比探究】（4）如图3，在中，．小洛同学运用类似的操作进行探究：折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接．请证明：． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质等知识点，灵活运用这些性质是解决此题的关键． （1）由图形可猜想； （2）利用三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）由（2）知，长边对大角即可得解； （4）先由折叠得出,再利用三角形三边关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：由图观察猜想得：, 故答案为：； （2）证明：由折叠可得, , , ； （3）解：由（2）知，长边对大角， 又∵， ∴， 故答案为：； （4）证明：由折叠知，, 在中，, , ． 12．(24-25八上·河南驻马店西平县·期中)如图，将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为 ． 【答案】/41度 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了折叠的性质．先根据折叠的性质得到，，，，则利用平角的定义得到，，再利用三角形内角和定理得到，则可计算出，然后根据三角形内角和定理可计算出的度数． 【详解】解：∵将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段， ，，，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 故答案为：． 13．(24-25八上·河南洛阳地矿双语中学·期中)在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解． 如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）． (2)性质探究． 如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． (3)拓展应用． 如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】(1)是 (2)见详解 (3)或或． 【分析】（1）根据“筝形”的定义判断即可； （2）结论：（答案不唯一）．利用全等三角形的判定和性质证明即可； （3）①根据“筝形”的定义判断即可；②分三种情形：，，，分别求解可得结论． 本题属于四边形综合题，考查了新定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和，翻折变换等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 四边形是“筝形”． 故答案为：是； （2）解：结论：（答案不唯一）． 理由：如图，连接． ，， ． ； （3）解：∵折叠， ，，， ， ∵是锐角的高， ， ， 当时， ， ， ， ， 当时，则， ∴， ∵折叠， ∴， ∵是锐角的高， ∴； 当时，则， ∴， ∵折叠， ∴ ∵是锐角的高， ∴； 综上所述，满足条件的的值为或或． 14．(24-25八上·河南三门峡灵宝·期中)如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理以及折叠的性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键．由折叠的性质可求得，，在中，利用外角可求得，则可求得答案． 【详解】解：由折叠可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 15．(24-25八上·河南南阳西峡县·期中)如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（   ） A．1.9 B． C． D．2 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的性质和折叠的性质是解决问题的关键． 如图，延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明，可得，再证明，可得． 【详解】解：如图，延长和相交于点， 由翻折可知： ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 故选：D． 16．(24-25八上·河南鹤壁·期中)如图所示，一个直角三角形纸片，，，，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在边上的点处，为折痕，则三角形的周长为 ． 【答案】20 【分析】此题主要考查了翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口．根据折叠的性质知，，，根据的长，求出的长，然后求出结果即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知：，， ∵， ∴， ∴三角形的周长为： ， 故答案为：20． 地 城 考点03 线段垂直平分线的性质 17．(24-25八上·河南济源轵城镇联合中学·)已知（）， 用尺规作图的方法在上取一点， 使，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，根据题意可得，则点在线段的垂直平分线上，即可求解． 【详解】解：，， ， 根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在线段的垂直平分线上， 故可判断C选项正确． 故选：C． 18．(24-25八上·河南许昌建安区第三中学·期中)如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（   ）    A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理， 根据三角形三边的垂直平分线的交点的特点解答即可． 【详解】解：因为三角形三条边的垂直平分线交于一点，且到三个顶点的距离相等， 所以供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点． 故选：A． 19．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图，中，，的垂直平分线交于点D，若，．则的周长为（   ） A．6 B．10 C．12 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，属较简单题目．解答此题的关键是求出的周长，这也是此题的突破点．先根据线段垂直平分线的性质求出，再通过等量代换求出即可求解． 【详解】解： 的垂直平分线交于点D，， ， ， 的周长， ，， 的周长． 故答案为：9． 20．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据题意，则，根据，即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 21．(24-25八上·河南驻马店平舆县·期中)尺规作图：按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知，求作射线，使它平分； (2)如图2，已知，用尺规在上确定一点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线和线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． （1）根据角平分线的作法作的角平分线即可； （2）作的垂直平分线，交于点P，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，射线为所求： （2）解：如图所示，点为所求： 直线是的垂直平分线， ， ． 22．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图，的边在数轴上，的垂直平分线分别交，于点，，点与重合，点与1重合，连接．若的周长为24，则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而求出的长，根据的周长求出的长，推出的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∵点与重合，点与1重合， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为； 故选：C． 23．(24-25八上·河南漯河实验中学·期中)如图，等腰的底边，面积为18，直线是腰的垂直平分线，若点D在上运动，点F在边上运动，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质可得，得到，可知当点A、D、F三点共线且时，的值最小，即等于的长，利用三角形的面积求出的长即可求解． 【详解】解：在等腰中，直线是腰的垂直平分线，如图1，连接， ∴， ∴， 当点A、D、F三点共线且时，的值最小，即等于的长，如图2， ∵，等腰的面积为18， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 24．(24-25七上·河南商丘·期中)如图，在中，，垂直平分交于点．若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质： 由线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分交于点， ∴， ∴的周长， 故选：D． 地 城 考点04 画轴对称图形 25．(24-25八上·河南郑州桐柏一中·期中)如图，的三个顶点的坐标分别为、、． (1)在图中作出关于轴对称的，并写出点、、的坐标（点、、的对应点分别是点、、）； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，、、 (2) 【分析】本题考查了作轴对称图形，写出点的坐标，三角形的面积； （1）分别作出点，，关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可得，再根据点的位置写出坐标即可； （2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 由图知，、、； （2）解：的面积为 26．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积：________； (2)在网格图中画出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上找到点，使的周长最小，画出此时． 【答案】(1)． (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称图形与轴对称的性质是解题关键． （1）结合网格，利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得； （2）连接对应点，利用网格作出对应点连线的垂直平分线即可得； （3）连接，与直线的交点为点，连接、，则为所求． 【详解】（1）解：的面积为， 故答案为：． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：如图，点即为所求． 27．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． (1)画出关于轴对称的； (2)点的坐标为______，点的坐标为_______； (3)求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)的面积 【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换，三角形的面积等知识点， (1)首先确定三点关于轴对称点的位置，然后依次连接即可； (2)根据(1)所画图形写出对应点坐标即可； (3)利用网格和坐标计算面积即可； 熟练掌握轴对称变换的性质并能灵活运用关于轴对称，关于轴对称的点的坐标特征是解决此题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可知，， 故答案为：， （3）解：由图知，的面积． 28．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，分别在格点上，，．    (1)在网格中画出平面直角坐标系，顶点的坐标为_________； (2)连接，，，作出关于轴对称的图形（点，，的对应点分别为，，）； (3)在轴上找出一点，使得最小，请在图中标出点的位置． 【答案】(1)图见解析；； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查轴对称的知识，准确画图是解题关键． （1）按题意画图，然后找出C点坐标即可； （2）按题意连线，然后找到对称点，相连即可； （3）找到A点关于y轴的对称点，连接与y轴交点，即为 【详解】（1）解：如图：    C点坐标为：； （2）解：如图：    （3）解：如图：找到A点关于y轴的对称点，连接与y轴交点，即为．    29．(24-25八上·河南周口西华县·期中)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，A，B的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格图中作出平面直角坐标系； (2)请作出关于x轴对称的； (3)请画一条直线m，使直线上各点纵坐标都是． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称： （1）根据点A和点B的坐标确定原点和坐标轴的位置，进而画出对应的坐标系即可； （2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）过点作平行于x轴的直线m，则直线m即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，直线m即为所求． 30．(24-25八上·河南漯河郾城区·期中)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)作出关于轴对称的，再作出关于轴对称的； (3)将内一点按照（2）中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查直角坐标系，关于、轴对称的点的坐标特点，轴对称变换作图，熟知关于、轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据、两点的坐标建立平面直角坐标系即可； （2）分别作出各顶点关于轴的对称点，顺次连接即可得；分别作出各顶点关于轴的对称点，顺次连接即可得； （3）利用由关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】（1）解：由，的坐标分别为，， 可得直角坐标系如图： （2）解：如图，和即为所求作； （3）解：由关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变， 得点关于轴对称的点的坐标为； 由关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数， 得点关于轴对称的点的坐标为； 故答案为：． 31．(24-25八上·河南洛阳·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：______； (3)在（2）中的直线上求一点，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形； （1）作出的三个顶点关于轴对称的点，再连接即可解决问题； （2）根据轴对称的特点，写出点的坐标即可； （3）连接交直线于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：如图所示即为所求 （2）作出直线和点，根据坐标系可得的坐标： 故答案为：． （3）如图所示，连接交直线于点，则点即为所求作的点． 32．(24-25八上·河南驻马店西平县·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)作出与关于x轴对称的图形； (2)作出与关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的图形，并写出点，，的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】此题考查了轴对称作图、轴对称与坐标等知识． （1）找到点关于x轴对称的点，顺次连接即可； （2）找到点关于x轴对称的点，，，顺次连接，，即可得到，再写出，，的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求，点，，的坐标分别为． 地 城 考点05 坐标与轴对称 33．(24-25八上·河南驻马店新蔡县·期中)在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形—轴对称，根据题意得：，，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 故答案为：． 34．(24-25八上·河南郑州经开区外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了新定义，直角坐标系的点的特征，三角形的面积公式．根据对称性质由已知点坐标求得，，的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得的值便可． 【详解】解：根据题意得，，，， ，， 的面积为1， ， 解得或3， 故答案为：1或3． 35．(24-25八上·河南郑州桐柏一中·期中)在解放军建军90周年朱日和阅兵中，仰望广袤苍穹，17架直-19直升机组成“八一”标识，12架直-19直升机和12架直-10直升机排出“90”字样列阵长空，象征人民军队走过了90年的光辉历程．如图，以飞机，所在直线为轴、队形的对称轴为轴，建立平面直角坐标系．若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了关于坐标轴对称的点的坐标．根据关于y轴轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数进行解答即可． 【详解】解：∵由题意可知飞机和飞机关于y轴轴对称，飞机的坐标为， ∴飞机的坐标为， 故选：B 36．(24-25八上·河南商丘民权县·期中)在平面直角坐标系中，如果点和关于轴对称，则： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特征；根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，求解即可． 【详解】解：∵和关于x轴对称， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 37．(24-25八上·河南郑州冠军中学·期中)在下图直角坐标系中，已知点A坐标． (1)画出关于y轴对称的，并写出，，的坐标； (2)求． 【答案】(1)图见解析，，， (2)2 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）利用轴对称的性质，画出，进而表示出，，的坐标即可； （2）直接利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知：，，； （2）由图可知：． 38．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)已知点，，则下列叙述：①轴；②关于y轴对称；③关于x轴对称；④；正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：点，， ∴轴；和不关于y轴对称；和关于轴对称，． ∴①②④错误，③正确； 故选：A． 39．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知的顶点坐标分别为，，，点D为点A关于y轴的对称点，在格点上取点F，使且，写出符合要求的点F的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得点D的坐标，再根据网格可确定点F的位置，即可得出答案． 【详解】解：如图， 点为点关于轴的对称点，， 点的坐标为． 且， 点的坐标为． 故答案为：． 40．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第2025次变换后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环是解题的关键，观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环，用2025除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点B所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点B第一次关于x轴对称后在第三象限，坐标为； 第二次关于y轴对称后在第四象限，坐标为； 第三次关于x轴对称后在第一象限，坐标为； 第四次关于y轴对称后在第二象限，即点B回到原始位置，坐标为； 每四次轴对称变换为一个循环组依次循环， ， 经过第2025次变换后，所得的B点与第一次变换的位置相同，在第三象限，坐标为． 故选：A． 地 城 考点06 等腰三角形的性质 41．(24-25八上·河南开封集英中学·期中)如图，在中，，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，根据等边对等角求得度数是解题的关键． 根据题意，由可得，进而根据，可得，根据三角形的外角性质可得，进而可得，根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 42．(24-25八上·河南安阳第五中学·期中)如图，若，，在上，，在上，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的一个外角和的性质等知识点，正确运用三角形外角的性质成为解题的关键． 根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得、，进而得到，最后根据平角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 43．(24-25八上·河南新乡辉县第一初级中学·期中)等腰三角形的一个外角等于，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角的性质，分与这个外角不相邻的两个内角均为底角，以及一个底角一个顶角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当这个外角不相邻的两个内角均为底角时，如图： ， 则：， ∴； 当这个外角不相邻的两个内角为一个底角一个顶角时，如图： ， ∴， ∴； 综上：与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为或 ； 故选D． 44．(24-25八上·河南新乡辉县第一民族学校·期中)如图所示，在中，已知，，下列结论正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角行的判定与性质，等边对等角，正确作出辅助线是解题的关键．延长至使得，再证明即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至使得，连接， 则， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 故选：C． 45．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． （1）根据证明全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而解答即可． 【详解】（1）证明：由三角形的外角性质可知：， 即， ， ， 在和中， ， ； （2）解： ，，， ， 即． ，， ， ， ． 46．(24-25八上·河南商丘民权县民权县双塔乡第二初级中学·期中)如图，在中， 的垂直平分线交于N，交于M． (1)若求的度数． (2)连接，若 ①求的周长； ②在直线上是否有在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②当点P与点M重合时，的值最小，最小值是 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路径问题，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得，三角形内角和定理等，关键是运用线段垂直平分线的性质解题． （1）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案． （2）①根据垂直平分线的性质可得与的关系，再根据三角形的周长可得答案． ②根据2点之间线段最短可得点与点的关系，可得与的关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ①垂直平分， ， ； ②∵点P当点在的垂直平分线上， ， ， ∴点P与点重合时，的值最小，最小值是． 47．(24-25八上·河南商丘民权县民权县双塔乡第二初级中学·期中)如图，在中，点在边上运动（不与重合），连接，作，交边于点． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点的运动过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】（）利用等腰三角形的性质及三角形外角性质可得，再根据全等三角形的判定即可求证； （）分和两种情况，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理解答即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质及内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解： ①如图，当时， ∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当时， ， ， ， ∴， ， ， ； 综上，的度数为或． 48．(24-25八上·河南驻马店平舆县·期中)如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，且．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，求出和，结合图形计算即可； （2）根据三角形的外角的性质求出和，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 49．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图，在中，，，分别是，上的点，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，连接．若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质，等角对等边和对边对等角性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，则，根据，推出，进而得到，推出，从而证明结论． 【详解】（1）解：所求作图形如图所示 ；　 （2）证明：是线段的垂直平分线， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 50．(24-25八上·河南洛阳地矿双语中学·期中)如图，在中，，于点D，在上取一点E，使，连接．若，求的度数．    【答案】 【分析】先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 51．(24-25八上·河南许昌第一中学·期中)下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整．已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：（ 1 ）． 证明：， （ 2 ）． ∵，分别是，的角平分线， ，（ 3 ）． 即． 在和中， ． （ 4 ）． 【答案】；等边对等角；角平分线的定义；全等三角形的对应边相等 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的等边对顶角及全等三角形的性质与判定可进行求解 【详解】已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：． 证明：， （等边对等角）． ∵，分别是，的角平分线， ，（角平分线的定义）． 即． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）； 故答案为；等边对等角；角平分线的定义；全等三角形的对应边相等． 52．(24-25八上·河南洛阳伊川县·期中)如图，等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质得到相等的角． （1）根据等腰直角三角形的性质找出的角和相等的边，再运用判定直角三角形全等即可得证； （2）根据为等腰直角三角形，可知，则，再结合以及（1）中所证明得全等三角形可得，进而可得到答案． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，， ， 在和中， ，， ． ． （2）解：为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 因此的度数为． 地 城 考点07 等腰三角形的性质和判定 53．(24-25八上·河南濮阳油田第十八中学·期中)（1）情境观察： 如图①，中，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你直接写出的长 ． 【答案】（1），理由见解析（2）；理由见解析（3） 【分析】（1）由，得，由，得，即可证明； （2）延长交于点G，先证明，得，再证明，则； （3）作交于点L，延长交于点H，先证明，得，再证明，则． 【详解】解：（1）与全等；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）与之间的数量关系为；理由如下： 如图②，延长交于点G， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图③，作交于点L，延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的长是． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、同角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 54．(24-25八上·河南辉县太行中学·期中)如图，在同一直线上有四个点B、F、C、E，点A、D在直线同一侧，如果垂足为B，垂足为E，且，．连接、相交于点G． 求证： (1)． (2)； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，即，即可得证； （2）连接，，由全等三角形的性质可得，求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵垂足为B，垂足为E， ∴， ∵， ∴, ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：如图：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 55．(24-25八上·河南安阳林州·期中)已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），且满足． (1)如图2，若，且，则 ， ； (2)求证：． 【答案】(1)36，126 (2)见解析 【分析】（1）由，得，由，得，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）延长到点F，使，则，得到，然后推出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线 ∴， ∴； （2）证明：延长到点F，使，则， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 56．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)在中，，在上截取，连接．在的外部作，且交的延长线于点． (1)小明画出图1，并猜想．他证明的简要过程如下： 小明的证明： 在和中， 可得．（ASA） 请你判断小明的证明是否正确并说明理由； (2)借助图1，求证：； (3)小华画出图2，并猜想．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：_________．”你写出小亮所说的条件，并证明：． 【答案】(1)小明的证明不正确，他证明时所使用的中的三个条件“，，”不是“两角和它们的夹边”的关系； (2)见解析； (3)，见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质等知识，解决本题的关键是得到． （1）小明证明时使用的中的三个条件“，，”不是“两角和它们的夹边”的关系，所以不能使用“”来证明，进而可以解决问题； （2）根据等腰三角形的性质和外角定义即可解决问题； （3）增加，证明，即可的结论成立； 【详解】（1）解：小明的证明不正确，他证明时所使用的中的三个条件“， ”不是“两角和它们的夹边”的关系．所以不能使用“”来证明． （2）证明：， ． ，，， ． （3）解：增加． 证明：， ． ， ， ， ， ． ，， ． 在和中， ， ∴， ． ∴增加时，成立． 故答案为：； 57．(24-25七上·河南商丘·期中)八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中一组全等三角形________； 【理解与应用】 （2）如图2，在中，为中线，为上一点，、交于点，且．求证：； （3）如图3，是的中线，且，求证；． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）根据题意，由两个三角形全等的判定定理证明即可得到答案； （2）根据题意，倍长中线，由两个三角形全等的判定定理证得，由全等三角形性质得到，，再结合等腰三角形的性质，通过角的等量代换得到，从而由等腰三角形的判定与性质确定即可得证； （3）根据题意，倍长中线，由两个三角形全等的判定定理证得，由全等三角形性质得到，，再结合等腰三角形的性质、三角形外角性质得到，利用三角形全等的判定定理证得，结合全等性质即可证得． 【详解】解：（1） 是的中线， ， 在和中， ， 故答案为：； （2）延长至点，使，如图所示： 是的中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ，即； （3）延长至点，使，如图所示： 是的中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ，即． 【点睛】本题考查三角形全等综合，涉及倍长中线模型、三角形中线性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质等知识，根据题意，掌握倍长中线模型，构造辅助线，运用全等三角形的判定与性质求证是解决问题的关键． 58．(24-25八上·河南漯河实验中学·期中)如图①，中，，的平分线交于点，过点作交于． (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：与之间有怎样的关系． (2)如图②，若，其他条件不变，在第（）问中与间的关系还存在吗？ (3)如图③，若中的平分线与平分线交于，过点作，交于，交于，这时与关系又如何？请直接写出结果． 【答案】(1)个， (2)还存在 (3) 【分析】（）根据利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论； （）利用（）的方法解答即可； （）利用（）的方法解答即可； 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴等腰三角形有：，，，，，共个； 的关系是，理由如下： ∵，， ∴； （2）解：当时，（）的关系还存在，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 59．(24-25八上·河南商丘多校联考·期中)如图，中，，，，，垂足为A，那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形性质，熟练运用角所对的直角边等于斜边的一半转化线段是解题的关键．根据等腰三角形的性质得出，根据含30度角的直角三角形性质得出，证明，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 60．(24-25八上·河南南阳·期中)综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．       图1 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________； A．　B．　C．　D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （4）如图3，若在（3）的基础上，增加平分，，，则________．              　图3 【答案】（1）C；（2）；（3）；（4）2 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据三角形的三边关系计算即可； （3）延长到E，使，连接，，证明，根据全等三角形的性质及三角形三边关系解答； （4）延长延长，交于点F，证明，得出，证明，得出则可得出结论． 【详解】（1）在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵， ∴， 在中，， ， 即， ∴， 故答案为； （3）延长到E，使，连接，， 在和中 ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 在中 ， ； （4）解：延长，交于点F，， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 在和中 ， ， ， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 地 城 考点08 利用等边三角形的性质求解 61．(24-25八上·河南安阳第五中学·期中)（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、，则、、的数量关系为______ （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点（、、三点互不重合）点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法，性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）证明，可得，，，由此即可求解； （2）证明，可知，，由此即可求证； （3）与都是等边三角形，，由此即可求解． 【详解】（1）， 证明：∵，直线，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：仍然成立，理由如下： ∵， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴，， 又∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 62．(24-25八上·河南新乡辉县城北中学·期中)如图，已知点、、在同一条直线上， 和 均为等边三角形，连结、，与交于点，与交于点． (1)求证： (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）利用等边三角形的性质和“”证明，即可得证； （2）设交与点，根据全等三角形的性质以及三角形的外角的性质可得，进而可得，即可求解． 【详解】（1）解： 、都是等边三角形， ， ，， ，即， ， ， （2）解：如图所示，设交与点， ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 63．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图，是等边三角形，点D、E、F分别在、、上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后在中，根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 64．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在等边三角形中，是的中线，点E为的中点，，P是上一个动点，则的最小值是（） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，两点之间线段最短，能够将两线段的和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．连接，，可推出的最小值为的长，再根据等边三角形的性质，可得，从而解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 在等边三角形中，是的中线， 所在的直线是等边三角形的对称轴， ， ， 的最小值为的长， 点为的中点， 也是等边三角形的中线， ， 的最小值是2． 故选：B． 65．(24-25八上·河南驻马店平舆县·期中)如图，已知是等边三角形，D是上一点，E是上一点，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)过点C作于点G，求证：． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再利用外角转化角度即可求出的度数； （3）根据（2）中的度数求出，再根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∴ ． （3）证明：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 66．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图，某公园的入口可以抽象成一个等边三角形，立柱的端点在上，立柱的端点在上，且两立柱均与地面垂直．若，米，米，求的长度． 【答案】17米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键．先证明，得到米．再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，，即可求出的长度． 【详解】解：，， ． 是等边三角形， ， ． 在和中， ， ， （米）． 在和中， ，， ，， （米）． 67．(24-25八上·河南漯河郾城区·期中)是高为，面积为的等边三角形，点P是过点A的对称轴上一动点，当点D为边中点时．则的最大值是 ；的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中动点和线段和差最值问题，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和面积计算公式求得的边长为，结合等边三角形的性质，由三角形的三边关系可得：，当、、三点共线，即当点运动到点时，取等号，由轴对称可知，当、、三点共线，取等号，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，过点作交于， 则，且所在直线为过点的对称轴， 即点是直线上的一动点，如图， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在中，由三角形的三边关系可得：，当、、三点共线，即当点运动到点时，取等号， ∴取得最大值，最大值为； ∵点关于的对称点为点， ∴， ∴，当、、三点共线，取等号， ∴的最小值为， ∵是等边三角形，为的中点， ∴， 则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，． 68．(24-25八上·河南漯河郾城区·期中)如图，和均为等边三角形，与，分别交于点，点，与交 于点，连接，则下列结论中不正确的是(    ) A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定和性质；首先利用SAS证明，，即可判断选项A；同理证明，可得即可判断B选项；过点作于，于，根据全等三角形对应边上的高相等可知，即可判断选项C，然后由，得，再利用三角形外角的性质即可判断选项D，即可求解． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ，故A选项正确，不合题意； ， ， 在和中， ， 故B选项正确，不合题意； 过点作于，于， ， ， 平分，故C选项正确，不符合题意； ， ， 是的外角， ，故D选项不正确，符合题意； 故选：D． 69．(24-25八上·河南洛阳·期中)如图，，及都是等边三角形，，分别为，的中点．若，则多边形外围的周长是(   ) A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由等边可得，而是的中点可知，同理等边、等边中均可以将各边的关系表示出来，结合已知，即可求得各边长；根据所求图形的周长即为从点按顺序到点的线段逐个相加，即，结合上步所求即可得到结果． 【详解】解：是等边三角形，， ． 是的中点， ． 是等边三角形，， ． 是的中点， ， 同理，在中， ， 多边形外围的周长是， 故选：C． 70．(24-25八上·河南济源济水一中·期中)如图，是周长为的等边三角形，D是上一点，，交于点E，则线段 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 先求出等边得边长，再在中，由可得，从而求出即可解决问题． 【详解】解：∵是等边三角形，周长为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 地 城 考点09 等边三角形的判定和性质 71．(24-25八上·河南信阳淮滨县台头乡初级中学·期中)如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形 (3)125或140或110 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再结合即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，即可得解； （3）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，，再由三角形内角和定理可得，分三种情况：当时；当时； 当时；分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：当时，的形状为直角三角形， ∵是等边三角形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的形状为直角三角形； 故答案为：直角三角形； （3）解：∵是等边三角形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述，当为125或140或110度时，是等腰三角形． 故答案为：125或140或110． 72．(24-25八上·河南许昌建安区第三中学·期中)如图，中，，，在的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设与的交点为F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)小蚂蚁在爬行过程中，与所成的的大小有无变化？请说明理由． 【答案】(1)，详见解析 (2)的大小无变化，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，等边三角形的判定和性质，根据小蚂蚁的速度相同求出是解决此题的关键． (1)根据小蚂蚁的速度相同求出,再利用“边角边”证明和全等即可； (2)根据全等三角形对应角相等可得,然后表示出,再根据等边三角形的性质求出,从而得到． 【详解】（1）解：，理由如下， 小蚂蚁同时从A，C处出发，速度相同， 后两只小蚂蚁爬行的路程, 在和中， , ； （2）解：, , , , , 为等边三角形， , , 无变化． 73．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)数学活动课上，张老师带领同学们研究动点问题中线段长度的变化规律．如图1，△是边长为8的等边三角形，，分别是边和边延长线上的动点，且，连接交边于点 (1)如图2，过点作交边于点，洛洛说：“在点，运动的过程中，线段和的长度也随之变化，但始终有．”你同意洛洛的说法吗？若同意，请证明；若不同意，请说明理由； (2)如图3，过点作于点，阳阳提出了一个新的问题：“在点，运动的过程中，线段的长度是否发生变化？”请你结合（1）中的结论帮阳阳解决这个问题，如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)同意，证明见解析； (2)不变，始终为4． 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用证明和全等解答． （1）根据等边三角形的性质得出，，进而利用证明和全等解答即可； （2）过点作交边于点，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：同意．证明如下： 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形． ． ， ． 在和中， ， ， ； （2）如图，过点作交边于点， 由（1）知，． 在等边中，， ． ， 即线段的长度不变，始终为4． 74．(24-25八上·河南安阳第八中学·期中)已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），过程见解析 （3）的长为3或6 【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出，求出，求出即可； （2）过作交于，求出等边三角形，证和全等，求出即可； （3）点在延长线上时，如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【详解】解：∵点是等边的边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 过点作，交于点， ∵为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4，点在的延长线上时，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三线合一，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解解题的关键． 75．(24-25八上·河南濮阳范县·期中)在等边中，点在上，点在的延长线上，且． (1)如图①，若为的中点，求证：． (2)如图②，若为上任一点（端点除外），是否仍然成立？试说明理由． (3)等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)仍然成立，见解析 (3)1或3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （）根据等腰三角形的性质求出，根据三角形外角的性质，等边三角形的性质性质以及等边对等角可得出，即可得证； （2）作交于点．证明是等边三角形，得出，，进而得出．证明，得出，即可得证； （3）分在线段的延长线上时，在线段的延长线上时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． （2）解：仍然成立． 理由如下：如图①，作交于点． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． （3）解∶如图②，当在线段的延长线上时，作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． ②如图③，当在线段的延长线上时，作交的延长线于， 同理可证， 可得，． 综上所述，的长为1或3． 76．(24-25八上·河南濮阳范县·期中)如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从,两点出发，分别沿，方向匀速移动． (1)若点的运动速度是，点的运动速度是，当点到达点时，，两点都停止运动，设运动时间为，当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，且当点到达点时，，两点停止运动，设点的运动时间为，则当为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)是等边三角形，见解析 (2)当的值为2或4时，是直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定和几何动点问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质得到,,当时，计算、的长度，根据等边三角形的判定可得结论； （2）若是直角三角形，则或,根据含角的直角三角形的性质“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，列方程求解即可． 【详解】（1）是等边三角形，理由如下： 当时，，． ∵是边长为的等边三角形， ∴,, ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）在中，，， ①当时，，， 则， ∴， 解得：． ②当时，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，当的值为2或4时，是直角三角形． 77．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为．过点作于点，连接交于点． (1)________，________．（用含t的式子表示） (2)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由路程、速度和时间的关系表示的长，由等边三角形的性质及线段的和差关系表示即可得到答案； （2）过点作的平行线交于，证得，得到，进而求得． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，， ∴ ， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由如下： 过点作的平行线交于，如图所示： ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，等边三角形的性质及判定，平行线的判定及性质，全等三角形的判定与性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 78．(24-25八上·河南南阳社旗县·期中)【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材第页的数学活动中有这样一段描述： 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 （1）如图，四边形中，，．      如图，四边形中，，． 如图、图所示的四边形中，其中是筝形的有________（填序号）． 【性质探究】 （2）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等；关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整； 已知：如图，在筝形中，，． 求证：________． 证明： 由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等． （3）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：有一条对角线平分一组对角． 结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）： 【拓展应用】 （4）如图，在中，，，点分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】（）；（）证明见解析；（）筝形的性质为筝形是轴对称图形；筝形的两条对角线互相垂直； 垂直平分（答案不唯一）；（）的度数为或． 【分析】（）利用全等三角形的判定方法即可求解； （）连接，证明即可； （）设与交于点，根据筝形的定义即可求解； （）分当，时和当，时两种情况分析即可． 【详解】（）解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， 又，符合“筝形”的定义； 如图， 在和中， ， ∴， ∴， 又，符合“筝形”的定义； 故答案为：； （）证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等； （）解：如图，设与交于点， ∵四边形是筝形， ∴，， ∴垂直平分， 综上可知：筝形的性质为筝形是轴对称图形；筝形的两条对角线互相垂直； 垂直平分（答案不唯一）； （）解：如图，当，时， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同上理得：垂直平分， ∴， ∴， ∴； 如图，当，时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的度数为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，筝形的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 79．(24-25八上·河南漯河郾城区·期中)如图，中， ，P为直线上一点，E为直线上一点，连接，使得． (1)当，填空： ①如图1，点P为线段的中点时，线段与的数量关系 ； ②如图2，点P为直线上任一点时，线段与的数量关系是 ； (2)当时，如图3，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)成立，证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）①连接，证出 ，即可得出结论；②过点P作交于点H，证出 ，即可得出结论； （2）在上取一点F使，证 即可得； 【详解】（1）①连接 ∵， ∴ 为等边三角形 ∵ ∴， ∴ 又∵点P为线段的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴为等边三角形 ∴ 故答案为：； ②过点P作交于点H． 由①得为等边三角形． ∴为等边三角形． ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ 故答案为：； （2）成立，在上取一点F使，如图 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 地 城 考点10 含30度角的直角三角形 80．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在中，，交于点D，，则长为（   ） A．7.5 B．8 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，证明是解题的关键．由已知，求得，再由，得到，即可求得，且根据直角三角形角所对的直角边是斜边的一半，可得，再由，得到，即可得出，计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ，， ， ． 故选：B． 81．(24-25八上·河南信阳平桥区·期中)如图，有一块土地形状是三角形，其中 (1)要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请用无刻度直尺和圆规画出分法．（保留作图痕迹，不写作法） (2)请说明你分得的这三块地大小、形状都相同的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图—线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）以、为圆心，大于的长度为半径画弧，相交于两点，连接两点交于，交于，连接，、、即为所求． （2）垂直平分，通过角的关系和边的关系可证明，，再证明，即可证明、、即为所求． 【详解】（1）如图，、、即为所求， ， （2）由作图可得：垂直平分， ，，， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， 、、即为所求． 82．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图，在四边形中，是它的一条对角线，，， (1)写出图中相等的角，并说明理由； (2)已知，，求点到的距离． 【答案】(1)，理由见解析； (2) 【分析】（1）作于点，交的延长线于点，则，，得，可证明，得，所以是 的平分线，则； （2）由，，求得，则 ，进而利用直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：，理由∶ 作于点，交的延长线于点，则， ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴点在的平分线上 ∴是的平分线， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ ∵，， ∴ ，即点到的距离为． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 83．(24-25八上·河南南阳桐柏县·期中)如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)6；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）先得，因为是的外角，故，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴ ∴， ∵， ∴． 84．(24-25八上·河南信阳罗山县·期中)过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”． (1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 （只填写序号）； ①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形 (2)如图，中，，为边上的高，若为的“友好分割线”，求长度； (3)在中，，，直接写出被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数． 【答案】(1)② (2)4 (3)，，，或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，画出对应的图形解决问题． （1）根据“友好分割线”的定义对①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形分别进行判断即可． （2）根据为的“友好分割线”，得出或为等腰三角形，证出不是等腰三角形，则是等腰三角形，根据等腰三角形性质得出，根据直角三角形的性质得出． （3）根据，算出，根据“友好分割线”的定义画图后分为当时，当时，当时，当时，当时，当时，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据“友好分割线”的定义可知， 如图，等腰直角三角形，顶角为的等腰三角形存在“友好分割线”． 等边三角形不存在“友好分割线”． 故答案为：； （2）解： 为的“友好分割线”， 或为等腰三角形， 为边上的高， ， ， ， 不是等腰三角形，则是等腰三角形， ， ，， ． （3）解：， ， 如图， 当时，， 当时，， 当时，． 如图， 当时，， 当时，， 如图， 当时，， 综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：，，，或． 85．(24-25八上·河南洛阳地矿双语中学·期中)如图，在中，，． (1)在内找一点D，使得点D到、两边的距离相等，且；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)若交于点E，，求点E到的距离． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）分别作的角平分线，的垂直平分线，它们的交点，即为点D，此时点D到、两边的距离相等，且，即可作答． （2）过点E作，设，则，故，因为，，所以，则，代入数值计算，即可作答． 本题考查了尺规作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，30度所对的直角边是斜边是一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：点D如图所示： （2）解：如图，过点E作， 设， ∵是的平分线，且，， ∴， 故， ∵，， ∴， 则中，， 即， 解得， ∴点E到的距离为． 86．(24-25八上·河南安阳五中教育集团·期中)已知，如图，在中，，，，交于点，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．首先根据，，可以求出，根据可以求出，根据等角对等边可以求出，再根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出，从而可得的长为． 【详解】解：如下图所示， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 87．(24-25八上·河南商丘永城实验中学·期中)如图，是等边三角形，于点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用等边三角形的性质可证，得到，进而由三角形外角性质可得，得到，最后根据直角三角形的性质即可求解； （）由直角三角形的性质可得，即得，再根据全等三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$