专题04 一元二次函数、方程及不等式（期中真题汇编，河北专用）高一数学上学期

专题04 一元二次函数、方程及不等式 3大高频考点概览 考点01 一元二次不等式与一元二次方程交汇问题 考点02 一元二次不等式与二次函数交汇问题 考点03 一元二次不等式恒成立问题 考点04 “三个”二次与其它知识的交汇问题 地 城 考点01 一元二次不等式的与一元二次方程交汇问题 一、单选题 1．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】通过解一元二次不等式来求得正确答案. 【详解】，解得，所以不等式的解集 是.故选：D 2．(24-25高一上·河北唐山·期中)已知不等式的解集是，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据已知条件，借助韦达定理，列方程组，从而求得. 【详解】由题意可得解得，，则.故选：A. 3．(24-25高一上·河北邯郸·期中)小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（   ） A．17 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理可求的值，问题可解. 【详解】由题意： ； .所以. 故选：D 3．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分类讨论求出不等式的解集，然后分析该集合中能含有哪两个整数，即可求出实数的取值范围． 【详解】由题意得，原不等式可转化为， 当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则； 当时，解得，此时解集中的整数为0，，则； 当时，不等式为，无解，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是或.故选：B． 4．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)已知关于的不等式 的解集为，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】AB 【分析】根据不等式的解集可得是的两个根，利用韦达定理求出，再逐项判断可得答案. 【详解】因为不等式 的解集为，所以是的两个根，且，得，对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由得，因为，所以，解得， 可得不等式的解集为，故C错误； 对于D，由得， 因为，所以，解得，或， 所以不等式 的解集为 ，或，故D错误.故选：AB. 二、多选题 5．(23-24高一上·河北石家庄第一中学·期中)已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】AB 【分析】根据解集结合函数与方程的思想，结合根与系数的关系求解. 【详解】因为不等式的解集为，所以，且关于的一元二次方 程的两根分别为-1，2，由韦达定理可得,所以，则，，A，B对，，而，取不到最小值，故无最小值.， D错.故选:AB. 三、填空题 6．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据的解集为或得到，进而根据解一元二次不等式即可. 【详解】由题意得的两个根为，， ，则， 则，即，即，解得， 则不等式的解集为.故答案为：. 7．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)已知实数，关于的不等式组与不等式组具有相同的整数解，那么适合第一个不等式组的所有可能的整数对的集合为 ． 【答案】 【分析】解不等式分析可知不等式组整数解为，解不等式，分析可得，运算求解即可. 【详解】由，可得，等价于，解得， 由，解得， 可知不等式组的解集为，整数解为， 对于不等式组，且，解得， 可知的整数解为，则，解得， 且，则，所以整数对的集合为. 故答案为：. 8．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据的解集求出的关系，再化简不等式，求出它的解集即可． 【详解】解：因为的解集为，则，且对应方程的根为-2和4， 所以，，且， 不等式可化为,则，即，解得或． 故答案为． 四、解答题 9．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)在实数范围内解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次不等式. （2）化不等式右边为0，通分并转化为不等式组求解. （3）分类讨论求解一元二次不等式. 【详解】（1）不等式化为：，即，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：，即，于是， 解得或，所以原不等式的解集为或. （3）不等式化为：， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 10．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知关于的一元二次方程. (1)当时，设方程的两个实根分别为，求代数式的值； (2)若该方程有两个异号实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理求出，代入即可； （2）利用韦达定理，满足两根之积小于零即可. 【详解】（1）当时，由韦达定理可得方程的两个实根满足，， 所以. （2）若方程有两个异号实根， 则，解得，所以实数的取值范围为. 地 城 考点02 一元二次不等式与二次函数交汇问题 一、单选题 1．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的对称轴为，根据二次函数的性质可得或，解出即可得出实数k的取值范围 【详解】，其对称轴为，若函数在区间上是单调增函数，则，∴，若函数在区间上是单调减函数，则，∴ 所以，实数k的取值范围是.故选：A. 二、多选题 2．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)已知不等式的解集为，函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象开口向上 B．函数的图象开口朝下 C．无论为何值，必有 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】AB选项，根据不等式的解集得到；C选项，，代入，得到，C正确；D选项，由韦达定理得到，，不等式变形为，求出不等式解集，得到答案. 【详解】AB选项，由不等式的解集为， 则可知一元二次方程的两根为和3， 且二次函数开口向上，，故A正确，B错误； C选项，，故时有，即，故C正确； D选项，由韦达定理得，，故，， 函数， 解得或，则不等式的解集为或，D正确. 故选：ACD. 3．(24-25高一上·河北承德第二中学·期中)若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程的两根是，1 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出，再逐项判断即可得解. 【详解】依题意，方程的两根是，1，B正确； 显然，即，，A正确； 不等式，即的解集为或，C错误； 不等式，即的解集是，D正确. 故选：ABD 三、填空题 4．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出二次函数的单调递增区间，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】函数的单调递增区间是， 而函数在上单调递增，则，即，解得， 所以实数a的取值范围为. 5．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)函数在区间上是增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数在区间上的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为函数在区间上是增函数，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 四、解答题 6．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)已知函数. (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集.（其中） 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用换元法求解； （2）分类讨论求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数，令， ，所以． （2）不等式，即， 整理得，即， 当时，，∴不等式的解集为或； 当时，，∴不等式的解集为； 当时，，∴不等式的解集为或． 7．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)已知二次函数满足，    . （1）求函数的解析式； （2）设在上是单调函数，求实数取值范围． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由函数类型及结合题意可设，再将代入运算即可； （2）求二次函数的单调区间，需结合二次函数图像的开口方向及对称轴方程，再结合题设中已知条件可得解. 【详解】（1）由题意可设，因为， 所以， 解得：，即. （2）因为在上是单调函数， 所以或，即或.综上：当或，在上是单调函数. 8．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)设函数，. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为函数在上单调递减， 当时，即函数在上单调递减，合乎题意； 当时，因为二次函数在上单调递减， 可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）不等式可化为， 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的两根分别为，. （i）当时，，解原不等式可得； （ii）当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 9．(24-25高一上·河北石家庄河北辛集中学·)已知函数，. (1)若方程的根为和，求和的值； (2)若函数在区间上的最小值，与函数在区间上的最小值相同，求的值； (3)若函数的图象总在函数图象的上方，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）结合一元二次方程根与系数的关系即可求得答案； （2）先确定在上的最小值为2，在结合二次函数的性质分类讨论即可求得a的值； （3）将原问题转化为恒成立，利用判别式即可求得a的范围. 【详解】（1）因为的两个根分别是-1和b， 所以，解得； （2）在上的最小值为，所以在上的最小值为2， 当，即时，，解得（舍）； 当，即时，，解得（舍）； 当，即时，，解得； 综上：； （3）因为函数的图象总在函数图象的上方，所以恒成立， 因此恒成立，所以，解得. 10．(24-25高一上·河南驻马店新蔡县第一高级中学·月考)已知函数，二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2）不等式可整理为，根据的符号以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）设二次函数 ， 所以， 即，故，解得，所以， 所以，解得，所以. （2）因为， 所以，即， 当时，则不等式为，解得，此时解集为； 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为或， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，解集为； 时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 11．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求a，b. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，解二次不等式即可得解； （2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得. 【详解】（1）当且时，， 则不等式，即为，即，解得， 则的解集为. （2）因为的解集是， 所以是方程，即的两根， 则，解得，经检验满足题意. 12．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)设函数，. (1)若对于任意的，恒成立，求a的取值范围； (2)若的解集为. ①求a，b的值; ②求函数在的最大值. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）法1：问题化为当，只需，讨论对称轴与已知区间的位置关系，结合二次函数性质求对应最小值，即可得参数范围；法2：问题化为在上恒成立，应用对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围； （2）①根据一元二次不等式解集求参数值即可；②由，讨论已知区间与对称轴位置关系求最值. 【详解】（1）法1：由题知，任意有，即当，只需， 由的对称轴为， 当，即时，在上单调递增，此时，即； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，与前提矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减， 此时，即，与前提矛盾，舍去. 综上所述：a的取值范围. 法2：由题，得对任意都成立，即， 令，则，令，则在上单调递增， 则在上单调递减，故，即， 所以a的取值范围. （2）①，即的解集为， 则有，解得， ②由于 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，在单调递减，所以； 综上所述，所以 地 城 考点03 一元二次不等式恒（能）成立问题 一、单选题 1．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，利用二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，不等式的解集为， 当时，即当时，原不等式即为，合乎题意； 当时，即当时，则有， 解得.综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 2．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【详解】因为，所以 .问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”.因为，当时取“”.所以 . 故选：C 二、填空题 3．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解. 【详解】由函数，且不等式的解集为， 即是方程两个实数根，可得，解得，所以， 又由，且，当时，函数取得最大值，最大值为，因为对任意恒成立，即恒成立， 解得或，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 4．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)已知时不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】讨论的取值范围，分别计算，最后得到答案. 【详解】（1）当时，恒成立，符合题意 （2）当时，不合题意舍去 （3）当时，，综上所述 5．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)幂函数为偶函数，． (1)求函数的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可. （2）将题意转化为对于恒成立，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或， 当时，，定义域为R，， 所以为偶函数，符合条件； 当时，，定义域为R，， 所以为奇函数，舍去；所以. （2）因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 因为， 所以不等式等价于对于恒成立，所以， 设，，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故. 6．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)已知二次函数，，不等式的解集为或． (1)求的解析式； (2)设，不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设有的解集为或，结合对应一元二次方程根与系数关系求参数，即可得解析式； （2）由题设有的解集为，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则，即的解集为或，所以，可得，故； （2）由的解集为，所以，可得. 7．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)已知函数. (1)当时，求解关于的不等式； (2)若不等式对于任意的上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分，，三种情况解不等式即可； （2）由题意可得对于任意的恒成立，分类讨论可求得实数的取值范围. 【详解】（1），因为所以或1 ①当即时，原不等式可化为，所以； ②当即时，所以或； ③当即时，所以或； 综上：当时，原不等式的解集为或. 当时，原不等式的解集为或. （2）， 即对于任意的恒成立 令，， ①当时，，，所以不符合题意； ②当时，无最小值，所以不符合题意； ③当时，的对称轴为 当，即时，得最小值为 所以，又因为，不符合题意； 当，即时， 得最小值为，所以， 又因为，所以符合题意； 综上实数的取值范围是. 8．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)已知函数，． (1)若，，求，的最小值； (2)若恒成立， （i）求证：； （ii）若，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据函数解析式，利用基本不等式求函数最小值； （2）（i）由二次不等式恒成立，利用判别式建立关系，证明；（ii）由恒成立的不等式，分离出常数，利用函数思想求取值范围 【详解】（1）若，，则， 当且仅当，即时，取等号，所以； （2）①证明：因为恒成立，即恒成立， 所以，即，所以， 则，所以； ②解：，即恒成立， 因为，当时，不等式恒成立， 当时，恒成立， 令，则，则在上恒成立， 又，所以，即实数的取值范围为. 9．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)二次函数满足对任意的，恒成立． (1)求证：为定值； (2)若，求二次函数的表达式； (3)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）取，代入恒成立的不等式即可. （2）由已知求出，结合（1）及一元二次不等式恒成立求出，再验证即可得解. （3）由（1）求得，再利用恒成立的不等式，结合一元二次方程有等根求得即可求出范围. 【详解】（1）对任意的，恒成立，则， 所以，为定值. （2）由（1）知，，由，得，则， ，不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立，则， 解得，此时，恒成立， 所以. （3）由（1）知，，， 不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立， 则，且方程有相等的实数根，因此， 不等式， 同理，且方程有相等的实数根，因此， 从而，， 所以的取值范围是. 地 城 考点04 “三个”二次与其它知识的交汇问题 一、多选题 1．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)已知命题：函数的图象与轴有交点，命题：，.若，全为真命题，则实数的取值可以是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出命题为真命题的值范围即可得解. 【详解】函数的图象与轴有交点，显然，因为的图象在轴下方， 则，而，解得或，即命题：或； 当时，，当且仅当时取等号， 由，，得，解得，即命题：， 由，全为真命题，得或，所以实数的取值可以是或或. 故选：ACD 二、填空题 2．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】由题意得到，求出，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，，满足不等式， 故只需，其中，当且仅当时，等号成立，关于的函数，当且仅当时，等号成立，所以，解得或，综上，实数m的取值范围是或， 3．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得，所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 4．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答. （2）由命题是命题的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答. 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，因此，解得，所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 5．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据的定义域为，可得和是一元二次方程的实数根，即可利用韦达定理求解， （2）将问题转化为对任意的均成立，对系数进行讨论，结合判别式即可求解. 【详解】（1）由于的定义域需要满足，结合的定义域为，故和是一元二次方程的两个不相等实数根，因此，解得， （2）的定义域为，则对任意的均成立， 当时，，此时不等式为，则解不是全体实数，不符合，舍去， 当时，，此时不等式为，则解是全体实数，符合， 当且，此时，不等式为一元二次不等式， 要使解为全体实数，则，解得或， 综上可得或， 6．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)已知函数，． (1)若不等式的解集为或，求的值； (2)若命题“”为假命题，求实数的取值范围； (3)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集求参数的值. （2）先求若命题为真命题，即恒成立时的取值范围，再求其补集即可. （3）分情况讨论，解含参数的二次不等式. 【详解】（1）由不等式的解集为或， 可得方程的根为和1，, 由韦达定理可得，，解得，所以. （2）若命题为真命题，可得恒成立 当时，显然不满足条件， 当时，可得，解得 由于命题为假命题，故的范围为． （3）由，不等式为，即 当时，即时，不等式的解集为； 当，即时，解集为； 当时，即时，不等式的解集为． 综上：时，不等式的解集为； 时，解集为； 时，不等式的解集为． 7．(24-25高一上·河北石家庄一中·期中)已知全集，集合，集合，集合． (1)求， (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2)或 【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果； （2）因为，所以，分和两种情况求解即可. 【详解】（1）根据题意：集合，集合或 或， （2）因为，所以， 若，则 若，则，得时，可得， 实数的取值范围为或 . 8．(23-24高一上·河北石家庄第一中学·期中)设函数的图象过点. (1)若，，求的最小值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)8 (2)答案见解析 【分析】（1）利用基本不等式计算即可；（2）含参讨论解不等式即可. 【详解】（1）由题意可知：，可得， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，，，所以当，时，等号成立，此时取得最小值8； （2）由上可知，得，即，即. 当时，此时不等式为，故解集为； 当时，此时，故不等式的解集为； 当时，即，此时不等式为，故不等式的解集为； 当时，即，故不等式的解集为； 当时，即，不等式的解集为. 综上所述：当时，解集为；当，解集为； 当，解集为；当时解集为； 当，解集为. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次函数、方程及不等式 3大高频考点概览 考点01 一元二次不等式与一元二次方程交汇问题 考点02 一元二次不等式与二次函数交汇问题 考点03 一元二次不等式恒成立问题 考点04 “三个”二次与其它知识的交汇问题 地 城 考点01 一元二次不等式的与一元二次方程交汇问题 一、单选题 1．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】通过解一元二次不等式来求得正确答案. 【详解】，解得，所以不等式的解集 是.故选：D 2．(24-25高一上·河北唐山·期中)已知不等式的解集是，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据已知条件，借助韦达定理，列方程组，从而求得. 【详解】由题意可得解得，，则.故选：A. 3．(24-25高一上·河北邯郸·期中)小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（   ） A．17 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理可求的值，问题可解. 【详解】由题意： ； .所以. 故选：D 3．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分类讨论求出不等式的解集，然后分析该集合中能含有哪两个整数，即可求出实数的取值范围． 【详解】由题意得，原不等式可转化为， 当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则； 当时，解得，此时解集中的整数为0，，则； 当时，不等式为，无解，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是或.故选：B． 4．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)已知关于的不等式 的解集为，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】AB 【分析】根据不等式的解集可得是的两个根，利用韦达定理求出，再逐项判断可得答案. 【详解】因为不等式 的解集为，所以是的两个根，且，得，对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由得，因为，所以，解得， 可得不等式的解集为，故C错误； 对于D，由得， 因为，所以，解得，或， 所以不等式 的解集为 ，或，故D错误.故选：AB. 二、多选题 5．(23-24高一上·河北石家庄第一中学·期中)已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】AB 【分析】根据解集结合函数与方程的思想，结合根与系数的关系求解. 【详解】因为不等式的解集为，所以，且关于的一元二次方 程的两根分别为-1，2，由韦达定理可得,所以，则，，A，B对，，而，取不到最小值，故无最小值.， D错.故选:AB. 三、填空题 6．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据的解集为或得到，进而根据解一元二次不等式即可. 【详解】由题意得的两个根为，， ，则， 则，即，即，解得， 则不等式的解集为.故答案为：. 7．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)已知实数，关于的不等式组与不等式组具有相同的整数解，那么适合第一个不等式组的所有可能的整数对的集合为 ． 【答案】 【分析】解不等式分析可知不等式组整数解为，解不等式，分析可得，运算求解即可. 【详解】由，可得，等价于，解得， 由，解得， 可知不等式组的解集为，整数解为， 对于不等式组，且，解得， 可知的整数解为，则，解得， 且，则，所以整数对的集合为. 故答案为：. 8．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据的解集求出的关系，再化简不等式，求出它的解集即可． 【详解】解：因为的解集为，则，且对应方程的根为-2和4， 所以，，且， 不等式可化为,则，即，解得或． 故答案为． 四、解答题 9．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)在实数范围内解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次不等式. （2）化不等式右边为0，通分并转化为不等式组求解. （3）分类讨论求解一元二次不等式. 【详解】（1）不等式化为：，即，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：，即，于是， 解得或，所以原不等式的解集为或. （3）不等式化为：， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 10．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知关于的一元二次方程. (1)当时，设方程的两个实根分别为，求代数式的值； (2)若该方程有两个异号实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理求出，代入即可； （2）利用韦达定理，满足两根之积小于零即可. 【详解】（1）当时，由韦达定理可得方程的两个实根满足，， 所以. （2）若方程有两个异号实根， 则，解得，所以实数的取值范围为. 地 城 考点02 一元二次不等式与二次函数交汇问题 一、单选题 1．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的对称轴为，根据二次函数的性质可得或，解出即可得出实数k的取值范围 【详解】，其对称轴为，若函数在区间上是单调增函数，则，∴，若函数在区间上是单调减函数，则，∴ 所以，实数k的取值范围是.故选：A. 二、多选题 2．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)已知不等式的解集为，函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象开口向上 B．函数的图象开口朝下 C．无论为何值，必有 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】AB选项，根据不等式的解集得到；C选项，，代入，得到，C正确；D选项，由韦达定理得到，，不等式变形为，求出不等式解集，得到答案. 【详解】AB选项，由不等式的解集为， 则可知一元二次方程的两根为和3， 且二次函数开口向上，，故A正确，B错误； C选项，，故时有，即，故C正确； D选项，由韦达定理得，，故，， 函数， 解得或，则不等式的解集为或，D正确. 故选：ACD. 3．(24-25高一上·河北承德第二中学·期中)若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程的两根是，1 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出，再逐项判断即可得解. 【详解】依题意，方程的两根是，1，B正确； 显然，即，，A正确； 不等式，即的解集为或，C错误； 不等式，即的解集是，D正确. 故选：ABD 三、填空题 4．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出二次函数的单调递增区间，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】函数的单调递增区间是， 而函数在上单调递增，则，即，解得， 所以实数a的取值范围为. 5．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)函数在区间上是增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数在区间上的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为函数在区间上是增函数，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 四、解答题 6．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)已知函数. (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集.（其中） 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用换元法求解； （2）分类讨论求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数，令， ，所以． （2）不等式，即， 整理得，即， 当时，，∴不等式的解集为或； 当时，，∴不等式的解集为； 当时，，∴不等式的解集为或． 7．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)已知二次函数满足，    . （1）求函数的解析式； （2）设在上是单调函数，求实数取值范围． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由函数类型及结合题意可设，再将代入运算即可； （2）求二次函数的单调区间，需结合二次函数图像的开口方向及对称轴方程，再结合题设中已知条件可得解. 【详解】（1）由题意可设，因为， 所以， 解得：，即. （2）因为在上是单调函数， 所以或，即或.综上：当或，在上是单调函数. 8．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)设函数，. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为函数在上单调递减， 当时，即函数在上单调递减，合乎题意； 当时，因为二次函数在上单调递减， 可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）不等式可化为， 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的两根分别为，. （i）当时，，解原不等式可得； （ii）当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 9．(24-25高一上·河北石家庄河北辛集中学·)已知函数，. (1)若方程的根为和，求和的值； (2)若函数在区间上的最小值，与函数在区间上的最小值相同，求的值； (3)若函数的图象总在函数图象的上方，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）结合一元二次方程根与系数的关系即可求得答案； （2）先确定在上的最小值为2，在结合二次函数的性质分类讨论即可求得a的值； （3）将原问题转化为恒成立，利用判别式即可求得a的范围. 【详解】（1）因为的两个根分别是-1和b， 所以，解得； （2）在上的最小值为，所以在上的最小值为2， 当，即时，，解得（舍）； 当，即时，，解得（舍）； 当，即时，，解得； 综上：； （3）因为函数的图象总在函数图象的上方，所以恒成立， 因此恒成立，所以，解得. 10．(24-25高一上·河南驻马店新蔡县第一高级中学·月考)已知函数，二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2）不等式可整理为，根据的符号以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）设二次函数 ， 所以， 即，故，解得，所以， 所以，解得，所以. （2）因为， 所以，即， 当时，则不等式为，解得，此时解集为； 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为或， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，解集为； 时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 11．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求a，b. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，解二次不等式即可得解； （2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得. 【详解】（1）当且时，， 则不等式，即为，即，解得， 则的解集为. （2）因为的解集是， 所以是方程，即的两根， 则，解得，经检验满足题意. 12．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)设函数，. (1)若对于任意的，恒成立，求a的取值范围； (2)若的解集为. ①求a，b的值; ②求函数在的最大值. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）法1：问题化为当，只需，讨论对称轴与已知区间的位置关系，结合二次函数性质求对应最小值，即可得参数范围；法2：问题化为在上恒成立，应用对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围； （2）①根据一元二次不等式解集求参数值即可；②由，讨论已知区间与对称轴位置关系求最值. 【详解】（1）法1：由题知，任意有，即当，只需， 由的对称轴为， 当，即时，在上单调递增，此时，即； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，与前提矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减， 此时，即，与前提矛盾，舍去. 综上所述：a的取值范围. 法2：由题，得对任意都成立，即， 令，则，令，则在上单调递增， 则在上单调递减，故，即， 所以a的取值范围. （2）①，即的解集为， 则有，解得， ②由于 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，在单调递减，所以； 综上所述，所以 地 城 考点03 一元二次不等式恒（能）成立问题 一、单选题 1．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，利用二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，不等式的解集为， 当时，即当时，原不等式即为，合乎题意； 当时，即当时，则有， 解得.综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 2．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【详解】因为，所以 .问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”.因为，当时取“”.所以 . 故选：C 二、填空题 3．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解. 【详解】由函数，且不等式的解集为， 即是方程两个实数根，可得，解得，所以， 又由，且，当时，函数取得最大值，最大值为，因为对任意恒成立，即恒成立， 解得或，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 4．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)已知时不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】讨论的取值范围，分别计算，最后得到答案. 【详解】（1）当时，恒成立，符合题意 （2）当时，不合题意舍去 （3）当时，，综上所述 5．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)幂函数为偶函数，． (1)求函数的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可. （2）将题意转化为对于恒成立，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或， 当时，，定义域为R，， 所以为偶函数，符合条件； 当时，，定义域为R，， 所以为奇函数，舍去；所以. （2）因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 因为， 所以不等式等价于对于恒成立，所以， 设，，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故. 6．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)已知二次函数，，不等式的解集为或． (1)求的解析式； (2)设，不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设有的解集为或，结合对应一元二次方程根与系数关系求参数，即可得解析式； （2）由题设有的解集为，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则，即的解集为或，所以，可得，故； （2）由的解集为，所以，可得. 7．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)已知函数. (1)当时，求解关于的不等式； (2)若不等式对于任意的上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分，，三种情况解不等式即可； （2）由题意可得对于任意的恒成立，分类讨论可求得实数的取值范围. 【详解】（1），因为所以或1 ①当即时，原不等式可化为，所以； ②当即时，所以或； ③当即时，所以或； 综上：当时，原不等式的解集为或. 当时，原不等式的解集为或. （2）， 即对于任意的恒成立 令，， ①当时，，，所以不符合题意； ②当时，无最小值，所以不符合题意； ③当时，的对称轴为 当，即时，得最小值为 所以，又因为，不符合题意； 当，即时， 得最小值为，所以， 又因为，所以符合题意； 综上实数的取值范围是. 8．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)已知函数，． (1)若，，求，的最小值； (2)若恒成立， （i）求证：； （ii）若，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据函数解析式，利用基本不等式求函数最小值； （2）（i）由二次不等式恒成立，利用判别式建立关系，证明；（ii）由恒成立的不等式，分离出常数，利用函数思想求取值范围 【详解】（1）若，，则， 当且仅当，即时，取等号，所以； （2）①证明：因为恒成立，即恒成立， 所以，即，所以， 则，所以； ②解：，即恒成立， 因为，当时，不等式恒成立， 当时，恒成立， 令，则，则在上恒成立， 又，所以，即实数的取值范围为. 9．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)二次函数满足对任意的，恒成立． (1)求证：为定值； (2)若，求二次函数的表达式； (3)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）取，代入恒成立的不等式即可. （2）由已知求出，结合（1）及一元二次不等式恒成立求出，再验证即可得解. （3）由（1）求得，再利用恒成立的不等式，结合一元二次方程有等根求得即可求出范围. 【详解】（1）对任意的，恒成立，则， 所以，为定值. （2）由（1）知，，由，得，则， ，不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立，则， 解得，此时，恒成立， 所以. （3）由（1）知，，， 不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立， 则，且方程有相等的实数根，因此， 不等式， 同理，且方程有相等的实数根，因此， 从而，， 所以的取值范围是. 地 城 考点04 “三个”二次与其它知识的交汇问题 一、多选题 1．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)已知命题：函数的图象与轴有交点，命题：，.若，全为真命题，则实数的取值可以是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出命题为真命题的值范围即可得解. 【详解】函数的图象与轴有交点，显然，因为的图象在轴下方， 则，而，解得或，即命题：或； 当时，，当且仅当时取等号， 由，，得，解得，即命题：， 由，全为真命题，得或，所以实数的取值可以是或或. 故选：ACD 二、填空题 2．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】由题意得到，求出，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，，满足不等式， 故只需，其中，当且仅当时，等号成立，关于的函数，当且仅当时，等号成立，所以，解得或，综上，实数m的取值范围是或， 3．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得，所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 4．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答. （2）由命题是命题的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答. 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，因此，解得，所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 5．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据的定义域为，可得和是一元二次方程的实数根，即可利用韦达定理求解， （2）将问题转化为对任意的均成立，对系数进行讨论，结合判别式即可求解. 【详解】（1）由于的定义域需要满足，结合的定义域为，故和是一元二次方程的两个不相等实数根，因此，解得， （2）的定义域为，则对任意的均成立， 当时，，此时不等式为，则解不是全体实数，不符合，舍去， 当时，，此时不等式为，则解是全体实数，符合， 当且，此时，不等式为一元二次不等式， 要使解为全体实数，则，解得或， 综上可得或， 6．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)已知函数，． (1)若不等式的解集为或，求的值； (2)若命题“”为假命题，求实数的取值范围； (3)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集求参数的值. （2）先求若命题为真命题，即恒成立时的取值范围，再求其补集即可. （3）分情况讨论，解含参数的二次不等式. 【详解】（1）由不等式的解集为或， 可得方程的根为和1，, 由韦达定理可得，，解得，所以. （2）若命题为真命题，可得恒成立 当时，显然不满足条件， 当时，可得，解得 由于命题为假命题，故的范围为． （3）由，不等式为，即 当时，即时，不等式的解集为； 当，即时，解集为； 当时，即时，不等式的解集为． 综上：时，不等式的解集为； 时，解集为； 时，不等式的解集为． 7．(24-25高一上·河北石家庄一中·期中)已知全集，集合，集合，集合． (1)求， (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2)或 【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果； （2）因为，所以，分和两种情况求解即可. 【详解】（1）根据题意：集合，集合或 或， （2）因为，所以， 若，则 若，则，得时，可得， 实数的取值范围为或 . 8．(23-24高一上·河北石家庄第一中学·期中)设函数的图象过点. (1)若，，求的最小值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)8 (2)答案见解析 【分析】（1）利用基本不等式计算即可；（2）含参讨论解不等式即可. 【详解】（1）由题意可知：，可得， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，，，所以当，时，等号成立，此时取得最小值8； （2）由上可知，得，即，即. 当时，此时不等式为，故解集为； 当时，此时，故不等式的解集为； 当时，即，此时不等式为，故不等式的解集为； 当时，即，故不等式的解集为； 当时，即，不等式的解集为. 综上所述：当时，解集为；当，解集为； 当，解集为；当时解集为； 当，解集为. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$