精品解析：惠州市惠阳区永湖中学2023—2024学年九年级上学期第三次质量检测数学试卷

永湖中学2023—2024学年九年级（上）第三次质量检测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（　　） A. v=320t B. v= C. v=20t D. v= 4. 若是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. a， b，c，d 是成比例线段，若 a 3cm， b 2cm，c 6cm，则线段d长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 6. 如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ） A. 10cm2 B. 10cm2 C. 20cm2 D. 20cm2 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 8. 下列四个点，在反比例函数y=图象上的是(    ) A. (1，-6) B. (2，4) C. (3，-2) D. (-6，-1) 9. 如图，是的切线，切点为，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点与点关于原点对称，则______． 12. 若=，则的值为___________ 13. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=_________． 14. 如图，，，分别与相切于，，三点，且，，，则___ ． 15. 如图，抛物线的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有___（填序号）． 三、解答题（一）（16题10分，17题、18题各7分，共24分） 16. 用适当方法解下列方程． （1）； （2）． 17. 如图，在边长为1小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90° （1）画出旋转之后的△AB′C′； （2）求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积． 18. 如图，已知，是的直径，弦于点E． （1）若，，求的值； （2）若，求的度数． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，某养殖场在养殖面积扩建中，准备将总长为78米的篱笆围成矩形形状的鸡舍，其中一边利用现有的一段足够长的围墙，其余三边用篱笆，且在与墙平行的一边上开一个2米宽的门．设边长为米，鸡舍面积为平方米． （1）求出与的函数关系式；（不需写自变量的取值范围） （2）当鸡舍的面积为800平方米时，求出鸡舍的一边的长． 20. 如图所示，在四边形中，，且分别是中点，与相交于点M． （1）求证：． （2）若，求． 21. 如图，O是Rt△ABC的直角边BC上的点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O过斜边上点D，交BC于点F，DF∥AO． （1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD=4，BC=8，求DF的长． 五、解答题（三）（每小题12分，共24分） 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点． （1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）根据图象直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 23. 已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D， （1）求此二次函数解析式； （2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形； （3）在对称轴右侧抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永湖中学2023—2024学年九年级（上）第三次质量检测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 考点：（1）中心对称图形；（2）轴对称图形 2. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 根据函数图象平移规律，可得答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向下移1个单位长度，所得的抛物线解析式为， 故选：C． 3. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（　　） A. v=320t B. v= C. v=20t D. v= 【答案】B 【解析】 【详解】由题意vt=80×4， 则v=． 故选B． 4. 若是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程的解的定义，把代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：是方程的解， 可得：， ， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故选：A． 5. a， b，c，d 是成比例线段，若 a 3cm， b 2cm，c 6cm，则线段d的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据a、b、c、d是成比例线段，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求出d的值即可； 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， ∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm， ∴d＝4cm； 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 6. 如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ） A. 10cm2 B. 10cm2 C. 20cm2 D. 20cm2 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题关键是熟记圆锥的侧面积计算公式． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．根据根的判别式的值进行判断即可． 【详解】解：依题意，因一元二次方程， 所以， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8. 下列四个点，在反比例函数y=图象上的是(    ) A. (1，-6) B. (2，4) C. (3，-2) D. (-6，-1) 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴xy=6， 故选D． 9. 如图，是的切线，切点为，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质，根据切线垂直于经过切点的半径，可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，又因为，可以求出的度数． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ． 故选：B． 10. 如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答． 【详解】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确； B、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误； C、由函数y=的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误； D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数，可得：，，解出、的值，再代入代数式中求出代数式的值即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 12. 若=，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先将代数式化简，再把已知的值代入计算即可求解． 【详解】解： ， ， ∴， 故答案是： ． 【点睛】本题主要考查代数式的化简求值，解题的关键是掌握代数式的加减乘除的计算法则． 13. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=_________． 【答案】 【解析】 【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点， ∴AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°， ∴BD===. 故答案为:. 14. 如图，，，分别与相切于，，三点，且，，，则___ ． 【答案】 【解析】 【分析】先根据切线长定理得到平分， 平分 ，再证明，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：分别与相切于点 三点 平分， 平分 ， ， 在中， ， 故答案为： 【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 15. 如图，抛物线的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有___（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案． 【详解】解：根据题意，则，， ∵， ∴， ∴，故①错误； 由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确； ∵， 令时，， ∴，故③正确； 在中， 令时，则， 令时，， 由两式相加，得，故④正确； 综上，正确的结论有：②③④； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号． 三、解答题（一）（16题10分，17题、18题各7分，共24分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 即或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， 即或， 解得，． 17. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90° （1）画出旋转之后的△AB′C′； （2）求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积． 【答案】．（1）画图见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点B、C旋转后的对应点B′、C′的位置，然后顺次连接即可 （2）先求出AC的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：（1）△AB′C′如图所示： （2）由图可知，AC=2， ∴线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，扇形面积的计算，是基础题，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 18. 如图，已知，是的直径，弦于点E． （1）若，，求的值； （2）若，求的度数． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】此题考查垂径定理的应用，圆周角定理： （1）根据垂径定理得到，再根据勾股定理求出，即可得到的值； （2）根据圆周角定理得到，再结合为，，得，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：因为弦，， 所以， 在中，，根据勾股定理， ∵， ∴； 【小问2详解】 因为与所对弧都是， 所以， 又因，， 所以，则． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，某养殖场在养殖面积扩建中，准备将总长为78米的篱笆围成矩形形状的鸡舍，其中一边利用现有的一段足够长的围墙，其余三边用篱笆，且在与墙平行的一边上开一个2米宽的门．设边长为米，鸡舍面积为平方米． （1）求出与的函数关系式；（不需写自变量的取值范围） （2）当鸡舍的面积为800平方米时，求出鸡舍的一边的长． 【答案】（1） （2）20米 【解析】 【分析】（1）设边长为米，鸡舍面积为平方米，则，根据代入进行计算即可得到答案； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设边长为米，鸡舍面积为平方米， 则， ； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 鸡舍的一边的长为20米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出二次函数的表达式以及一元二次方程是解此题的关键． 20. 如图所示，在四边形中，，且分别是的中点，与相交于点M． （1）求证：． （2）若，求． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，证得成为解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形可得，则，即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，然后再结合已知条件代入数据即可解答． 【小问1详解】 解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，O是Rt△ABC的直角边BC上的点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O过斜边上点D，交BC于点F，DF∥AO． （1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD=4，BC=8，求DF的长． 【答案】（1）相切；（2）． 【解析】 【分析】（1）连接OD，证明△ACO≌△ADO，即可证得∠ADO=90°，从而证得AD是圆的切线； （2）在直角三角形OBD中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径，过D作DM⊥OB于M，根据S△ODB=×OD×BD=×BO×DM，求出DM=2.4，在Rt△DMO中，由勾股定理求出OM的长度，在Rt△DMF中，再用勾股定理即可求出DF的长度. 【详解】（1）直线AD与⊙O的位置关系是相切， 理由是：连接OD， ∵OD=OF， ∴∠ODF=∠OFD， ∵DF∥AO， ∴∠ODF=∠AOD，∠OFD=∠AOC， ∴∠AOD=∠AOC， 在△ACO和△ADO中，， ∴△ACO≌△ADO， ∴∠ADO=∠ACO， ∵∠ACO=90°， ∴∠ADO=90°， ∵OD为半径， ∴直线AD与⊙O的位置关系是相切； （2）设⊙O的半径是R， ∵BC=8， ∴BO=8–R， 在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2， 即R2+42=（8–R）2，解得R=3， 即OD=3，BO=8–3=5， 过D作DM⊥OB于M， 则S△ODB=×OD×BD=×BO×DM，则3×4=5×DM，解得DM=2.4， 在Rt△DMO中，由勾股定理得：OM===1.8， ∴MF=3–1.8=1.2， 在Rt△DMF中，由勾股定理得：DF= ==． 【点睛】考查直线与圆的位置关系，勾股定理定，熟练掌握切线的证明方法是解题的关键. 五、解答题（三）（每小题12分，共24分） 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点． （1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）根据图象直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 【答案】(1) ,;(2) ;(3) x＜或0＜x＜2 【解析】 【详解】试题分析：将点代入可得反比例函数解析式，将点代入可得的值，即可得点的坐标，由坐标可得直线的解析式； 求得直线与轴的交点坐标，利用割补法可得三角形的面积； 由直线位于双曲线上方时对应的的范围即可得答案． 试题解析：设反比例函数的解析式为 把代入得： ∴反比例函数的解析式为 设一次函数的解析式为 把代入 得： 即 将点，代入 得：解得： ∴一次函数的解析式为： 在一次函数中，令得： ，解得： 当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 23. 已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D， （1）求此二次函数解析式； （2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）证明见解析；（3）点P坐标为（，）或（2，3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）将A（﹣1，0）、C（0，3），代入二次函数y=ax2+bx﹣3a，求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解． 试题解析：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），∴将A（﹣1，0）、C（0，3），代入，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图，连接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），∴CD==，BC==3，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1．假设存在这样的点P,①以CD为底边，则P1D=P1C，设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P1点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，(不满足在对称轴右侧应舍去），∴x=，∴y=4﹣x=，即点P1坐标为（，）．②以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=1对称，此时点P2坐标为（2，3）．∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）． 考点：1.二次函数图象性质；2.等腰三角形性质；3.直角三角形的判定. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $