精品解析：山东省滨州市北镇中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

山东省北镇中学高一上学期 衔接知识检测数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件是，由此列不等式求解即得． 【详解】因关于的一元二次方程有实数根， 故，解得． 故选：B． 2. 不论a，b为何值，的值（ ） A. 总是正数 B. 总是负数 C. 可以是零 D. 可以是正数，也可以是负数 【答案】A 【解析】 【分析】将原因式写成完全平方形式即可. 【详解】原式， 故选：A 3. 若满足，则以为边的是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】先由非负数的性质可得，再结合勾股定理知识即可判断三角形的形状. 【详解】∵三边长满足， ∴，∴， ∵，且，∴是直角三角形. 故选：D． 4. 已知方程组，则代数式的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把方程组两个方程的左右两边分别相加，可得，据此求出代数式的值即可； 【详解】由题意可得：，两式相加得， 所以 故选：D． 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别为（ ） A. 1和2 B. 和2 C. 2和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】先把代入方程求出值，再把的值代入方程求出另一个根即可. 【详解】把代入方程得：，解得：，原方程可化为， 设方程的另一个根为，则，． 故选：B． 6. 已知实数α，β满足，，则（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】对已知条件变式判断A，根据完全平方和公式判断B，根据完全平方差公式判断C，根据立方和公式判断D. 【详解】因为，，所以，故A错误； ，故B错误； 因为，所以，故C错误； ，故D正确. 故选：D 7. 不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先化简为对一切恒成立，再分类讨论，由二次函数的性质，得到解答． 【详解】不等式对一切恒成立， 即对一切恒成立， 若，显然不恒成立. 若，则， 即，解得. 故选：A 【点睛】本题的主要考查一元二次不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于基础题． 8. 函数和的图象如图所示，有下列四个说法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果时，那么. 其中正确的是（ ）. A. ①④ B. ① C. ①② D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数和的图象，逐项判定，即可求解. 【详解】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得 ， 所以，若，可得，所以①正确； 当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或 ， 所以，若，可得，所以②错误； 由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误； 当三个函数的图象依和次序呈上下关系时， ， 所以，若时，可得，所以④正确. 故选；A． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.） 9. 关于的方程的两个实数根分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 直接利用韦达定理判断AB；将CD选项中的代数式用两根之和与两根之积表示，进而可判断正误. 【详解】由一元二次方程根与系数的关系知: 所以正确； ，错误; ，正确. 故选：ABD. 10. （多选）若只有一个根，则实数a的取值可以为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】分方程为一次方程与二次方程两种情况求解即可. 【详解】当方程为一次方程时，，此时只有一个根，满足条件； 当方程为二次方程时，判别式，解得，满足条件. 综上有或. 故选：BC 11. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法正确的是（　　） A. 方程是2倍根方程 B. 若关于x的方程是2倍根方程，则 C. 若且，则关于x的方程是2倍根方程 D. 若且，则关于x的方程是2倍根方程 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用2倍根方程的定义，逐项判断作答. 【详解】对于A，解方程，得，方程是2倍根方程，A正确； 对于B，显然方程有一个为2，则另一根为1或4， 当另一根为4时，有，B错误； 对于C，由且，得，方程化为， 解得或，即关于x方程是2倍根方程，C正确； 对于D，由且，得，方程方程， 即，方程两根为，则关于x的方程是2倍根方程，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 因式分解：________. 【答案】 【解析】 【分析】根据“十”字相乘法求解. 【详解】利用“十”字相乘法 得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查因式分解，还考查了分析求解的能力，属于基础题. 13. 已知，则______，______． 【答案】 ①. 11 ②. 【解析】 【分析】由可得，再结合完全平方公式和立方差公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， . 故答案为：；. 14. 若关于的方程有两解，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据图象求解即可. 【详解】令函数， 当时，， 当时，， 则函数图象如图所示， 因为关于的方程有两解， 所以或， 解得或. 故答案为：或. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 解不等式 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 因为， 解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 因为， 解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 不等式转化为，且， 解得， 所以不等式的解集为. 【小问4详解】 不等式转化为， 解得， 所以不等式的解集为. 16. 如图，在Rt中，，，点D是AC上一点， （1）若BD为的角平分线，求的长； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，设，则，，根据角平分线，得到，从而得到，解得，求出答案； （2）设，则，根据得到，由勾股定理可知，解得，求出，由勾股定理得到，进而求出. 【小问1详解】 过点D作DH⊥AB于点H， ∵，，∴， ∵DH⊥AB，∴， 设，则，， ∵为的角平分线，∴， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 同（1）过点D作DH⊥AB于点H， 由（1）可知，设，则， ∵，∴， ∴， 由勾股定理可知，，故， 解得，即， ∴. ∴. ∵，∴， ∴. 17. 已知是一元二次方程的两个实数根. （1）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）求使的值为整数的实数的整数值. 【答案】（1）不存在，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用反证法先假设存在实数，使得成立，根据一元二次方程有两个实数根可得，因此原假设不成立，故不存在； （2）根据题意，可得能被整除，即可求出的值. 【小问1详解】 假设存在实数，使得成立， 一元二次方程的两个实数根， ，(不要忽略判别式的要求)， 由韦达定理得， ， 但， 不存在实数，使得成立. 【小问2详解】 ， 要使其值是整数，只需要能被整除， 故，即， ， . 18. 已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论k为何值，方程总有不相等的两实数根； （2）当方程两根之差的绝对值等于4时，求此时k的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）0， 【解析】 【分析】（1）计算二次方程的判别式，由即可证明. （2）结合韦达定理，利用完全平方差公式列式求解即可. 【小问1详解】 ∵， ∵，即， ∴无论k为何值时，该方程总有不相等的两实数根； 【小问2详解】 设方程两根为，， 则，， ∵，∴， ∴，∴，. 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴，垂足为点H，交于点Q，过点P作交x轴于点E，交于点F. （1）求A，B，C三点的坐标. （2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由. （3）请用含m的代数式表示线段的长，并求出m为何值时有最大值. 【答案】（1） （2）存在， 或 （3），当m=2时，QF有最大值 【解析】 【分析】（1）分别令，进行求解即可； （2）根据等腰三角形的性质，结合勾股定理、一次函数的性质进行求解即可； （3）利用相似三角形判定定理，结合二次函数的性质进行求解即可. 小问1详解】 在中，令，得， 令，得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以由勾股定理可知， 设直线的方程为，把代入方程中，得 ，解得，所以直线的方程为， 设点Q的坐标， 当时，则有， 解得，舍去； 当时，则有， 解得（舍去），即； 当时，则有， 解得(舍去)，即， 综上所述：存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，坐标为 或； 【小问3详解】 过点作于点G，如图， 则轴，由可知是等腰直角三角形， 所以， 所以为等腰直角三角形， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 因此， 设，点Q的坐标， 所以， 所以， 因为， 所以当时，有最大值. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用相似三角形的判定定理得到等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省北镇中学高一上学期 衔接知识检测数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 不论a，b为何值，值（ ） A. 总是正数 B. 总是负数 C. 可以是零 D. 可以是正数，也可以是负数 3. 若满足，则以为边的是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 4. 已知方程组，则代数式的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别为（ ） A. 1和2 B. 和2 C. 2和 D. 和 6. 已知实数α，β满足，，则（ ） A B. C. D. 7. 不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数和的图象如图所示，有下列四个说法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果时，那么. 其中正确的是（ ）. A. ①④ B. ① C. ①② D. ①③④ 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.） 9. 关于的方程的两个实数根分别为，则（ ） A B. C. D. 10. （多选）若只有一个根，则实数a的取值可以为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 4 11. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法正确的是（　　） A. 方程是2倍根方程 B. 若关于x的方程是2倍根方程，则 C. 若且，则关于x的方程是2倍根方程 D. 若且，则关于x的方程是2倍根方程 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 因式分解：________. 13. 已知，则______，______． 14. 若关于的方程有两解，则的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 解不等式 （1） （2） （3） （4） 16. 如图，在Rt中，，，点D是AC上一点， （1）若BD为的角平分线，求的长； （2）若，求的值. 17. 已知是一元二次方程两个实数根. （1）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）求使的值为整数的实数的整数值. 18. 已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论k为何值，方程总有不相等的两实数根； （2）当方程两根之差的绝对值等于4时，求此时k的值. 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴，垂足为点H，交于点Q，过点P作交x轴于点E，交于点F. （1）求A，B，C三点的坐标. （2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由. （3）请用含m代数式表示线段的长，并求出m为何值时有最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$