精品解析：四川省广元市川师大万达中学2025-2026学年高二上学期第一次月考（8月）数学试卷

广元市川师大万达中学2024级2025年秋季入学考试数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1.考生使用答题卡作答. 2.在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上.考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回. 3.选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倍角公式计算即可. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； 正确． 故选：D 2. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 40人 B. 36人 C. 30人 D. 24人 【答案】D 【解析】 【分析】确定高一、高二、高三的人数比，由分层抽样特征即可求解； 【详解】由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人， 则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为， 根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人， 故选：D 3. 已知向量与的夹角为 ，且则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的模结合向量的数量积的运算律求解即得. 【详解】与的夹角 则， 解得. 故选：C. 4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，即，再利用三角形内角和为即可求角. 【详解】由正弦定理得， 即， 所以，在中，所以， ，又，所以， 则． 故选：B． 5. 设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理可判断A；举反例可判断BCD，进而可得正确选项. 【详解】 对于A：因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，因为，由面面垂直的判定定理可得，故选项A正确； 对于B：如下图正方体中， 对于B，令直线为，直线为，平面为，平面为，符合，，，但，所以选项B错误． 对于C，令直线为，直线为，平面为，平面为，符合，，，但与相交，故选项C错误． 对于D，如图为，为，平面为，平面，且，则满足，，，，但与相交，故选项D错误； 故选：A. 6. 某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5,25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 A. 56 B. 60 C. 140 D. 120 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的人数为，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用． 7. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，再利用球的体积公式计算即可． 【详解】设球的半径为，如图所示， 根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为， 球心到截面圆的距离为， 所以由， 解得， 所以球的体积为， 故选：A. 8. 在锐角中，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，由利用基本不等式和上述结论，可推得，从而可得的最小值. 【详解】由，可得． 因为为锐角三角形，所以均大于0． 则（*）， 当且仅当时取等号． 而 ， 则由（*）可得：， 即，当且仅当， 即时取等号. 即当或时， 的最小值是8． 故选： D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则（ ） A. 若复数z为实数，则 B. 若复数z为纯虚数，则 C. 当时， D. 复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几何意义即可求解. 【详解】对于A，依题意可得，即，则，故A正确； 对于B，依题意可得，故B错误； 对于C，依题意可得，所以，故C正确； 对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确， 故选：ACD． 10. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若向量，，则与反向共线 B. 向量在上的投影向量为 C. 与向量共线的单位向量为 D. 已知向量，，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据向量数乘的坐标运算及平面向量共线定理即可判断；对于B，根据投影向量的计算公式直接求解即可；对于C，与向量共线的单位向量有同向和反向两种情况，直接判断；对于D，利用向量减法、向量模长及辅助角公式即可求解. 【详解】对于A，因为，所以与反向共线，故A正确； 对于B，向量在上的投影向量为，故B正确； 对于C，与向量共线的单位向量为或，故C不正确； 对于D，若向量，， 则， 其中， 当且仅当时，取得最大值，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是五边形 B. C. 平面与平面ABCD所成角的余弦值为 D. 若∥平面，则点轨迹的长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出截面判断A，由线面垂直的判定与性质定理判断B，用空间向量法求二面角判断C，确定出动点轨迹后判断D. 【详解】对A，取中点，连接PM，如图，则（都与平行），所以四点共面， 则平面截四棱柱所得的截面是四边形，A错误． 对B，连接，由题意可得，底面， 底面ABCD，所以，而平面， 所以平面，又平面，所以，B正确． 对C，设AC与BD交于点，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，易知平面ABCD的一个法向量为， 则，C正确． 对D，连接，由A项知四点共面，平面， 又平面平面，所以， 所以的轨迹为线段（不含点），，D正确． 故选：BCD. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知一组数据如下：，则这组数据的第80百分位数是______. 【答案】8.5## 【解析】 【分析】根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】由题意，数据，可得， 故第80百分位数是第8个数和第9个数的平均数，即为. 故答案为：8.5. 13. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若为直角三角形，则的面积为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理化简，再结合余弦定理即可求得，然后根据为直角三角形，分或，再由三角形的面积公式即可得到结果. 【详解】由正弦定理，可化为： ，即， 所以，，所以， 又为直角三角形， 若，则，，，， 若，则，，，． 14. 已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为： 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面底面，求证：平面. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为是的中点，所以，， 底面为矩形，是的中点，所以，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面； （2） 底面为矩形，故⊥， 侧面底面，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 侧面是正三角形，为的中点，所以⊥， 因为，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，证明出平面； （2）由面面垂直得到线面垂直，即⊥平面，所以⊥，由三线合一得到⊥，故可证平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 课外阅读有很多好处，可以帮助学生提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力等．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生一个学期的课外阅读时间（单位：时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人． （1）求n和a的值； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数． 【答案】（1）400； （2）105 （3）106.25 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图，先求得课外阅读时间在内的频率，进而求得的值，利用各小组频率之和为1求得a的值； （2）利用频率分布直方图对应的平均数公式计算即得； （3）根据中位数的定义，结合频率分布直方图列方程计算即得. 【小问1详解】 根据题意，课外阅读时间在内的有80人，频率为， 所以． 由频率分布直方图可知，， 解得． 【小问2详解】 估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为： ． 【小问3详解】 因为，所以中位数位于内， 设中位数为x，则，解得， 所以估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数为106.25． 17. 已知分别为锐角三个内角的对边，且. （1）求； （2）若；求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得； （2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到，再结合锐角范围和三角函数值域可得. 【小问1详解】 . 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. 【小问2详解】 由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 18. 如图，在边长为2的菱形中. （1）求； （2）若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的几何性质，结合向量的加法以及数量积的运算律，可得答案； （2）根据菱形的几何性质以及相似三角形的判定与性质，结合向量的线性运算与数量积的运算律，利用二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 在菱形中，易知，， 所以 . 【小问2详解】 在菱形中，，易知， 由，则，即， 所以 ， 故，所以当时，取得最小值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 因为底面，底面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，因为，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再证平面，即可证； （2）由可求； （3）为二面角的平面角，求出，可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接交于点，如图所示： 则，又因为底面，平面，所以， 因为，平面，所以平面，则点到平面的距离为，因为是的中点，所以， 因为底面正方形边长为，所以，， 所以，， 所以， ，所以． 在中，满足，有， 所以， 设点到平面的距离为， 由可得 【小问3详解】 由（1）可得平面，因为平面平面， 所以，所以为二面角的平面角， ， 因为，，所以， 所以，解得， 因为，即，所以， 故二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元市川师大万达中学2024级2025年秋季入学考试数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1.考生使用答题卡作答. 2.在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上.考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回. 3.选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 2. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 40人 B. 36人 C. 30人 D. 24人 3. 已知向量与的夹角为 ，且则 （ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（ ） A. B. C. D. 5. 设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 6. 某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5,25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 A. 56 B. 60 C. 140 D. 120 7. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 8 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则（ ） A. 若复数z为实数，则 B. 若复数z为纯虚数，则 C. 当时， D. 复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 10. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若向量，，则与反向共线 B. 向量在上的投影向量为 C. 与向量共线的单位向量为 D. 已知向量，，则的最大值为 11. 如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是五边形 B. C. 平面与平面ABCD所成角的余弦值为 D. 若∥平面，则点轨迹的长度为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知一组数据如下：，则这组数据的第80百分位数是______. 13. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若为直角三角形，则的面积为________． 14. 已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面底面，求证：平面. 16. 课外阅读有很多好处，可以帮助学生提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力等．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生一个学期的课外阅读时间（单位：时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人． （1）求n和a的值； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数． 17. 已知分别为锐角三个内角的对边，且. （1）求； （2）若；求周长的取值范围. 18. 如图，在边长为2的菱形中. （1）求； （2）若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值. 19. 如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $