精品解析：山西省 2023-2024 学年九年级阶段评估数学试卷　

山西省2023-2024学年度九年级阶段评数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列结果为2的是（　　） A. ﹣（+2） B. C. |﹣2| D. ﹣|﹣2| 2. 观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．某孢子体的苍蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 5. 如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. 50° B. 48° C. 45° D. 36° 6. 某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ） A. 23cm B. 24cm C. 25cm D. 26cm 7. 如图，一束光从点出发，经过平面镜反射后，沿与平行的射线射出（此时有），若测得，则等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ） A. B. C. D. 9. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ） A. 2mm B. C. D. 4mm 10. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，共15分． 11. 计算：=_____． 12. 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为_____个． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是 _____． 14. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________. 15. 如图，边长为的正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF和DF若EF＝2BE，则BE的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. （1）计算：； （2）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式 第一步 第二步 第三步 任务一： 填空： ①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是______公式； ②第三步进行因式分解用到的方法是______法． 任务二： 同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______． 任务三： 小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程． 17. 请你阅读下面小王同学的解题过程，思考并完成任务： 先化简，再求值：，其中：． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ………………………………第五步 当时，原式． （1）任务一：以上解题过程中，第________步是约分，其变形依据是________； （2）任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值； （3）任务三：根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议． 18. 吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，某校组织了“禁毒防毒”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如下统计图． （1）本次抽样调查的学生人数是________，请补全条形统计图； （2）学校准备针对毒品危害分别举行一次专题培训和一次实践活动，并分别随机抽一位竞赛成绩不合格的同学参与发言，请用树状图或列表法求出恰好两次活动抽中同一人发言的概率； （3）该校共有2000名学生，请你估计该校本次竞赛中成绩达到合格的学生人数． 19. 滨湖路是运城盐湖生态文化旅游南山片区串联滨湖各个功能的景观大道，是市民游憩、健身、出行的绿色廊道，可承担国家级马拉松、竞走、自行车等体育赛事，某绿化公司对其中一段长2400米的路边进行绿化，绿化800米后，为了尽快完成任务，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用26天完成绿化任务． （1）求原计划每天绿化多少米？ （2）该绿化公司原来每天支付给工人的工资总额为1500元，为了完成整个工程后总共支付工人工资总额不超过43800元，求提高工作效率后每天支付给工人的工资总额最多可增长多少元？ 20. 舍利生生塔位于晋祠南端，建于隋开皇年间，宋代重修，清乾隆十六年（1751年）重建．七屋八角，琉璃瓦顶，远远望去，高耸的古塔，映衬着蓝天白云，甚是壮观．原塔内每层均有佛像，开4门8窗，凭窗远眺，晋祠内外美景可一览无余．如果在夕阳西下时欣赏宝塔，还会出现——天云锦、满塔光辉的壮丽景观，被誉为“宝塔披霞”．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量舍利生生塔高”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量舍利生生塔高 测量示意图 说明：某同学在地面上选择点C，使用手持测角仪，测得此时楼顶A的仰角∠AHE＝α，沿CB方向前进到点D，测量出C，D之间的距离CD＝xm，在点D使用手持测角仪，测得此时楼顶A的仰角∠AFE＝β 测量数据 α的度数 β的度数 CD的长度 该同学眼睛离地面的距离HC 24° 37° 32m 1.76m … … （1）请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求塔高AB．（结果精确到1m；参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可） 21. 阅读与思考 下面是小宇同学的数学论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用网格构造数学图形 我们知道，由许多边长为1的正方形组成如图1所示的图形叫做网格，每一个小正方形的顶点叫做格点．利用这样的网格不仅可以构造具有位置关系的图形，还可以构造某种数量关系的图形． 在图1的网格中，连接格点和交于点E，则．理由如下： 根据网格的特征可知：，， ∵， ∴…… 任务： （1）请把小宇证明的过程补充完整； （2）请求出图1中的长度； （3）在以上解答的启发下，请你作出图2中线段的三等分点． 22. 综合与实践： 数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答． 问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E． “兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形． （1）数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题； （2）拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由． 请你帮助他们解决此问题． （3）问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为___________．（直接写出结果） 23. 综合与探究 如图，抛物线y=−x2+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A，B，C三点及抛物线顶点的坐标； （2）点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(0<m<3)，连接DB，DC．当△BCD的面积最大时，求m的值； （3）试探究：在y轴上是否存在点P，使得∠PAO=∠ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2023-2024学年度九年级阶段评数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列结果为2的是（　　） A. ﹣（+2） B. C. |﹣2| D. ﹣|﹣2| 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的性质和相反数的性质逐一计算可得． 【详解】A、﹣（+2）＝﹣2，此选项不符合题意； B、≠2，此选项不符合题意； C、|﹣2|＝2，此选项符合题意； D、﹣|﹣2|＝﹣2，此选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查绝对值和相反数，解题的关键是熟练掌握绝对值和相反数的性质． 2. 观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐一判断即可． 【详解】解：第一个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意； 第二个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意； 第三个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意； 第四个图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此图案不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 3. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方、同类项的定义、幂的乘方和平方差公式逐一判断即可． 【详解】A． ，故本选项原说法错误； B． ，故本选项原说法错误； C． ，故本选项原说法错误； D． ，故本选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查的是幂的运算性质和整式的运算，掌握积的乘方、合并同类项和幂的乘方是解决此题的关键． 4. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．某孢子体的苍蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据中0的个数进行解答即可． 【详解】解：， 故选：D． 5. 如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. 50° B. 48° C. 45° D. 36° 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数． 【详解】解：连接AD，则AD=AG=3， ∵BC与圆A相切于点D， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==， ∴∠BAD=60°， ∵∠CDE=18°， ∴∠ADE=90°﹣18°=72°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=72°， ∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°， ∴∠GAC=36°+60°=96°， ∴∠GFE=∠GAC=48°， 故选：B． 【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键． 6. 某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ） A. 23cm B. 24cm C. 25cm D. 26cm 【答案】B 【解析】 【分析】设，分别将和代入求出一次函数解析式，把代入即可求解． 【详解】解：设，分别将和代入可得： ， 解得 ， ∴， 当时，， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键． 7. 如图，一束光从点出发，经过平面镜反射后，沿与平行的射线射出（此时有），若测得，则等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据“两直线平行，同旁内角互补”推知∠FDC=80°，然后结合平角的定义和已知求得∠2的度数,继而根据∠A=∠3-∠2即可得出答案． 【详解】解：∵DE∥CF，， ∴∠FDC =180°-∠3=80°， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠2=（180°-80°）=50°， ∴∠A=∠3-∠2=100°-50°=50°． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键． 8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得关于的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设关于的函数解析式为，由图象可把点代入得：， 关于的函数解析式为， 当时，则， 当时，则， 压强由加压到，则气体体积压缩了； 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 9. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ） A. 2mm B. C. D. 4mm 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案． 【详解】连接CF与AD交于点O， ∵为正六边形， ∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm， ∴△COD为等边三角形， ∴CD=CO=DO=4mm， 即正六边形的边长为4mm， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，以为圆心，为半径作，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，求出与重合，而关于原点成中心对称，利用正六边形的性质与勾股定理求出的坐标，利用关于原点成中心对称，从而可得答案． 【详解】解：如图，以为圆心，为半径作， 将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°， 即把绕点O顺时针旋转i个45°， 旋转后的对应点依次记为， 周角， 绕点O顺时针旋转次回到原位置， 与重合，而关于原点成中心对称， 连接， 正六边形， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，正六边形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，求出与重合，而关于原点成中心对称是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，共15分． 11. 计算：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把各二次根式起先化简，然后再合并同类二次根式即可. 【详解】原式=3-= . 【点睛】本题考查了二次根式的化简.二次根式的性质： 12. 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为_____个． 【答案】3n+2 【解析】 【详解】解：第一个图案为3+2=5个窗花； 第二个图案为2×3+2=8个窗花； 第三个图案为3×3+2=11个窗花； …从而可以探究： 第n个图案所贴窗花数为（3n+2）个． 故答案为：3n+2 13. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据基本作图，得到EC是∠BCD的平分线，由AB∥CD，得到∠BEC=∠ECD=∠ECB，从而得到BE=BC，利用线段差计算即可． 【详解】根据基本作图，得到EC是∠BCD的平分线， ∴∠ECD=∠ECB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BEC=∠ECD， ∴∠BEC=∠ECB， ∴BE=BC=5， ∴AE= BE-AB=5-4=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了角的平分线的尺规作图，等腰三角形的判定，平行线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握尺规作图，灵活运用等腰三角形的判定定理是解题的关键． 14. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________. 【答案】 【解析】 【详解】分析：设勾为2k，则股为3k，弦为k，由此求出大正方形面积和阴影区域面积，由此能求出针尖落在阴影区域的概率． 详解：设勾为2k，则股为3k，弦为k， ∴大正方形面积S=k×k=13k2， 中间小正方形的面积S′=（3−2）k•（3−2）k=k2， 故阴影部分的面积为：13 k2-k2=12 k2 ∴针尖落在阴影区域的概率为:． 故答案为． 点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 15. 如图，边长为的正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF和DF若EF＝2BE，则BE的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得∠ECF=90°，CE=CF，根据正方形的性质可得△BCE≌△DCF，从而得到DF=BE，∠CBE=∠CDF=45°，继而得到∠EDF=90°，再由勾股定理可得，然后设BE=x，则，EF=2x，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCD=90°，∠CBD=∠BDC=45°， ∴∠BCE=∠DCF， ∴△BCE≌△DCF， ∴DF=BE，∠CBE=∠CDF=45°， ∴∠EDF=∠BDC+∠CDF=90°， ∵正方形ABCD的边长为， ∴， 设BE=x，则， ∵EF＝2BE， ∴EF=2x， ∵， ∴， 解得：（舍去） ， 即． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. （1）计算：； （2）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式 第一步 第二步 第三步 任务一： 填空： ①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是______公式； ②第三步进行因式分解用到的方法是______法． 任务二： 同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______． 任务三： 小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解；任务三：，过程见解析 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式进行计算，然后再计算加减法即可； （2）按照给出的解答过程，进行分析解答即可． 【详解】解：（1） ； （2）任务一： ①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式； ②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法， 故答案为：完全平方，提公因式． 任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解， 故答案为：因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解． 任务三： 原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，平方差公式和完全平方公式，因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17. 请你阅读下面小王同学的解题过程，思考并完成任务： 先化简，再求值：，其中：． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ………………………………第五步 当时，原式． （1）任务一：以上解题过程中，第________步是约分，其变形依据是________； （2）任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值； （3）任务三：根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】（1）五；分式的基本性质 （2）, （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据分式的基本性质进行分析即可； （2）先去括号，再化简即可； （3）在分式化简求值的过程中需要注意：去括号不要漏乘，要化成最简分式，去括号注意变号，必要时可以适当地运用运算律求解． 【小问1详解】 解：第五步为约分，其变形依据是分式的基本性质， 故答案为：五；分式的基本性质； 【小问2详解】 原式 ． 当时，原式． 【小问3详解】 去括号时，要注意符号是否需要改变．（答案不唯一） 【点睛】本题考查分式的化简求值、实数的运算及零指数幂，应充分掌握相关的法则，特别要注意运算的顺序，在分式的化简求值中约分的时候要把分子分母因式分解． 18. 吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，某校组织了“禁毒防毒”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如下统计图． （1）本次抽样调查的学生人数是________，请补全条形统计图； （2）学校准备针对毒品危害分别举行一次专题培训和一次实践活动，并分别随机抽一位竞赛成绩不合格的同学参与发言，请用树状图或列表法求出恰好两次活动抽中同一人发言的概率； （3）该校共有2000名学生，请你估计该校本次竞赛中成绩达到合格的学生人数． 【答案】（1）100人，见解析 （2） （3）估计该校本次竞赛中成绩达到合格的学生人数约为1900人 【解析】 【分析】（1）由已知C等级的人数为25人，所占百分比为25%，25÷25%可得本次抽样调查的学生人数；再求B，D等级的人数； （2）依据题意列出表格后求得概率； （3）利用样本估计总体的思想，用样本的优秀率估计总体的优秀率可得结论． 【小问1详解】 解：∵由条形统计图可得C等级的人数为25人，由扇形统计图可得C等级的人数占比为25%， ∴本次抽样调查的学生人数为25÷25%=100． ∵B等级的人数占比为35%， ∴B等级的人数为：100×35%=35（人）． ∴D等级的人数：100-35-35-25=5（人）． 补全条形统计图如下： 故答案为：100． 【小问2详解】 解：列表如下：设五名不合格同学分别为A、B、C、D、E 2 1 A B C D E A A，A A，B A，C A，D A，E B B，A B，B B，C B，D B，E C C，A C，B C，C C，D C，E D D，A D，B D，C D，D D，E E E，A E，B E，C E，D E，E 由上表可知，一共出现25种等可能的情况，其中同一个同学有5种情况； （恰好同一个人发言）； 【小问3详解】 解：（人） 估计该校本次竞赛中成绩达到合格的学生人数约为1900人． 【点睛】本题主要考查了统计的相关知识，包括总体，个体，样本，样本容量，利用列表法或画树状图求事件的概率，用样本估计总体的思想，条形统计图等，准确地理解相关的数量指标，并熟练的应用是解题的关键． 19. 滨湖路是运城盐湖生态文化旅游南山片区串联滨湖各个功能的景观大道，是市民游憩、健身、出行的绿色廊道，可承担国家级马拉松、竞走、自行车等体育赛事，某绿化公司对其中一段长2400米的路边进行绿化，绿化800米后，为了尽快完成任务，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用26天完成绿化任务． （1）求原计划每天绿化多少米？ （2）该绿化公司原来每天支付给工人的工资总额为1500元，为了完成整个工程后总共支付工人工资总额不超过43800元，求提高工作效率后每天支付给工人的工资总额最多可增长多少元？ 【答案】（1）原计划每天绿化80米 （2）提高工作效率后每天支付给工人的工资总额最多可增长300元 【解析】 【分析】（1）设原计划每天植树造林x米，则提速后每天植树造林米，根据题意可列出关于x的等式，解出x，并检验即得出答案； （2）设提高工作效率后每天支付给工人的工资可增长y元，根据题意可列出关于y的一元一次不等式，解出y的解集，即可得出答案． 【小问1详解】 设原计划每天植树造林x米，则提速后每天植树造林米， 依题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天绿化80米． 【小问2详解】 设提高工作效率后每天支付给工人的工资可增长y元， 依题意得： 解得： 答：提高工作效率后每天支付给工人的工资总额最多可增长300元． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 20. 舍利生生塔位于晋祠南端，建于隋开皇年间，宋代重修，清乾隆十六年（1751年）重建．七屋八角，琉璃瓦顶，远远望去，高耸的古塔，映衬着蓝天白云，甚是壮观．原塔内每层均有佛像，开4门8窗，凭窗远眺，晋祠内外美景可一览无余．如果在夕阳西下时欣赏宝塔，还会出现——天云锦、满塔光辉的壮丽景观，被誉为“宝塔披霞”．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量舍利生生塔高”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量舍利生生塔高 测量示意图 说明：某同学在地面上选择点C，使用手持测角仪，测得此时楼顶A的仰角∠AHE＝α，沿CB方向前进到点D，测量出C，D之间的距离CD＝xm，在点D使用手持测角仪，测得此时楼顶A的仰角∠AFE＝β 测量数据 α的度数 β的度数 CD的长度 该同学眼睛离地面的距离HC 24° 37° 32m 1.76m … … （1）请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求塔高AB．（结果精确到1m；参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可） 【答案】（1）约为38m；（2）还需要补充的项目为：计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一，合理即可．） 【解析】 【分析】（1）易知四边形HCDF是矩形，四边形FDBE是矩形，结合三角函数的定义求出AE和BE长即可得出答案； （2）如要补充：计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一，合理即可．） 【详解】解：（1）在Rt△AFE中，tan∠AFE＝，∠AFE＝37°， ∴， ∵∠HCD＝90°，∠FDC＝90°， ∴HC∥FD， 又∵HC＝FD， ∴四边形HCDF是矩形， ∴HF＝CD＝32m． 在Rt△AHE中，tan∠AHE＝＝≈0.45， 解得：AE＝36． 同理，四边形FDBE是矩形，则BE＝FD＝HC＝1.76m， ∴AB＝AE+BE＝36+1.76=37.76≈38（m）． 答：塔高AB约为38m． （2）还需要补充的项目为：计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一，合理即可．） 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 阅读与思考 下面是小宇同学的数学论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用网格构造数学图形 我们知道，由许多边长为1的正方形组成如图1所示的图形叫做网格，每一个小正方形的顶点叫做格点．利用这样的网格不仅可以构造具有位置关系的图形，还可以构造某种数量关系的图形． 在图1的网格中，连接格点和交于点E，则．理由如下： 根据网格的特征可知：，， ∵， ∴…… 任务： （1）请把小宇证明的过程补充完整； （2）请求出图1中的长度； （3）在以上解答的启发下，请你作出图2中线段的三等分点． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，格点作图． （1）证明，得到，推出，即，即可； （2）勾股定理求出的长，证明，得到，进一步求解即可； （3）仿照题干给定的方法，进行构造即可． 解题的关键是构造相似三角形，确定线段之间的数量关系． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图：点M，N就是的三等分点． 由图可知， ∴点M，N就是的三等分点． 22. 综合与实践： 数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答． 问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E． “兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形． （1）数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题； （2）拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由． 请你帮助他们解决此问题． （3）问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为___________．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到两组对边分别平行，再用邻边相等的平行四边形是菱形判定，也可以用四条边相等的四边形是菱形进行判断； （2）证明△PAF≌△PEF，得到∠APF=∠FPE，再由折叠得到∠DPC=∠EPC，从而证明∠FPC=90°； （3）延长BA、CP相交于点F，得△AFP∽△DCP，再证EF=CE即可求出结果． 【小问1详解】 证法一：由折叠得，，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形． 证法二： 证明：由折叠得，，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解： ． 连接 由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形 ∴ 又∵ ∴ ∵点P是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（SSS） ∴ 又∵，即 ∴ ∴． 【小问3详解】 解：延长BA、CP相交于点F， 由题意，△AFP∽△DCP ∴ 即 ∴ ∵∠DCP=∠ECP，∠DCP=∠F ∴∠F=∠ECP ∴EF=EC=DC=10 ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查折叠、平行四边形、相似、菱形的判定等，属于综合性题目，解题关键在于灵活运用几何知识，构造常见的模型． 23. 综合与探究 如图，抛物线y=−x2+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A，B，C三点及抛物线顶点的坐标； （2）点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(0<m<3)，连接DB，DC．当△BCD的面积最大时，求m的值； （3）试探究：在y轴上是否存在点P，使得∠PAO=∠ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A(−1，0)，B(3，0)，C(0，4)；抛物线顶点坐标为(1，)； （2）当△CBD的面积最大时，m的值为； （3）点P的坐标为(0，)，(0，-)． 【解析】 【分析】（1）将y=0、x=0代入，求解可得A，B，C三点坐标，将解析式化成顶点式即可求得抛物线顶点坐标； （2）利用待定系数法求得直线BC的函数表达式，用m表示出点D、M的坐标，利用三角形面积公式以及二次函数的性质求解即可； （3）作BN平分∠OBC交OC于点N，过点N作NE⊥BC于点E，利用面积法求得，得到CN=，ON=，再证明△P1OA∽△NOB，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将y=0代入y=−x2+x+4，得0=−x2+x+4． 解得：x1=−1，x2=3． ∴A(−1，0)，B(3，0)． 将x=0代入y=−x2+x+4，得y=4． ∴C(0，4)． ∵y=−x2+x+4=− (x−1) 2+， ∴抛物线顶点坐标为(1，)； 【小问2详解】 解：过点D作DM∥y轴，交BC于点M． 设直线BC的函数表达式为y=kx+b． 将B(3，0)，C(0，4)代入y=kx+b， 得解得， ∴直线BC的函数表达式为y=−x+4． ∵点D在抛物线上， ∴D(m，−m2+m+4)． ∵DM∥y轴， ∴M(m，−m+4)． ∵S△CBD=S△CMD+S△BMD=DM⋅|xB−xC|=DM， ∴当DM最大时，S△CBD最大． ∵DM=(−m2+m+4)−(−m+4)=−m2+4m=− (m−)2+3． ∵−<0， ∴当△CBD的面积最大时，m的值为； 【小问3详解】 解：∵B(3，0)，C(0，4)， ∴OB=3，OC=4， ∴BC==5， 作BN平分∠OBC交OC于点N，过点N作NE⊥BC于点E， ∵NO⊥OB，NE⊥BC，BN平分∠OBC， ∴NO= NE， ∴， ∵， ∴， 又∵CN+ON=OC=4， ∴CN=，ON=， ∵∠P1AO=∠ABC=∠NBO，∠P1OA=∠NOB=90°， ∴△P1OA∽△NOB， ∴，即， ∴P1O=， 同理求得P2O=， ∴P1(0，)，P2(0，-) ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $